Geum.ru

Сервер Методического Обеспечения вгуэс

Вид материалаРеферат

Содержание


А называется областью отправления F
F называется взаимооднозначным
F, но также множества А
Сужением отображения F
Обратным отображением
Подобный материал:
1   ...   14   15   16   17   18   19   20   21   22

§10. Отображения

  • Определение 1


    Отношение называется функциональным, если выполняется условие однозначности: для любых и , если , , то .

    Функциональные отношения называются отображениями, функциями, соответствиями. Для отображения используют запись . О некоторых других обозначениях отображения будет сказано ниже.

    1. Задачи


    1. Найти все функциональные отношения порядка.

    2. Найти все функциональные отношения строгого порядка.

    3. Найти все функциональные отношения строгого линейного порядка.

    4. Найти все функциональные отношения эквивалентности.

    Отметим, что, несмотря на кажущуюся сложность, все эти задачи решаются весьма просто. Например, в первой и четвертой задачах ответом является отношение равенства на A: , которое определяется условием: тогда и только тогда, когда .

    1. Определение 2


    Пусть , тогда множество А называется областью отправления F, а B – областью прибытия отображения F. Если пара , то мы пишем . В этом равенстве элемент называется образом элемента , а элемент называется прообразом элемента .

    1. Определение 3


    Пусть .

    а) Множество : существует , такой, что называется областью определения F и обозначается ;

    б) Множество : существует , такой, что называется областью значений F и обозначается .

    1. Определение 4


    Отображения и называются равными, если:

    1) ;

    2) для любого .

    1. Определение 5


    Пусть .

    а) Если , то множество называется образом множества X при отображении F;

    б) если , то называется прообразом множества Y при отображении F.

    1. Теорема 6


    Пусть и , тогда .

    • Доказательство


    Пусть . Это значит, что существует , такой, что . Если , то , следовательно, . Аналогично рассматривается случай . Итак мы доказали, что .

    Теперь пусть . Возьмем для определенности , значит, существует , такой, что . Из того, что , следует , значит, . Аналогично рассматривается случай . Итак, . Поэтому .

    1. Теорема 7


    Пусть и , тогда (Словами: прообраз объединения равен объединению прообразов).

    • Доказательство


    Возьмем , это значит, что , то есть или . Если , то по определению прообраза , значит, . Аналогично, если , то . Мы доказали, что

    .


    Докажем включение в другую сторону.


    Возьмем , значит, или . Если , то , следовательно, , поэтому . Аналогично рассматривается случай . Значит,

    .


    Два доказанных включения дают требуемое равенство

    .


    Теорема доказана.

    1. Теорема 8


    Пусть и , тогда .

    • Доказательство


    Возьмем . По определению образа множества это значит, что существует , такой, что . Из того, что , следует, что , значит, и , то есть . Мы доказали, что

    .


    Построим пример, который показывает, что обратное включение, а значит, и равенство, здесь не выполняется. Возьмем . В качестве множества возьмем , . Очевидно, что , , значит и . Далее, , поэтому . Ясно, что в этом случае .

    1. Теорема 9


    Пусть и , тогда .

    • Доказательство


    Пусть , то есть , значит, , поэтому и, наконец, .

    Итак, .

    Теперь возьмем , отсюда , значит, и , то есть , следовательно, . Поэтому . Полученные включения и доказывают равенство: .

    1. Определение 10


    Пусть и . Суперпозицией отображений G и F называется отображение , которое определяется следующими условиями:

    1) ;

    2) ;

    3) для любого .

    Суперпозиция отображений называется еще композицией, или функциональным произведением отображений G и F, или сложной функцией .

    1. Теорема 11


    Если , , , то (ассоциативность суперпозиции).

    • Доказательство


    Легко заметить, что композиция отображений есть частный случай произведения бинарных отношений. Поскольку для произведения бинарных отношений ассоциативный закон выполняется, то и для композиции отображений он тоже выполняется.

    1. Определение 12


    Пусть .

    1) Отображение F называется взаимооднозначным (или одно-однозначным), если для любых из А . Другими словами, разные элементы из области определения имеют разные образы.

    Обозначение .

    Такие отображения называются еще вложениями.

    2) Отображение называется отображением "на", если для любого существует , такой, что , то есть для любого имеется в А его прообраз.

    Обозначение ;

    3) Отображение , которое является одновременно и взаимооднозначным и "на", называется биекцией и обозначается .

    1. Пример 1


    Пусть , тогда является биекцией.

    1. Пример 2


    Пусть , тогда не является взаимно-однозначным и не является отображением "на". Если же записать для следующее: , то это отображение становится уже отображением "на", не являясь взаимооднозначным. Если же здесь записать , то это отображение является биекцией.

    1. Пример 3


    Пусть .

    не является взаимооднозначным и не является "на".

    является взаимооднозначным, но не является "на".

    является отображением "на", но не является взаимнооднозначным.

    является биекцией.

    Приведенные примеры отображений показывают, что в этой записи большую роль играет не только структура операции F, но также множества А и В.

    Весьма большую роль играет понятие "сужения" отображения.

    1. Определение 13


    Пусть , причем . Сужением отображения F на множество М называется отображение , которое определено условиями:

    1) ;

    2) для любого .

    1. Определение 14


    1) Пусть  – биекция. Обратным отображением к отображению называется отображение, которое определяется условиями:

    а) ;

    б) ;

    в) для любого .

    2) Отображение определяется следующими условиями:

    а) ;

    б) для любого .

    называется единичным или тождественным отображением на А.

    Для введенных в определение 14 понятий выполняются свойства, которые мы сформулируем и докажем в теореме.

    1. Теорема 15


    Пусть  – биекция, тогда:

    1) тоже биекция;

    2) ;

    3) ;

    4) ;

    5) ;

    6) .

    • Доказательство


    1. Докажем, что взаимнооднозначно. Пусть , тогда , но, по определению отображения, образ у любого аргумента х при F определен однозначно (свойство однозначности отображений). Поэтому . Докажем, что отображает В "на" А. Пусть , тогда (по определению ) , то есть любой элемент из А имеет прообраз при .

    2. Возьмем произвольный элемент и пусть , тогда , то есть , то есть для любого , значит, .

    3. Аналогично 2.

    4. Пусть и , тогда или для любого , значит, .

    5. Аналогично 4.

    6. .

    Следовательно, .

    Следовательно, , то есть .

    Возьмем и пусть , тогда и вновь, применяя определение обратного отображения, получаем , то есть для любого , поэтому .

    1. Примеры обратных отображений


    1. есть биекция между замкнутыми промежутками и . биективно отображает на .

    2. биективно отображает открытый промежуток на R. Функция есть биекция между R и .

    3. есть биекция множества на себя. Обратная функция есть также биекция множества на себя.

    1. Теорема 16


    Пусть и  – биекции, тогда:

    1) отображение является биекцией;

    2) .

    • Доказательство


    1) Докажем, что есть отображение "на". Возьмем элемент . Так как G есть отображение "на", то существует , такой, что . В свою очередь, так как F есть отображение "на", то существует , такой, что , поэтому , то есть есть отображение "на". Докажем, что является взаимооднозначным. Возьмем и , тогда и в силу взаимной однозначности F. Так как G взаимооднозначно, то , поэтому , то есть взаимооднозначно, а поэтому является биекцией.

    2) отображает множество А на множество С, значит, отображает С на А, то есть . отображает С на В, отображает В на А, поэтому отображает С на А, то есть .

    Возьмем и пусть . Отсюда следует . Пусть , то есть , отсюда , то есть , отсюда . Таким образом, . Но отображение является взаимооднозначным, поэтому из равенства следует равенство . Мы доказали, что для любого , то есть .

    Теорема доказана.

    И, в заключение параграфа, определим на множестве отображений теоретико-множественные операции.

    1. Определение 17


    а) Пусть . Отображения и называются согласованными, если для любого .

    б) Пусть дано семейство отображений . Семейство называется согласованным, если отображения попарно согласованы, то есть для любых и для любого

    .


    Отметим, что если области определения попарно не пересекаются, то семейство отображений согласовано.

    1. Определение 18


    а) Пусть  – согласованные отображения. Тогда отображение определяется условиями:

    1) ;

    2) для любого

    .


    Отображение определяется условиями:

    1) ;

    2) для любого .

    Согласованность гарантирует корректность определений и .

    б) Пусть  – семейство согласованных отображений, тогда есть отображение, определяемое условиями:

    1) ;

    2) для любого , если .

    Отображение определяется условиями:

    1) ;

    2) для любого , где  – произвольный индекс из .

    Опять же, согласованность гарантирует корректность этих определений.

    1. Пример


    Пусть ,. , .

    Отметим, что и согласованы, так как , и согласованы, так как и и согласованы, так как и , . Итак, семейство отображений , , согласовано.

    Построим график отображения . Отметим, что , то есть отображение всюду определено.

    Строим график:


    • ЛИТЕРАТУРА


    1. Гильберт Д., Бернойс П. Основания математики. – М.: Наука, 1979.

    2. Горбатов В.А. Основы дискретной математики. – М.: Высшая школа, 1986.

    3. Мальцев А.И. Алгебраические системы. – М.: Наука, 1970.

    4. Мендельсон Н. Введение в математическую логику. – М.: Мир, 1974.

    5. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. – М.: Наука, 1979.