Лекция по рычажным передачам альфред брей кемпе (alfred bray kempe)

Вид материала

Подобный материал:

КАК ПРОВЕСТИ ПРЯМУЮ ЛИНИЮ?

ЛЕКЦИЯ ПО РЫЧАЖНЫМ ПЕРЕДАЧАМ

АЛЬФРЕД БРЕЙ КЕМПЕ (ALFRED BRAY KEMPE),

ИЗ INNER TEMPLE, ЭСКВАЙР;

ЧЛЕН СОВЕТА ЛОНДОНСКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЩЕСТВА;

И СТИПЕНДИАТ КОЛЛЕДЖА ТРОИЦЫ (КЕМБРИДЖ).

Лондон:

Издательство MACMILLAN AND CO.

1877.

ЗАМЕЧАНИЕ.

Эта лекция является одной из серии лекций, прочитанных преподавателям науки прошлым летом в связи с выставкой научных приборов. Я воспользовался возможностью, предоставленной публикацией лекции, чтобы немного увеличить ее и добавлять несколько примечаний. Рисунки выполнил мой брат, господин Х.Р. Кемпе (H.R. Kempe), без обширной и неутомимой работы которого по созданию рисунков и моделей, предоставленных мной на выставке экспонатов, я едва ли прочитал бы эту лекцию, а тем более не стал бы публиковать ее.

7, Crown Office Row, Temple,

16 января 1877 г.

Великий геометр Евклид перед демонстрацией нам различных предложений, содержавшиеся в его “Элементах геометрии”, потребовал, чтобы мы могли осуществлять некоторые процессы. Эти постулаты, как он назвал эти требования, могут требовать, чтобы мы могли строить прямые линии и окружности. И столь велико оказалось почитание этого мастера геометрии, что многие отказались бы от обозначения "геометрической" для демонстрации, которая требует какого-либо построения, кроме как с помощью прямых линий и окружностей. Отсюда возникает много проблем, например, деление угла на три равные части, который легко решаются с помощью других простых средств, в этом случае говорят, что проблемы не имеют геометрического решения, поскольку их нельзя решить только с помощью прямых линий и окружностей.

Рассмотрим вопрос, как можно выполнить эти предварительные требования, как можно построить такие круги и прямые линии, с такой точностью, которые определяются только физическими обстоятельствами проблем.

Что касается окружности, то никаких проблем не возникает. Пользуясь определением Эвклида и предполагая, что та поверхность, на которой требуется построить окружность, была плоской, (1)1??, то видно, что требуется только, чтобы точка, в которой закреплен чертежный прибор, перемещалась при сохранении расстояния от данного центра окружности постоянным и равным требуемому радиусу. Это легко сделать, если взять плоскую деталь любой формы, например, деталь из картона, который я использую здесь, создавая центр, который зафиксирован на данной поверхности в данном центре с помощью отверстия в этой детали. Вставляя чертежный прибор или карандаш в другое отверстие в этой детали, расстояние от которого до первого отверстия равно данному радиусу; перемещая карандаш даже с помощью этого грубого аппарата, мы строим окружность весьма точно и просто; а при использовании очень малых отверстий и центров, или даже больших отверстий и центров, выточенных со столь высокой точностью, которую можно обеспечить с помощью токарного станка, возможно, получается результат, наилучший среди любых механических аппаратов по гладкости и точности движения. Разумеется, описанный выше аппарат, представляет собой только простую форму циркуля, и обычно говорят, что третий постулат постулирует циркуль.

1 Эти рисунки относится к Примечаниям, приведенным в конце лекции.

Но как построить прямую линию? Евклид определяет ее как “лежащую ровно между своими крайними точками”. От этого мало пользы. В наших учебниках написано, что первый и второй постулаты постулируют линейку (2). Однако здесь возникает вопрос. Если строить прямую линию с помощью линейки, то сама линейка должна иметь прямой край; а как сделать этот край прямым? Мы возвращаемся к исходной точке.

Теперь нам необходимо точно понять различие между методом, который я сейчас использовал для построения окружности, и методом использования линейки для построения прямой линии. Если использовать метод линейки при построении окружности, то нужно взять круглый тонкий предмет, например, монету достоинством в один пенс, и построить окружность, обводя карандашом вокруг его края, при этом возникает та же самая проблема, которая уже возникла с прямым краем, поскольку сначала придется сделать сам тонкий предмет круглым. Но мы использовали другой метод, при котором эта проблема не возникает. Я не предполагаю изначально, что у меня имеется окружность, и не использую ее затем для построения окружности, я просто требую, чтобы расстояние между двумя точками не изменялось. Разумеется, я знаю, что на самом деле в простом циркуле используем круги, центр и отверстие в используемой подвижной детали являются кругами; но они используются не потому, что они являются теми кривыми, которые требуется построить (это не так, у них другие размеры), как в случае с прямым краем, но поскольку невозможно получить центр или отверстие с бесконечно малыми размерами, мы вынуждены принять наилучшую возможную замену того, что одна точка в двигающейся детали остается на одном месте. Если использовать очень маленький центр и очень маленькое отверстие, то даже если они не идеально круглые, то ошибка в построении круга разумного размера будет фактически бесконечно мала, возможно, она не превысит ширину самой тонкой линии, которую можно построить с помощью чертежный прибора; и даже если использовать большие центры и отверстия, то можно получить столь же точные результаты, потому что эти центры и отверстия можно сделать с помощью очень малых центров и отверстий в той машине, с помощью которой они сделаны.

Из этого следует, что существует простой и точный способ построения окружности, но на первый взгляд нет соответствующих средств для построения прямой линии, и, казалось бы, сложно построить то, что математики называют простейшей кривой, поэтому вопрос преодоления этого затруднения приобретает несомненный теоретический интерес.

Этот интерес не является чисто теоретическим, поскольку этот вопрос важен для механика-практика. В большом количестве машин и научных аппаратов необходимо, чтобы некоторая точка или точки перемещались точно по прямой линии с минимальным трением. Если принять принцип линейки и если точка удерживается на своем пути направляющими, то помимо первоначальной трудности создания действительно прямых направляющих имеет место износ при трении скользящих поверхностей и деформация, возникающая вследствие изменения температуры и переменных напряжений. Поэтому важно получить некоторый метод (если это возможно), при котором не возникают указанные выше нежелательные моменты, который обеспечит точность и простоту движения, присущие аппарату, использованному ранее для построения окружности.

Что касается этого аппарата, то для точного построения окружности любого данного радиуса необходимо только должным образом определить расстояние между центром и чертежным прибором. Если закрепить центр второй "детали" на неподвижной поверхности в другой точке, и на этой детали имеется чертежный прибор, как и на первой детали, то определяя расстояние между вторым чертежным прибором и центром, можно построить вторую окружность, радиус которой имеет произвольное отношение к радиусу первой окружности. Теперь, удаляем эти чертежные приборы, позвольте мне прикрепить третью деталь к этим двум так называемым поворотным деталям, с помощью центров, находящихся в точках установки чертежных приборов, и установим чертежный прибор в любой точке на этой третьей пересекающей детали. Если радиальные детали достаточно велики и перемещаются, то сразу видно, что чертежный прибор рисует на них окружности или части окружностей столь же просто и точно, как и в случае простого аппарата для построения окружности; но чертежный прибор будет строить на неподвижной поверхности не окружность, а сложную кривую.

Рис. 1

Во всех случаях эта кривая будет строиться с той же точностью, с которой ранее стоились окружности, и если требуется построить с помощью второго аппарата кривые, которые были построены с помощью первого аппарата, то достаточно только обеспечить в обоих случаях точно одинаковые расстояния между центрами и чертежными приборами, тогда и кривые также будет точно такими же. Разумеется, можно произвольно добавлять новые детали, при этом должны получаться точки на полученном устройстве, которые в общем случае описываются очень сложными кривыми, с сохранением показателей по точности и гладкости, причем воспроизведение любой данной кривой зависит только от правильного определения некоторого определенного количества расстояний.

Эти системы, построенные из деталей, которые скреплены в отдельных точках с помощью центров, и которые вращаются вокруг центров, прикрепленных к неподвижной опоре, так, чтобы все точки деталей описывали определенные кривые, будут называться "кулисными механизмами" (link-motions), при этом детали называются "звеньями" (links). Однако поскольку иногда намного проще рассматривать свойства этих структур безотносительно к основанию, к которому они прикреплены с помощью центров, слово "рычажная передача" (linkage) используется для обозначения любой комбинации деталей, которые скреплены с помощью центров. Если такая комбинация прикреплена к неподвижному основанию, причем движение точек по ней не обязательно ограничивается фиксированными путями, то структура звеньев называется “рычажный механизм” (linkwork). Такой “рычажный механизм”, при движении которого каждая точка описывает некоторый определенный путь, был назван выше “кулисным механизмом”. Добавим к этим понятиям всего два выражения: точку кулисного механизма, которая описывает любую кривую, назовем "графиком", а саму кривую назовем “грамм”?? (gram) (3).

В последние годы рассмотрение различных свойств этих "рычажных передач" привлекло внимание математиков, и это является очень сложным и трудным предметом. Однако я не предлагаю сегодня рассматривать чисто математическую сторону этого вопроса, поскольку нам достаточно будет ограничить свое внимание практическими результатами, которые были получены математиками, среди них, как мне кажется, некоторые результатами могли получить только математики. Несмотря на то, что ценность этих результатов несомненна, вполне может быть, что их красота заставила некоторых математиков придать им такое значение, которым они в реальности не обладают. Возможно, что пятьдесят лет назад они имели бы большое значение, но благодаря значительному прогрессу современной механики в получении истинных плоскостей, линеек и других точных механических структур такое значение нельзя приписать им теперь. Но мне кажется, что в настоящее время рычажные передачи недостаточно широко переданы механикам, чтобы позволить нам утверждать, какое значение должно быть на самом деле приписано им.

Практические результаты, полученные при помощи рычажных передач, слишком немногочисленны, и они тесно связаны с проблемой “прямолинейного движения”, фактически они были открыты в ходе изучения этой проблемы, и, естественно, я должен считать рассмотрение “прямолинейного движения” основой этой лекции. Однако перед тем, как перейти к рассмотрению этих рычажных передач, полезно узнать, как можно на практике создавать требуемые нам модели; и одним из больших преимуществ нашего предмета является то, что наглядные результаты можно получить очень легко. Булавки в качестве неподвижных центров, картонные детали в качестве соединений, веревки или нитки в качестве других центров, и обеденный стол или чертежная доска, если лучше не использовать обеденный стол в качестве неподвижной основы – вот и все, что требуется. Если предпочтение отдается чему-либо более высоко художественному, то можно использовать решения, представленные в моих моделях на выставке экспонатов. Мой брат, господин H. R. Kempe, сделал эти модели следующим способом. В качестве основания используются тонкие сосновые доски, покрашенные в черный цвет; соединения аккуратно вырезаны из толстого картона (их сложно сделать, через каждые десять минут приходится точить нож, поскольку острие ножа быстро тупится при резке картона); центры – это небольшие заклепки, сделанные из струны, для формирования их головки поверхность горячего стального долота прижимают к концам куска струны после того, как струна прошла через отверстия в соединениях; при этом получается очень прочное и плавно работающее соединение. Более прочные соединения можно сделать из жести; в этом случае отверстия центров пробивают, а в качестве центров применяют пистоны, используемые сапожниками для ботинок со шнурками; соответствующие инструменты можно недорого купить в любом большом магазине инструментов.

Как уже упоминалось, кривые, которые описывают различные точки при движениях кулисных механизмов, в общем случае являются очень сложными. Но не всегда они бывают сложными. Выбирая должным образом требуемые расстояния, можно сделать их очень простыми. Но можно ли дойти при упрощении до конца и получать точку на одной из деталей, которая будет перемещаться точно по прямой линии? Именно это мы и собираемся исследовать.

Очевидно, что невозможно решить эту проблему, используя одно соединение: все точки при этом описывают окружности. Поэтому следует перейти к следующему простому случаю – к движению трех соединений. В этом случае в нашем распоряжении имеется расстояние между неподвижными центрами, расстояния между центрами на радиальных соединениях, расстояние между центрами на перемещающемся соединении, и расстояния от этих центров до чертежного прибора; всего шесть различных расстояний. Можно ли выбрать эти расстояния так, чтобы точка с чертежным прибором двигалась по прямой линии?

Первым, кто исследовал этот вопрос, был великий человек Джеймс Уатт (James Watt). “Параллельное движение Уатта” (4), изобретенное в 1784 году, хорошо известно каждому инженеру, и используется в почти каждом коромысловом двигателе. Простейшая форма этого аппарата показана на Рис. 2.

Рис. 2

Радиальные пластины равной длины (слово "длина" используется с целью краткости для обозначения расстояния между центрами; разумеется, эти соединения могут иметь любую длину или форму), а расстояние между центрами или пересекающее соединение таково, что когда радиальные пластины параллельны, линия, соединяющая эти центры, перпендикулярна радиальным пластинам. Описывающая траекторию точка находится посередине между центрами на пересекающей детали. Если аппарат не очень сильно отклоняется от своего среднего положения, то описываемая чертежным прибором кривая приближается к прямой линии. Причина этого заключается в том, что вогнутые части окружностей, описываемые концами радиальных пластин, направлены в противоположные стороны, и чертежный прибор, расположенный посередине между ними, описывает кривую, которая не является вогнутой ни в одну, ни в другую сторону, и поэтому она является прямой линией. Однако эта кривая не является точно прямой, поскольку, если перемещать чертежный прибор по всему пути, то по достижению некоторого расстояния от своего среднего положения он значительно отклонится от прямой линии и будет описывать восьмерку, части которой пересекаются под почти прямым углом. Понятно, что эти линии являются не совсем прямыми, потому что кривая не может быть частично прямой и частично изогнутой.

Для многих целей прямая линия, которая описывается с помощью аппарата Уатта, достаточно точна, но, разумеется, этот аппарат не дает точного решения, поэтому следует сделать другие попытки. Можно доказать, что невозможно решить проблему, используя три подвижные связи; правда, можно получить более точные приближения, чем то, что получил Уаттом, но все точного решения нет.

Я приведу некоторые примеры, которые позволяют получить более точные приближения к прямой. Первый из них, показанный в рис. 3, предложил Ричард Робертс (Richard Roberts) из Манчестера.

Рис. 3

Радиальные пластины имеют одинаковую длину, расстояние между неподвижными центрами вдвое больше, чем расстояние между центрами на горизонтальной детали, а чертежный прибор находится на горизонтальной части, причем расстояние до центров равно длине радиальной пластины. Следовательно, чертежный прибор проходит по прямой линии, соединяющей неподвижные центры в самих этих центрах и на полпути между ними. Однако он не проходит по прямой линии в каких-либо других точках, но его отклонение от прямой между неподвижными центрами очень мало. Путь, описываемый чертежным прибором при прохождении этих центров, в целом отклоняется от прямой линии.

Рис. 4

Другой аппарат изобрел профессор Чебышев из С.-Петербурга. Этот аппарат показан на Рис. 4. Радиальные пластины имеют одинаковую длину, в моей небольшой модели их длина составляет пять дюймов. В этом случае расстояние между неподвижными центрами должно быть равно четырем дюймам, а расстояние между центрами или горизонтальной пластиной – двум дюймам. Копировальный прибор в точке, расположенной на полпути между ними. Если провести прямую линию (да, я забыл сказать, что не удается провести прямую линию, в общем, если попытаться провести прямую линию), используя чертежный прибор, размещенный посредине, как показано на рисунке, параллельно отрезку прямой, образованной неподвижным центрам, то оказывается, что чертежный прибор проходит по этой линии в точках пересечения с вертикальными линиями, проведенными через неподвижные центры, а также в среднем положении, но, как и в случае параллельного движения Робертса, полученная кривая не совпадает с прямой в других точках, хотя отклонение очень мало, если точка находится между вертикальными линиями.

Итак, нам не удалось решить задачу с помощью трех соединений, и следует перейти к следующему случаю – движению пяти соединений; обратите внимание на то, требуется использовать нечетное число соединений, чтобы аппарат, описывал определенные кривые. Можно ли решить проблему с помощью пяти соединений? Да, можно; сначала было открыто другое точное параллельное движение, и мы должны отдать должное первому изобретателю (хотя он нашел не самое простое решение), мы будем придерживаться строго хронологического порядка.

В 1864 году, через восемьдесят лет после открытия Уатта, эту проблема впервые решил М. Поселье (М. Peaucellier), инженером-механиком, служившим во французской армии. Его открытие сначала не получило требуемой оценки, было почти забыто, и было заново открыто российским студентом с фамилией Липкин, который получил награду от российского правительства за предполагаемое изобретение. Однако затем было признано первенство М. Поселье, и он получил крупную премию по механике Института Франции – “приз Монтиона”.

Аппарат М. Поселье показан на Рис. 5. Как видно, в нем семь деталей или соединений. Прежде всего, в нем есть два длинных соединения равной длины. Обе эти детали закреплены в одном неподвижном центре; на их противоположных частях закреплены противоположные углы ромба, состоящего из четырех равных более коротких соединений. Уже описанная часть аппарата, за исключением неподвижной основы, является рычажной передачей, которая получила название “ячейка Поселье”. Затем устанавливается дополнительное соединение, которое прикрепляется к неподвижному центру, расстояние до которого от первого неподвижного центра, к которому прикреплена ячейка, совпадает с длиной этого дополнительного соединения; а другой конец этого дополнительного соединения скреплен с одним из свободных углов ромба; в другом свободном угле ромба закреплен карандаш. Этот карандаш проводит точную прямую линию.

Рис. 5

Теперь немного займемся простой геометрией. Это абсолютно необходимо для того, чтобы понять принцип действия этого аппарата.

На Рис. 6, QC – это дополнительное соединение, которое поворачивается вокруг неподвижного центра Q, а другой центр расположен в точке C, описывая круг OCR. Предполагается, что отрезки прямых PM и P¢М¢ перпендикулярны MRQOM¢.

Рис. 6

Угол OCR опирается на диаметр круга, он равен прямому углу. Треугольники OCR и OMP являются подобными треугольниками. Поэтому

OC : OR = OM : OP.

Или

OC × OP = OM × OR,

везде, где точка C может быть на окружности. Поскольку OM и OR постоянны, то при перемещении точки C по окружности P точки O, C, P всегда находятся на одной прямой линии, а поскольку произведение ОС × OP всегда постоянно, точка P будет описывать прямую линию PM, перпендикулярную линии OQ.

Также очевидно, что если взять точку P¢ с другой стороны O, и если произведение OC × OP¢ является постоянным, то точка P¢ будет описывать прямую линию P¢М¢. Отметим сейчас, что это будет важно.

Теперь рассмотрим Рис. 7, который является рисунком скелета ячейки Поселье; видно, что из симметрии конструкции этой ячейки следует, что точки O, C и P лежат на одной прямой линии, и если построить перпендикуляр An к отрезку прямой CP (он все еще является воображаемым, поскольку мы еще не доказали, что наш аппарат действительно рисует прямую линию), то Cn будет равно nP.

Рис. 7

Теперь

OA2 = On2 + An2,

AP2 = Pn2 + An2,

поэтому

OA2 ?? AP2 = On2 ?? Pn2 = (On ?? Pn) (On + Pn) = OC × OP.

Таким образом, поскольку расстояния OA и AP постоянны, произведение OC × OP всегда постоянно независимо от того, далеко или близко точки C и P от O. Затем, если закрепить центр O в точке O на Рис. 6, центр C будет описывать окружность на рисунке при повороте к концу дополнительного соединения, причем центр P удовлетворяет всем условиям, необходимым для перемещения по прямой линии, и если закрепить карандаш в точке P, то он будет рисовать прямую линию. Разумеется, расстояние от линии до неподвижных центров будет зависеть от значения произведения?? OA2 ?? OP2, которое можно изменять.

Я надеюсь, что вы хорошо поняли два элемента, которые составляют аппарат – дополнительное соединение и ячейку – а также роль, которую играет каждая деталь, потому что теперь я хотел бы описать некоторые модификации этой ячейки. Дополнительное соединение останется тем же, что и ранее, и только ячейка будет изменяться.

Рис. 8

Если рассмотреть две рычажные передачи на Рис. 8, которые называются “змей” и “острие”, и поместить их одно на другое так, чтобы длинные соединения одного совпали с соединениями другого, а затем сплавить совпадающие длинные соединения, то мы получим первоначальную ячейку, показанную на Рис. 5 и Рис. 7. Если затем зафиксировать углы между длинными соединениями, или углы между короткими соединениями, одинаковые в “змее” и в “острие”, то видно, что произведение высоты “змея” на высоту “острия” является постоянным.

Рис. 9

Теперь вместо того, чтобы сплавлять длинные соединения этих двух рычажных передач, сплавим их короткие соединения. Тогда получается рычажная передача, показанная на Рис. 9. Если зафиксировать центр, в котором пересекаются короткие соединения, а одним из других свободных центров описывать окружность, показанную на Рис. 6 с помощью дополнительного соединения, то другой центр будет перемещаться не по прямой линии PM, а по прямой линии P¢М¢. В этой очень компактной форме движение изящно используется в поршневых компрессорах, которые используются для вентиляции здания парламента. Поражают свобода движения и отсутствия трения и шума. Господин Прим (Prim) (инженер здания парламента) разработал эти компрессоры и использовал в них аппарат Поселье, он разрешил мне осмотреть эти компрессоры, и я могу уверить Вас, что они стоят того, чтобы посмотреть на них.

Рис. 10

Другая модификация ячейки показана на Рис. 10. Если вместо того, чтобы использовать “змей” и “острие” одного размера, взять того же самого “змея”, как и прежде, но использовать “острие” вдвое меньшего размера и сохранить углы, то произведение высот этих двух фигур будет вдвое меньше, чем прежде, но по-прежнему останется постоянным. Теперь вместо того, чтобы накладывать соединения одной фигуры на другую, на Рис. 10 скрепим короткие соединения у каждой фигуры конец к концу. Тогда, как и ранее, если зафиксировать центр в той точке, где они соединены, то получается ячейка, которую можно использовать, применяя дополнительное соединение для построения прямой линии. Модель, в которой используется такая форма ячейки, представлена на выставке экспонатов Палатой мер и весов Парижа, и она выполнена очень искусно; кажется, что карандаш плавает по прямой линии.

В Англии об открытии M. Поселье рассказал профессор Сильвестр (Sylvester) в лекции, которую он прочитал в Королевской ассоциации в январе 1874 года (5), которая вызвала очень большой интерес и положила начала исследованиям рычажных передач в Великобритании.

В августе того же года господин Гарт (Hart) из Академии Вулиджа прочитал доклад на собрании Британской ассоциации (6), в котором он показал, что ячейку M. Поселье можно заменить аппаратом, содержащим всего четыре соединения вместо шести. Новая рычажная передача получается следующим образом.

Рис. 11

Если к обычной ячейке M. Поселье добавить два новые соединения такой же длины, что и длинные соединения, то получается удвоенная, или точнее учетверенная ячейка, поскольку ее можно использовать четырьмя различными способами, показанными на Рис. 11. Господин Гарт обнаружил, что, если взять обычный рычажный механизм в виде параллелограмма, в котором смежные стороны не равны, и пересечь соединения так, чтобы сформировать фигуру, называемую антипараллелограммом (Рис. 12), а затем взять четыре точки на четырех соединениях, которые делят расстояния между центрами в том же самом соотношении, то эти четыре точки имеют точно те же свойства, что и четыре точки двойной ячейки. Чтобы доказать, что четыре точки всегда лежат на одной прямой линии, заметим следующее. Рассмотрим треугольник abd. Поскольку aO: Ob = AP : Pd, отрезок OP параллелен bd, и длина перпендикуляра между параллелями относится к высоте треугольника abd, как Ob к ab; это же рассуждение верно для прямой линии CO¢. Поскольку ab : Ob = cd : O¢d и высоты в треугольниках abd, cbd, очевидно, равны, поэтому расстояния OP и O¢C от bd одни и те же, и OCPO¢ лежит на той же самой прямой линии.

Рис. 12

То, что произведение OC × OP является постоянным, непосредственно следует из того, что ObC – это половина “острия”, а OaP - половина “змея”. Аналогично можно показать, что произведение O¢P × O¢C является постоянным, как и произведение OC × CO¢ и OP × PO¢. Используя затем ячейку Гарта так же, как ячейку Поселье, можно получить прямое движение линии с помощью пяти соединений. Модель ячейки Гарта представлена на выставке экспонатов М. Брегет (М. Breguet).

Теперь обратим внимание на расширение аппарата господина Гарта, которое открыли одновременно профессор Сильвестр и я. В аппарате господина Гарта мы рассматривали только пластины и точки на этих пластинах, но в представленном аппарате используются детали, а не пластины. Я полагаю, что более интересно будет подойти к этому аппарату, более подробно изложив его историю, тем более, что при этом я смогу продемонстрировать еще одно очень изящную и очень важную рычажную передачу - открытие профессора Сильвестра.

При рассмотрении проблемы, представленной обычным движением трех пластин, в котором участвуют две радиальные пластины и соединяющая их пластина, я начал (теперь я уже не помню как именно, ведь часто очень трудно возвратиться в самое начало и найти источник идеи) рассматривать отношение между кривыми, описываемыми точками на пересекающей пластине в любом заданном движении трех пластин, и кривыми, описываемых точками при подобном движении трех пластин, при котором пересекающая пластина и одна из радиальных пластин поменялись местами. Как только было сформулировано это предположение, сразу стало очевидным решение: эти кривые точно подобны. Пусть на Рис. 13 CD и BA являются двумя радиальными пластинами, вращающимися на неподвижных центрах C и B, пусть DA является соединяющей пластиной, а P – произвольной точкой на ней, которая описывает кривую, зависящую от длин отрезков AB, BC, CD и DA.

Рис. 13

Теперь добавим к движению трех пластин пластины CE и EAP¢, причем CE равно DA, а EA равно CD. Тогда CDAE является параллелограммом, и если провести воображаемую линию CPP¢, которая перепекает полученный отрезок EA в точке P¢, то сразу видно, что P¢ является неподвижной точкой на полученном отрезке EA, и CP¢ всегда составляет фиксированную часть CP, то есть, CD : CE = const. Таким образом, кривая, которую описывает точка P¢, точно совпадает с кривой, описываемой точкой P, но она больше в CE : CD раз. Таким образом, если убирать пластины CD и DA, то получается рычажный механизм с тремя пластинами, который описывает точно те же самые кривые, только различной величины, что и при первом описанном нами выше движении трех пластин, и этот новый рычажный механизм с тремя пластинами является таким же, как и старый рычажный механизм, в котором радиальное соединение CD и пересекающее соединение DA поменялись местами (7).

После того как я сообщил об этом результате профессору Сильвестру, он сразу заметил, что это свойство не ограничено при движении трех пластин особым случаем точек, лежащих на соединяющей пластине, оно свойственно движению трех деталей. На Рис. 14 CDAB показано движением трех пластин, как и на Рис. 13,

Рис. 14

но интересующая нас точка или “граф” не лежит на линии, которая соединяет соединения AD, а в другой точке на “детали”, на которой лежат соединения AD. Теперь, как и ранее, добавим пластину CE, длина CE равна AD, и деталь AEP¢, где AE равно CD, а треугольник AEP¢ подобен треугольнику PDA; так что углы AEP¢ и ADP равны, и

P¢E: EA = AD : DP.

Из этого легко показать (вы можете проделать это самостоятельно без каких-либо затруднений), что отношение P¢C : PC является постоянным, и угол PCP¢ также является постоянным; таким образом, пути P и P¢ или "граммы", описываемые "графиками" P и P¢, подобны, только они имеют различные размеры, и один из них повернут под некоторым углом относительно другого.

Теперь отметим, что приведенные мной два доказательства не зависят от пластины AB, которая влияет только на определенную кривую, описываемую точками P и P¢. Если мы удалим пластину AB, то в обоих случаях мы получим первую фигуру обычного пантографа, а во втором случае – красивое расширение пантографа, которое его изобретатель профессор Сильвестр назвал плагиограф (plagiograph) или “повернутый пантограф”. Подобно пантографу, он увеличивает или уменьшает фигуру, но более того, он поворачивает их на любой требуемый угол. При должном выборе положения точек P и P¢ отношение CP к CP¢ можно сделать любым требуемым, а также можно задать любое требуемое значение угла PCP¢ . Если угол PCP¢ сделать равным 0 или 180°, то получаются две часто используемые формы пантографа; если сделать его равным делителю 360°, то, проводя точку P каждый раз по одному и тому же образцу, можно заставить точку P¢ воспроизводить его вокруг неподвижного центра C, как в калейдоскопе. Я полагаю, что из этого видно, что этот инструмент, который, насколько мне известно, так и не был фактически создан, он заслуживает интереса конструктора. Здесь приведено изображение небольшой модели возможной формы для инструмента, который я предоставил на выставку экспонатов по просьбе профессора Сильвестра (8) (Рис. 15).

Рис. 15

После этого открытия профессора Сильвестра ему и мне одновременно пришло в голову (наши письма, в которых мы сообщали свои открытия друг другу, встретились на почте), что принцип плагиографа можно распространить на антипараллелограмм господина Гарта; и теперь я перехожу к объяснению этого открытия. Однако мне будет легче объяснить его, следуя не тем путем, как я обнаружил его.

Если взять антипараллелограмм господина Гарта, и согнуть звенья в четырех точках, которые лежат на одной прямой линии (в фокусах, как их иногда называют), на один и тот же угол, то эти четыре точки, вместо того, чтобы лежать на одной прямой линии, будет лежать в четырех вершинах параллелограмма постоянных углов??, - два угла, на который согнуты эти пластины, и другие два угла, которые являются дополнительными к ним - и постоянной области, так что произведение двух смежных сторон является постоянным.

На Рис. 16 используются те же обозначения, что и на Рис. 12, чтобы сразу был виден способ получения аппарата. Отверстия нужно сделать в середине звеньев, а изгиб производится на прямой угол. Четыре отверстия OPO¢C лежат в четырех углах прямоугольного параллелограмма, и произведения любых двух смежных сторон, например, OC × OP, являются постоянными. Из этого следует, что если поворачивать точку O вокруг неподвижной точки O на Рис. 6, и поворачивать точку C в направлении конца дополнительного соединения, то точка P, а не точка PM, описывает прямую линию, которая наклонена к PM под тем углом, на который согнуты пластины, то есть под прямым углом. Таким образом, эта прямая линия будет параллельна линии, соединяющей неподвижные центры O и Q. Строго говоря, этот аппарат, который для простоты был описан как состоящий из четырех прямых звеньев, которые впоследствии изгибаются, состоит из четырех плоских звеньев, таких как звенья, использованные на Рис. 1, на которых взяты различные точки. Это объясняет название, данное ему профессором Сильвестром - "quadruplane" (квадроплан). Несложно исследовать его свойства, и если отметить, что на Рис. 16, как и на Рис. 12, Ob и bC составляют половину “острия”, а Oa и AP - половину “змея”, то вы очень скоро доберетесь до его сути.

Рис. 16

Я не могу завершить рассмотрение этого аппарата, в котором мое имя связано с именем профессора Сильвестра, не выразив ему глубокую благодарность за тот интерес, с которым он участвовал в моих исследованиях, а также сожаление в том, что его отъезд в Америку с целью получения должности профессора в новом Университете Джона Хопкинса (Johns Hopkins) лишил меня ценных предложений и поддержки, которые сильно помогли мне в моих исследованиях.

Перед тем как завершить рассмотрение ячейки Поселье и ее разновидностей, необходимо отметить другое важное свойство, которым они обладают помимо получения точного линейного движения. Мы видели, что простейший рычажный механизм позволяет построить окружность любого радиуса, причем для построения окружности с радиусом десять миль потребуется использовать звено длиной десять миль, но поскольку это будет по меньшей мере затруднительно, то достаточно знать, что можно достичь требуемой цели, используя аппарат с намного меньшими размерами. Если ячейка Поселье используется для проведения прямой линии, то, как уже отмечалось, расстояние между неподвижными центрами должны быть такими же, как длина "дополнительного" звена. Если эти расстояния не будут равны, то карандаш будет описывать не прямые линии, а окружности. Если различие невелико, то указанные окружности будут иметь огромный радиус, который уменьшается при увеличении различия. Если расстояние QO на Рис. 6 сделать больше QC, то выпуклость части описываемой карандашом окружности (поскольку если окружности являются большими, то, конечно, будет описываться только часть окружности) будет направлена в сторону точки O, а если расстояние QO будет меньше QC, то в эту сторону будет направлена вогнутость. Математику, который знает, что инверсией окружности является окружность, это будет ясно, однако следует привести короткое доказательство этого утверждения.

Рис. 17

Пусть на Рис. 17 центры Q и Q¢ двух окружностей находятся на расстояниях от точки O, пропорциональным радиусам этих окружностей. Тогда если ODCPS – это произвольная прямая линия, проходящая через точку O, то DQ будет параллелен PQ¢, а CQ - SQ¢, и OD будет иметь такое же отношение к OP, как OQ к OQ¢. Теперь рассмотрим доказательство, которое мы привели для Рис. 7, и будет ясно, что произведение OD × OC является постоянным, и поэтому поскольку OP является постоянной частью OD, произведение OP × OC является постоянным. То есть, если произведение OC × OP постоянно, и C описывает окружность вокруг центра Q, то точка P будет описывать окружность вокруг центра Q¢. Если принять точки O, C и P за точки O, C и P ячейки Поселье на Рис. 7, то мы видим, что точка P описывает окружность.

Едва ли требуется говорить о важности циркуля Поселье в технике для построения окружностей большого радиуса. Конечно, для этой цели можно использовать различные описанные выше модификации этой "ячейки". Модели, представленные Консерваторией и М. Breguet, имеют скользящие центры для изменения расстояния между точками O и Q, поэтому можно строить окружности любого радиуса.

Уже упоминавшаяся лекция профессора Сильвестра впервые привлекла мое внимание к этим рычажным механизмам. В этой лекции отмечалось, что вероятно имеются другие формы параллельных движений с семью соединениями, кроме известной тогда единственной формы М. Поселье, это побудило меня исследовать этот предмет, и я получил некоторые новые параллельные движения, природа которых полностью отличается от природы движений в ячейке М. Поселье (9).

Рис. 18

Я обращаю ваше внимание на две новые формы??, поскольку исследование их приведет нас к рассмотрению некоторых других важных рычажных механизмов.

Если взять двух змеев, один из которых вдвое больше другого, так что длинные соединения одного змея вдвое длиннее коротких соединений, и поместить одно длинное соединение малого змея на короткое соединение большого змея, а короткую связь малого - на длинное соединение большого, и затем соединить?? совпадающие соединения, то получается рычажная передача, показанная на Рис. 18.

Важным свойством этой рычажной передачи является то, что, хотя можно, передвигая соединения, сближать или удалять точки P и P¢ друг от друга, соединяющая их воображаемая линия всегда перпендикулярна линии, проведенной через центры в нижнем соединении LM. Из этого следует, что если зафиксировать центр P или P¢, а соединение LM всегда двигалось параллельно неподвижной линии, то другая точка описывает прямую линию, перпендикулярную неподвижной линии.

Рис. 19

На Рис. 19 показано параллельное движение, получаемое при фиксации точки P¢. Мне не нужно указывать, как параллелизм LM сохраняется при добавлении соединения SL, это очевидно из рисунка. Прямая линия, которая описывается точкой P, перпендикулярна линии, соединяющей два неподвижных центра; однако можно, не увеличивая число соединений, заставить точку на рычажном механизме описывать прямую линию, наклоненную к линии SP¢ под каким-либо углом, или скорее мы можем, подставляя вместо прямого соединения PC плоскую деталь, получать множество точек на этой детали, перемещающиеся в каждом направление.

Рис. 20

На Рис. 20 для простоты показаны только соединение CP¢ и новая деталь, которая заменяет соединение PC. Новая деталь является кругом, в котором сделаны отверстия на одном и том же расстоянии, равном длине отрезка PC и P¢C от точки C. Теперь на Рис. 19 видно, что P перемещается по вертикальной прямой линии, причем расстояние PC на Рис. 20 остается тем же, что было на Рис. 19; но из известного свойства круга следует, что если H – это любое отверстие в детали, то угол HP¢P является постоянным, поэтому прямая HP¢ зафиксирована на одном месте, и отверстие H перемещается по ней; аналогично все другие отверстия перемещаются по прямым линиям, проходящим через неподвижный центр P¢, и мы получаем прямолинейное движение, распределенное по всем направлениям. Профессор Сильвестр назвал такую разновидность движения "движением трамвая"??. Следует отметить, что движение круглого диска такое же, как если бы если пунктирный?? круг на нем катился внутри большого пунктирного круга; фактически мы наблюдаем параллельное движение Уатта, воспроизведенное рычажным механизмом. Конечно, если нам требуется только движение в одном направлении, если нам требуется движения только в одном направлении, то можно удалить?? весь диск, кроме части, формирующей согнутый рычаг, содержащий точки C, P и точку, которая перемещается в требуемом направлении.

Двойной змей на Рис. 18 можно использовать, чтобы получить некоторые другие полезные рычажные механизмы. Часто требуется, чтобы не одна точка, а целая деталь перемещалась так, чтобы все точки на ней двигались по прямым линиям. В качестве примера можно привести резцовый суппорт в токарных станках, горизонтальную подачу стола (traversing tables), перфораторы, долота, подъемные мосты, и т.д.

Рис. 21

Двойной змей позволяет создавать рычажные механизмы, обладающие этим свойством.

Рис. 22

В рычажном механизме, показанном на Рис. 21, конструкция которого сразу оценивается, если понятен двойной змей, горизонтальное соединение двигается влево-вправо, как будто скользя по неподвижной горизонтальной прямой трубе. Возможно, что такую форму можно использовать как балку разводного моста.

В рычажном механизме, показанном на Рис. 22, который представляет собой другую комбинацию двух двойных змеев, вертикальное соединение двигается так, что все его точки двигаются по горизонтальным прямым линиям. Существует вариант этого рычажного механизма, который, может представлять интерес. Если из рычажной передачи, показанной на Рис. 23, удалить синие соединения, то получается скелет изображения на Рис. 22, а если?? убрать красные соединения и вставить синие соединения; тогда получается рычажный механизм, который имеет то же самое свойство, что и рычажная передача, показанная на Рис. 22, но в его новой форме он является обычной двойной параллельной линейкой с тремя добавленными соединениями.

Рис. 23

На Рис. 24 показана двойная параллельная линейка, в которую внесено небольшое изменение. Если удерживать в горизонтальном положении нижнюю линейку, то верхняя линейка перемещается вертикально вверх и вниз по доске, не перемещаясь при этом вбок.

Рис. 24

При рассмотрении этого вида движения, я могу указать аппарат, выставленный в Собрании экспонатов профессором Чебышевым, который очень похож на сложную складную табуретку, сидение которой совершает горизонтальное движение (Рис. 25).

Рис. 25

Это движение не является строго прямолинейным; при наблюдении можно отметить, что тонкая линия на рисунке имеет постоянную длину, и поэтому не ее место можно поместить соединение; этот аппарат представляет собой комбинацию двух параллельных движений профессора Чебышева, приведенных на Рис. 4, к которым добавлены некоторые соединения, чтобы удерживать сидение параллельным основанию. Поэтому отклонение верхней плоскости от строго горизонтального движения вдвое превышает отклонение чертежного прибора при простом параллельном движении.

Рис. 26

На Рис. 26 показан похожий аппарат, имеющий намного более простую конструкцию, в нем используется приблизительно параллельное движение Чебышева. Длины соединений, формирующих параллельное движение, были даны выше (Рис. 4). Расстояние между центрами на подвижном сидении составляют половину расстояния между неподвижными центрами, а длина остающегося соединения составляет половину длины этих радиальных соединений.

Точное движение с таким же описанием показано на Рис. 27. O, C, O¢ и P – это четыре фокуса квадриплана (quadriplane), показанного на этом рисунке, в котором соединения согнуты под прямым углом, так, чтобы произведение OC × OP было постоянным, а COP был прямым углом. Центр O – закреплен на неподвижной точке, а C с помощью дополнительного соединения QC двигается по окружности, радиус которого QC равен расстоянию центра OQ, следовательно, P перемещается по прямой линии, параллельной OQ, пять уже описанных двигающихся деталей образуют параллельное движение Сильвестра-Кемпе. К нему добавлены подвижное сидение и остающаяся связь RO¢, расстояние центра которой, PR и RO¢, равны OQ. Поэтому сидение всегда остается параллельным QO, и поскольку P перемещается точно по горизонтальной прямой линии, каждая ее точка также перемещается точно по горизонтальной прямой линии. Этот аппарат можно использовать там, где требуется очень плавно перемещаемый стол подачи.

Рис. 27

Теперь перейдем ко второму параллельному движению, которое я обещал продемонстрировать вам. Если взять змея, закрепить его тупой конец на неподвижной основе и поворачивать его острый конец вверх и вниз по прямой линии, проходящей через неподвижный центр, то короткие соединения будут поворачиваться вокруг неподвижного центра с равными скоростями в противоположных направлениях; и, наоборот, если соединения вращаются с равными скоростями в противоположных направлениях, острый конец будет перемещаться по прямой линии, и это же будет справедливо, если вместо коротких связей, закрепленных в этой же точке, они будут закреплены в других точках (Рис. 28).

Рис. 28

Одной из первых проблем, которые я хотел решить, был поиск рычажного механизма, который заставляет два соединения вращаться с равными скоростями в противоположных направлениях. Несложно заставить два соединения вращаться с равными скоростями в одном направлении - обычный рычажный механизм в форме параллелограмма, используемый в двигателях паровоза, состоящий из двигателя, двух кривошипов??, и соединяющегося стержня; и не было ни одного рычажного механизма, который вращал бы два соединения в противоположных направлениях с изменением скорости; антипараллелограмм обеспечивает это (Рис. 29); но требуемый рычажный механизм еще не найден. После нескольких попыток мне удалось получить такой рычажный механизм, состоящий из комбинации большого и малого антипараллелограммов, которые соединены так же, как два змея в рычажной передаче на Рис. 18. Один антипараллелограмм вдвое больше другого, и длинные соединения в каждом антипараллелограмме в два раза длиннее, чем короткие (10).

Рис. 29

Рис. 30

Рычажные механизмы на Рис. 30 и Рис. 31 будут путем рассмотрения тонкой линии, проведенной через неподвижные центры в каждом рычажном механизме рассматриваться как соединение, сформированное путем фиксации различных соединений единой рычажной передачи с шестью соединениями, составленной из двух антипараллелограммов, как было только что указано выше. Пунктирные соединения вращаются с равной скоростью в противоположных направлениях, и таким образом, как показано на Рис. 28, сразу формируют параллельные движения. Однако их можно использовать просто для обращения угловой скорости (11).

Рис. 31

Расширение рычажной передачи, используемой в этих двух последних рисунках, дает нам аппарат, представляющий значительный интерес. Если я возьму другой антипараллелограмм рычажной передачи, размер которого вдвое меньше размера меньшего антипараллелограмма и прикреплю его к меньшему антипараллелограмму точно так же, как меньший антипараллелограмм к большему, то получаются восемь рычажных передач??, показанные на Рис. 32. Всего имеется четыре указанных?? соединения, исходящих из центра под равными углами; если раскрыть два крайних угла до любого требуемого угла, то видно, что два промежуточных будут точно делить угол на три равные части. Таким образом, мощь, которую мы должны использовать, чтобы обеспечить?? первый постулат Эвклида (рычажные передачи) позволяет нам решить проблему, которая не имеет "геометрического" решения. Конечно, можно расширить рычажные передачи и получать другие рычажные передачи, которые делят угол на любое число равных частей. Очевидно, что эти же рычажные передачи можно также использоваться как рычажные механизмы для удвоения, утроения и т.д. угловой скорости (12).

Рис. 32

Профессор Сильвестр обнаружил другую форму изоклиностата (isoklinostat) (так он назвал этот аппарат). Его конструкция очевидна из Рис. 33. Она имеет большое преимущество, поскольку она составлена из соединений, имеющих только два расстояния центров??, имеющих любое соотношение друг к другу, но в ней используется больше соединений, чем в другой форме, и поскольку открытие?? соединений ограничено, ее нельзя использовать для умножения углового движения.

Рис. 33

После опубликования работы, которая содержала отсчет об моих рычажных механизмах, о который я уже доложил, я указал в докладе, прочитанном в Королевском Обществе (13), что приведенные здесь параллельные движения, а также параллельные движения М. Поселье господина Гарта, все частные случаи рычажных механизмов очень общей природы, все они зависели от использования рычажной передачи, составленного из двух подобных фигур. Мне не хватит времени, и я полагаю, что этот предмет недостаточно привлекателен по его математической природе, чтобы рассматривать его здесь, поэтому я предлагаю всем заинтересовавшимся этим вопросом обратиться к исходной работе.

Вам доложен существующее состояние решения проблемы получения прямолинейного движения, и я считаю, что вряд ли нам стоит сильно углубляться в теоретическую часть вопроса. Теперь полученными результатами должны заняться механики, если они имеют какое-либо практическое значение. Итак, я дошел до конца того, что я был обязан изложить вам до текущего момента. Я показал вам, что можно построить прямую линию, и как ее можно построить, и рассмотрение этой проблемы привело нас к исследованию некоторых важных деталей аппаратов. Но я надеюсь, что это еще не все. Я надеюсь, что я показал вам, что вы (и ваше внимание превращает мою надежду в уверенность), что теперь эта область исследований привлекает большой интересом и является важной. Несомненно, что математики сделали намного больше, чем я мне удалось показать вам сегодня (14), но неизведанные области все еще обширны, и искренний исследователь едва ли не сможет сделать новые открытия. Поэтому я надеюсь, что те из вас, кто обязан расширить область науки, не позволят закрыть этот предмет завершением моей лекции.

ПРИМЕЧАНИЯ.

(1) Отверстие, через которое проходит карандаш, чтобы описать окружность независимо от поверхности (см. последнюю часть Примечания 3), но если требуется построить окружность или данную плоскую поверхность, то, конечно, эта поверхность должна быть плоской.

(2) "Но" (добавлено) “без шкалы”. Как известно, с помощью линейки, имеющей всего две риски, легко разделить угол на три равные части, пусть RST будет угол, а СТР¢ - точки, где риски пересекают край линейки. Пусть 2RS = PP¢. Проведите RU параллельно, а RV перпендикулярно CT. Тогда, если мы приложи линейку к рисунку RSTUV так, чтобы край PP¢ проходил через S, P лежит на RU, а P¢ - на RV, PP¢ делит угол RST на три равные части. Поскольку если Q является средней точкой PP¢, соединим точки R и Q, угол TSP = угол QPR = угол QRP = половина угла RQS, то есть половина угла RSQ.

Разумеется, это решение не является "геометрическим" в указанном смысле, потому что используется линейка с делениями и процесс подгонки. Но разве Евклид ограничивает построения своими тремя постулатами? Разве он не использует линейку с делениями и процесс подгонки? Разве сторона AB треугольника ABC в Книге I, Предложении 4, не имеет меток в точках A и B, и разве не говорится о том, чтобы взять ее и перенести на DE?

Трудно понять, почему Евклид использовал второй постулат, который требует, "что можно построить отрезок прямой линии любой длины”, а скорее, почему он не поместил его среди предложений в первой книге как проблему. Точно следуя методам Евклида, нетрудно найти точку вне отрезка прямой линии, которая находится на одной прямой линии с ним, и доказать это, без использования второго постулата. Затем согласно первому постулату эту точку можно соединить с крайней точкой данного отрезка прямой линии, который построен таким образом, и этот процесс может продолжаться сколь угодно долго, поскольку согласно третьему постулату можно строить окружности с любым центром и с любым радиусом.

(3) Важно отметить, что неподвижная основа, к которой прикрепляются центры, на самом деле представляет собой одно звено в этой системе. Поэтому возможно было более правильно при общем рассмотрении предмета, начаться с того, чтобы назвать "рычажной передачей" (linkage) любое сочетание деталей (независимо от того, являются ли эти части быть рычагами, лучами, соединительными стержнями или чем-либо еще), которые соединены или скреплены. Когда движение звеньев ограничено одной плоскостью или несколькими параллельными плоскостями, то система называется “плоской рычажной передачей” (Эта лекция ограничена плоскими рычажными передачами; несколько замечаний об объемных рычажных передачах приведены в конце этого примечания.) Относительное движение звеньев в рычажной передаче может быть определенным или неопределенным. Когда движение является определенным, число звеньев должно быть четным, и говорят, что рычажная передача является “полной. ” Если движение не является определенным, то говорят, что рычажная передача имеет 1, 2, 3, и т.д. степени свободы, согласно количеству степеней свободы, которой обладают соединения при относительном движении. Эти рычажные передачи можно назвать "первичными", "вторичными", и т.д. рычажными передачами. Таким образом, если мы берем рычажную передачу, состоящую из четырех звеньев с двумя центрами в каждом звене, то движение каждого звена относительно других звеньев является определенным, и рычажная передача является “полной рычажной передачей”. Если одно звено рычажной передачи присоединено в середине, то рычажная передача имеет одну степень свободы, и она является “первичной рычажной передачей”. Поэтому, образуя новые звенья (joints), можно получить "вторичную" или "третичную" и т.д. рычажные передачи. Такие первичные и т.д. рычажные передачи можно образовать различными другими путями, но приведенный здесь пример иллюстрируют причину терминологии. Если одно звено рычажной передачи является неподвижным основанием, то всю структуру называют "рычажным механизмом". Рычажные механизмы, подобно рычажным передачам, могут быть "первичными", "вторичными" и т.д. “Полный рычажный механизм”, то есть такой рычажный механизм, в котором движение каждой точки на подвижной части структуры является определенным, называют "кулисными механизмами". Очень сложно рассматривать различные "граммы"??, описанные такими кулисными механизмами. В докладе, опубликованном в Трудах Лондонского Математического Общества за 1876 год, я показал, что можно найти кулисный механизм, которое описывает любую данную алгебраическую кривую, но для решения обратной задачи “Пусть дан кулисный механизм, какова получаемая кривая?” является задачей, которая практически еще не решалась; и “трехкруговые трехцентровые?? (tricircular trinodal) уравнения шестой степени”, которые являются "граммами" простого движения трех деталей, все еще рассматриваются некоторыми из наших самых выдающихся математиков.

При максимальном обобщении теоретически самая простая форма кулисного механизма – это не плоское звено, формирующее окружность, а жесткое звено, прикрепленное к неподвижному центру, которое может двигаться во всех направлениях вокруг этого центра так, чтобы все его точки описывали сферы в пространстве; и самая общая форма множество таких скрепленных звеньев формирует структуру, различные точки которой описывают поверхности. Если две простые жесткие звенья, вращаясь вокруг двух неподвижных центров, скреплены в общей точке, то эта точка будет описывать окружность независимо от любой плоской поверхности, другие точки звеньев будут описывать части сфер. Форма центра, который должен был бы быть принят в объемных рычажных механизмах, будет представлять собой шаровой шарнир, чтобы звенья могли не только вращаться вокруг неподвижного центра, но вращаться вокруг любой воображаемой оси, проходящей через этот центр. Очевидно, что невозможно построить какое-либо сочленение (joint), которое даст связям полную свободу движения, поскольку неподвижный центр, вокруг которого вращается любое звено, должен быть некоторым способом закреплен на неподвижной основе, и независимо от того, какие средства использовались, будут мешать этому звену в некоторой части его пути. Это неверно для плоских кулисных механизмов. Предмет объемных рычажных механизмов рассматривался совершенно недостаточно. Шарнир Гука можно привести в качестве примера объемного кулисного механизма. (См. также Примечание 11.)

(4) Меня не раз просили пробовать избавиться от нежелательного термина “параллельное движение”. Я не знаю, как его можно использовать, и конечно оно не выражает то, для чего оно предназначено. Этот аппарат не создает “параллельное движение”, но он приблизительно формирует “прямолинейное движение”. Однако это выражение теперь выкристаллизовалось, и я не могу найти решение.

(5) См. Proceedings of the Royal Institution, 1874. -

(6) Этот доклад напечатан в приложении к Cambridge Messenger of Mathematics, 1875, том IV, стр. 82-116, он содержит много ценных материалов по математической части этого предмета. -

(7) Обмен радиальными и пересекающими пластины превращает параллельное движение Уатта в параллельное движение Кузнечика??. Такое же изменение показывает нам, что кривые, формируемые рычажным механизмом, сформированным путем фиксации одной пластины "змея", являются теми же самыми кривыми, которые описываются рычажным механизмом, сформированным при фиксации одной пластины антипараллелограмма. Это представляет интерес, поскольку показывает, что на самом деле существует только один случай, в котором кривая шестой степени, "грамм" движения трех пластин, разбивается на окружность и кривую четвертого порядка??.

(8) Полное изложение этого вопроса и частей описанного ниже аппарата приведены в Nature, Vol. XII, pp. 168 и 214.

(9) См. Messenger of Mathematics, “On Some New Linkages” (О некоторых новых рычажных передачах) 1875, vol. IV, p. 121.

(10) Ссылка на работу, упомянутую в последнем примечании, покажет, что не обязательно, что малые змеи и антипараллелограммы были вдвое меньше больших, или чтобы длинные связи были вдвое корочке; определенные длины были выбраны для упрощения описания в лекции.

(11) Используя шарниры Гука – объемные рычажные передачи, можно заставить две оси вращаться с равными скоростями в противоположных направлениях (см. Willis “Principles of Mechanism”, 2-е издание, раздел 516, стр. 456) и поэтому они формируют точное параллельное движение. -

(12) "Змей" и "антипараллелограмм" имеют (математически очень важные) недостаток - наличие “мертвых точек”. Однако от них можно легко избавиться, используя булавки и отверстия так, как указал профессор Рело (Reuleaux). (См. Reuleaux “Kinematics of Machinery”, перевод на английский язык профессора Кеннеди (Kennedy), Macmillan, pp. 290-294.)

(13) Proceedings of the Royal Society, No. 163, 1875, “Об общем способе получения строго линейного движения с помощью рычажного механизма”. Я хотел бы отметить, что полученные в этой работе результаты можно значительно расширить, используя следующее простое соображение.

Если прямое звено OB образует произвольный угол D с прямым звеном OA, и если вместо использования прямых звеньев использовать детали A¢OA, B¢OB, и если угол A¢OA равен углу B¢OB, то угол B¢OA¢ равен D. Признание этого вполне очевидного факта позволяет получить параллельное движение Сильвестра-Кемпе из параллельного движения Гарта. -

(14) В дополнение к уже упомянутым источникам можно упомянуть еще один для тех, кто желает глубже познакомиться с математической частью предмета "Linkages" (Рычажные передачи). М. V. Liguine “Sur les Systemes de Tiges Articulees”, Nouvelles Annales, December, 1876, pp. 520-560.

Две работы Professor Cayley and Mr. С. Roberts “On Three-bar Motion”, Proceedings of the London Mathematical Society, 1876, vol. vii, pp. 14 и 136. Другие короткие работы Proceedings of the London Mathematical Society, vols. v, vi, vii, и Messenger of Mathematics, vols. iv и v.

Blog

Лекция по рычажным передачам альфред брей кемпе (alfred bray kempe)