Министерство полного–профессионального образования российской федерации башкирский государственный педагогический университет
Вид материала | Курсовая |
СодержаниеА называется пределом функции f (х) А является пределом последовательности Множества в Евклидовом Пространстве Комплексные пространства со скалярным произведением |
- М. Н. Липовецкий русский постмодернизм, 611.72kb.
- Д. Ф. Латыпова римское право учебное пособие, 522.19kb.
- Рабочая программа по спецкурсу меры уголовно-процессуального принуждения для студентов, 450.85kb.
- Министерство образования и науки российской федерации федеральное агентство по образованию, 32.48kb.
- Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Вологодский, 400.45kb.
- Российской Федерации Министерство общего и профессионального образования Российской, 41.11kb.
- Министерство образования российской федерации башкирский государственный университет, 3254.94kb.
- Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Государственный, 343.55kb.
- Формирование профессиональной готовности будущего социального педагога к организации, 443.31kb.
- «Профилактика девиантного поведения в молодёжной среде», 855.05kb.
МИНИСТЕРСТВО ПОЛНОГО–ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
кафедра математического анализа
Курсовая работа
на тему: Неравенства Коши
Выполнил:
студент 31 гр., ФМФ,
Шакиров Айрат Альбиртович
Проверил:
доц. Каримов Загир Шакирович
Уфа – 2002
Оглавление:
1. Введение
2. Множества в Евклидовом пространстве
Основные метрические понятия
а) Угол между векторами
б) Неравенство треугольника
3. Комплексные пространства со скалярным произведением
Скалярное произведение (Основные метрические понятия)
а) Неравенство Коши–Буняковского
б) Неравенство треугольника
Введение
![](images/311634-nomer-m6e590d34.png)
Коши Огюстен Луи (1789—1857) — знаменитый французский математик. Доказал ряд замечательных теорем в области анализа, теории функций комплексного переменного, теории дифференциальных уравнений и т. д. Большая заслуга Коши — разработка курса анализа, в котором, в частности, он предложил ставшие классическими определения предела, непрерывности функции и т. п.
Решительный шаг к созданию прочного фундамента анализа был сделан в 20-е годы прошлого века французским математиком О. Коши (1789—1857), предложившим точные определения пределов функции и последовательности и на их основе доказавшим многие фундаментальные теоремы анализа. Несколько раньше (1821 г.) определения предела и непрерывности, целый ряд других замечательных результатов (в том числе знаменитый пример функции, непрерывной на промежутке, но не имеющей производной ни в одной его точке) получил чешский математик Б. Больцано (1781 —1848), но его работы стали известны много позднее.
Определение предела функции по Коши формулируется так: «Число А называется пределом функции f (х) при х, стремящемся к а (т.е.
![](images/311634-nomer-mad3ef7b.gif)
![](images/311634-nomer-m67ca843b.gif)
![](images/311634-nomer-m67cb37c7.gif)
![](images/311634-nomer-5b4ba19c.gif)
![](images/311634-nomer-m67cb37c7.gif)
Опираясь на это определение, уже нетрудно дать определение непрерывности в точке: функция f непрерывна в точке x0 если limf(x)=f(x0)
![](images/311634-nomer-m132b8d38.gif)
Формулировка определения предела последовательности такова: «Число А является пределом последовательности если для любого
![](images/311634-nomer-m67ca843b.gif)
![](images/311634-nomer-445e1c0.gif)
О. Л. Коши внес также большой вклад в развитие математического анализа. О. Л. Коши хорошо известен каждому человеку, изучавшему математический анализ своими результатами в области математического анализа.
Множества в Евклидовом Пространстве
Основные метрические понятия
п.1 Угол между векторами. Угол между парой векторов x и y мы будем называть тот угол (в пределах от 0 до 1800), косинус которого равен отношению
![](images/311634-nomer-m1cf53f2.gif)
Чтобы это определение можно было применить в общем евклидовом пространстве, необходимо доказать, что указанное отношение по абсолютной величине не превосходит единицы, каковы бы ни были векторы x и y.
Для доказательства этого утверждения рассмотрим векторы
![](images/311634-nomer-m78893803.gif)
![](images/311634-nomer-3e3d7f64.gif)
![](images/311634-nomer-3e3d7f64.gif)
![](images/311634-nomer-m7fac606f.gif)
Используя формулу
![](images/311634-nomer-m2c4706c9.gif)
мы можем написать это неравенство в виде
![](images/311634-nomer-6a164e2b.gif)
В левой части неравенства стоит квадратный трехчлен относительно
![](images/311634-nomer-3e3d7f64.gif)
![](images/311634-nomer-3e3d7f64.gif)
![](images/311634-nomer-m6fc006b9.gif)
![](images/311634-nomer-m1e6b8af2.gif)
откуда ,извлекая квадратный корень, получаем
![](images/311634-nomer-6934f955.gif)
что и требовалось.
Неравенство (1) называют неравенством Коши–Буняковского.
Примеры.
а) В пространстве V3 неравенство Коши–Буняковского, очевидно, вытекает из самого определения скалярного произведения как произведение длин векторов и косинуса угла между ними.
б) В пространстве Rn неравенство Коши–Буняковского имеет вид
![](images/311634-nomer-26264aed.gif)
оно справедливо для любой пары векторов
![](images/311634-nomer-7a927f71.gif)
![](images/311634-nomer-10746d5b.gif)
![](images/311634-nomer-4d9b13.gif)
![](images/311634-nomer-m24414f57.gif)
в) В пространстве R2(a,b) неравенство Коши–Буняковского имеет вид
![](images/311634-nomer-506e5cf6.gif)
Рассмотрим более подробно неравенство Коши в пространстве Rn. Для начала дадим определение n–мерного евклидового пространства Rn..
Def. n–мерное точечное пространство, в котором расстояние между точками определено по данной формуле
![](images/311634-nomer-mb74f608.gif)
Ясно, что
![](images/311634-nomer-m140fb1a0.gif)
![](images/311634-nomer-m4e763e28.gif)
![](images/311634-nomer-1216ae73.gif)
![](images/311634-nomer-m15f919df.gif)
![](images/311634-nomer-513a6d8f.gif)
Это неравенство в двумерном или трехмерном пространстве выражает тот элементарный геометрический факт, что сумма двух сторон треугольника не меньше третьей стороны*, и потому называется неравенством треугольника. Также данное неравенство является одним из аксиом метрического пространства и называется аксиомой треугольника
Предварительно установим важное неравенство Коши
![](images/311634-nomer-434f1305.gif)
справедливо для любых вещественных чисел ai и bi. Простое доказательство этого неравенства основывается на следующем замечании: если квадратный трехчлен Ax2+2Bx+C с вещественными коэффициентами неотрицателен при всех вещественных x, то его дискриминант
![](images/311634-nomer-m3d25714.gif)
![](images/311634-nomer-m2c714700.gif)
![](images/311634-nomer-m20b7eb30.gif)
где
![](images/311634-nomer-m398e5280.gif)
Из определения
![](images/311634-nomer-m2c714700.gif)
![](images/311634-nomer-m48959ed7.gif)
Тогда, на основании предыдущего замечания,
![](images/311634-nomer-e6b0b5d.gif)
это и есть иначе записанное неравенство Коши.
Далее из неравенства (3) выведем еще одно неравенство
![](images/311634-nomer-6f76728e.gif)
(ai и bi – любые вещественные числа), которое тоже называют неравенством Коши.
Для доказательства неравенства (4) извлечем квадратные корни из обеих частей неравенства (3), затем удвоив обе части полученного нового неравенства и прибавим к ним выражение
![](images/311634-nomer-37cabb37.gif)
![](images/311634-nomer-m37081358.gif)
Это неравенство можно переписать и так:
![](images/311634-nomer-18dbba58.gif)
Извлекая, квадратные корни из обеих частей последнего неравенства, получим (4).
Теперь уже легко доказать неравенство треугольника (2). Пусть
![](images/311634-nomer-m178957b.gif)
Полагая в неравенстве (4)
![](images/311634-nomer-22dc58fd.gif)
мы получим неравенство (2).
Теперь приведем некоторые примеры метрических пространств.
Пусть множество l состоит из всех бесконечных числовых последовательностей
![](images/311634-nomer-m7a7b0018.gif)
![](images/311634-nomer-m717507e6.gif)
Таким образом, l – метрическое пространство
Обозначим через l2 множества всех таких последовательностей
![](images/311634-nomer-m19ecdb31.gif)
![](images/311634-nomer-m641dbd43.gif)
![](images/311634-nomer-m3af93300.gif)
Прежде всего нужно проверить, что
![](images/311634-nomer-m5d6aa1b8.gif)
![](images/311634-nomer-4da6cd57.gif)
![](images/311634-nomer-6f76728e.gif)
которое мы будем называть неравенством Коши для бесконечных последовательностей. Аналогичным образом из неравенства (3) выводится и другое неравенство Коши для бесконечных последовательностей:
![](images/311634-nomer-46866241.gif)
Из неравенства (5), в частности, следует, что если
![](images/311634-nomer-2f178917.gif)
![](images/311634-nomer-4826e44c.gif)
![](images/311634-nomer-7db180b4.gif)
![](images/311634-nomer-m312262b9.gif)
Теперь проверка выполнения в l2 аксиом метрического пространства может быть произведена совершенно так же, как это сделано для Rn.
Пространство l2 иногда называют бесконечномерным евклидовым пространством.
п.2 Неравенство треугольника. Если x и y –произвольные векторы, то по аналогии с элементарной геометрии вектор x+y естественно называть третьей стороной треугольника, построенного на векторах x и y. Используя неравенство Коши–Буняковского, мы получаем
![](images/311634-nomer-m26713505.gif)
или
![](images/311634-nomer-m23f3432a.gif)
![](images/311634-nomer-m1e9a0389.gif)
Неравенства (7)–(8) называются неравенствами треугольника. Геометрически они означают, что длина любой стороны всякого треугольника не больше, чем сумма длин двух других сторон, и не меньше, чем абсолютная величина разности длин этих сторон.
Комплексные пространства со скалярным произведением
Скалярное произведение (Основные метрические понятия)
п.3 Неравенство Коши–Буняковского. Для любых двух векторов x, y из C имеет место неравенство
![](images/311634-nomer-6934f955.gif)
Доказательство проводится по той же схеме, что и в вещественном случае (п.1), но с некоторой осторожностью обращения с комплексными числами. Если (x, y)=0, неравенство (9) очевидно. При (x, y)0 замечаем, что
![](images/311634-nomer-m2ae4e8f0.gif)
при любом комплексном
![](images/311634-nomer-3e3d7f64.gif)
![](images/311634-nomer-5e3f42ff.gif)
Будем считать, что
![](images/311634-nomer-3e3d7f64.gif)
![](images/311634-nomer-m6131a9bb.gif)
![](images/311634-nomer-16dc90af.gif)
![](images/311634-nomer-m6131a9bb.gif)
![](images/311634-nomer-58334498.gif)
![](images/311634-nomer-m7052630c.gif)
![](images/311634-nomer-457521d7.gif)
![](images/311634-nomer-594c8a8.gif)
Теперь та же аргументация, что и в (п.1), приводит нас к искомому неравенству (9).
Если в неравенстве(9) стоит знак равенства, то трехчлен в левой части (11) имеем один вещественный корень to. Заменяя tzo на
![](images/311634-nomer-3e3d7f64.gif)
![](images/311634-nomer-20240aa7.gif)
![](images/311634-nomer-38dd5be4.gif)
и
![](images/311634-nomer-610b6df6.gif)
п.4 Неравенство треугольника. Если x и y – два вектора в унитарном пространстве C, то по неравенству Коши–Буняковского (п.3)
![](images/311634-nomer-m5c8bff58.gif)
![](images/311634-nomer-m1fdd5b70.gif)
откуда
![](images/311634-nomer-6f101db9.gif)
Неравенства (12), как и в вещественном случае, называют неравенствами треугольника.
![](images/311634-nomer-m53d4ecad.gif)
Список литературы:
1. Вулих Б. З. Краткий курс теории функций вещественной переменной. М.,1973. – 350 с.
2. Коровкин П. П. Неравенства. М., 1983. – 56 с.
3. Шилов Г.Е. Математический анализ (конечномерные линейные пространства). М.,1969 г., 432 с.
4. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 2 М., 1966 г., 800с.