Рецензенти: доц. Московського станкоинструментального інституту, канд техн наук Г. И. Гранітів; викладач Московського технікуму електронних приладів А. В. Закревская Гаркуша Ж. М

Вид материала

Содержание

Подобный материал:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 17

§ 3.1. ЕЛЕКТРОННІ СТАНИ У ТВЕРДИХ ТІЛАХ

В ізольованому атомі значення енергії електрона дискретні і визначаються силами притягання до ядра і силами відштовхування від інших електронів. При утворенні твердого тіла атоми настільки зближаються один з одним, що між ними виникають але-

53

вые сили взаємодії: сили відштовхування між ядрами і між електронами сусідніх атомів і сили притягання між усіма ядрами і всіма електронами. Під дією цих сил енергетичні стани електронів в атомах змінюються: енергія одних електронів трохи збільшується, інш-зменшується. Крім того, при зближенні атомів відбувається перекриття зовнішніх електронних оболонок, що приводить до зміни характеру руху електронів.Електрони, що знаходяться на визначеному енергетичному рівні одного атома, можуть переходити без витрати енергії на такий же рівень іншого атома й у такий спосіб переміщатися по всьому кристалі. У цьому випадку вже не можна говорити про приналежність якогось електрона визначеному атому - електрон належить всім атомам ґрат одночасно, тобто при перекритті електронних оболонок відбувається усуспільнення електронів.На енергетичній шкалі замість окремих рівнів в ізольованого атома утворяться енергетичні зони, число рівнів у який дорівнює числу атомів у твердому тілі. Отже, процес утворення твердого тіла супроводжується розщепленням енергетичних рівнів в енергетичні зони.Розщепленню в зони піддаються і стаціонарні, і збуджені рівні. Різним енергетичним рівням відповідають різні значення кінетичної і потенційної енергій електронів. Ширина енергетичних зон визначається природою атомів, з яких складається кристал, і структурою кристала.

Рівні в дозволеній зоні розташований близько друг до друга, і їхнє заповнення підкоряється забороні Паули. Експериментальні значення енергій, отримані для ширини зон, не перевищують одиниць електрон-вольтів, тому в кристалі обсягом в один кубічний сантиметр, що містить 1022-1023 атомів, кількість рівнів у дозволених зонах дорівнює 1ПРО22-10м, а відмінність в енергії між сусідніми рівнями складає приблизно 10~22-10~23 ев.Ширина дозволених зон залежить також від ступеня перекриття електронних оболонок. Ступінь перекриття зовнішніх оболонок більше, ніж внутрішніх, отже, розщеплення енергетичних рівнів, що відповідають зовнішнім оболонкам, більше і ширина дозволених зон теж більше. Для самих внутрішніх оболонок взаємодії не існують, тому енергетичні рівні електронів залишаються нерозщепленими, як в ізольованих атомах.

Порядок розташування зон на енергетичній шкалі може не відповідати порядку розташування енергетичних рівнів в ізольованому атомі. Зона, що утворилася від розщеплення більш низького рівня, може виявитися в спектрі значень енергії твердого тіла більш високої, тому рівням, заповненим у вільному атомі електронами, у твердому тілі може відповідати незаповнена зона, тому що електрони прагнуть зайняти зони, що відповідають меншим значенням енергії. Подібно енергетичним рівням в ізольованих атомах енергетичні зони можуть бути

54

цілком заповненими, частково заповненими і вільними.

Внутрішні оболонки в ізольованих атомах заповнені, тому

відповідні їм зони також виявляються заповненими.

Дозволені зони відділені друг від друга областями значень

енергії, якими не можуть володіти електрони, - забороненими

зонами. Ширина дозволених зон при переміщенні нагору по энер-

готичній шкалі зростає, а ширина заборонених зон відповідно зменшується (мал. 3.1).

Електрони можуть переходити з нижньої дозволеної зони у

верхню, але для цього, так само як в ізольованому атомі, требу-

ется додаткова енергія, рівна ширині забороненої зони, а у верхній зоні повинні бути вільні рівні. Аналогічно цьому електрони можуть переходити з рівня на рівень усередині зони.

При додатку до твердого тіла зовнішнього електричного полючи електрон на довжині вільного пробігу здобуває додаткову енергію, рівну 10-4-10-8 ев. Цієї енергії досить для переходів електронів з рівня на рівень усередині зони, але недостатньо для межзонных переходів.

При кімнатній температурі середня теплова енергія, що атоми можуть одержати від теплових коливань ґрат, складає порядку 0,04 ев. Однак тепловий механізм порушення внаслідок статистичного розподілу теплової енергії всього кристала між окремими атомами і можливих при цьому флуктуації не має верхньої межі енергії, що може бути передана атому, тобто частина атомів може здобувати енергію, що значно перевищує середню енергію.

55

Коливні атоми взаємодіють не тільки другу іншому, але і з електронами, тому атом може передати всю чи частина своєї енергії електрону. Якщо ця енергія дорівнює чи більше ширини забороненої зони, електрон може перейти в більш високу енергетичну зону. Цей перехід називають тепловим порушенням. За допомогою механізму теплового порушення можливі внутрізонні і межзонные переходи електронів.

Ширина дозволених і заборонених зон залежить від температури. При зміні температури міняються амплітуда теплових коливань атомів і межатомные відстані. З ростом температури зростає амплітуда коливань атомів, збільшується ступінь їхньої взаємодії і ступінь розщеплення енергетичних рівнів, тому дозволені зони стають ширше, а заборонені - відповідно вже.

При зміні межатомных відстаней у залежності від характеру розщеплення рівнів ширина заборонених зон може чи збільшуватися зменшуватися (мал. 3.2). Аналогічна зміна ширини зон відбувається мод дією тиску на кристал, тому що при цьому змінюються межатомные відстані.

§ 3.2. МЕТАЛИ, ДІЕЛЕКТРИКИ І НАПІВПРОВІДНИКИ З ПОГЛЯДУ ЗОННОЇ ТЕОРІЇ

Електричний струм являє собою спрямований рух заряджених часток. При впливі зовнішнього електричного полючи на тверде тіло електрони прискорюються проти полючи і збільшують свою енергію. Це відповідає переміщенню електронів по прилеглих рівнях у дозволеній зоні. Електрони внутрішніх електронних оболонок не приймають участі в електропровідності, оскільки вони знаходяться в цілком заповнених зонах. В електропровідності беруть участь валентні електрони, і значення провідності залежить від структури зон і від ступеня заповнення їх електронами.

Розглянемо кілька прикладів різного заповнення електронами останніх дозволених зон.

У натрію Na (порядковий номер 11) розподіл електронів по станах наступне: 1s22s22p63sl. При утворенні твердого тіла рівень 3s розщеплюється в зону 3s (мал. 3.3), у якій знаходиться N електронів, що заповнюють нижню половину зони по двох електрона на кожнім рівні. У дійсності в Na зона ЗS' перекривається з вільною зоною Зр, деякі рівні зони Зр виявляються розташованими в нижній половині зони 3s і частина електронів зони 3s розташовується на рівнях зони 3р. Верхня половина зони виявляється порожньою. Тому при додатку електричного полючи електрони в цій зоні зможуть переміщатися на більш високі енергетичні рівні, здобуваючи спрямований рух. Величина прикладеного полючи буде визначати величину минаючого струму.

Аналогічне утворення зон спостерігається в К и Lі (мал. 3.4).

56

У щелочноземельных металів (Be, Mg, Ca) останній стан s виявляється заповненим двома електронами:

При утворенні зон рівень s розщеплюється в зону таким чином, що вона перекривається з першою вільною зоною р (мал. 3.5).

Утвориться об'єднана зона s-p, у якій може розміститися 8N електронів, а знаходиться всего 2N електронів, причому ці элект-

Рони розташовуються на рівнях, що відповідають меншим запасам енергії, незалежно від того, які зоні ці рівні належать. Отже, у даному випадку за рахунок перекриття дозволених зон електрони зможуть переміщатися з рівня на рівень, якщо до кристала прикласти зовнішнє поле.

У тривалентних елементів (Al, Ga, Іn, T1 і ін.) на останньому рівні мається один електрон. Наприклад, в алюмінію - 1s22s22р63s23p1. Тому утвориться енергетична зона р, що відповідає валентним електронам, заповнена не цілком.

У металів групи заліза (Fe, Co, Nі) провідність значно нижче, ніж у раніше розглянутих металів. Причина цього полягає особливо будівлі їхніх електронних оболонок. Так, у нікелю- 1s22s22p63s23ps4s23d8, зони s і d перекриваються, але зона s значно ширше, ніж зона d. У цих металів в електропровідності беруть участь s-електрони. Але під дією зовнішнього полючи s-електроны можуть перетворитися в d-електрони і не будуть брати участь в електропровідності.

Зі сказаного випливає, що металами називають тверді тіла, у яких дозволена зона заповнена електронами не цілком, а якщо і цілком, те перекривається з вільною зоною.

Типовою структурою діелектрика володіє хлористий натрій (NaCl). Як згадувалося, у Na останній стан 3s заповнено

57

одним електроном, у З1 останній стан Зр заповнено п'ятьма електронами. В ізольованого атома Na стан 3s розташовано енергетично нижче, ніж стан Зр атома CІ. При утворенні твердого хлористого натрію зона 3s натрії виявляється розташованої вище зони 3р хлори. Тому електрони з зони 3s натрії перейдуть у зону Зр хлору, зона 3s виявиться вільної, а зона Зр - цілком заповненої (мал. 3.6). Між ними розташовується заборонена зона шириною близько 7 ев. Природно, що при додатку електричного полючи в такому кристалі струм не з'явиться, оскільки енергії полючи недостатньо для перекидання електрона з зони Зр у зону 35.

Ще одним прикладом діелектрика є алмаз. В атома вуглецю на останніх енергетичних рівнях 2s і 2р знаходиться по двох електрона. При зближенні атомів вуглецю рівні 2s і 2р спочатку розщеплюються в окремі зони місткістю 2N і 6N електронів відповідно, потім ці зони зливаються в однією місткістю 8N електронів, а при подальшому зменшенні відстані до постійних ґрат ця зона розпадаються на двох, у кожній з який може знаходитися по AN електронів, але одна з цих зон розташовується енергетично значно вище іншої, тому AN електронів станів 2s і 2р цілком заповнюють нижню зону, а верхня залишається вільної (мал. 3.7). Ширина забороненої зони між ними дорівнює ~6 ев.

Напівпровідники германій і кремній мають ґрати типу ґрати алмаза, тому процес утворення зон у них відбувається так само, як і в алмаза. Розходження полягає в ширині забороненої зони, що лежить між заповненою і вільною зонами. У кремнію вона дорівнює приблизно 1,1 ев, у германія - порядку 0,7 ев.

Розглянемо як приклад ще один напівпровідник - телур. В атома телуру останнім заповненим енергетичним станом є рівень 5р, у якому знаходяться чотири електрони. У твердому телурі рівень 5d розщеплюється на три зони, одна з яких енергетично розташована значно вище, ніж дві інші і навіть вище, ніж зона 5d. Природно, що AN електронів

58

стану 5р будуть заповнювати дві нижні зони, а ця зона виявиться вільною (мал. 3.8).

У хлористого натрію й алмаза імовірність того, що електрони будуть закинуті з заповненої зони у вільну значно менше, ніж у германія і кремнію. Тому германій і кремній від- носяться до класу напівпровідників, а хлористий натрій і алмаз - до діелектриків.

Раніше було сказано, що утворення зон відбувається в основному за рахунок валентних електронів, що і заповнюють ці зони.

Дозволену енергетичну зону, у якій при абсолютному нулі температури всі енергетичні рівні зайняті електронами,

називають заповненою зоною.

Верхню з заповнених зон напівпровідника називають валентною зоною.

Електрони, що знаходяться в заповнених зонах, не можуть зім'яти свій енергетичний стан під дією прикладеного полючи і не можуть приймати участі в електропровідності. Для створення електропровідності необхідно, щоб частина эктроннов з валентної зони перейшла у вільну зону. Дозволену зону напівпровідника, у якій відсутні електрони провідності при абсолютному нулі, називають вільною зоною.

Вільну зону напівпровідників, на рівнях якої при порушенні можуть знаходитися електрони провідності, називають зоною провідності. Між зоною провідності і валентною зоною розташовується заборонена зона. Для переходу електронів з валентної зони в зону провідності їм потрібно повідомити додаткову енергію, рівну ширині забороненої зони.

Ширина забороненої зони - це різниця енергій між нижнім рівнем зони провідності і верхнім рівнем валентної зони. У металів заборонена зона отсутствует, оскільки валентна зона перекривається з зоною провідності, або валентна зона заповнена не цілком і вона ж є і зоною провідності. На

59

мал. 3.9 для порівняння приведені зонні діаграми металу, напівпровідника і діелектрика.Заповнення валентної зони відповідає температурі абсолютного нуля. Приведені зонні діаграми показують, що при абсолютному нулі напівпровідники і діелектрики мають однакові властивості - електропровідність у них отсутствует, що різко відрізняє їх від металів. Зі зростанням температури відбувається генерація електронів з валентної зони в зону провідності. Оскільки ширина забороненої зони в напівпровідників менше.

новий у них відбувається інтенсивніше, і по своїх властивостях напівпровідники починають наближатися до металів.

У металів провідне стан зберігається при будь-якій температурі, тому для створення електропровідності в металі досить прикласти до нього зовнішнє електричне поле.

Приведені зонні діаграми відносяться до одномірної моделі кристала. У реальному тривимірному кристалі картина розподілу енергетичних зон значно складніше. По різних кристалографічних напрямках відстані між атомми кристалічних ґрат різні, різними є й області перекриття електронних оболонок. Крім того, заборонена зона в одному напрямку може збігатися з дозволеною зоною іншого напрямку, у результаті чого відбувається так називане перекриття зон у просторі, і в кристалі значення енергій, що лежать у цих зонах, виявляються дозволеними.

Рух електронів по кристалі супроводжується поширенням плоскої хвилі довжиною ?. Хвильові процеси характеризуються хвильовим вектором К. Хвильовий вектор чисельно дорівнює 1/? і спрямований по осі поширення хвилі. Проекціями хвильового вектора на прямокутні координати можна скористатися для представлення енергетичних зон тривимірного кристала. Границі таких зон визначаються чотирма числами: трьома проекціями хвильового вектора Кх, Ку, Кz і спином електрона. У пространствеэти границі зон утворять багатогранники, називані зонами Бриллюэна. Форма зон Бриллюэна може бути різноманітної; вона визначає структуру зони провідності і валентної зони. У германії існують чотири мінімуми в зоні провідності в напрямку (111), яким відповідають поверхні рівної

60

енергії, що мають форму еліпсоїдів. У зоні провідності кремнію маються шість еліпсоїдів рівних енергій, розташованих уздовж напрямку (100).

Валентні зони складаються з трьох зон.

У з'єднань A Bv структура зон ще більш складна (мал. 3.10).

§ 3.3. СТАТИСТИКА НОСІЇВ ЗАРЯДУ У ТВЕРДОМУ ТІЛІ

Електричні, теплові, оптичні й інші властивості твердих тіл визначаються енергетичним станом вільних електронів у них. У кожнім конкретному випадку існує найбільш ймовірний розподіл часток по енергіях, що

описується за допомогою статистичної функції розподілу (Е, Т), указуючого на імовірність заповнення частками даного енергетичного стану і представляющей собою середнє число часток, що знаходяться в даному енергетичному стані Е при визначеній температурі Т. Вид функції розподілу залежить від можливої Кількості часток у даному дозволеному енергетичному стані і від того, чи є дані частки помітними. Розрізнення - це властивість часток змінювати фізичні характеристики твердого тіла при перестановці часток місцями.

У класичній фізиці частки вважаються помітними і можуть необмежено заповнювати одне і теж енергетичний стан. Прикладом класичних часток служить молекулярний газ. Розподіл часток газу по енергіях описується за допомогою функції розподілу Максвелла - Больцмана:

де Їм - хімічний потенціал, що виражає зміну вільної енергії системи при зміні числа часток у системі на одну при постійній температурі і постійному обсязі системи: Eм = d / dn (п - число часток у системі).

З функції розподілу випливає, що зі зменшенням температури число часток з малим значенням енергії збільшується (мал. 3.11). При абсолютному нулі частки повинні зайняти самий нижній енергетичний стан (мал. 3.12).На відміну від класичних представлень у квантовій механіці мікрочастинки є нерозрізненими. Мікрочастинки підрозділяють на двох груп: бозоны і фермионы. Фермионы підкоряються забороні Паули. Це значить, що якщо якийсь енергетичний стан, обумовлений квантовими числами п, І, m і s, зайняте фер-

61

Енергія фотонів E=hv, тому

мионом, те інший фермион потрапити в цей стан уже не може. Бозоны можуть необмежено заповнювати те саме енергетичний стан, причому тем легше, чим більше їх у цьому стані знаходиться. До фермионам відносяться електрони, протони, нейтрони і т.п. , до бозонам - фотони, фонони, півонії.

В умовах рівноваги бозоны мають мінімум вільної енергії, тому хімічний потенціал бозонов дорівнює кулю. Звідси випливає:

62

Графік функції розподілу Бозе-Эйнштейна представлений на

мал. 3.13. Із графіка на мал. 3.14 видно, що зі зменшенням температури падає число бозонов з малими значеннями енергії.

Розподіл фермионов по енергетичних рівнях описується за допомогою статистики Ферми - Дирака. Функція розподілу Ферми -Дирака має вид

Ця функція визначає імовірність заповнення деякого енергетичного стану Е електроном при визначеній температурі Т. Імовірність заповнення енергетичного стану електроном виражається в частках одиниці. Так, якщо на рівні знаходиться два електрони, то імовірність заповнення рівня дорівнює одиниці; якщо рівень вільний, - те нулю. З функції розподілу можна визначити, що хімічний потенціал, інакше називаний енергією Ферми чи рівнем Ферми, має імовірність заповнення, рівну 1/2

Розглянемо функцію розподілу Ферми стосовно до металів. Відповідно до зонної теорії, остання дозволена зона металу заповнена електронами не цілком. При абсолютному нулі електрони повинні заповнити всі рівні, що відповідають мінімальним значенням енергії. Значення функції розподілу для всіх заповнених рівнів дорівнює одиниці. Останнім заповненим рівнем є рівень Ферми. Це значить, що енергія рівня Ферми - це максимальна енергія, що можуть мати електрони металу при абсолютному нулі. Усі рівні, розташовані вище рівня Ферми, мають функцію імовірності заповнення, різну нулю. При підвищенні температури частина електронів переходить на більш високі енергетичні рівні. У результаті переходів частина рівнів, що знаходяться нижче рівня Ферми, виявиться вільної, а частина рівнів, що знаходяться вище рівня Ферми, - зайнятої. , Якщо зробити кількісний підрахунок значень функції імовірності, можна переконатися в тім, що імовірність заповнення станів помітно відрізняється від одиниці і від нуля лише в межах (2/3 ) k від рівня Ферми. Середнє значення функції імовірності, для цих рівнів дорівнює 1/2

Функція Ферми є симетричної, оскільки при переходах кількість електронів, що перейшли на більш високі рівні, дорівнює числу енергетичних станів, що звільнилися.

Графік функції розподілу для металів при двох різних значеннях температури показаний на мал. 3.15. Чим вище температура, тим ширше область переходу електронів і тем ширше область рівнів із середньою функцією імовірності, рівної 1/2

63

З розглянутого видно, що властивості електронного газу в металі принципово відрізняються від властивостей ідеального газу. Основна відмінність полягає в незалежності енергії вільних електронів у металі від температури. У табл. 3.1 приведені значення енергії рівня Ферми для деяких металів. Середня енергія теплових коливань атомів при кімнатній температурі складає близько 0,04 ев, тобто значно менше, ніж енергія електронів, що знаходяться в зоні провідності. Енергія електронів у металі ТОМУ практично не змінюється. Такий стан електронів

, коли їхня енергія практично не залежить від температури, називається вырожденным.

За допомогою статистики Ферми можна подібним чином визначити імовірність заповнення електронами рівнів зони провідності і валентної зони.

При абсолютному нулі валентна

зона цілком заповнена електронами і, отже, функція імовірності заповнення рівнів валентної зони дорівнює одиниці. Це означає, що валентна зона розташовується нижче рівня Ферми. Зона провідності при абсолютному нулі вільна, тобто fe=0, і, отже, зона провідності розташовується вище рівня Ферми. Звідси можна зробити висновок, що в беспримесном напівпровіднику рівень Ферми розташований у забороненій зоні, поблизу її середини.

З підвищенням температури, під дією теплових коливань, частина електронів закидається з валентної зони в зону провідності. У зоні провідності з'являються рівні з імовірністю заповнення, відмінної від нуля, а у валентній зоні - з імовірністю, відмінної від одиниці.

Переходи електронів можуть здійснюватися тільки на рівні, розташовані близько до "дна" зони провідності, і з рівнів, близько розташованих до "стелі" валентної зони. Підраховано,

64

що в інтервалі 4 кт від дна зони провідності розташовується приблизно 98% всіх електронів, що перейшли. Графіки розподілу функції Ферми для напівпровідника при двох температурах приведені на мал. 3.16.

Системи часток можуть бути вырожденными і невырожденными.

Це залежить від співвідношення числа часток і числа можливих енергетичних станів у системі. Якщо число станів набагато більше числа часток, то систему називають невырожденной. У звичайних напівпровідниках у зоні провідності на мале число електронів приходиться велика кількість енергетичних рівнів, тому напівпровідники відносяться до невырожденным систем.

У вырожденных системах число часток порівнянне з числом енергетичних станів. Електронний газ у металах вырожден. Ступінь виродження системи електронів визначається їхньою концентрацією і температурою. Збільшення концентрації електронів у зоні провідності напівпровідника до величини 1019-1020 см~3 приводить до виродження напівпровідника.

Контрольні питання і задачі

1. Чому при утворенні твердого тіла енергетичні рівні ізольованого атома розщеплюються в енергетичні зони?

2. Чи всі рівні ізольованого атома розщеплюються в зони?

3. Чи завжди відповідає заповнення енергетичних зон заповненню енергетичних рівнів?

4. Як змінюється ширина дозволених і заборонених зон нагору по енергетичній шкалі?

5. Скільки електронів буде знаходитися в зоні Зр, якщо в ізольованого атома розподіл електронів по енергетичних станах наступне: 1s2 2s2 2р6 3s23р4?

6. Чи зміниться заповнення дозволених зон електронами при зміні температури?

7. Чи можна визначити по розподілі електронів по енергетичних рівнях в ізольованому атомі, до якого класу буде відноситися тверде тіло, утворене з цих атомів?

8. Як експериментальним шляхом визначити, чи буде дане тіло чи напівпровідником діелектриком?

9. Якби ідеальний газ складався тільки з електронів, то якій статистиці піднявся б розподіл електронів по енергетичних станах?

10. Чи зміниться величина хімічного потенціалу, якщо число часток системі залишиться постійним, але зміниться обсяг системи?

11. Чи можливо взаємне перетворення бозонов у фермионы і назад?

65

12. Чи можуть усі рівні зони провідності металу мати функцію імовірності, рівну 1/2?

13. Функція імовірності рівня Ферми дорівнює 1/2. Чи означає це, що на рівні Ферми знаходиться лише один електрон?

РОЗДІЛ 4

ЕЛЕКТРОПРОВІДНІСТЬ ТВЕРДИХ ТІЛ

Blog

Содержание