Книги по разным темам Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |   ...   | 20 |

получаемых при подборе второй модели. Тогдапеременные и, принимающие значения и соответственно,, можноинтерпретировать, как результат лочистки переменныхE и H от линейного тренда вовремени. Соответственно, листинная линейная связьмежду переменными E иH, если таковая имеется,должна, скорее всего, измеряться коэффициентом корреляции междулочищенными переменными и.

Подобранная линейная связь междуи имеет вид

при этом получаем значение

против значения в модели слнеочищенными переменными. Kоэффициент корреляции между лочищеннымипеременными и

почти вдвое меньше коэффициентакорреляции между неочищенными переменными EиаH.

Коэффициент корреляции междулочищенными переменными и называется частным коэфициентомкорреляции междупеременными E иH при исключении влияния наних переменной.

В дальнейшем мы покажем, что значениепри слишком мало для того, чтобы можно было отвергнуть гипотезу о том,что коэффициент при в линейной модели связи

в действительности равен нулю.

1.9. ПРОЦЕНТНОЕ ИЗМЕНЕНИЕ ФАКТОРОВ
В ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИСВЯЗИ

Вернемся к примеру с совокупнымрасполагаемым доходом (DPI) и совокупнымирасходами на личное потребление (С) и будем использовать для анализа дефлированные данные, принимаяза базовый 1972агод.

Мы подобрали по таким данным за1970—1979агоды модельлинейной связи

(мы здесь округлили полученные ранеезначения до сотых долей). В соответствии с такой моделью, увеличение реальногосовокупного располагаемого дохода на 1амлрд. долларов (в единицах 1972аг.)приводит к увеличению совокупного личного потребления на 980амлн. долларов(остальные 20амлн. долларов сохраняются в виде сбережений). Разумеется, имеетсяв виду только тенденция;ежегодные реальные цифры будут отличаться от предсказываемых моделью.Величина оценивает склонность кпотреблению по отношению красполагаемому доходу (propensity toconsumption).

Зададимся теперь таким вопросом:на сколько процентов изменится совокупный объем потребления при увеличении совокупногорасполагаемого дохода на 1% (опять имеем в виду дефлированные величины)

Итак, предположим, что совокупныйрасполагаемый доход, имевший значение, увеличился на один процент и стал равным, где — абсолютное приращение совокупного располагаемого дохода, такчто

откуда. Такомуабсолютному приращению совокупного располагаемого дохода соответствует всреднем абсолютное приращение совокупных расходов на потребление

что соответствует процентному изменению совокупныхрасходов на потребление, равному

Мы видим, что при увеличении на 1%,процентное изменениеоказывается различным изависит от того, каким было исходное значение. При оно даже становитсяотрицательным, а при изменяется, уменьшаясь от до. Если бы у насзначение параметра было положительным, то тогда

и процентное изменение совокупных расходовна потребление возрастало бы от до при увеличении от до.

Впрочем, в интервале наблюдавшихсязначений в период с 1970апо 1979агод величина изменяетсянезначительно: от значения

до значения

Обратимся еще раз к примеру с безработицей.В этом примере мы подобрали модель

где — процент безработных среди белогонаселения США, а — процент безработных среди цветного населения США.

В соответствии с этой моделью, есликоличество безработных среди цветного населения вырастет с % до%, то количествобезработных среди белого населения вырастет (лв среднем) с % до %.

В то же время, если речь идет оботносительном ростебезработицы, то при увеличении доли безработных среди цветного населения на 1%, доля безработных средибелого населения возрастает на

процентов. Значения изменяются на периоде наблюденийот до, так что последнее отношение изменяется от

до

В примере с куриными яйцами (SPROS — спрос, CENA— цена)

Увеличение цены на 1% приводит к возрастаниюцены (в долларах) на

Это, в свою очередь, приводит изменениюспроса (в среднем) на

т. е. к уменьшению спроса (в среднем) надюжин, что составляет

процентов.

В диапазоне цен от $0.39 до $0.54последняявеличина изменяется от до, что говорит о неэластичном (по цене) спросе. Последнее означает, что убытки от продажи яиц поболее низкой цене не перекрываются дополнительным доходом от возрастания объемареализации: объем реализации возрастает, но в недостаточнойстепени.

В то же время, в примере с совокупнымрасполагаемым доходом и совокупными расходами на личное потребление расходы напотребление формально оказываются эластичными по располагаемому доходу (при изменении совокупного располагаемогодохода на 1% совокупные расходы на личное потребление изменяются в среднемболее, чем на 1%).

1.10. НЕЛИНЕЙНАЯ СВЯЗЬ МЕЖДУПЕРЕМЕННЫМИ

Разумеется, связь между конкретнымиэкономическими факторами вовсе не обязана быть линейной.

Например, если мы рассматриваем зависимостьот располагаемого дохода не всех затрат на личное потребление, алишь затрат на некоторый продуктпитания (или группу продуктов питания), например, накуриные яйца, то уже по чисто физиологическим причинам функциясвязи

скорее всего, должна замедлять свой рост при возрастании, так что возможный графикэтой функции имеет вид

В такой ситуации нельзя говорить осклонности к потреблению данного продукта как опостоянной величине. Вместо этого, в рассмотрениевводят понятие предельной (marginal)склонности к потреблению(MPC), которая для заданной величины располагаемого дохода определяетсяформулой

Иначе говоря,

Замедление скорости роста функциисоответствует убыванию свозрастанием. Уточняяпредположения о поведении, можно получить ту или иную форму связи между переменнымии.

Среди прочих возможных форм связимежду и отметимстепенную связь

в которой. Для такой связи

так что предельная склонность к потреблениюмонотонно убывает с ростом.

Степенную форму связи можно привести клинейной форме, если вместо уровней дохода и расходов на потреблениерассмотреть логарифмы уровней по какому-нибудь (но одному и тому же!) основанию (например,натуральные или десятичные логарифмы).

Действительно, переходя к логарифмамуровней, получаем соотношение

или, обозначая

инейной модели связи в логарифмахсоответствует линейная модель наблюдений

которую мы уже умеем оценивать.

Заметим, что коэффициент в последних выражениях есть не что иноекак

эта величина не зависит от выбора основаниялогарифмов, так что

где используются натуральные логарифмы.

Вообще, если мы имеем связь между какими-топеременными экономическими факторами ив виде

то мы определяем функцию

как предельнуюсклонность Y по отношению каX.

В экономической теории существенную рольиграет функция эластичности, определяемая как предел

отношения процентного изменения к процентному изменению, когда последнеестремится к нулю. Правуючасть последнего соотношения можно записать в виде

Заметим также, что

так что

Значение равно угловому коэффициентукасательной к графику функции при, тогда как значение равноугловому коэффициенту касательной к графику зависимости от при.Как следствие, условие постоянства, т. е.,означает линейную связьмежду уровнями факторов

а условие постоянстваэластичности означаетлинейную связь между логарифмами уровней

соответствующую степенной связи междууровнями

выражающей степенное возрастание (при ) илиубывание (при ) уровней фактора при возрастании уровней фактора.

Заметим, что если, то эту постоянную можнотрактовать как процентное изменение уровняфактора при изменении факторана 1%.

Отметим также, что в модели функцияэластичности имеет вид

и при возрастает от до свозрастанием значений от до. Если, то. При функция эластичности убывает от до, когда изменяется отдо.

К линейной форме связи можно привести инекоторые другие виды зависимости, характерные для экономическихмоделей.

Так, если — объем плановых инвестиций,а — нормапроцента, то между ними существует связь, которая иногда может быть выражена вформе

и имет графическое представление

Заменой переменной приводим указанную связь к линейнойформе В этой модели эластичность по отрицательна и меньше единицы по абсолютной величине:

(лобъем плановых инвестиций неэластичен по отношению к нормепроцента).

В моделях доход — потребление, относящихся кпотреблению продуктов питания, линейная модель в логарифмах уровней, выражающая уменьшение свозрастанием, все жене всегда удовлетворительна, поскольку эластичность в такой моделипостоянна. Опять же по чисто физиологическим причинам,скорее более подходящей будет модель связи с убывающей (в конечном счете)эластичностью. Такого родасвязь между факторами и можетиметь вид

(См. следующий график, построенный приα = 5, β = 10.)

Действительно,

однако, здесь возникают проблемы сотрицательными значениями прималых значениях.

Последнего недостатка нет вмодели

т. е.

(График построен при значениях α =0.1, β =1.) Здесь

(закон Энгеля убывания эластичностипотребления продуктов питания по доходу).

Обе последние модели сводятся к линейнойформе связи путем перехода от уровней переменных к их логарифмам или обратнымвеличинам.

Замечание

Если исследователь принимает модельнаблюдений

то тем самым, он соглашается тем,что

или

т. е. соглашается с мультипликативным вхождением ошибок в нелинейное уравнение для.

В то же время, не исключено, что по существудела модель должна иметь вид

т. е. имеет аддитивные ошибки. В последнем случаевзятие логарифмов от обеих частей не приводит клинейной модели наблюдений. В такой ситуации оценкинаименьших квадратов параметров иприходится получать итерационными методами, в процессереализации которых производится последовательноеприближение к минимумусуммы квадратов

1.11. ПРИМЕР ПОДБОРА МОДЕЛЕЙ НЕЛИНЕЙНОЙСВЯЗИ, СВОДЯЩИХСЯ К ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ.

Суть политики Кеннеди-Джонсона (Джон Кеннеди— президент США с1961апо 1963аг., Линдон Джонсон — президент США с 1963апо 1969аг.) состояла в сокращении налогов,увеличении расходов на оборону и ускорении роста количества денег в обращении.Предполагалось, что это вызовет оживление экономики США и будет способствоватьснижению нормы безработицы (т. е. доли безработных в общей численности рабочейсилы). Ожидалось также, что возрастание темпов инфляции будет при этом не оченьсильным.

Рассмотрим прежде всего диаграмму рассеяниядля переменных UNJOB(процент безработных в общей численности рабочей силы)и INF (темп инфляции):

Облако рассеяния довольно округло, и этосогласуется с весьма низким значением коэффициента детерминации, получаемымпри подборе модели линейной зависимостиот.

Форма облака рассеяния не указывает и накакой-либо другой тип зависимости между этими двумя переменными на периоденаблюдений с 1958апо 1984агод.

В то же время, в период с 1961апо 1969агод наблюдалась следующаякартина.

Год	1961	1962	1963	1964	1965	1966	1967	1968	1969
INF	1.0	1.1	1.2	1.3	1.7	2.9	2.9	4.2	5.4
UNJOB	6.5	5.4	5.5	5.0	4.4	3.7	3.7	3.5	3.4

Характер диаграммы рассеяния явно указываетна наличие нелинейной связимежду рассматриваемыми переменными в период с1961апо 1969агод (криваяФиллипса). Изображенная на диаграмме прямая,подобранная методом наименьших квадратов, очевидным образом не соответствует характеру статистических данных, хотя значение коэффициента детерминации и представляетсядостаточно высоким. (Позднее мы сможем более квалифицированно говорить о том,действительно ли получаемое при подборе модели значение коэффициентадетерминации достаточно велико.) В связи с этим, при подборе моделей к реальнымстатистическим данным следует обращать вниманиене только на коэффициент детерминации, но и(обязательно!) на соответствие подобранной модели характеру статистическихданных. Далее мы специально обсудим эту проблему, известную как проблема адекватности полученной моделиимеющимся статистическм данным.

Поскольку, на первый взгляд, расположениеточек напоминает график обратной пропорциональнойзависимости, можно попробовать рассмотреть модельнаблюдений

соответствующую линейной связи междупеременными и.Подбор такой связи приводит к модели

с достаточно высоким коэффициентомдетерминации. Однако, характер диаграммы рассеяния переменных и

указывает на неадекватность и этоймодели.

Обратившись еще раз к диаграмме рассеянияисходных переменных и (для данных за 1961—1969агоды), можно заметить, что криваязависимости от по-видимому имеет вертикальную асимптоту. Учесть последнееобстоятельство можно в рамках моделиMichaelis-Menton

которую можно преобразовать квиду

учитывающему наличие и вертикальной и горизонтальной асимптот.Такая модель связи линеаризуется переходом к обратным величинам,.Действительно, тогда

где

Диаграмма рассеяния для обратных величин, имеет вид

Теперь уже точки на диаграмме рассеяниявесьма хорошо следуют прямой линии, подобранной методом наименьшихквадратов:

. Здесь, так что,, и оцененнаямодель Michaelis-Menton имеет вид

Модель Michaelis-Menton хороша тем, чтоучитывает наличие асимптот и линеаризуется. С другой, стороны, она являетсялишь частным случаем болееобщей модели связи

с тремя свободно изменяющимисяпараметрами. Действительно, в модели Michaelis-Menton

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |   ...   | 20 |    Книги по разным темам