Geum.ru

Магические квадраты франклина вводные определения Традиционным

Вид материалаДокументы

Содержание


Рис. 2Понятно, что в магическом квадрате порядка n
2. Полумагические квадраты Франклина
Полумагический квадрат Франклина 32-го порядка – часть 1
3. Пандиагональный квадрат Франклина
Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ.
Добавлено 27 октября 2008 г.
Подобный материал:
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

Н. В. Макарова


МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ ФРАНКЛИНА


1. Вводные определения


Традиционным (нормальным или классическим) магическим квадратом порядка n называется квадратная таблица размером nхn, заполненная различными натуральными числами от 1 до n2 так, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и в обеих диагоналях таблицы равна одному и тому же числу, называемому магической константой квадрата.

Нетрудно вывести формулу для магической константы S квадрата порядка n:


S = n(n2 + 1)/2


Если суммы чисел на диагоналях квадрата не равны магической константе, то такой квадрат называется полумагическим (или неполным).

Магический квадрат порядка n называется ассоциативным, если сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна одному и тому же числу, которое, как нетрудно понять, равно n2+1. Такие числа в ассоциативном магическом квадрате называются взаимно дополнительными или комплементарными. На рис. 1 представлен ассоциативный магический квадрат четвёртого порядка.


1
14
15
4

8
11
10
5

12
7
6
9

13
2
3
16


Рис. 1


Обычные диагонали в магическом квадрате называют главными, чтобы отличать их от разломанных диагоналей. Разломанная диагональ – это диагональ, параллельная главной диагонали и проходящая тоже через n ячеек квадрата. Поскольку главных диагоналей две, то разломанные диагонали тоже будут двух направлений. Рис. 2 помогает понять, как образуются разломанные диагонали магического квадрата четвёртого порядка.





Рис. 2


Понятно, что в магическом квадрате порядка n будет 2(n-1) разломанных диагоналей.

Магический квадрат называется пандиагональным (или дьявольским), если сумма чисел по всем разломанным диагоналям равна магической константе квадрата. На рис. 3 изображён пандиагональный магический квадрат четвёртого порядка.


1
8
13
12

14
11
2
7

4
5
16
9

15
10
3
6


Рис. 3


Для порядков n = 4k + 2 не существует ни ассоциативных, ни пандиагональных магических квадратов [16].

Свойство пандиагональности сохраняется при параллельном переносе магического квадрата на торе. Такой перенос вдоль горизонтальной оси координат просто осуществить, если свернуть магический квадрат в трубочку, склеить его левый и правый края, вертикально разрезать квадрат в другом месте, а затем снова развернуть его. Получится, например, такой магический квадрат (рис. 4), который тоже будет пандиагональным.


8
13
12
1

11
2
7
14

5
16
9
4

10
3
6
15


Рис. 4


Аналогично осуществляется параллельный перенос вдоль вертикальной оси (в этом случае склеиваются верхний и нижний края квадрата и делается горизонтальный разрез).

Можно выполнить параллельный перенос одновременно по обеим осям. Параллельный перенос на торе называют ещё торическим переносом.


Магический квадрат называется идеальным, если он одновременно и ассоциативный, и пандиагональный. Идеальные магические квадраты существуют для нечётных порядков n>3 и для чётно-чётных порядков n>4 (чётно-чётным называют порядок кратный 4). В англоязычных работах термину “идеальный квадрат” соответствует термин “ultramagic square”.

На рис. 5 представлен идеальный квадрат пятого порядка.


1
23
10
14
17

15
19
2
21
8

22
6
13
20
4

18
5
24
7
11

9
12
16
3
25


Рис. 5


2. Полумагические квадраты Франклина


Американский общественный деятель Бенджамин Франклин (1706–1790) очень увлекался построением магических квадратов. Франклин писал: “В дни моей юности я в свободное время (которое, как мне кажется, можно было бы употребить с большей пользой) развлекался тем, что составлял … магические квадраты” [13].

До нас дошли только пять квадратов, построенных Франклином, из которых четыре являются полумагическими и один магическим. [1, 3] Вероятно, были и другие квадраты, но они, к сожалению, не сохранились. Например, известный пандиагональный квадрат Франклина 16-го порядка даёт основание предполагать, что Франклином был построен подобный пандиагональный квадрат и меньшего 8-го порядка. Известные нам квадраты Франклина обладают рядом уникальных свойств, которые мы рассмотрим ниже.


Сначала представим четыре полумагических квадрата Франклина, это два квадрата 8-го порядка, квадрат 16-го и квадрат 32-го порядка. Свойства полумагических квадратов 8-го и 16-го порядка подробно описаны в работах [1, 2].


Первый полумагический квадрат Франклина восьмого порядка вы видите на рис. 6.


52
61
4
13
20
29
36
45

14
3
62
51
46
35
30
19

53
60
5
12
21
28
37
44

11
6
59
54
43
38
27
22

55
58
7
10
23
26
39
42

9
8
57
56
41
40
25
24

50
63
2
15
18
31
34
47

16
1
64
49
48
33
32
17


Рис. 6


Суммы чисел в главных диагоналях этого квадрата равны 228 и 292. Их среднее арифметическое совпадает с магической константой квадрата.

Все полумагические квадраты Франклина обладают интересным свойством: они остаются такими же полумагическими (с теми же суммами чисел по главным диагоналям) при любом торическом переносе. На рис. 7 показан один из полумагических квадратов, полученных торическим переносом полумагического квадрата, изображенного на рис. 6.


1
64
49
48
33
32
17
16

61
4
13
20
29
36
45
52

3
62
51
46
35
30
19
14

60
5
12
21
28
37
44
53

6
59
54
43
38
27
22
11

58
7
10
23
26
39
42
55

8
57
56
41
40
25
24
9

63
2
15
18
31
34
47
50