Прикладная математика
Вид материала | Лекция |
- «Математика. Прикладная математика», 366.03kb.
- Рабочая программа, 182.62kb.
- Рабочая программа, 160.99kb.
- Программа дисциплины Современная прикладная алгебра для направления 010500 Прикладная, 214.78kb.
- Цифровая обработка сигналов, 137.86kb.
- Проект постановление ученого совета сгту по вопросу: «О переименовании кафедры «Прикладная, 8.11kb.
- Программа вступительного экзамена по математике подготовки магистров по направлению, 86.94kb.
- «Прикладная математика и информатика», 3781.56kb.
- Рабочая программа дисциплины прикладная математика (Наименование дисциплины), 188.06kb.
- Программа вступительного экзамена вмагистратуру по направлению 010400 "прикладная, 204.27kb.
Прикладная математика
Лекция 2
Тригонометрия
Тригонометрические функции углов прямоугольных треугольников. Радианная мера угла. Определение тригонометрических функций произвольного аргумента. Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус и косинус двойного угла. Формулы понижения степени. Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму. Простейшие тригонометрические уравнения (
![](images/5819-nomer-m55e31c0.gif)
![](images/5819-nomer-7a35ddc3.gif)
§1. Тригонометрические функции углов прямоугольных треугольников. Основные соотношения между ними
![]() |
Рис. 1. |
![](images/5819-nomer-m5fd86d4c.gif)
Синусом угла
![](images/5819-nomer-m42a4bdb1.gif)
![](images/5819-nomer-16bc636.gif)
Косинусом угла
![](images/5819-nomer-m42a4bdb1.gif)
![](images/5819-nomer-m40f6b70a.gif)
Тангенсом угла
![](images/5819-nomer-m42a4bdb1.gif)
![](images/5819-nomer-7fccbde9.gif)
Котангенсом угла
![](images/5819-nomer-m42a4bdb1.gif)
![](images/5819-nomer-m1fd0eee2.gif)
Непосредственно из определений следуют следующие соотношения:
![](images/5819-nomer-m16d6b1bd.gif)
![](images/5819-nomer-m75d354e6.gif)
Воспользовавшись теоремой Пифагора, можно доказать основное тригонометрическое тождество:
![](images/5819-nomer-m30451d8e.gif)
§2. Радианная мера угла. Определение тригонометрических функций
В геометрии угол определяется как часть плоскости, ограниченная двумя лучами. При таком определении получаются углы от 0° до 180°. Однако угол можно рассматривать и как меру поворота. При этом величина угла может быть любой.
Возьмем на координатной плоскости окружность радиуса
![](images/5819-nomer-15f83ca8.gif)
![](images/5819-nomer-38ba84b1.gif)
![](images/5819-nomer-m42a4bdb1.gif)
![](images/5819-nomer-38ba84b1.gif)
![](images/5819-nomer-7362da69.gif)
![](images/5819-nomer-7362da69.gif)
![](images/5819-nomer-m7af21693.gif)
![](images/5819-nomer-15f83ca8.gif)
![](images/5819-nomer-m7dbd38e8.gif)
Так как длина всей окружности радиуса R равна 2πR, то всей окружности соответствует угол радиан. Поскольку вся окружность содержит 360°, то один радиан соответствует
![](images/5819-nomer-5bdb0fcc.gif)
![](images/5819-nomer-3a646f7f.gif)
Рассмотрим на координатной плоскости окружность единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 2). Такая окружность называется тригонометрической. Рассмотрим произвольный угол
![](images/5819-nomer-m42a4bdb1.gif)
![](images/5819-nomer-77ae4cb3.gif)
![](images/5819-nomer-553ea6fe.gif)
![](images/5819-nomer-m65b15e3b.gif)
![](images/5819-nomer-m4eac50b3.gif)
![](images/5819-nomer-68c4e56.png)
Рис. 2
Пусть сначала
![](images/5819-nomer-2458c447.gif)
![](images/5819-nomer-1d6455ef.gif)
![](images/5819-nomer-2922cc63.gif)
![](images/5819-nomer-m42a4bdb1.gif)
![](images/5819-nomer-m58a921f2.gif)
![](images/5819-nomer-m5ec38375.gif)
![](images/5819-nomer-69e9f430.gif)
§3. Формулы приведения
С помощью несложных геометрических построений можно доказать следующие формулы, называемые формулами приведения:
![](images/5819-nomer-1ab486e6.gif)
![](images/5819-nomer-6548bcac.gif)
![](images/5819-nomer-m3bb60516.gif)
![](images/5819-nomer-24975412.gif)
![](images/5819-nomer-f41767d.gif)
![](images/5819-nomer-2c19f7b1.gif)
§4. Функции суммы и разности двух углов. Функции двойного угла. Формулы понижения степени
Можно доказать следующие формулы:
![](images/5819-nomer-532ca93a.gif)
Как частный случай этих формул имеем:
![](images/5819-nomer-m2acb7268.gif)
Обращая формулы для двойного угла, получаем:
![](images/5819-nomer-m71a6a3a9.gif)
§5. Преобразование сумм в произведение и обратно
Пользуясь формулами сложения, можно доказать:
![](images/5819-nomer-266dabdf.gif)
Из этих формул легко получить:
![](images/5819-nomer-m2d6a9e66.gif)
§6. Простейшие тригонометрические уравнения
В заключение рассмотрим решения простейших тригонометрических уравнений:
![](images/5819-nomer-m3df912d5.gif)
где
![](images/5819-nomer-2417dbe2.gif)