Пособие состоит из двух самостоятельных разделов

Вид материала

Документы

Содержание Якобиан преобразования плотности распределения в функции правдоподобия Преобразование зависимой переменной. Модель Бокса-Кокса

Подобный материал:

• Пособие состоит из двух самостоятельных разделов, 1481.78kb.
• Экзамен по избранному виду спорта состоит из двух разделов теоретического и практического, 49.78kb.
• Экзамен по избранному виду спорта состоит из двух разделов теоретического и практического, 81.96kb.
• Курсовая работа по дисциплине Экономика предприятия состоит из двух разделов: теоретической, 153.63kb.
• Аннотации дисциплин, 456.29kb.
• Виктор Сергеевич Стародубцев учебное пособие, 718.78kb.
• Природоохранное и природоресурсное закон, 1307.64kb.
• -, 9049.93kb.
• Методические рекомендации по выполнению самостоятельной работы студентов по дисциплине, 54.29kb.
• Программа состоит из двух разделов: Примерная программа родительского всеобуча «Семейная, 451.17kb.

Якобиан преобразования плотности распределения в функции правдоподобия

Функция правдоподобия модели типа  = f (Y, ₁)

Рассмотрим модель по отношению к которой регрессия является частным случаем:

 = f (Y, ₁).

Здесь Y — зависимая переменная,  — ошибка, причем Y и  — вектора-столбцы одинаковой размерности. “Независимые переменные” (рег­рес­со­ры) X неявно содержатся в функции f (.).  ₁ — неизвестные параметры. Обозначаем их  ₁, а не  , потому что распределение ошибок  само может зависеть от вектора неизвестных параметров ( ₂), так что

  = .

В частном случае линейной регрессии

f (Y, ₁)  Y – X,  ₁  ,  ₂   ².

Как правило, при построении эконометрической модели делают предположение о распределении ошибки, а уже из распределения ошибки выводят распределение зависимой переменной. Таким образом, задача состоит в том, чтобы из плотности распределения  получить плотность распределения Y (если мы имеем дело с непрерывным распределением).

Плотности распределения связаны между собой соотношением:

p_Y(Y, ) = p_( f (Y, ₁), ₂) abs |J( ₁)|,

где J( ₁) — матрица Якоби (якобиан), соответствующий преобразованию Y в  :

J( ₁) = = {}_il

— матрица первых производных f  по Y. В выражении для плотности здесь стоит модуль определителя якобиана.

Функция правдоподобия — это по определению плотность распределения Y. Таким образом, логарифмическая функция правдоподобия равна

 = ln p_( f (Y, ₁), ₂) + ln abs |J( ₁)|.

Будем второе слагаемое здесь называть якобианным членом. Якобианный член уже присутствовал в логарифмических функциях правдоподобия, которые мы рассматривали выше (см. напр. регрессии с автокоррелированными ошибками). В модели с AR(1)-ошибкой  _i =   _i–1 +  _i, где  _i = Y_i – X_i . Выразим  через Y:

f_i(Y, ₁) =  _i = (Y_i – X _i ) –  (Y_i–1 – X_i–1 ), i =1,...,N.

f₁(Y, ₁) = (Y₁ – X₁).

Здесь  ₁  . f₁(Y, ₁) определена таким образом, чтобы все элементы f имели одинаковую дисперсию. Для этой модели

J( ₁) = = , abs |J( ₁)| = .

Преобразование зависимой переменной. Модель Бокса-Кокса

В частном случае рассмотренной модели  ₁ состоит из  и  и

f_i (Y_i, ₁) = h_i(Y_i,) – X_i().

Модель является квазирегрессионной. Здесь X() — матрица “рег­рес­со­ров”,  — вектор регрессионных коэффициентов. Якобиан J = = зависит только от параметров  и является диагональной матрицей.

Такая модель возникает из регрессии, если применить к зависимой переменной преобразование, зависящее от оцениваемых параметров.

Пусть ошибки нормально распределены  _i~N(0, ²) и некоррелированы.

p_(z) = (2 ²) exp(–  z^Tz).

Логарифмическая функция правдоподобия для такой модели:

 = ln p_( f (Y, ₁), ₂) + ln abs |J( ₁)| =

= – ln(2 ²) –   f ^Tf  + ln abs |  | =

= – ln(2 ²) –   (h(Y,) – X())² + ln abs (  ).

Самое популярное преобразование зависимой переменной — это преобразование Бокса-Кокса:

h(Y_i,) = .

В общем случае его можно применять при положительных Y_i.

Если   0, то  lnY_i, поэтому берут h(Y,0) = lnY.

Таким образом, имеем следующую простейшую модель Бокса-Кокса³:

 = X_i  + _i .

Здесь регрессоры X детерминированы и не зависят от неизвестных параметров.

Якобиан равен

J = .

Функция правдоподобия для модели Бокса-Кокса равна

 = – ln(2 ²) –   ( – X  )² – (1 –  )  lnY_i.

Концентрируя функцию правдоподобия по  ², получим

 = – ln(2 ) – – (1 –  )  lnY_i.

Обозначим среднее геометрическое Y_i:

= (_iY_i).

Тогда  = – ln(RSS) – N (1 –  ) ln  + const.

Максимизация  эквивалентна минимизации следующей суммы квадратов:

( ( – X )).

Можно предложить два метода оценивания.

Первый метод заключается в одномерной минимизации по , поскольку при фиксированном  задача сводится к ОМНК. Строим регрессию (Y – 1)/  по X.

Второй метод заключается в использовании нелинейного МНК, в котором зависимой переменной является вектор, состоящий из нулей, а в правой части стоит ((Y – 1)/  – X  ).

В обоих случаях мы найдем МП-оценки, но не найдем состоятельную оценку матрицы ковариаций оценок (ко­ва­ри­аци­он­ные матрицы из этих вспомогательных регрессий не годятся).