Программа по дисциплине обобщенные и специальные методы математической физики

Вид материала

Программа

Содержание Перечень дисциплин, усвоение которых необходимо для изучения курса Содержание курса Тема 2. Гильбертовы пространства дифференцируемых функций I. Обобщенные функции Тема 4. Дифференцирование обобщенных функций Тема 6. Преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста Тема 9. Обобщенная задача Коши для волнового уравнения Тема 10. Обобщенная задача Коши для уравнения теплопроводности Тема 11. Функция Грина оператора Лапласа Тема 12. Теория потенциала II. Специальные функции Тема 14. Функции Лежандра (сферические функции) Тема 15. Функции Бесселя (цилиндрические функции) Тема 16. Функции Матье

Подобный материал:

• Н. Г. Чернышевского кафедра теоретической и математической физики рабочая программа, 173.64kb.
• Учебно-методический комплекс по дисциплине Линейные и нелинейные уравнения физики (Методы, 325.5kb.
• Программа учебной дисциплины методы математической физики специальность «050201 математика, 145.93kb.
• Учебно-методический комплекс по дисциплине опд. Ф. 02. Методы математической физики., 351.4kb.
• Программа курса «уравнения математической физики» для математического отделения, 34.71kb.
• Учебно- методический комплекс по дисциплине опд. Ф 02. Методы математической физики, 340.98kb.
• Содержание уравнения математической физики (нм-3) Уравнения математической физики (нп-3), 92.05kb.
• А. М. Горького Институт по переподготовке и повышению квалификации программа курса, 53.14kb.
• М. К. Аммосова рабочая программа дисциплины «Уравнения математической физики» (специальность, 50.63kb.
• Календарный план учебных занятий по обязательной дисциплине «Уравнения математической, 92.11kb.

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ОБОБЩЕННЫЕ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Крюковский А.С.


Для очной формы обучения ВСЕГО 106

лекции 35

семинары 16

Всего аудиторных занятий 51

самостоятельная работа 55


Целью изучения дисциплины является формирование у студентов представления о терминологии и основных понятиях обобщенных функций; основных принципах и подходах к решению обобщенных производных функций; обобщенных функциях; решение задачи Дирихле с помощью функции Грина. Создание у студентов базы, необходимой для освоения дисциплин, использующих обобщенные функции

Перечень дисциплин, усвоение которых необходимо для изучения курса: курс физики, уравнения математической физики, дифференциальные уравнения;

В результате изучения дисциплины каждый студент должен:

• иметь представление о:
  

• обобщенной функции;
  
• измеримой функции.
  

• знать:
  

• терминологию и основные понятия;
  
• методы решения задач;
  

• уметь:
  

• вычислять значения производной обобщенной функции;
  
• находить преобразования Фурье обобщенных функций;
  
• раскладывать в ряды Фурье;
  
• составлять обобщенное решение линейного дифференциального уравнения.
  

Основные виды занятий: лекции и практические занятия.

Основные виды текущего контроля занятий: коллоквиумы.

Основной вид рубежного контроля знаний: контрольная работа, итоговый экзамен.


СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

Введение

Тема 1. Функциональные пространства

Измеримые функции. Интеграл Лебега. Линейные нормированные пространства, фундаментальная последовательность, пространства Банаха. Гильбертовы пространства, ортонормированные базисы в гильбертовом пространстве.

Тема 2. Гильбертовы пространства дифференцируемых функций

Обобщенная производная функции. Пространства Соболева. Норма и скалярное произведение функций в пространствах Соболева.

I. Обобщенные функции

Тема 3. Определение обобщенных функций

Понятие обобщенных функций. Обобщенные функции медленного роста. Носитель обобщенной функции. Регулярные и сингулярные обобщенные функции, -функция Дирака, простой слой.

Тема 4. Дифференцирование обобщенных функций

Производная обобщенной функции, двойной слой.

Тема 5. Прямое произведение и свертка обобщенных функций

Определение и свойства прямого произведения обобщенных функций: коммутативность дифференцирование. Определение свертки обобщенных функций и её свойства. Дифференцирование свертки.

Тема 6. Преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста

Определение преобразования Фурье обобщенных функций. Свойства преобразования Фурье.

Тема 7. Преобразование Лапласа обобщенных функций

Определение преобразования Лапласа. Оригинал и изображение. Свойства преобразования Лапласа, формула обращения.

Тема 8. Фундаментальные решения линейных дифференциальных операторов

Обобщенное решение линейного дифференциального уравнения, фундаментальное решение. Операционное исчисление.

Тема 9. Обобщенная задача Коши для волнового уравнения

Постановка обобщенной задачи Коши для волнового уравнения. Фундаментальные решения волнового оператора. Запаздывающие потенциалы: (обобщенные) поверхностные запаздывающие потенциалы (простого и двойного слоя).

Тема 10. Обобщенная задача Коши для уравнения теплопроводности

Постановка обобщенной задачи Коши для уравнения теплопроводности. Фундаментальное решение оператора теплопроводности. Тепловой потенциал, поверхностный тепловой потенциал.

Тема 11. Функция Грина оператора Лапласа

Функция Грина (внутренней) задачи Дирихле, решение задачи Дирихле с помощью функции Грина, метод отражений.

Тема 12. Теория потенциала

Ньютонов (объёмный) потенциал и логарифмический потенциал (потенциал площади) как решения уравнений Пуассона. Потенциалы (логарифмические) простого и двойного слоя.

II. Специальные функции

Тема 13. Ортогональные полиномы

Полиномы Чебышева 1-го и 2-го рода: каноническое дифференциальное уравнение, представления, производящие функции, рекуррентные формулы, соотношения ортогональности, графическое представление. Полиномы Лагерра: каноническое дифференциальное уравнение, производящие функции, рекуррентные формулы, теоремы сложения, соотношения ортогональности, графическое представление. Полиномы Эрмита (функции параболического цилиндра): каноническое дифференциальное уравнение, производящая функция, рекуррентные формулы, теоремы сложения, соотношения ортогональности, графическое представление.

Тема 14. Функции Лежандра (сферические функции)

Каноническое дифференциальное уравнение, уравнение Лежандра. Функции Лежандра 1-го и 2-го рода. Полином Лежандра. Присоединенные полиномы Лежандра 1-го и 2-го рода. Интегральные представления. Частные значения. Асимптотика. Соотношение ортогональности. Графическое представление.

Тема 15. Функции Бесселя (цилиндрические функции)

Уравнение Бесселя. Функции Бесселя, Неймана (Вебера), Ганкеля (Ханкеля) 1-го и 2-го рода. Представления с помощью рядов. Интегральные представления. Асимптотика. Нули. Функциональные уравнения. Некоторые обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешимые в функциях Бесселя. Модифицированные функции Бесселя. Графическое представление.

Тема 16. Функции Матье^* (функции эллиптического цилиндра)

Уравнение Матье. Функции Матье. Представления для собственных значений. Разложения в ряды Фурье. Нули. Функциональные уравнения. Графическое представление.


ЛИТЕРАТУРА

Основная:

1. Байков В.А., Жибер А.В. Уравнения математической физики. М. – Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 256 с.
   
2. Голоскоков Д.П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple. СПб.: Питер, 2004. 539 с.
   
3. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1971. 512 с.
   
4. Владимиров В. С., Михайлов В.П., Вашарин А.А., Каримова Х.Х., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И. Сборник задач по уравнениям математической физики. М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1974. 272 с.
   

Дополнительная:

1. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1978. 320 с.
   
2. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 576 с.
   
3. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 432 с.
   
4. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: «Высшая школа», 1977. 431 с.
   
5. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами. / Под. ред. М. Абрамовица и И. Стигана. М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1979. 832 с.