Программа дисциплины
| Вид материала | Программа дисциплины |
- Программа дисциплины вспомогательные исторические дисциплины: историческая география, 169.74kb.
- Программа дисциплины "Вспомогательные исторические дисциплины: геральдика и генеалогия, 339.17kb.
- Программа дисциплины культура России ХХ века Цикл «Дисциплины специализации», 252.08kb.
- Рабочая программа учебной дисциплины международные экономические отношения наименование, 619.09kb.
- Рабочая программа дисциплины Цели и задачи дисциплины, 63.09kb.
- Программа дисциплины археология Цикл, 244.04kb.
- Программа дисциплины нумизматика. Цикл, 123.86kb.
- Программа дисциплины " Археография " Предназначена для студентов, 225.15kb.
- Рабочая программа дисциплины «Системное и прикладное программное обеспечение» Программа, 92.76kb.
- Программа дисциплины политические процессы и трансфомации в Турции ХХ века Цикл, 144.68kb.
Федеральное агентство по образованию Российской Федерации
ОБНИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ АТОМНОЙ ЭНЕРГЕТИКИ (ИАТЭ)
| | УТВЕРЖДАЮ |
| | Проректор по учебной работе ___________________ C.Б. Бурухин |
| | “______”____________ 200__ г. |
^ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Ф.2 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
для студентов специальности 140307 – Радиационная безопасность человека и окружающей среды, направления 140300 – Ядерные физика и технологии
Форма обучения: очная
Объем дисциплины и виды учебной работы по очной форме в соответствии с учебным планом
| Вид учебной работы | Всего часов | Семестр | |||
| | | 1 | 2 | | |
| Общая трудоемкость дисциплины | 216 | 108 | 108 | | |
| Аудиторные занятия | 136 | 68 | 68 | | |
| Лекции | 68 | 34 | 34 | | |
| Практические занятия и семинары | 68 | 34 | 34 | | |
| Лабораторные работы | 0 | | | | |
| Курсовой проект (работа) | 0 | | | | |
| Самостоятельная работа | 80 | 40 | 40 | | |
| Расчетно-графические работы | 0 | | | | |
| Вид итогового контроля (зачет, экзамен) | | Экзамен | | | |
Обнинск 2008
Программа составлена в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по специальности 140307 – радиационная безопасность человека и окружающей среды, направлению 140300 – Ядерные физика и технологии
ЕН.Ф.01 Геометрия и алгебра: аналитическая геометрия, теория матриц; системы линейных алгебраических уравнений; линейные пространства и операторы.
____________________ Н.Э. Клиншпонт, доцент, к.ф.-м.н.
Программа рассмотрена на заседании кафедры высшей математики ОИАТЭ (протокол № 2 от 16.10.2008 г.)
Заведующий кафедрой высшей математики ОИАТЭ
___________________ Е.А. Сатаев
“____”_____________ 200 г.
СОГЛАСОВАНО
| Декан факультета естественных наук ___________________ Н.Б. Эпштейн “____”_____________ 200__ г. | |
| Начальник УМУ ____________________Ю.Д. Соколова “____”_____________ 200__ г. | |
^ 1. Цели и задачи дисциплины.
Научить студентов применять метод координат при исследовании геометрических объектов, решать системы линейных уравнений, решать задачи линейной алгебры.
^ 2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины.
В результате изучения дисциплины студент должен
знать: основные понятия векторной алгебры, свойства кривых и поверхностей 1 и 2 порядков, теорию решения линейных систем, основные понятия теории линейных пространств и линейных операторов, теории билинейных и квадратичных форм;
уметь: решать задачи методом координат, исследовать кривые и поверхности 2 порядка, решать линейные системы, находить размерность и базис линейного пространства, решать задачи на собственные значения, приводить матрицу оператора к жорданову виду, производить измерения длин и углов в евклидовом пространстве, ортогонализовать систему векторов, приводить квадратичную форму к каноническому виду, исследовать квадратичную форму на знакоопределенность.
иметь навыки: решать задачи на тему «прямая и плоскость», исследовать кривые 2 порядка, решать линейные системы (в том числе находить фундаментальную систему решений), решать стандартные задачи линейной алгебры на темы: размерность, базис, сумма и пересечение подпространств, собственные значения и векторы, жорданова форма, измерения в евклидовом пространстве, ортогонализация, приведение квадратичной формы к каноническому виду, исследование квадратичной формы на знакоопределенность.
^ 3. Содержание дисциплины
3.1. Лекции
1. Векторы и операции над ними. Компланарность, коллинеарность векторов. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис. Координаты вектора в базисе и действия с координатами. Простейшие задачи аналитической геометрии: деление отрезка в данном отношении, координаты центра масс. Системы координат: декартова прямоугольная, полярная, цилиндрическая, сферическая. [1] гл.1, § 1; [3] гл.1, § 1,2; [13] стр. 3-12 (2 часа)
2. Скалярное и векторное произведение векторов (определение, свойства, выражение в прямоугольных координатах). Смешанное произведение, связь с объемом параллелепипеда, выражение в координатах. Двойное векторное произведение. Основное тождество. [1], дополнение к гл.1, гл. 2, § 2,3; [3] гл.1, § 3; [13] стр. 12-18 (4 часа)
3. Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости (поворот и параллельный перенос). Уравнения линий и поверхностей: явное и параметрическое задание. Алгебраические линии и поверхности. Теорема об инвариантности порядка. [1], гл. 4, § 1; [3] гл.2, §1; [13] стр. 18-19 (2 часа)
4. Плоскость в пространстве и прямая на плоскости. Различные виды уравнений: общее уравнение, уравнение в отрезках, параметрические уравнения, нормальное уравнение. Расстояние от точки до плоскости (прямой). Отклонение точки от плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей (прямых). Пучок и связка плоскостей. [1], гл. 4, § 1-2; [3] гл.2, §1-3; [13] стр. 18-26 (4 часа)
5. Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Взаимное расположение двух прямых в пространстве (признаки параллельности, перпендикулярности, принадлежности одной плоскости, расстояние между скрещивающимися прямыми). Задачи. [1], гл. 5, § 4,5; [3] гл.2, §2-3; [13] стр. 26-29 (2 часа)
6. Эллипс, гипербола, парабола. Директориальное свойство. Эксцентриситет. Вывод канонических уравнений. Фокальное свойство. Расположение фокусов, директрис, фокальные радиусы. Конические сечения. Оптические свойства. [1], гл. 6, § 1-4; [3] гл.3, §2; [13] стр. 29-38 (4 часа)
7. Упрощение общего уравнения кривой второго порядка путем поворота осей и параллельного переноса. Классификация кривых второго порядка. Некоторые виды поверхностей второго порядка. Исследование формы поверхности по каноническому уравнению методом сечений. [1], гл. 4, § 2, гл.7 §3; [3] гл.2, §4; [13] стр. 61-68 (2 часа)
8. Матрицы, действия над матрицами (сложение, умножение на число, произведение двух матриц, транспонирование матрицы). [2], гл. 1, §1, [3], гл. 5, §1 (1 час)
9. Определитель квадратной матрицы n–го порядка. Перестановки. Инверсия. Четность инверсии, изменение четности при перестановке двух элементов. Теорема о знаке члена определителя. Свойства определителей. Минор. Алгебраическое дополнение. Разложения определителя по строке (столбцу). [2], гл. 1, §2, [3], гл. 5, §1,6; [13] стр. 38-43 (4 часа)
10. Обратная матрица. Условия существования. Нахождение обратной матрицы. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Матричная запись. Правило Крамера. [3], гл. 5, §1,6; [7] гл. 1 §4,5; [13] стр. 43-46 (2 часа)
11. Ранг матрицы. Базисный минор. Теорема о базисном миноре. Элементарные преобразования и ранг матрицы. [2], гл. 1, §3, [3], гл.5, §4; [7] гл. 1 § 7,8, [13] стр. 48-53 (2 часа)
12. Системы линейных уравнений. Системы совместные, несовместные, определенные, неопределенные. Теорема Кронекера Капелли. Общее решение системы. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Пространство решений однородной системы уравнений. Фундаментальная система решений. [2], гл. 3, §1-2, [7] гл. 1 § 6,9,11; [13] стр. 46-47, 53-56 (3 часа)
13. Линейные пространства. Примеры. Простейшие свойства. Линейная зависимость и независимость элементов линейного пространства. Базис. Координаты вектора в базисе. [2], гл. 2, §1, [7] гл. 2, §1-6 (2 часа)
14. Размерность линейного пространства. Теоремы о размерности. Изоморфизм линейных пространств. Теорема об изоморфизме пространств одинаковой размерности. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису. [2], гл. 2, §2,4 [7], гл. 2, §3-6 (2 часа)
15. Подпространства линейного пространства. Линейная оболочка векторов. Теорема о размерности линейной оболочки. Сумма и пересечение подпространств, теорема о связи их размерностей. Прямая сумма подпространств. [2], гл. 2, §3, [7], гл. 2, § 7-9 (2 часа)
16. Линейный оператор. Матрица линейного оператора. Матричная запись оператора. Теорема о взаимно однозначном соответствии между матрицами и операторами. Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. [2], гл.5, §1, [7], гл.2, §1,4, [12], стр. 3-8, стр. 13-15 (2 часа)
17. Действия над линейными операторами: сложение, произведение на число. Пространство линейных операторов. Произведение операторов. Матрица произведения операторов. Обратимость операторов. Матрица обратного оператора. Условия существования обратного оператора. [2], гл. 5, §1-2, [7] гл. 3, § 2,5,6 [12] стр. 9-11 (2 часа)
18. Ядро и образ линейного оператора. Ранг и дефект. Теорема о связи размерностей ядра и образа оператора с размерностью пространства. [2], гл. 5, § 1, [7] гл. 3, § 2,5,6 [12] стр. 9-11 (1 час)
19.Инвариантные подпространства. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Характеристический многочлен оператора. Линейная независимость собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям. Условия существования базиса из собственных векторов (условия приводимости матрицы оператора к диагональному виду). [2], гл. 5, § 2-3 [7], гл. 3, §7-9, [12], стр. 15-25 (3 часа)
20. Жорданова клетка. Жорданова матрица. Понятие присоединенного вектора. Теорема Жордана. [2], гл. 5, § 8, [7], гл. 3, §10, [12], стр. 25-32 (4 часа)
21. Евклидово пространство. Определение. Примеры. Неравенство Коши-Буняковского. Норма (длина) элемента. Неравенство треугольника. Угол между элементами евклидова пространства. Ортогональные элементы. Изоморфизм пространств со скалярным произведением. Унитарное пространство. Основные свойства. [2], гл. 4, §1, [7], гл. 4, §1,2, [12] стр. 32-37 (2 часа)
22. Понятие ортонормированного базиса. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Теорема о существовании ортонормированного базиса в евклидовом пространстве. [2], гл. 4, §2, [7], гл. 4, §1,2, [12] стр. 32-37 (2 часа)
23. Вид скалярного произведения в зависимости от выбора базиса. Свойства определителей Грама. Свойства определителей Грама (определитель Грама линейно независимой системы векторов; неотрицательность определителя Грама). Приложения определителей Грама. Объем n –мерного параллелепипеда. [7], гл. 4, §3, [12], стр. 36-42 (4 часа)
24.Ортогональное дополнение. Разложение пространства со скалярным произведением в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. [2], гл. 4, §2, [7], гл. 4, §3, [12], стр. 36-42 (1 час)
25. Сопряженный оператор в евклидовом пространстве. Самосопряженный оператор. Теорема о собственных значениях и собственных векторах, теорема о существовании ортонормированного базиса из собственных векторов. [7], гл. 5, § 1-3, [12], стр. 43-50 (2 часа)
26. Унитарный и ортогональный операторы: свойства, матрицы, примеры, собственные значения, теоремы об общем виде операторов. Унитарно подобные матрицы. [7], гл. 5, §4-5, [12], стр. 50-57 (2 часа)
27. Билинейные формы в вещественном линейном пространстве. Квадратичная форма в вещественном линейном пространстве. Канонический и нормальный вид квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа. Закон инерции квадратичных форм. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием.[2], гл.7, §1-6, [7], гл. 5, §1-5, [11] стр. 12-13, стр. 43-56, [12] стр. 57-70 (3 часа)
28. Неоднородный многочлен второй степени от n переменных. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническом виду. Поверхности центральные, нецентральные, вырожденные, невырожденные. Классификация.[2], гл.7, §7, [11], стр. 15-42 (2 часа)
^ 3.2. Практические и семинарские занятия
| Раздел | Тема практического или семинарского занятия | Число часов |
| 1 | Векторы. Линейные операции над векторами. Коллинеарность, компланарность. Базис и координаты вектора. [4], 14, 60, 69, 86-92, 95, 98, 106, 110-113, 728, 732, 735-740, 743, 747, 757, 759, 762-770, 774, 776-782, 784-787. | 4 |
| 2 | Декартова система координат. Простейшие задачи аналитической геометрии: деление отрезка в данном отношении, координаты центра масс. Полярные координаты. [4], 14, 60, 69, 86-92, 95, 98, 106, 110-113. | 4 |
| 3 | Скалярное произведение векторов. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы. Определители 2-го и 3-го порядка. Векторное произведение. Смешанное произведение векторов. Двойное векторное произведение. [4], 796, 796, 801-804, 807, 808, 812-814, 817, 820, 824-829, 835, 837, 839-843, 850, 853, 857-862, 864, 866, 867, 873-883, 1204, 1224-1226. | 6 |
| 4 | Уравнение плоскости. Прямая на плоскости и в пространстве. [4], 913, 917-921, 925-928, 931, 941, 947, 944, 951, 957, 960-964, 967, 969, 972-979, 1008-1010, 1012-1015, 1019-1026, 1029-1031, 1038-1041, 1046, 1050-1056, 1062-1083, 224, 226, 235, 238, 246, 248, 266, 268-284, 292, 318, 329, 347-350, 353, 378 | 6 |
| 5 | Эллипс, гипербола, парабола.[4], 385, 390, 391, 402, 413, 424, 427, 439, 445, 447, 459, 462, 466, 474-478, 492, 493, 515, 518, 522, 534, 544-548, 559-561, 585, 589, 600-604, 614, 625, 632, 634-636 | 4 |
| 6 | Действия с матрицами. Определитель матрицы. Обратная матрица, ранг матрицы. [6], 789-792, 797, 799, 804-806, 809, 822, 837, 840-842, 861-866, 188-190, 198, 202-204, 207, 208, 257-270, 274, 279-303, 305-307, 315, 322, 366-367, 608-612, 619-622. | 4 |
| 7 | Системы линейных уравнений. Формулы Крамера. Метод Гаусса. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. [6], 554-563, 567-570, 573, 574, 578-581, 724-732, 741-742, 698-702, 706-709. | 4 |
| 8 | Линейные пространства. Размерность. Базис. Координаты вектора в базисе. Изменение координат вектора при переходе к новому базису.[6], 1285-1294, 1282-1284, 1277-1281, 1297-1300, 1303-1305, 1308. | 4 |
| 9 | Линейная оболочка векторов. Применение ранга матрицы к исследованию линейной зависимости векторов и нахождению размерности подпространства. Размерность и базис суммы и пересечения подпространств.[6], 641-644, 665-669, 674-676, 680-681, 764-782, 1310-1313, 1317-1322. | 4 |
| 10 | Линейный оператор. Матричная запись и матрица оператора. Изменение матрицы оператора при переходе к новому базису. Действия над операторами. [6], 1441-1444, 1434-1438, 1445, 1446, 1448-1450. | 4 |
| 11 | Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду, базис из собственных векторов.[6], 1465-1474, 1479-1483. | 4 |
| 12 | Жорданова форма и жорданов базис.[6], 1090-1108, 1530-1535, 1063-1066, 1162-1163. | 4 |
| 13 | Пространства со скалярным произведением. Ортогонализация. Ортогональное дополнение, ортогональная составляющая. Измерение длин и углов. Матрица Грама.[6], 1357-1362, 1366, 1367, 1370-1374, 1385-1387, 1390, 1394-1395, 1400-1404. | 4 |
| 14 | Сопряженный, самосопряженный и ортогональный операторы.[6], 1541-1544, 1557-1558, 1585-1589, 1571, 1574. | 4 |
| 15 | Квадратичные формы. [6], 1175-1178, 1180-1185, 1190, 1243-1246, 1248-1255, 1212-1216, 1224-1226, 1231. | 4 |
| 16 | Приведение уравнений кривых и поверхностей 2 порядка к каноническому виду. [4], 665, 666, 669, 674-677, 689-690. | 4 |
^ 3.3. Лабораторный практикум не предусмотрен
3.4. Курсовые проекты (работы) не предусмотрены
3.5. Формы текущего контроля
| Раздел | Форма контроля | Неделя |
| 1-3 4-6 1-5 7-20 7-20 21-27 7-27 | Контрольная работа 1(векторы) Контрольная работа 2 (плоскость, прямая, кривые 2 порядка) Индивидуальное домашнее задание Контрольная работа 3 (оператор, собственное значение, жорданова форма, системы линейных алгебраических уравнений) Коллоквиум Контрольная работа 4 (евклидовы пространства, квадратичные формы) Индивидуальное домашнее задание | 7 (1-й семестр 12 (1-й семестр) 14 (1-й семестр) 9 (2-й семестр) 11 (2-й семестр) 16 (2-й семестр) 17 (2-й семестр) |
^ 3.6. Самостоятельная работа: 1.выполнение домашних заданий, 2. подготовка ИДЗ, 3. повторение теоретического материала.
Контроль самостоятельной работы: 1.проверка домашних заданий, 2. прием ИДЗ.
^ 4.1. Рекомендуемая литература
4.1.1. Основная литература
[1]. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Аналитическая геометрия, Физматлит, 2003 (398 экз.)
[2]. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. Изд.5. Физматлит, 2002 (324 экз.)
[3]. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Физматлит, 2007. (80 экз.)
[4]. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии: Учебное пособие для втузов. Профессия: СПб , 2005. (302 экз.)
[5]. Алмаев Р.Х.и др. Линейная алгебра в примерах и задачах. Учебное пособие. Обнинск. 2001. (92 экз.)
[6]. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.:Наука 1987 (240 экз.)
[7]. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые приложения. М.: Наука, 1986. (74 экз.)
^ 4.1.2. Дополнительная литература
[8]. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.:Наука, 1971. (25 экз.)
[9]. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.:Наука, 1971. (56 экз.)
[10]. Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Учебник. Издательство Проспект. Издательство Московского университета, 2008
[11]. Плыкин Р.В. Королева Л.А. Геометрические приложения линейной алгебры. Учебное пособие. Обнинск, 1989. (98 экз.)
[12]. Плыкин Р.В. Королева Л.А. Конечномерные векторные пространства. Учебное пособие. Обнинск, 1989.(121 экз.)
[13]. Плыкин Р.В, Давыдова Р.Г. Введение в аналитическую геометрию и линейную алгебру. Учебное пособие. Обнинск. 1992. (112 экз.)
[14]. Кузьменко Н.И.. Методические рекомендации для самостоятельной работы студентов по курсу линейная алгебра. Обнинск 1998. (15 экз.)
4.2. Технические средства обеспечения освоения дисциплины не предусмотрены.
5. Материально-техническое обеспечение дисциплины не предусмотрено.