Geum.ru

Курс лекций Рекомендовано редакционно-издательским советом Орелгту в качестве учебного пособия Орел 2005

Вид материалаКурс лекций

Содержание


2.5 Основные принципы употребления имен (знаков)
Вопросы и упражнения для повторения
Тема 3. Формализованные логические языки 3.1 Язык логики предикатов
Подобный материал:
1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   ...   47

2.5 Основные принципы употребления имен (знаков)



Принцип однозначности представляет собой требование употреблять знак языка в каждом процессе рассуждения с одним и тем же предметным значением. Изменение предметного значения знака – в случае необходимости – должно особо оговариваться.

Пример. Приведем рассуждение из одного школьного учебника: «Вода не имеет собственной формы, она принимает форму того сосуда, в который помещена. Вода бывает в твердом, жидком и газообразном состоянии». В этом рассуждении в первом тезисе «вода» употребляется в повседневном смысле, т.е. подразумевается жидкость, не имеющая цвета, запаха, вкуса. Во втором тезисе «вода» - химически сложное вещество, существующее в природе в различных агрегатных состояниях. Оба тезиса составляют одно рассуждение и по замыслу представляют различные характеристики одного и того же вещества – воды. Но здесь совершена ошибка «подмена тезиса». Следствием этой ошибки является очевидное противоречие: всякому известно, что в твердом состоянии вода имеет свою форму.

Принцип предметности. Для того чтобы утверждать что-то о каком-либо предмете или предметах некоторого класса, надо употребить знак этого предмета или общее имя предметов данного класса, а также знак того, что утверждается, – свойство, отношение и т.п., но утверждение при этом относится не к знакам, а к самим предметам.

Предметом мысли могут быть и сами знаки. Тогда нужны знаки (имена) самих этих знаков. На письме такие имена следует брать в кавычки.

Пример. ««Материя» - философская категория». Здесь значением имени «материя» является слово, т.е. знак («категория»).

Принцип взаимозаменимости. Любой знак в составе некоторого сложного знака, например предложения или сложного имени, может быть заменен другим знаком с тем же предметным значением без изменения предметного значения всего выражения в целом (для предложения – без изменения его истинностного значения):

Ф(а), а=b,

Ф(b)

где а=b означает, что а и b являются именами одного и того же предмета;

Ф(а) – высказывание, в составе которого встречается имя а;

Ф(b) – высказывание, в составе которого встречается имя b.

Пример. Ф(а) – «Луна – остывшее небесное тело»; а – «Луна»; b – «естественный спутник Земли»; Ф(b) – «естественный спутник Земли – остывшее небесное тело».

Вопросы и упражнения для повторения




  1. Что такое знак, смысл знака и значение знака?
  2. Почему язык является знаковой системой?
  3. Какие существуют типы знаков?
  4. Что такое семантические категории? Перечислите основные семантические категории языковых выражений.
  5. На какие виды подразделяются имена? Охарактеризуйте эти виды.
  6. Каковы основные принципы употребления имен (знаков)?
  7. Укажите, какие предметные значения имеют следующие выражения языка как знаки: Луна, естественный спутник Земли, самая большая река в Европе, Аристотель, мужество, любовь, доброта.

Какие из перечисленных знаков имеют собственный смысл, в чем он состоит? Попытайтесь установить приданный смысл тех знаков, которые не имеют собственного смысла.
  1. Являются ли знаками и почему следующие слова и словосочетания: познание, мыслящее число, чувственное наслаждение, вкус мысли, творческая деятельность, духовность, бессмыслица, стремление, абракадабра.
  2. Установите, к каким семантическим категориям относятся выражения: 1) все жидкости упруги; 2) жидкость; 3) если…, то…; 4) жидкий; 5) вода; 6) расположенный севернее; 7) вещество, которое не имеет собственной формы и принимает форму того сосуда, в который помещено; 8) жидкость, не имеющая ни запаха, ни цвета, ни вкуса.
  3. Придумайте примеры, иллюстрирующие нарушение основных принципов употребления имен.



Тема 3. Формализованные логические языки




3.1 Язык логики предикатов



Формализованный язык классической логики предикатов является фрагментом и результатом некоторой реконструкции естественного языка. Специфика его состоит, прежде всего, в наличии точных правил построения высказываний (формул) и сложных имен (термов). Этот язык предназначен для аксиоматического построения теорий, для анализа содержания высказываний естественного языка и выявления логических отношений между ними, для описания правил рассуждения, построения выводов и доказательств и т.д.

Язык классической логики предикатов обычно характеризуют как символический язык, потому что здесь используется особая символика.


Исходные символы:


p, q, r, s, p1... – пропозициональные переменные (символы для обозначения целых повествовательных предложений);

a, b, c, d, a1... – предметные константы (символы для обозначения единичных имен);

x, y, z, x1... – предметные переменные (символы для обозначения общих имен);

P, Q, R, S, P1... – предикатные символы (символы для обозначения свойств и отношений);

 - логическое отрицание («не» или «неверно, что»);

 - конъюнкция («и»);

 - дизъюнкция («или»);

- строгая дизъюнкция («либо…, либо…»);

 - импликация («если…, то…»);

 - тождество (эквивалентность) («тогда и только тогда, когда…»);

 - квантор всеобщности («все», «каждый»);

 - квантор существования («некоторые», «существуют»);

Помимо этого в записи используются технические знаки: скобки и запятая.

Выражения языка логики предикатов называются формулами. Определению правильно построенной формулы предшествует определение терма.


Термы (индуктивное определение):

  1. любая предметная переменная и предметная константа есть терм;
  2. если t1, t2, …tn есть термы и fn есть n-местный предметный функтор, то fn(t1, t2, … tn) есть терм;
  3. ничто, кроме указанного в пунктах 1 и 2, не есть терм.


Формулы (индуктивное определение):

  1. если t1, t2, …tn есть термы и Рn – n-местный предикатор, то Pn(t1, t2, …tn) есть формула (атомарная);
  2. если А и В – формулы, то (АВ), (АВ), (АВ), А – формулы;
  3. если х есть предметная переменная и А – формула, то хА и хА – формулы;
  4. ничто, кроме указанного в пунктах 1 – 3, не есть формула.

Использованные в определениях терма и формулы символы t1, t2, …tn и fn, Pn, А, В, х – знаки метаязыка.

Метаязык – это язык, на котором говорят о другом языке. Например, в учебнике английского языка для русских метаязыком является как раз русский язык, а английский в этом случае будет называться объектным. Объектный язык – это язык, описание которого происходит с помощью метаязыка. Если взять учебник русского языка для англичан, то объектным в нем является русский язык, а метаязыком – английский.

При переводе высказываний на язык логики предикатов существует различие между записью признаков-свойств и признаков-отношений.

Тот факт, что предмету а принадлежит свойство Р, на языке логики предикатов запишется Р(а), а то, что предмету b принадлежит свойство Q – Q(b). То, что некоторое свойство Р принадлежит произвольному предмету х из некоторой, выбранной нами области, запишется Р(х).

Пример 1. Высказывание «Это дерево высокое» на языке логики предикатов запишется так: Р(а), где а – «это дерево»; Р – «высокое».

Пример 2. «Некоторые деревья высокие» на языке логики предикатов запишется формулой хР(х), где х – «деревья»; Р – «высокие»;  - квантор существования, указывающий на то, что в высказывании речь идет только о некоторых элементах множества «деревья».

То, что между двумя произвольными предметами х и у существует отношение R, запишется R(x,y).

Пример 3. Высказывание «Каждое положительное число больше любого отрицательного» в виде формулы можно представить так: хуR(х,у), где х – «положительные числа»; у – «отрицательные числа»; R – отношение «быть больше».

Пример 4. «Пять больше трех» на языке логики предикатов запишется R(a,b), где а – «пять»; b – «три»; R – «быть больше».

Пример 5. «Москва расположена между Петербургом и Екатеринбургом». В этом высказывании имеет место отношение между тремя предметами «Москва», «Петербург», «Екатеринбург». Формула высказывания будет следующей: R(a,b,c), где a – «Москва»; b – «Петербург»; c – «Екатеринбург»; R – отношение «быть расположенным между».

Формулы Р(а), Р(х), R(х,у), R(a,b,c) и т.д. называются предикатами. Предикат следует отличать от предикатора. Предикаторы (см. тему 2) являются составными частями предикатов. Разница между ними заключается в том, что если речь идет о характеристиках (свойствах и отношениях, а также характеристиках предметно-функционального типа) без отнесения их к определенным предметам, то они называются предикаторами. Если же мы говорим о предикатах, то подразумеваем характеристики определенных, данных предметов. Таким образом, в отличие от предикаторов, предикаты – это не просто знаки свойств или отношений, а знаки признаков. Например, слово «белый» как знак отвлеченного от предметов свойства является предикатором, а как знак признака предмета «свитер» («белый свитер») или «снег» («белый снег») – предикатом.

Знаки свойств называются одноместными предикатами. Знаками отношений являются многоместные предикаты. Так, предикаты Р(а) и Р(х) – одноместные. Предикаты R(х,у) и R(a,b,c) – многоместные: R(х,у) – двухместный предикат; R(a,b,c) – трехместный. Часто местность предиката указывают верхним индексом: R2(х,у), R3(a,b,c).

При записи высказываний на языке логики предикатов нужно иметь в виду, что в логике принято различать атрибутивные и реляционные свойства. Атрибутивные свойства представляют собой характеристики предметов самих по себе, например: «является человеком», «жидкий», «способный» и т.д. Реляционные свойства всегда образуются из некоторого отношения и указывают на наличие или отсутствие отношения данного предмета к каким-то другим предметам.

Пример 6. Высказывание «Москва расположена между Петербургом и Екатеринбургом» можно записать формулой R1(а), где а – «Москва»; R1 – реляционное свойство «быть расположенным между Петербургом и Екатеринбургом». Нетрудно заметить, что одноместный предикат R1(а), который представляет реляционное свойство, образуется из многоместного (в данном случае трехместного) предиката R(a,b,c).

Пример 7. Высказывание «Всякий студент знает какой-нибудь иностранный язык» может быть записано на языке классической логики предикатов в следующем виде:

хyR(x,y),

где х употребляется вместо «студент», у - вместо «иностранный язык», R является знаком отношения «знает».

Классы студентов и иностранных языков называются областями значений соответственно х и у.

Информацию, заключенную в исходном высказывании, можно выразить более подробно:

x(P(x)  y(Q(y)  R(x,y))),

где P и Q обозначают теперь соответственно «студент» и «иностранный язык», рассматриваемые как знаки свойств (т.е. одноместные предикаторы), а х и у имеют единую область значений – множество «объектов вообще».

Пример 8. Высказывание «Если какое-то тело вторгается в атмосферу Земли, то оно вспыхивает» на языке логики предикатов запишется так:

x(P(x,a)Q(x)),

где Р – отношение «вторгается»; Q – «вспыхивает»; а – «атмосфера Земли»; х – «тело».