Програма кандидатських та вступних іспитів за спеціальністю 01. 01. 07 обчислювальна математика
| Вид материала | Документы |
- Програма кандидатських іспитів зі спеціальності 05. 13. 03 «Системи І процеси керування», 223.13kb.
- Порядок та умови прикріплення з метою складання кандидатських іспитів, 47.25kb.
- Програма вступних іспитів до Інституту інформатики І штучного інтелекту за спеціальністю, 118.96kb.
- Програма вступних іспитів до аспірантури За спеціальністю 08. 00., 406.28kb.
- Програма вступних співбесід за спеціальністю «Електротехнічні системи електроспоживання», 267.7kb.
- Програма фахових вступних випробувань для проведення вступних випробувань при вступі, 339.95kb.
- Програма вступних іспитів до аспірантури зі спеціальності 03. 00. 13 „Фізіологія людини, 33.73kb.
- Робоча програма навчальної дисципліни основи інформати ки та обчислювальна техніка, 104.32kb.
- Програма вступних іспитів з основ економіки магістерська програма (мба та інші спеціалізовані, 174.15kb.
- Обсяг вимог для вступних іспитів в аспірантуру за спеціальністю 09. 00. 09 – «Філософія, 15.54kb.
ПРОГРАМА
кандидатських та вступних іспитів за спеціальністю
01.01.07 – обчислювальна математика
Затверджена вченою радою Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
(протокол № 2 від 27 лютого 2007 р.)
1. ІНТЕРПОЛЮВАННЯ І СЕРЕДНЬОКВАДРАТИЧНЕ НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ
Основні поняття наближення функцій. Загальна теорія похибок обчислень. Інтерполяційний поліном Лагранжа. Поліном Чебишова і вибір вузлів інтерполювання. Скінченні і розділені різниці. Інтерполяційна формула Ньютона. Формула Григорі – Ньютона для інтерполювання назад. Формула інтерполювання з кінцевими різницями. Екстраполювання. Обернене інтерполювання. Інтерполяційний поліном Ерміта. Інтерполювання функцій кубічними поліноміальними сплайнами. Інтерполювання функцій двох змінних. Середньоквадратичне наближення таблично заданих функцій за допомогою поліномів. Загальна задача наближення за методом найменших квадратів. Середньоквадратичне наближення функцій декількох змінних.
2.ЧИСЕЛЬНЕ ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ ТА ІНТЕГРУВАННЯ
Чисельне диференціювання і застосування формули Ньютона. Застосування формули Стерлінга. Інтерполяційні квадратурні формули. Квадратурні формули Ньютона – Котеса. Формула Чебишова для чисельного інтегрування. Метод квадратури Гаусса.
3. ПРЯМІ МЕТОДИ ДОСЛІДЖЕННЯ І РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
3.1. Деякі відомості із теорії матриць та лінійної алгебри
Матриці і дії над ними, алгебраїчні доповнення, ранг матриці, обернена матриця. Спеціальні матриці. Норми векторів і матриць. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Класифікація систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Обумовленість матриць і систем. Коректні і некоректні постановки задач. Похибка реалізації обчислювальних алгоритмів на комп’ютерах.
3.2. Методи
Метод Гаусса. Компактна схема методу Гаусса. Метод квадратних коренів. Метод квадратних коренів для профільних, стрічкових і розріджених матриць. Оцінки вірогідності розв'язків, отриманих прямими методами. Метод ортогоналізації.
4. ІТЕРАЦІЙНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
4.1 Деякі відомості з лінійної алгебри і теорії матриць.
Лінійний векторний простір. Лінійна залежність векторів. Базис
n-мірного лінійного простору. Лінійний підпростір. Скалярний добуток векторів. Ортогональні системи векторів. Перетворення координат при змінах базису. Простір розв'язків однорідної системи. Лінійне перетворення змінних. Подібні матриці. Білілінійна і квадратична форми матриць. Властивості сингулярних матриць.
4.2. Однокрокові ітераційні процеси
Ітераційний метод Якобі (проста ітерація). Принципи побудови ітераційних процесів. Деякі ітераційні методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь з симетричною додатно визначеною матрицею. Прискорення збіжності ітерацій. Релаксаційні методи. Метод Гаусса – Зейделя. Метод верхньої релаксації.
4.3. Двокрокові ітераційні процеси
Явний двокроковий метод. Напівітераційний метод Чебишова.
4.4. Вірогідність розв'язків, одержаних ітераційним методом
5. МЕТОДИ ОБЧИСЛЕННЯ ВЛАСНИХ ЗНАЧЕНЬ І ВЛАСНИХ ВЕКТОРІВ МАТРИЦЬ
5.1. Алгебраїчна проблема власних значень
Постановка задач на власні значення. Властивості власних значень симетричної трьох діагональної матриці. Елементарні матриці обертання. Матриці відбиття. Канонічна форма Жордана. Елементарні дільники. Обумовленість матриць у задачах на власні значення.
5.2. Методи розв’язування стандартної проблеми на власні значення
Метод Якобі. Метод Хаусхолдера зведення симетричних матриць до трьох діагонального вигляду. Методи Гівенса, Шварца зведення симетричних матриць до трьох діагонального вигляду. QR і QL- методи. Зведення матриць загального вигляду до форми Хессенберга. Метод половинного ділення. Степеневий метод. Метод скалярних добутків. Метод обернених ітерацій. Метод Лагранжа. Метод одночасних ітерацій.
5.3. Методи розв’язування узагальненої проблеми на власні значення
Зведення до звичайної задачі на власні значення. Приведення до узагальненої форми Шура.
5.4. Методи розв’язування задач на власні значення з розрідженими і стрічковими матрицями
5.5. Вірогідність результатів, одержаних при розв’язуванні матричних проблем на власні значення
6. МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ З ПРЯМОКУТНИМИ ТА КВАДРАТНИМИ ВИРОДЖЕНИМИ МАТРИЦЯМИ
6.1. Узагальнене обернення матриць і узагальнений розв’язок систем лінійних алгебраїчних рівнянь
Узагальнені розв'язки систем лінійних алгебраїчних рівнянь з прямокутними і квадратними виродженими матрицями. Обернення прямокутних і вироджених квадратних матриць. Сингулярне розвинення матриць.
6.2. Методи
Чисельне псевдо обернення матриць. Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом сингулярного розвинення матриці. Чисельне розв’язування однорідних систем рівнянь. Метод А.М.Тихонова. Нормалізований процес і його застосування для розв’язування систем з довільними прямокутними матрицями. Ітераційні методи розв’язування систем з симетричними додатно напіввизначеними матрицями. Ітераційні методи одержання узагальненого розв’язку несумісних систем лінійних алгебраїчних рівнянь.
6.3. Вірогідність одержуваних розв'язків
7. МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМИ НЕЛІНІЙНИХ
АЛГЕБРАЇЧНИХ І ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ РІВНЯНЬ
7.1. Нелінійні рівняння з одним невідомим
Відокремлення коренів. Теорема про нерухому точку. Принципи побудови однокрокових ітераційних процесів. Метод простої ітерації. Метод Ньютона. Метод січних. Знаходження комплексних коренів трансцендентних рівнянь. Чисельне розв’язування поліноміальних рівнянь.
7.2. Розв’язування систем нелінійних рівнянь
Метод простої ітерації. Метод Ньютона. Метод квазіньютонівського типу. Методи безумовної мінімізації функцій багатьох змінних. Методи спуску. Одно – і двокрокові градієнтні методи. Методи змінної метрики.
7.3. Вірогідність одержуваних розв'язків
8. МЕТОДИ МАТЕМАТИЧНОГО ПРОГРАМУВАННЯ
Поняття про лінійне програмування. Симплекс – метод двоїстий симплекс – метод. Метод для одночасного розв’язування прямої і двоїстої задачі лінійного програмування. Поняття про квадратичне випукле програмування. Метод можливих напрямків, метод узагальнених градієнтів. Поняття про задачі нелінійного програмування. Задачі оптимального керування.
9. ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ КОШІ ДЛЯ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
9.1. Загальні відомості про задачі Коші
Постановка задачі. Існування і єдність розв'язків. Стійкість розв'язків. Жорсткі звичайні диференціальні рівняння.
9.2. Однокрокові методи чисельного інтегрування задачі Коші
Явний і неявний методи Ейлера. Метод Ейлера – Коші з ітераціями. Метод Рунге – Кутта. Методи, основані на розкладенні Дарбу – Обрешкова.
9.3. Багатокрокові методи чисельного інтегрування задачі Коші
Методи Адамса. Неявні методи Куртіса – Хіршенфельда. Метод Гіра. Збіжність і стійкість багатокрокових методів.
10. ЧИСЕЛЬНЕ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
10.1. Деякі відомості про крайові задачі для звичайних диференціальних рівнянь
Постановки крайових задач. Функціональні метричні простори. Лінійні оператори. Проблема існування, єдності і коректності для крайових задач. Проекційні методи розв'язування крайових задач. Оцінки спадкової похибки.
10.2. Метод скінченних різниць
Поняття про метод скінченних різниць: дискретизація, дослідження властивостей різницевих задач. Апроксимація, стійкість, збіжність розв'язку. Оцінки точності за умов конкретної дискретизації. Побудова різницевих схем на основі варіаційних формулювань задач. Інтегро – інтерполяційний метод дискретизації.
10.3. Метод скінченних елементів
Побудова дискретних задач з використанням кусочно – лінійних поліномів як допустимих функцій. Дискретизація з використанням кусочно – кубічних поліномів. Збіжність методу скінченних елементів. Оцінка числа обумовленості матриць методу скінченних елементів. Базисні функції. Вірогідність розв'язків які одержані методом скінченних елементів.
11. ЧИСЕЛЬНЕ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
В ЧАСТИННИХ ПОХІДНИХ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
11.1. Чисельне розв’язування початково – крайових задач для рівнянь параболічного типу
Постановка начально – крайових задач. Початкові і крайові умови. Узагальнений розв'язок. Метод скінченних різниць. Явні та неявні різницеві схеми. Дослідження збіжності різницевих схем. Метод скінченних елементів. Побудова методом скінченних елементів задачі Коші для рівнянь параболічного типу другого порядку. Чисельне розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь. Збіжність методу скінченних елементів.
11.2. Чисельне інтегрування параболічних рівнянь другого порядку
Постановка задачі. Крайові і початкові умови. Узагальнений розв'язок. Метод скінченних елементів.
11.3. Обчислення власних значень і власних функцій деяких диференціальних операторів.
Постановка задачі. Метод скінченних різниць. Ітераційні методи розв'язування різницевих задач на власні значення. Метод скінченних елементів. Збіжність методу скінченних елементів. Метод ітерування підпростору для обчислення декількох власних значень і власних векторів узагальненої задачі.
11.4.Чисельне розв’язування еліптичних рівнянь
Постановка крайових задач для еліптичних рівнянь другого порядку. Узагальнені задачі. Збіжність методу скінченних елементів. різницеві схеми для розв’язування задачі Діріхле. Апріорні оцінки. Збіжність різницевих схем. Ітераційні методи розв’язування різницевих задач для рівнянь другого порядку.
12. ЗАГАЛЬНА ТЕОРІЯ НАБЛИЖЕНИХ МЕТОДІВ
Абстрактні наближені схеми. Апроксимація, стійкість, збіжність. Компактна апроксимація операторів і наближене розв’язування нелінійних операторних і функціональних рівнянь. Проблема вибору початкових наближень для ітераційних процесів. Методи чисельного розв’язування інтегральних рівнянь. Метод механічних квадратур. Метод заміни ядра виродженим. Метод послідовних наближень.
13. ОСНОВНІ ПРИНЦИПИ РОЗПАРАЛЕЛЮВАННЯ ОБЧИСЛЕНЬ
Принципи організації обчислень при розв’язуванні задач лінійної алгебри, систем нелінійних алгебраїчних рівнянь, задач математичної фізики на паралельних і векторних комп’ютерах.
Список літератури
1. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. – М.: Мир, 1982. – 248 с.
2. Банди Б.Основы нелинейного программирования. – М.: Радио и связь, 1989. – 176 с.
3. Бахвалов Н.С. Численные методы алгебры. Анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1975. – 631 с.
4.Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1966. – 248 с.
5. Вайникко Г.М. Компактная аппроксимация операторов и прибли-женное решение уравнений. – Тарту: Изд-– во Тартуск.ун-та, 1970. – 121 с.
6. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. – М.: Наука,1977. – 303 с.
7. Воеводин В.В, Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. – М.: Наука, 1984. – 320 с.
8. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. Введение в теорию. – М.: Наука, 1977. – 439 с.
9. Гончаров В.Л. Теория интерполирования и приближение функций. – М.: ГИТТЛ, 1954. – 325 с.
10. Гринфельд Г.И. Интерполирование и способ наименьших квадратов. – Киев: Вища шк., 1964. – 325 с.
11. Дейнека В.С., Сергиенко И.В., Скопецкий В.В. Математические модели и методы расчета задач с разрывными решениями. – Киев: Наук. думка, 1995. – 262 с.
12. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: 1978. – 512 с.
13. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормиро-ванных пространствах. – М.: Физматгиз, 1959.
14. Приближенное решение оперативных уравнений // М.А. Красно-сельский, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко и др. – М.: Наука, 1969. – 456 с.
15. Ляшко И.И., Макаров В.Л., Скоробагатько А.А. Методы вычислений // Численый анализ. Методы решения задач математической физики. – Киев: Вища шк., 1977. – 408 с.
16. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: Наука, 1989. – 608 с.
17. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в прекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981. – 416 с.
18. Михлин С.Г., Смолицкий Х.Л. Приближенные методы решения диф-ференциальных и интегральных уравнений. – М.: Наука, 1965. – 383 с.
19. Молчанов И.Н. Машинные методы решения прикладных задач. Дифференциальные уравнения. – Киев: Наук. думка, 1988. – 343 с.
20. Молчанов И.Н., Николаенко Л.Д. Основы метода конечных элементов. – Киев: Наук. думка, 1989. – 272 с.
21. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. – М.: Мир, 1991. – 368 с.
22. Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. – М.: Наука, 1982. – 144 с.
23. Самарский А.А. Введение в численные методы. – М.: Наука, 1987. – 288 с.
24. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. – М.: Наука, 1979. – 592 с.
25. Сергиенко И.В., Скопецкий В.В., Дейнека В.М. Математическое моде-лирование и исследование процессов в неоднородных средах. – Киев: Наук. думка, 1991. – 432 с.
26. Сергиенко И.В., Лебедева Т.Т., Рощин В.А. Приближенные методы решения дискретных задач оптимизации. – Киев: Наук. думка, 1988. – 273 с.
27. Стренг Г., Фикс Д. Теория метода конечных элементов. – М.: Мир, 1977. – 349 с.
28. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. – М.: Мир, 1980. – 512 с.
29. Треногин В.А. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1980. – 495 с.
30. Уилкинсон Дж. Х., Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. – М.: Машиностроение, 1976. – 390 с.
31. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. – М.; Л. Физматгиз, 1963. – 734 с.
Программу склав: член-кореспондент НАН України,
професор СКОПЕЦЬКИЙ В.В.