Сервер Методического Обеспечения вгуэс

Вид материала

Реферат

Содержание 3. Индуктивный переход

Подобный материал:

• Дипломная работа студента 545 группы, 334.18kb.
• Т. Н. Коржавина Принципы организации службы научного и методического обеспечения колледжа, 47.35kb.
• «sql*net», 239.02kb.
• Генезис развития теории и методики программно-методического обеспечения обучения, 145.89kb.
• Прозрачный прокси сервер на базе squid, ipfw и Freebsd, 8.5kb.
• Доклад «Три кита школьного образования: стандарты, учебники, егэ», 116.02kb.
• Справка по результатам самоаттестации методического объединения учителей русского языка, 447.26kb.
• Большой Сервер Недвижимости 31. 05. 2008: программа, 1328.13kb.
• Т. Г. Римская научный редактор, к и. н., доцент, директор филиала вгуэс в г. Находке, 2476.8kb.
• Владивосток: Изд-во вгуэс, 2005., 1071.2kb.

. (2)

3. Индуктивный переход: докажем равенство (1) при , то есть докажем, что . В самом деле, . Здесь мы применили индуктивное предположение. Далее , что и требовалось доказать.

На основании ММИ равенство (1) верно при любом .

Символом обозначается произведение , где . Например, . По определению полагают .

1. Пример 2

Доказать, что для любого

. (3)

• Доказательство

1. Базис индукции: проверим утверждение (3) при . ЛЧ= , ПЧ= . Базис индукции доказан.

2. Индуктивное утверждение: допустим, (3) верно при , то есть допустим:

. (4)

3. Индуктивный переход: докажем (3) при , используя (4), то есть докажем, что

.

В самом деле,

.

1. Пример 3

Доказать, что для любого делится на 9. (5)

• Доказательство

1. Базис индукции: проверим (5) при . ЛЧ=4+15-1=18 делится на 9.

2. Индуктивное предположение: допустим, (5) выполняется при , то есть делится на 9. (6)

3. Индуктивный переход: докажем (5) при , используя (6), то есть докажем, что делится на 9.

.

Первая скобка делится на 9 по индуктивному предположению. Осталось доказать, что второй слагаемый делится на 9, то есть надо доказать, что делится на 3. Это утверждение мы будем доказывать методом математической индукции, то есть нам придется применять "индукцию в индукции". При m=1 4+5=9 делится на 3. Допустим, делится на 3. Докажем, что делится на 3, но . Первый слагаемый делится на три по индуктивному предположению, а второе – очевидно. Таким образом, мы доказали, что делится на 3, а вместе с этим, что делится на 9.

Теперь сформулируем несколько утверждений, эквивалентных ММИ.

1. Теорема 2

Пусть множество обладает следующими свойствами.

1. .

2. Для любого , если , то .

Тогда .

1. Теорема 3 (возвратный ММИ)

Пусть свойство Р(n) выполняется при n=1 и из того, что оно верно для любого , следует, что Р верно при n. Тогда Р верно при любом натуральном n.

И последнее. Индуктивный процесс не обязан начинаться с 1. В качестве базиса индукции может выступать любое целое число a.

1. Теорема 4

Пусть свойство P(n) выполняется при n=a и из истинности его для любого следует истинность для k+1. Тогда P(n) истинно для любого целого .

1. §2. Доказательство неравенств ММИ. Неравенство Коши

2. Пример 1

для любого .

• Доказательство

При n=1 неравенство очевидно: 2>1. Допустим, . Докажем, что . В самом деле, , так как по индуктивному предположению и  – очевидное неравенство.

1. Пример 2

для любого натурального .

• Доказательство

При n=5 получаем верное неравенство 32>25. Допустим, неравенство верно при , то есть . Докажем, что . Это неравенство равносильно . Если мы докажем, что , то будет доказано и исходное неравенство. Неравенство доказываем индукцией (индукция в индукции). При имеем верное неравенство . Допустим, неравенство верно при , то есть . Докажем при , то есть докажем, что или . Очевидно, что это неравенство верно в силу индуктивного предположения.

1. Теорема 1 (неравенство Коши-Буняковского)

Для любых чисел