Новосибирский Государственный Технический Университет. Факультет автоматики и вычислительной техники Кафедра вычислительной техники (специальность 220100). учебное пособие

Вид материала

Учебное пособие

Содержание 0.1.3  Композиция двумерных преобразований

Подобный материал:

• Новосибирский Государственный Технический Университет. Факультет автоматики и вычислительной, 1650.9kb.
• Рабочая программа для специальности: 220400 Программное обеспечение вычислительной, 133.96kb.
• Государственный Технический Университет. Факультет: Автоматики и Вычислительной Техники., 32.46kb.
• Образования Республики Молдова Колледж Микроэлектроники и Вычислительной Техники Кафедра, 113.64kb.
• Постоянное развитие и углубление профессиональных навыков в области информационных, 54.56kb.
• «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем», 1790.14kb.
• Задачи дисциплины: -изучение основ вычислительной техники; -изучение принципов построения, 37.44kb.
• Лекция №2 «История развития вычислительной техники», 78.1kb.
• Система контроля и анализа технических свойств интегральных элементов и устройств вычислительной, 582.84kb.
• Московский государственный инженерно-физический институт (технический университет), 947.05kb.

0.1.3  Композиция двумерных преобразований

Последовательное выполнение нескольких преобразований можно представить в виде единой матрицы суммарного преобразования. Умножение на единственную матрицу, естественно, выполняется быстрее, чем последовательное умножение на несколько матриц.

Рассмотрим сдвиг точки P₀ на расстояние (Tx₁, Ty₁) в точку P₁, а затем сдвинем точку P₁ на расстояние (Tx₂, Ty₂) в точку P₂. Обозначая через T₁ и T₂ матрицы сдвига, в соответствии с (9) получим:

P1 = P0 ·T1;  P2 = P1 ·T2   =   (P0 ·T1) ·T2   =   P0 ·(T1 ·T2)   =  P0 ·T.

Понятно, что сдвиг аддитивен, т.е. последовательное выполнение двух сдвигов должно быть эквивалентно одному сдвигу на расстояние (Tx₁+Tx₂, Ty₁+Ty₂). Для доказательства этого рассмотрим произведение матриц сдвига T₁ и T₂, равное

T =       1 0 0 0 1 0 Tx1 Ty1 1       ·       1 0 0 0 1 0 Tx2 Ty2 1       =

      1 0 0 0 1 0 Tx1+Tx2 Ty1+Ty2 1       .

Итак, получили, что результирующий сдвиг есть (Tx₁+Tx₂, Ty₁+Ty₂), т.е. суммарный сдвиг, вычисленный как произведение матриц, как и ожидалось, аддитивен.

Рассмотрим теперь последовательное выполнение масштабирований, первое с коэффициентами (Sx₁, Sy₁), второе с коэффициентами (Sx₂, Sy₂). Следует ожидать, что суммарное масштабирование будет мультипликативным. Обозначая через S₁ и S₂ матрицы масштабирования, в соответствии с (10) получим

P1 = P0 ·S1,   P2 = P1 ·S2   =  (P0 ·S1) ·S2   =   P0 ·(S1 ·S2) = P0 ·S.

Найдем значения элементов матрицы S

S =       Sx1 0 0 0 Sy1 0 0 0 1       ·       Sx2 0 0 0 Sy2 0 0 0 1       =       Sx1 ·Sx2 0 0 0 Sy1 ·Sy2 0 0 0 1       .

Итак, получили, что результирующее масштабирование есть (Sx₁ ·Sx₂,  Sy₁ ·Sy₂), т.е. суммарное масштабирование, вычисленное как произведение матриц, как и ожидалось, мультипликативно.

Аналогичным образом можно показать, что два последовательных поворота аддитивны.

Рассмотрим выполнение часто используемого поворота изображения на угол  относительно заданной точки P(X,Y). Это преобразование можно представить как перенос начала координат в точку (X,Y), поворот на угол  относительно начала координат и обратный перенос начала координат:

Pn = P ·T(-X,-Y) ·R() ·T(X,Y).

С использованием преобразований в однородных координатах, суммарное преобразование будет иметь простой вид:

      1 0 0 0 1 0 -X -Y 1       ·       cos sin 0 -sin cos 0 0 0 1       ·       1 0 0 0 1 0 X Y 1       .