План Литература. W145 В. И. Лобанов. Инженерные методы разработки цифровых уст- 4/231(цптб) ройств М.: 1977. Информационный листок N% 54-87 В. И. Лобанов Метод бу
| Вид материала | Литература |
- Тезисы докладов Всесоюзного совещания ?Повышение качества брэа на основе широкого внедрения, 100.73kb.
- Политехнический музей, 19.55kb.
- К. т н. И. Н. Бычков, С. В. Егоров, И. Н. Лобанов, Г. М. Расулов, 148.52kb.
- Рабочая программа дисциплины мерительные устройства систем управления, 448.87kb.
- Лобанов Владимир Иванович, вед научн сотрудник фгуп «цнии «Комета», к т. н., e mail, 1199.47kb.
- М. П. Лобанов «бессильная красота», 296.13kb.
- -, 1113.42kb.
- Урока литературы в 9 классе на тему: «Древнерусская литература и современность. Золотое, 43.48kb.
- 1. Политология как система знаний о политике, 244.32kb.
- Программа дисциплины логика для направления 080100. 62 Экономика Утверждена, 404.05kb.
Оценка сложности реализации булевых функций,
минимизация недоопределенных булевых функций
ЛЕКЦИЯ 4
--------
План
1.Оценка сложности реализации булевых функций
2.Минимизация недоопределенных булевых функций.
4.1 Оценка сложности реализации булевых функций
Приблизительную оценку сложности реализации функции можно дать по
ДНФ,подсчитав коэффициент сложности Кс как сумму общего количества пе-
ременных, вошедших в импликанты, и количества импликант. Например ,
для функции y= x4x1 + x4x2 + x4x3 + x3x2x1 получим Кс=9+4=13.
4.2. Минимизация недоопределенных булевых функций.
-------------------------------------------------
Функция от n переменных называется недоопределенной(НОЛФ),если она
задана не на всех 2n наборах. Задача минимизации такой функции заклю-
чается в оптимальном доопределении, которое позволило бы покрыть рабо-
чие наборы минимальным количеством прямоугольников Карно, каждый из
которых имел бы максимальную площадь.
Задача 4.1.
-----------
Найти минимальную форму функции y, представленной на рис.4.1.
\ х2х1
х4х3 \
\ 00 01 11 10
----¬---¬---¬---¬
00¦ +¦ 1¦ +¦ 1 ¦
¦---¦---¦---¦---¦
01¦ -¦ -¦ 0¦ - ¦
¦---¦---¦---¦---¦
11¦ -¦ 0¦ -¦ - ¦
¦---¦---¦---¦---¦
10¦ +¦ 1¦ +¦ + ¦
L----------------
Рис.4.1. Решение задачи 4.1.
Доопределение РН отмечено знаком '+',доопределение ЗН - знаком
'-'.В результате доопределения получим МДНФ: y = x3'.
\ х2х1 \ х2х1 \ х2х1
х4х3 \ х4х3 \ х4х3 \
\ 00 01 11 10 \ 00 01 11 10 \ 00 01 11 10
----¬---¬---¬---¬ ----¬---¬---¬---¬ ----¬---¬---¬---¬
00¦ 0 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 0 ¦ 00¦ 0 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 00¦ 0 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 0 ¦
¦---¦---¦---¦---¦ ¦---+---¦---¦---¦ ¦---+---¦---¦---¦
01¦ 0 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 0 ¦ 01¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 01¦ 0 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 0 ¦
¦---¦---¦---¦---¦ ¦---¦---¦---¦---¦ ¦---¦---¦---¦---¦
11¦ - ¦ + ¦ + ¦ - ¦ 11¦ + ¦ + ¦ + ¦ + ¦ 11¦ - ¦ - ¦ + ¦ + ¦
¦---¦---¦---¦---¦ ¦---¦---¦---¦---¦ ¦---¦---¦---¦---¦
10¦ 0 ¦ 1 ¦ 1 ¦ 0 ¦ 10¦ 0 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 10¦ 0 ¦ 0 ¦ 1 ¦ 1 ¦
L---------------- L---------------- L----------------
y1 = x1 y2 = x3 y3 = x4x2
Для карт Карно на 6 переменных удобно использовать двойную коди-
ровку:двоичную и восьмеричную.Тогда при заполнении карт нужно исполь-
зовать 8-ичную кодировку,а для минимизации - двоичную.
После проведения минимизации необходимо проверить результат.Для
этого в полученное выражение нужно поочередно подставить значения всех
заданных входных наборов и убедиться в том,что значения функции соот-
ветствуют таблице истинности.
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 1
Логические функции заданы 8-ичными наборами.
ПОЛФ
1.00,01,05,04,10,11,13,17,15,14,31,33,37,35,50,51,55,54,40,41,45,
44 - 1. Kc = 7.
2.04,06,02,00,14,16,12,10,34,35,31,30,24,25,21,20,64,65,61,60,74,
75,71,70 - 1. Kc = 7.
НОЛФ
1.70,65,32,01,04 - 1.
53,17,05 - 0. Kc = 7.
2.51,75,32,17 - 1.
63,24 - 0. Kc = 5.
Практическая работа(семинар).
1.Построить дешифратор 2-10-кода в семисегментный.
2.Использовать генератор псевдослучайных чисел для синтеза логи-
ческих функций от 6 переменных.Количество РН и ЗН варьировать.
Понятие. Основные законы логики суждений.
ЛЕКЦИЯ 5
--------
Понятие.
Понятие - это форма мышления,отражающая предметы в их существен-
ных признаках[8]. Признаком предмета называется то,в чем предметы
сходны друг с другом или чем они друг от друга отличаются.Понятие -
это мысленное содержание слова,а слово - это метка мысли.
Автомобиль - транспортное средство,имеющее двигатель,кузов,колеса
и устройство управления. Это содержание понятия, а его объемом являют-
ся все существующие в мире автомобили.
Универсум - мир как целое.Такая философская трактовка некорректна.
Основные законы логики суждений.
Все законы логики предложений выводятся формальными методами.Имп-
ликация при этом играет главную роль.Рассмотрим эту логическую функ-
цию,заданную таблицей истинности(табл.1).
Табл.1
------T-------¬
¦ p q ¦ p->q ¦
+-----+-------+
¦ 0 0 ¦ 1 ¦
¦ 0 1 ¦ 1 ¦
¦ 1 0 ¦ 0 ¦
¦ 1 1 ¦ 1 ¦
L-----+--------
Из табл.1 p -> q = p' + q,откуда,решая логическое уравнение(с ре-
шением логических уравнений мы познакомимся несколько позднее),получим
q = p + ip',т.е. если истинно p,то истинно и q,или из истинности p
следует истинность q.Здесь и в дальнейшем апостроф означает инверсию
аргумента или функции.Пусть p - "Перегорел предохранитель ",а q -
"Лампа гаснет".Тогда p->q означает,что "Лампа гаснет,если перегорел
предохранитель или возможно погаснет по какой-либо другой причине".
В [7] изложены правила и законы логики предложений,но отсутствует
аналитическое доказательство этих законов.До сих пор для подтверждения
истинности суждений применяется громоздкий табличный метод.Приведем
простые аналитические доказательства для всех изложенных в [7] правил
и законов.Однако,все операции удобнее было бы проводить графически с
помощью карт Карно.
Правило отделения
p -> q
p
______
q
Доказательство этого правила предельно просто:
(p->q)p -> q = (p'+q)p->q = pq->q = (pq)'+q = p'+q'+q = 1
Законы логики предложений
1.Закон исключенного третьего
p+p' = 1
2.Закон непротиворечивости
p(p)' = 0
3.Законы двойного отрицания
3.1.p'' -> p
p''->p = p'+p = 1
3.2.p -> p''
p -> p'' = p'+p = 1
4.Закон контрапозиции
(p->q) -> (q'->p')
(p->q) -> (q'->p') = (p'+q)'+(q+p') = pq'+q+p' = 1
5.Конъюнктивные законы
5.1.pq -> qp
pq -> qp = (pq)'+pq = p'+q'+pq = 1
5.2.pq -> p
pq -> p = (pq)'+p = p'+q'+p = 1
5.3.pq -> q
pq -> q = (pq)'+q = p'+q'+q = 1
5.4.p -> (q -> pq)
p -> (q -> pq) = p'+q'+pq = 1
6.Законы импликативных силлогизмов
6.1.[(p->q)(p->r)] -> (p->qr)
[(p->q)(p->r)] -> (p->qr) = [(p'+q)(p'+r)] -> (p'+qr) =
(p'+qr)'+p'+qr = 1
6.2.[(p->q)(r->s)] -> (pr->qs)
[(p->q)(r->s)] -> (pr->qs) = (p->q)'+(r->s)'+(pr)'+qs =
pq'+rs'+p'+r'+qs = 1
6.3.[(p->q)(q->r)] -> (p->r)
[(p->q)(q->r)] -> (p->r) = (p->q)'+(q->r)'+p'+r =
pq'+qr'+p'+r = 1
6.4.[(p->q)(r->q)] -> [(p+r)->q]
[(p->q)(r->q)] -> [(p+r)->q] = (p->q)'+(r->q)'+(p+r)'+q =
pq'+rq'+p'r'+q = 1
7.Дизъюнктивные законы
7.1.(p+q) -> (q+p)
(p+q) -> (q+p) = p'q'+q+p = 1
7.2.(p+q) -> (p'->q)
(p+q) -> (p'->q) = p'q'+p+q = 1
8.Законы,характеризующие эквивалентность
8.1.(p=q) -> (q=p)
(p=q) -> (q=p) = pq'+p'q+pq+p'q' = 1
8.2.(p=q) -> (p->q)
(p=q) -> (p->q) = pq'+p'q+p'+q = 1
8.3.(p=q) -> (q->p)
(p=q) -> (q->p) = pq'+p'q+q'+p = 1
8.4.[(p->q)(q->p)] -> (p=q)
[(p->q)(q->p)] -> (p=q) = (p->q)'+(q->p)'+(p=q) =
pq'+qp'+pq+p'q' = 1
9.Законы де Моргана
9.1.(p+q)' -> p'q'
(p+q)' -> p'q' = p'q'+p+q = 1
9.2.(pq)' -> (p'+q')
(pq)' -> (p'+q') = p'+q'+pq = 1
Как видим,доказательство всех законов чрезвычайно просто и пост-
роено на чистой математике,для освоения которой достачно знаний на-
чальной школы.
Упражнения.
Проверить истинность следующих формул.
1.(p->q) -> (p'+q)
2.(p->q) ->(q->p)
3.(p'->q) -> (q'->p)
4.(p->q)q' -> p'
5.(pq+q) -> pq
6.[(p->q)+(p->r)] -> [p->(q+r)]
7.[(p->q)->r] ->(q->r)
8.[(p->q)(r->q)] -> (pr->q)
9.(p->q) -> [(r->q) -> (qr->p)]
10.[(p->q) -> (q->r)] -> (p->r)
11.(p->q)(q->r) -> (p->r)
12.(pq')'(qr')' -> (pr')'
Две последних формулы соответствуют "неправильному" силлогизму
ApqAqr -> Apr.Например:
Все студенты(p) - люди(q)
Все люди(q) - талантливы(r)
-------------------------------
Все студенты(p) - талантливы(r).
Многозначная силлогистика. Базисы силлогистики
ЛЕКЦИЯ 6
--------
МНОГОЗНАЧНАЯ СИЛЛОГИСТИКА.БАЗИСЫ СИЛЛОГИСТИКИ.
"Читай и слушай для собс-
твенного развлечения рассказы
о хитроумных системах,вникай в
интересные вопросы,поставлен-
ные там со всей изощрен-
ностью,какой только может на-
делить их пылкая фантазия,но
смотри на все это только как
на упражнения для ума и возв-
ращайся каждый раз к согласию
со здравым смыслом..."
(Честерфилд "Письма к сыну")
(1694 - 1773гг.)
ПРЕДИСЛОВИЕ.
Известный английский ученый(философ,логик,математик),автор осно-
вополагающего труда по математической логике "Основания математики"
Бертран Рассел(1872-1970) в своей работе "Искусство делать выводы" го-
ворил:"Не изучайте традиционную формальную логику.Во времена Аристоте-
ля это было великое достижение,каким была Птолемеева астрономия.Изу-
чать то или другое в наши дни - это смешной аpхаизм".Это заявление
пустозвона:Б.Pассел,как и вся миpовая логика, не доpосли до уpовня pе-
шения пpоблем Аpистотеля.
Все,о чем далее будет идти речь(комплементарная логика,решение
логических уравнений,русская силлогистика,силлогистика Аристотеля-Жер-
гонна,общеразговорная силлогистика) разработано в России и не известно
мировой науке.Все нижеизложенное опровергает классическую силлогисти-
ку,устраняет множество ненужных правил,законов,излишних терминов,упро-
щает до предела процесс анализа и синтеза силлогизмов,процедуру реше-
ния логических уравнений.По существу произведена революция в силлогис-
тике.Поэтому призываю всех читателей воспринимать все написанное край-
не критически и обязательно проверять с точки зрения здравого смыс-
ла.Чтобы не повторился парадокс теории относительности(ТО),которую в
1998г. немецкие физики Георг Галецки и Петер Марквардт низвели с пь-
едестала(ж."Юный техник",N5,1998,с.38-43;N6,1998,с.41-45).Они доказа-
ли,что Эйнштейн - нечистоплотный делец от науки:Эренфест в 1909г. оп-
роверг Эйнштейна,но,получив взятку от последнего в виде должности про-
фессора физики,"забыл" о своем опровержении."Тысячи" экспериментов в
защиту ТО оказались фиктивными.Из 5 попыток не было ни одной удачной.С
теорией относительности были несогласны многие советские уче-
ные(см.В.А.Ацюковский "Логические и экспериментальные основы теории
относительности" - М.:МПИ,1990г.),в последнее время к ним присоедини-
лись швейцарские и амеpиканские физики.
КОМПЛЕМЕНТАРНАЯ ЛОГИКА.БАЗИСЫ СИЛЛОГИСТИКИ
Силлогизмом называется умозаключение,в котором из двух данных
суждений(посылок),связанных общим(средним) термином,получается
третье(вывод,или заключение).Общеизвестное высказывание "в огороде бу-
зина,а в Киеве дядька" не является силлогизмом именно из-за отсутствия
среднего термина.Русская народная мудрость очень точно и образно опре-
делила самую суть силлогизма.
Современная силлогистика давно вызывает неудовлетворенность как
своим несоответствием Аристотелевой логике[1,3-6,9-15,18],так и нечет-
костью описания с точки зрения математической логики.Введение кванто-
ров не разрешило этих проблем.Поэтому предпринимались и предпринимают-
ся попытки ревизии аристотелевой силлогистики.Особенно интересны и
перспективны с точки зрения решения задач анализа и синтеза силлогиз-
мов работы русских ученых[9,18].
Для выражения любого умозаключения или посылки достаточно двух
конструкций(в скобках представлена краткая форма записи суждений) :
1)Все X суть Y(Axy);
2)Некоторые X суть Y(Ixy);
Однако традиционно в логике используются 4 базовых суждения(сил-
логистических функтора):
1)Все X суть Y(Axy) - общеутвердительный функтор;
2)Ни один X не есть Y(Exy) - общеотрицательный функтор;
3)Некоторые X суть Y(Ixy) - частноутвердительный функтор;
4)Некоторые X не суть Y(Oxy) - частноотрицательный функтор.
Из кругов Эйлера на основе методов минимизации логических функ-
ций[15] тривиально получены следующие соотношения:
Axy = (xy')' = x'+y
Exy = (xy)'= x'+y'
Здесь и далее апостроф означает отрицание.
Эти соотношения впервые выведены П.С.Порецким[17](правда,традици-
онная логика об этом до сих пор не догадывается)на основе рекурсии,но
они нигде не фигурируют и не применяются для анализа и синтеза силл-
гизмов.Физический смысл функторов Аху и Еху ни у кого не вызывают сом-
нений.Что касается суждений Ixy,Oxy,то здесь сложилась спорная ситуа-
ция.Здравый смысл и булева алгебра утверждают,что Oxy = (Ixy)',а в
традиционной логике[8] Oxy = (Axy)' и Ixy = (Exy)',что отнюдь не бесс-
порно и не убедительно.Однако примем на веру эти формулы,поскольку
именно их рекомендуют для запоминания студентам.
На этом основании мы получим следующие формулы для Ixy,Oxy:
Ixy = (Exy)' = xy
Oxy = (Axy)' = xy'
Прежде всего эти соотношения противоречат друг другу.По определе-
нию "Некоторые Х суть Y" и "Некоторые Х не суть Y" взаимно инверс-
ны,т.е. Ixy = (Oxy)',Oxy = (Ixy)'.А из последней формулы следует экви-
валентность суждений "Некоторые Х не суть Y" и "Некоторые Х суть не-
Y",что совсем не соответствует действительности.Кроме того частноотри-
цательное суждение вообще не имеет самостоятельного смысла,поскольку
является тривиальным отрицанием частноутвердительного высказывания.
Выборочная проверка при помощи кругов Эйлера "правильных" модусов
EIO 1-й - 4-й фигур,EAO,OAO 3-й фигуры и AAI,EAO 4-й фигуры также
подтвердила всю несостоятельность указанных соотношений.Аналитический
метод контроля силлогизмов дал такие же результаты.
Неудовлетворенность трактовкой частных суждений высказывалась еще
русским логиком Васильевым Н.А.[6]:"...частное суждение представляет
для логики значительные трудности,употребление его полно двусмыслен-
ности".
Попытаемся прояснить содержательный смысл соотношения Ixy.Круги
Эйлера не в состоянии отобразить все нюансы такого суждения.Поскольку
логические аргументы представляют из себя скаляры,максимальная длина
которых не может превышать "полной единицы"(универсума),т.е.
x+x'=1,введем понятие скалярных диаграмм и заменим ими круги Эйлера.
"Бытовой" логике,вероятно,более всего соответствует следующая
скалярная диаграмма.
x' x
----------===========
y y'
a)==============-------
y' y y'
b)-----==========------
Скалярная диаграмма не только определяет суждение Ixy как пересе-
чения множеств X и Y,но и отмечает различные ситуации этого пересече-
ния.Поскольку на наборе 00 функция z=f(x,y) может принимать значения
как 0,так и 1,то ей присваиваем значение возможности существования
i,т.е.значение "может быть".Значение "не может быть" является отрица-
нием для "может быть",поэтому естественно выразить его через i'=j.Зна-
чениям "да" и "нет" соответствуют 1 и 0.Такая вновь введенная четы-
рехзначная комплементарная(взаимодополняющая,взаимоинверсная) логика
адекватно отображает логику человеческого мышления и описывается сле-
дующими базовыми функциями:
-----T---T-----T-----T----T---T-----T-----¬
¦ ¦ _ ¦ ¦ ¦ ¦ _ ¦ ¦ ¦
¦ XY ¦ X ¦ X&Y ¦ X+Y ¦ XY ¦ X ¦ X&Y ¦ X+Y ¦
¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦
+----+---+-----+-----+----+---+-----+-----+
¦ 00 ¦ 1 ¦ 0 ¦ 0 ¦ i0 ¦ j ¦ 0 ¦ i ¦
¦ 0j ¦ 1 ¦ 0 ¦ j ¦ ij ¦ j ¦ 0 ¦ 1 ¦
¦ 0i ¦ 1 ¦ 0 ¦ i ¦ ii ¦ j ¦ i ¦ i ¦
¦ 01 ¦ 1 ¦ 0 ¦ 1 ¦ i1 ¦ j ¦ i ¦ 1 ¦
+----+---+-----+-----+----+---+-----+-----+
¦ j0 ¦ i ¦ 0 ¦ j ¦ 10 ¦ 0 ¦ 0 ¦ 1 ¦
¦ jj ¦ i ¦ j ¦ j ¦ 1j ¦ 0 ¦ j ¦ 1 ¦
¦ ji ¦ i ¦ 0 ¦ 1 ¦ 1i ¦ 0 ¦ i ¦ 1 ¦
¦ j1 ¦ i ¦ j ¦ 1 ¦ 11 ¦ 0 ¦ 1 ¦ 1 ¦
L----+---+-----+-----¦----+---+-----+------
Общее количество функций n от m переменных в b-значной логике оп-
ределяется по формуле n = b(bm),поэтому в комплементарной логике для
двух переменных получим n = 4(42) = 416 = 232.
На комплементарную логику распространяются все законы обычной
двоичной логики,в том числе формула де Моргана и закон двойного отри-
цания.Минимизация в комплементарной логике мало чем отличается от ми-
нимизации в двузначной логике[12].
С аристотелевским определением частного суждения Ixy не согласны
многие логики.В работе [6] автор утверждает,что "научное употребление
слова "некоторые" совпадает с общеразговорным",т.е. с бытовым,а не
аристотелевским.Кроме того,Васильев Н.А. абсолютно правильно счита-
ет,что Ixy и Oxy должны считаться одним суждением.Он также заявляет:"В
математике так называемые частные суждения сводятся ... к общим,и она
прекрасно обходится без этого нелепого в совершенной науке слова "не-
которые".К этому же должна стремиться и всякая наука...Частное сужде-
ние нужно рассматривать вовсе не как какой-то вывод из общего сужде-
ния,а как особый вполне самостоятельный вид суждения,вполне координи-
рованный с общими суждениями,исключающий их и исключаемый любым из
них".С точкой зрения такого известного ученого трудно не согласиться.
Базис силлогистики
Под базисом силлогистики будем понимать всевозможные варианты
представления суждений Axy,Exy,Ixy.Суждение Oxy получается автомати-
чески из Ixy,поскольку является его отрицанием.
Все x суть y(Axy).
1.Традиционное представление этого суждения изображено на скаляр-
ной диаграмме,по которой заполнена таблица истинности.
x x'
===========---------- -----T---¬
y y' ¦ xy ¦Axy¦
==============------- +----+---+
¦ 00 ¦ 1 ¦
¦ 01 ¦ 1 ¦
¦ 10 ¦ 0 ¦
¦ 11 ¦ 1 ¦
L----+----
По таблице истинности синтезируем логическую функцию Axy:
Axy = (xy')' = x'+y
(Axy)' = xy'
Кстати,впервые аналитическое представление для Аху вывел на базе
рекурсии великий русский логик П.С.Порецкий при решении логических
уравнений.Здесь же необходимо вновь обратиться к уточнению смысла имп-
ликации.Дело в том,что x->y = x'+y = Axy.Но отсюда следует,что,если х
- истинно,то у - также истинно,поскольку "Все х суть у".
2.Традиционное представление Axy не исчерпывает все ситуации.Вто-
рая комбинация аргументов x,y изображена на диаграмме.
x' x -----T---¬
----------=========== ¦ xy ¦Axy¦
y' y +----+---+
a)-----================ ¦ 00 ¦ i ¦
y ¦ 01 ¦ 1 ¦
b)===================== ¦ 10 ¦ 0 ¦
¦ 11 ¦ 1 ¦
L----+----
Ситуация b,представленная на рисунке,может быть проиллюстрирована
следующим высказыванием:"Все люди смертны".Это справедливо при усло-
вии,что "мир"(универсум)-все живые существа,т.к.все живое-смертно.
С учетом вышеизложенного выражение для функции Axy примет
вид:
Axy = y+ix'y'
(Axy)' = xy'+jx'y'
3.Третий вариант суждения Axy изображен на нижеприведенных ска-
лярных диаграммах.По сравнению со вторым вариантом здесь добавлено
суждение "x эквивалентно y".
x' x
----------=========== -----T---¬
y' y ¦ xy ¦Axy¦
a)-----================ +----+---+
y ¦ 00 ¦ i ¦
b)===================== ¦ 01 ¦ i ¦
y' y ¦ 10 ¦ 0 ¦
c)----------=========== ¦ 11 ¦ 1 ¦
L----+----
Для ситуации "c" справедливо высказывание "Все люди владеют сло-
вом".Если весь "мир" - живые существа,то понятия "люди" и "говорящие
живые существа" эквивалентны.Из табл.3 получаем следующее соотношение:
Axy = xy+ix'
(Axy)' = xy'+jx'
Эти три варианта базиса для Axy не исчерпывают всех ситуаций,но в
силлогистике оставшиеся за пределами рассмотрения комбинации аргумен-
тов не являются решающими.
Ни один x не есть y(Exy).
1.Классическое представление Exy изображено на скалярных диаграм-
мах.
x x'
===========---------- -----T---¬
y' y ¦ xy ¦Exy¦
-------------======== +----+---+
¦ 00 ¦ 1 ¦
¦ 01 ¦ 1 ¦
¦ 10 ¦ 1 ¦
¦ 11 ¦ 0 ¦
L----+----
Из таблицы истинности имеем:
Exy = (xy)'
(Exy)' = xy
Аналитическое представление для Еху впервые в мире вывел русский
ученый П.С.Порецкий при решении логических уравнений.
2.Второй вариант суждения Exy представлен на рисунке.
x' x
----------=========== -----T---¬
y y' ¦ xy ¦Exy¦
a)======--------------- +----+---+
y y' ¦ 00 ¦ i ¦
b)==========----------- ¦ 01 ¦ 1 ¦
¦ 10 ¦ 1 ¦
¦ 11 ¦ 0 ¦
L----+----
Для иллюстрации ситуации "b" подходит высказывание "Ни один живой
не есть мертвый".
Из таблицы истинности имеем:
Exy = x'y+xy'+ix'y'
(Exy)' = xy+jx'y'
3.Третий вариант суждения Exy изображен на скалярных диаграммах.
x' x
----------=========== -----T---¬
y y' ¦ xy ¦Exy¦
a)======--------------- +----+---+
y y' ¦ 00 ¦ i ¦
b)===========---------- ¦ 01 ¦ i ¦
y' ¦ 10 ¦ 1 ¦
c)--------------------- ¦ 11 ¦ 0 ¦
L----+----
Высказывание "Ни один человек не бессмертен" иллюстрирует ситуа-
цию на диаграмме "c".Здесь "мир"-живые существа,а бессмертных существ
не бывает.
Из таблицы выводим соотношение:
Exy = xy'+ix'
(Exy)' = xy+jx'
Некоторые x суть y.
Лобачевский Н.И. создал "воображаемую геометрию".По образу и по-
добию великого русского геометра не менее великий русский логик Ва-
сильев Н.А. разработал "воображаемую логику".Мы попробуем разобраться
хотя бы в общеразговорной(бытовой) логике,тем более что частному суж-
дению Ixy уделено недостаточное внимание.
1.Первый вариант суждения Ixy представлен на рисунке.
x
================----- -----T---¬
y y' ¦ xy ¦Ixy¦
a)==============------- +----+---+
y y' ¦ 00 ¦ 1 ¦
b)==================--- ¦ 01 ¦ i ¦
y' y y' ¦ 10 ¦ i ¦
c)--------==========--- ¦ 11 ¦ 1 ¦
L----+----
Из таблицы истинности получим соотношение:
Ixy = xy+x'y'+i(xy'+x'y)
(Ixy)' = j(xy'+x'y)
2.Второй вариант суждения Ixy представлен на рисунке.
x' x
----------=========== -----T---¬
y' y y' ¦ xy ¦Ixy¦
a)-----==========------ +----+---+
y y' ¦ 00 ¦ i ¦
b)==============------- ¦ 01 ¦ 1 ¦
¦ 10 ¦ 1 ¦
¦ 11 ¦ 1 ¦
L----+----
Первой ситуации соответствует,например,такое суждение:"Некоторые
молодые люди - студенты".Здесь универсум - люди.
Для иллюстрации второй ситуации подходит такой пример:"Некоторые
млекопитающие не умеют говорить".Универсум - существа.Если в первом
случае студенты и молодые люди еще не составляют универсума,то во вто-
ром - млекопитающие и неговорящие существа дополняют друг друга до
универсума.
Из таблицы получим соотношение:
Ixy = x+y+ix'y'
(Ixy)' = jx'y'
Этот базис назван автором русским базисом.Он абсолютно согласует-
ся со здравым смыслом и имеет аналитическое представление.
3.Третий вариант суждения Ixy соответствует Аристотелевскому ба-
зису[19].B аристотелевой силлогистике под Ixy понимается любая комби-
нация понятий x,y,лишь бы пересечение этих понятий не было пус-
тым.Аристотелевой трактовке этого суждения соответствуют приводимые
ниже скалярные диаграммы.
x' x
----------=========== -----T---¬
y y' ¦ xy ¦Ixy¦
a)==============------- +----+---+
y' y y' ¦ 00 ¦ i ¦
b)-----==========------ ¦ 01 ¦ i ¦
y' y ¦ 10 ¦ i ¦
c)-----================ ¦ 11 ¦ 1 ¦
y' y L----+----
d)-------------========
Из таблицы получим соотношение:
Ixy = xy+i(x'+y')
(Ixy)' = j(x'+y')
4.Рассмотрим четветый вариант суждения Ixy.Этот базис получил
название несимметричного.
x' x
----------=========== -----T---¬
y' y ¦ xy ¦Ixy¦
a)-------------======== +----+---+
y' y y' ¦ 00 ¦ 1 ¦
b)-----==========------ ¦ 01 ¦ i ¦
¦ 10 ¦ 1 ¦
¦ 11 ¦ 1 ¦
L----+----
Ситуация "а" на рисунке иллюстрируется высказыванием "Некоторые
юристы(x) - выпускники юридических вузов(y)"(не-юристов юридические
вузы не выпускают).
Из таблицы получим соотношение:
Ixy = x+y'+ix'y
(Ixy)' = jx'y
5.Пятый вариант суждения Ixy представлен на рисунке.
x' x
----------=========== -----T---¬
y' y ¦ xy ¦Ixy¦
a)-------------======== +----+---+
y' y y' ¦ 00 ¦ i ¦
b)-----==========------ ¦ 01 ¦ i ¦
y y' ¦ 10 ¦ 1 ¦
c)==============------- ¦ 11 ¦ 1 ¦
L----+----
Ситуация "с" на рисунке иллюстрируется высказыванием "Некоторые
люди(x) суть неговорящие существа(y)"(не-люди тем более не разговари-
вают).Универсум - "живые существа".
Из таблицы истинности получим соотношение:
Ixy = x+ix'
(Ixy)' = jx'
6.Шестой вариант суждения Ixy представлен на рисунке.
x' x
----------=========== -----T---¬
y y' ¦ xy ¦Ixy¦
==============------- +----+---+
¦ 00 ¦ 0 ¦
¦ 01 ¦ 1 ¦
¦ 10 ¦ 1 ¦
¦ 11 ¦ 1 ¦
L----+----
Из таблицы получим соотношение:
Ixy = x+y
(Ixy)' = x'y'
7.Седьмой вариант функтора Ixy выглядит так:
x =======-------- -----T---¬
y1----=====------ ¦ xy ¦Ixy¦
y2=========------ +----+---+
y3---============ ¦ 00 ¦ i ¦
¦ 01 ¦ 1 ¦
Ixy = y+iy' ¦ 10 ¦ i ¦
Oxy = jy' ¦ 11 ¦ 1 ¦
L----+----
Безусловно здесь приведены не все возможные варианты представле-
ния силлогистических функторов Ixy.Желающие могут продолжить этот спи-
сок.
В работе Васильева Н.А. утверждается,что в общеразговорном базисе
из Ixy обязательно следует Ixy',т.е. Ixy -> Ixy'.Попытаемся решить это
логическое уравнение с целью синтеза суждения Ixy,удовлетворяющего
критерию Васильева.
В результате решения были получены следующие соотношения:
1)Ixy = x
2)Ixy = x+y+x'y' = 1
3)Ixy = x+ix'
Первое уравнение не является представлением функтора Ixy,посколь-
ку в нем отсутствует вероятностная составляющая;второе уравнение соот-
ветствует общеразговорному базису(восьмому по счету),а третье уравне-
ние - пятому базису.Общеразговорный базис(базис Васильева) изображен
на рисунке.Необходимо отметить,что русский и общеразговорный базисы
являются симметричными базисами,т.е. Ixy -> Iyx.
x' x
----------===========
y' y y'
-----==========------
Вопрос о выборе базиса должен решаться отдельно для каждого конк-
ретного силлогизма.
Для указания используемого базиса применяется нумерация,состоящая
из вариантов суждений в порядке Axy-Exy-Ixy.Например,для анализа сил-
логизмов в общем(неконкретном) виде автор предпочитает русский базис
1-1-2,который описывается следующими соотношениями:
Axy = (xy')'
Exy = (xy)'
Ixy = x+y+ix'y' = x+y+i
Этот базис назван автором русским базисом,т.к. он удовлетворяет
некоторым требованиям русского логика Васильева Н.А. относительно на-
учного и общеразговорного смысла силлогистического функтора Ixy.Вполне
естественно,что силлогистика,основанная на русском базисе,должна быть
названа русской силлогистикой.Необходимо отметить,что русский и обще-
разговорный базисы являются симметричными базисами,т.е. Ixy -> Iyx.
Кстати говоря,так называемые "жергонновы отношения"[19] могут
быть представлены следующими скалярными диаграммами.
x x' x' x
===========---------- ----------===========
y y' y y'
==============------- ==============-------
y y' y' y y'
===========---------- -----==========------
Axy y' y
-----================
x x' y' y
===========---------- -------------========
y' y Ixy
-------------========
Exy x' x
----------===========
y y'
============---------
y' y y'
-----==========------
y' y
------------=========
Oxy
-----T------¬ -----T------¬ -----T------¬ -----T------¬
¦ xy ¦ Axy ¦ ¦ xy ¦ Exy ¦ ¦ xy ¦ Ixy ¦ ¦ xy ¦ Oxy ¦
+----+------+ +----+------+ +----+------+ +----+------+
¦ 00 ¦ 1 ¦ ¦ 00 ¦ 1 ¦ ¦ 00 ¦ i ¦ ¦ 00 ¦ i ¦
¦ 01 ¦ i ¦ ¦ 01 ¦ 1 ¦ ¦ 01 ¦ i ¦ ¦ 01 ¦ i ¦
¦ 10 ¦ 0 ¦ ¦ 10 ¦ 1 ¦ ¦ 10 ¦ i ¦ ¦ 10 ¦ 1 ¦
¦ 11 ¦ 1 ¦ ¦ 11 ¦ 0 ¦ ¦ 11 ¦ 1 ¦ ¦ 11 ¦ i ¦
L----+------- L----+------- L----+------- L----+-------
На основе скалярных диаграмм получены таблицы истинности,по кото-
рым построены логические функции для базиса Аристотеля-Жергонна.
Axy = xy+x'y'+ix'y
Exy = (xy)'
Ixy = xy+i(x'+y')
Oxy = xy'+i(x'+y)
Утверждать,что этот базис отражает общеразговорную логику,было бы
опрометчиво.
Полученные соотношения позволяот построить логику без кванторов,
префикс-дизъюнктов и префикс-конъюнктов[5].С помощью базисных формул
можно выполнять все операции над силлогизмами,т.е. находить аналити-
ческое решение задач,связанных с силлогизмами. Для того,чтобы прове-
рить заключение,нужно выполнить алгоритм "Осташ".
Непосредственные умозаключения
ЛЕКЦИЯ 7
Непосредственные умозаключения
Правила дедуктивного(от общего к частному) вывода определяются
характером посылок,которые могут быть простыми(категорическими) или
сложными суждениями.В зависимости от количества посылок дедуктивные
выводы из категорических суждений делятся на непосредственные,в кото-
рых заключение выводится из одной посылки,и опосредствованные,в кото-
рых заключение выводится из двух посылок[8].
Непосредственные умозаключения делятся на следующие типы:превра-
щение,обращение,противопоставление предикату и умозаключение по логи-
ческому квадрату.Попробуем формально обосновать логические правила для
вышеназванных типов.Во всех доказательствах используется русский ба-
зис.Дедуктивные выводы выполняются на основе импликации.
1.Превращение
1.1.Общеутвердительное суждение (А) превращается в общеот-
рицательное (E).
---------------¬
Все S суть P ¦ ---------+
______________________ ¦ P ¦ S ¦
Ни одно S не есть не-P ¦ ¦ ¦
Asp -> Esp' = sp'+s'+p = 1 L-----+---------
Данное выражение является тождеством.Следовательно,закон превра-
щения выполняется.
1.2.Общеотрицательное суждение (E) превращается в общеутверди-
тельное (A).
Ни одно S не есть P ------¬
___________________ ¦ ¦ -----¬
Все S суть не-P ¦ S ¦ ¦ P ¦
Esp -> Asp' = sp+s'+p' = 1 L------ L-----
Истинность данного закона также не вызывает сомнений.
1.3.Частноутвердительное суждение (I) превращается в частноотри-
цательное (O).
Некоторые S суть P s ----------===========
________________________ p1-----==========------
Некоторые S не суть не-P p2==============-------
Isp -> Osp' = js'p'+js'p <> 1
В русском базисе данный закон не выполняется.Проведем проверку
этого закона в базисе Аристотеля.
Isp -> Osp' = j(s'+p')+sp+i(s'+p') = 1
Следовательно,в базисе Аристотеля закон справедлив.
1.4.Частноотрицательное суждение (O) превращается в частноутвер-
дительное (I).
Некоторые S не суть P
_____________________
Некоторые S суть не-P
Osp -> Isp' = s+p+is'p'+s+p'+is'p = 1
В русском базисе данный закон выполняется,в Аристотелевом - тоже:
Osp -> Isp' = js'p+s+p'+is'p = 1
2.Обращение
2.1.Суждение (A) обращается в (I).
Все (S) суть (P) ------------------¬
__________________ ¦ ¦
Некоторые P суть S ¦ P ---------+
Asp -> Ips = sp'+p+s+ip's' <> 1 ¦ ¦ S ¦
Для Аристотелева базиса имеем: L--------+---------
Asp -> Ips = sp'+js'p+ps+i(p'+s') <> 1
Следовательно,закон некорректен и в этом базисе.
Все S,и только S,суть P
_______________________
Все P суть S
(s=p)->Aps = ps'+p's+p'+s = 1
2.2.Суждение (E) обращается в (E).
Ни одно S не есть P ---------¬ ---------¬
___________________ ¦ S ¦ ¦ P ¦
Ни одно P не есть S ¦ ¦ ¦ ¦
Esp -> Eps = sp+p'+s' = 1 L--------- L---------
Этот закон настолько очевиден,что не было никакой необходимости в
его доказательстве.По этому поводу в народе говорят:"Что в лоб,что по
лбу".
2.3.Суждение (I) обращается в (I).
Некоторые S суть P
__________________ s ----------===========
Некоторые P суть S p1-----==========------
Isp -> Ips = js'p'+p+s+ip's' = 1 p2==============-------
Для Аристотелева базиса этот закон также справедлив в силу сим-
метрии аналитического представления Isp.
3.Противопоставление предикату
3.1.(A) -> (E). ------------------¬
Все S суть P ¦ P -------+
______________________ ¦ ¦ S ¦
Ни одно не-P не есть S L----------+-------
Asp -> Ep's = sp'+(p's)' = sp'+p+s' = 1
3.2.(E) -> (I).
Ни одно S не есть P ----------¬ ----------¬
_____________________ ¦ P ¦ ¦ S ¦
Некоторые не-P суть S ¦ ¦ ¦ ¦
Esp -> Ip's = sp+ p'+s+ips' <> 1 L---------- L----------
В Аристотелевом базисе имеем:
Esp -> Ip's = sp+ p's+i(p+s') <> 1
3.3.(O) -> (I).
Некоторые S не суть P
_____________________
Некоторые не-P суть S
Osp -> Ip's = s+p+is'p'+p'+s+ips' = 1
В Аристотелевом базисе данный закон также справедлив.
Напрашиваются вопросы:"Кому и зачем нужны эти законы,если доказа-
тельства столь элементарны?Зачем их перечислять,а тем более заучи-
вать,если они представляют собой просто упражнения для проверки анали-
тических методов вывода заключений?"
Пример.
Дж.Малпас в книге "Реляционный язык Пролог" приводит задачу,с ко-
торой он не справился.
Все программисты(p) суть логики(l)
----------------------------------
Если некто суть программист(p),то он суть логик(l)
Однако анализ такого рода выполняется элементарно на основании
вышеприведенных соотношений для силлогистических функторов и их отри-
цаний:
Apl
------
p -> l
Apl -> (p -> l) = pl'+p'+l = 1
Полученный результат доказывает истиннность данного умозаключе-
ния.Неплохо вспомнить,что Axy = x'+y = (x->y).Тогда корректность вы-
шеприведенного умозаключения станет тривиальной истиной:Apl->Apl.
Анализ и синтез силлогизмов. Русская силлогистика
ЛЕКЦИЯ 8
--------
АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СИЛЛОГИЗМОВ.
РУССКАЯ СИЛЛОГИСТИКА
Под анализом силлогизма понимается проверка корректности заданно-
го силлогизма.Синтезом силлогизма будем называть отыскание заключения
по заданным посылкам или недостающей посылки по заданным посылке и
заключению.
Данным проблемам посвящено много публикаций.Необходимо прежде
всего отметить великолепную книгу Светлова В.А."Практическая логи-
ка"[18],в которой российский автор просто и изящно решает сложные
проблемы силлогистики.Я бы назвал эту книгу "мечтой студента".Глубока
и содержательна книга Кулика Б.А."Логические основы здравого смыс-
ла"[9],в которой российский автор впервые в мире не только заговорил о
логике здравого смысла,но и приступил к ее построению.Все эти работы
косвенно подтверждают,что в здравый смысл силлогистики Аристотеля ник-
то не верит.Итак,приоритет России в создании логики здравого смысла
бесспорен.
Что такое здравый смысл? "Философский словарь"(Харьков,1986 г.)
определяет этот термин следующим образом."Здравый смысл - принцип
оценки и систематизации фактов повседневного опыта,обеспечивающий че-
ловеку успешную ориентацию в повседневных житейских ситуациях".В этом
же словаре 1980 г. читаем:"Здравый смысл - совокупность взглядов,навы-
ков,форм мышления,используемых рядовым человеком в его повседневной
практической деятельности".Исходя из этих определений только русскую
и общеразговорную силлогистики можно отнести к логике здравого смыс-
ла.Кроме того,только в логике здравого смысла из разумной посылки Ixy
следует осмысленное заключение Iyx.
Прежде чем приступить к анализу или синтезу силлогизма,необходимо
проверить корректность формулировки посылок.Нередко частноутвердитель-
ное суждение механически употребляется вместо общеутвердительного.Если
для суждения "Некоторые животные - млекопитающие" мы будем использо-
вать любой базис здравого смысла(русский,общеразговорный),то придем в
силу симметрии этих базисов к абсурдному заключению "Некоторые млеко-
питающие - животные"(а остальные млекопитающие - не животные?!).С точ-
ки зрения здравого смысла исходное суждение должно иметь вид "Все мле-
копитающие - животные".Ошибками такого рода особенно грешат профессора
Оксфорда и Кембриджа[11,с.170-174],написавшие,тем не менее,прекрасную
книгу по философии.
Пример(с.170).
Некоторые животные(m) - олени(x)
Некоторые животные - плотоядны(у)
__________________________________
Первая посылка силлогизма безграмотна.Она должна выглядеть ина-
че:"Все олени - животные".Если универсумом в этом силлогизме является
понятие "животные",то и вторая посылка не блещет профессионализ-
мом.Правильная посылка - "Все плотоядные - животные".
Задача 2(с.174).
Все люди(m) - горды(х)
Нек.солдаты(у) - люди (а нек.солдаты - не люди?)
________________________________________________
Опять вопиющая ошибка западных "профессионалов".Здесь также не-
корректны обе посылки.Правильные посылки выглядят так:
Все гордые - люди(гордость присуща только человеку)
Все солдаты - люди.
Во избежание подобного рода ошибок в силлогистике здравого смысла
предлагается простой алгоритм проверки:Ixy -> Iyx.
Очень характерна ошибка механического перевода высказываний на
язык силлогистики без учета универсума.Часто встречается такой пример:
Сахар - сладкий
Все дети любят сладкое
--------------------
Все дети любят сахар
Заключение согласуется со здравым смыслом,но оно не следует из
этих посылок.Дело в том,что универсумом в данном силлогизме является
понятие "лакомства",поэтому силлогизм выглядит иначе:
Сахар - сладкое лакомство
Все сладкие лакомства - любимые детьми лакомства
--------------------------------------
Сахар - любимое детьми лакомство,т.е. все виды сахара любят дети.
Как видим,и посылки,и заключение в приведенных силлогизмах раз-
личны,хотя общеразговорный смысл кажется одинаковым.Если же в качестве
второй посылки использовать суждение "Все любимые детьми лакомства -
сладкие",то заключение будет совершенно иным (Ix'y'),т.е. "Некоторые
взрослые любят отнюдь не сладкое".
Анализ и синтез силлогизмов можно проводить с помощью алгоритмов
"Осташ".Так именуют себя жители г.Осташкова,земляки Л.Ф.Магницкого,ос-
нователя Российской математики.
Алгоритм "Осташ-Т"(тест).
1.Заменить посылки и заключение выражениями в соответствии с ана-
литическим описанием функторов A,E,I,O.
2.Получить выражение в виде конъюнкции всех посылок,имплицирующей
заключение.
3.Проверить это выражение на тождественность единице,занеся его в
карту Карно(КК).Если выполняется тождественность единице,то
заключение истинно.Если хотя бы одна из посылок или заключение
являются частным суждением,то силлогизм является истинным даже
при получении модальной единицы(т.е.в некоторых клетках КК
проставлены символы модальности i) при условии,что m=1 или
m'=1(в этом случае строка m или соответственно m' должна содер-
жать не менее 3-х целых единиц и только одну состав-
ную,т.е.1=i+j). В противном случае заключение не имеет места.
Для синтеза заключения по заданным посылкам нужно выполнить алго-
ритм "Осташ-С".
Алгоритм "Осташ-С"(синтез).
1.Заменить посылки выражениями в соответствии с аналитическим
описанием функторов A,E,I,O.
2.Получить выражение в виде конъюнкции всех посылок и проинверти-
ровать его.Занести полученное выражение в карту Карно(КК).
3.Доопределить полученную функцию одним из выражений для функто-
ров A,E,I,O таким образом,чтобы получить тождественую или мо-
дальную единицу(т.е.в некоторых клетках КК будут проставлены
символы модальности i).При доопределении иметь в виду,что из
частной посылки должно следовать частное заключение.Перед дооп-
ределением в одной строке КК(m или m') должно быть не менее
2-х,а после доопределения не менее 3-х целых единиц.Доопределя-
емое заключение должно содержать минимально необходимое коли-
чество единиц.Функция доопределения является искомым заключени-
ем.
4.Если вышеуказанное доопределение невозможно,то из данных посы-
лок нельзя вывести никакого заключения.
Аналитический синтез силлогизмов можно также проводить с помощью
алгоритма,который носит название "ИЭИ"(Ивановский энергетический инс-
титут).
Алгоритм "ИЭИ"(синтез заключения).
1.Заменить посылки выражениями в соответствии с формулами для
функторов A,E,I,O.Если обе посылки частно-утвердительные,то заключения
не существует.
2.Получить выражение для полной единицы М системы в виде конъюнк-
ции всех посылок.Провести обязательную минимизацию.
3.Получить из М заключение силлогизма f(x,y),заменив средний тер-
мин m или m' на 1.Если средний термин входит в М автономно,то заменить
его на i.
Аналитические методы на основе алгоритмов "Осташ" и "ИЭИ" прек-
расно дополняются графическим методом на базе скалярных диаграмм.Этот
алгоритм носит имя "ТВАТ" в честь Тушинского вечернего авиационного
техникума,студентам которого в 1997г. автор впервые изложил данный ме-
тод.Алгоритм прост,нагляден,доступен пониманию школьников.
Алгоритм "ТВАТ"(графический синтез силлогизмов)
1.Изобразить все возможные ситуации для исходных посылок с по-
мощью скалярных диаграмм.С этой целью вначале выбрать посылку,выражен-
ную общим суждением,и представить ее на скалярной диаграмме.Затем
изобразить скалярные диаграммы второй посылки.При этом нужно реализо-
вать все возможные для данной посылки ситуации из набора Axy,Exy,Ixy в
рамках ограничений,заданных этой посылкой,относительно среднего терми-
на.
2.Занести в таблицу истинности все значения f(x,y) для входных
наборов xy:00,01,10,11.Для облегчения задачи предварительно разбить
скалярные диаграммы вертикалью на две части:х = 0 и х = 1.
3.Выполнить минимизацию логической функции заключения f(x,y).
4.Полученный результат представить в виде силлогистического функ-
тора в соответствии с известным базисом.
Кроме того,для преодоления психологического барьера и привыкания
к скалярным диаграммам рекомендуется на начальном этапе освоения алго-
ритма "ТВАТ" использовать круги Эйлера для изображения всех возможных
ситуаций,а затем переводить их на скалярный язык.
Простота графического алгоритма "ТВАТ" наводит на мысль о том,что
и скалярные диаграммы,и алгоритм "ТВАТ" могли быть открыты 23 века на-
зад Аристотелем.Во всяком случае,скаляры были известны Евклиду,совре-
меннику Аристотеля.Алгоритмы "Осташ" и "ТВАТ" дают одинаковые по пол-
ноте и корректности результаты.Алгоритм "ИЭИ" для некоторых частных
силлогизмов позволяет получить корректные,но неполные заключения.Эта
неполнота с лихвой окупается простотой и прозрачностью алгоритма.
В дальнейшем все примеры будут построены на русском базисе,пос-
кольку темой лекции является русская силлогистика.Русский базис имеет
следующее аналитическое представление:
Axy = x'+y = (xy')'
Exy = x'+y' = (xy)'
Ixy = x+y+ix'y'
Oxy = jx'y'.
Для анализа и синтеза силлогизмов по алгоритму "Осташ" потребуют-
ся отрицания функторов A,E,I,O:
(Axy)' = xy'
(Exy)' = xy
(Ixy)' = jx'y'
(Oxy)' = x+y+ix'y'
Пример 1.
Пусть задан силлогизм и требуется проверить его корректность.
Все люди(m) - талантливы(х)
Все студенты(у) - люди
--------------------------
Все студенты(у) - талантливы(х)
Все m суть x (Amx)
Все y суть m (Aym)
____________
Все y суть x (Ayx)
Решение
1.В соответствии с п.1 алгоритма "Осташ" получим
(mx')'
(ym')'
_____
(yx')'
2.По п.2 алгоритма имеем
(mx')'(ym')' -> (yx')'
3.Проверка по п.3
(mx')'(ym')' -> (yx')' = mx'+ym'+y'+x = 1,
т.е. заключение силлогизма истинно.
Проверка по алгоритму "ИЭИ" выглядит так:
M = (m'+x)(y'+m) = m'y'+xy'+mx
f(x,y) = y'+x = Ayx
Проверим результат с помощью скалярных диаграмм(алгоритм "ТВАТ").
m m' -----T------¬
===========---------- ¦ xy ¦f(x,y)¦
x x' +----+------+
==============------- ¦ 00 ¦ 1 ¦
y y' ¦ 01 ¦ 0 ¦
=======-------------- ¦ 10 ¦ 1 ¦
¦ 11 ¦ 1 ¦
L----+-------
Из скалярной диаграммы видно,что "Все Y суть X"(Ayx),а также
Eyx'.Все эти суждения имеют одинаковую аналитическую форму:(yx')'.Все
три алгоритма дали один и тот же результат.
Пример 2.
Все члены коллегии адвокатов (x) - юристы (m)
Все сотрудники нашего отдела (y) - юристы (m)
____________________________________________________
Найти y = f(x)
Решение
По традиционным представлениям [8] задача не имеет решения.Интуи-
тивно можно согласиться с традицией.
Проверим свою интуицию чисто формально по алгоритму "Осташ-С".
1.(m'x)'
(ym')'
__________
f(x,y) = ?
2.(m'x)'(ym')'->f(x,y)=m'x+ym'+f(x,y) = 1(i)
xy -----T------¬
\ 00 01 11 10 x ===========---------- ¦ xy ¦f(x,y)¦
m \---T---T---T---¬ m ================----- +----+------+
0 ¦ ¦ 1 ¦ 1 ¦ 1 ¦ y1 -----------====------ ¦ 00 ¦ 1 ¦
+---+---+---+---+ y2 -----==========------ ¦ 01 ¦ i ¦
1 ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ y3 ========------------- ¦ 10 ¦ i ¦
L---+---+---+---- y4 =============-------- ¦ 11 ¦ i ¦
L----+-------
После доопределения КК в соответствии с п.3 алгоритма "Осташ-С"
получим заключение(индекс в скобках указывает номер базиса):
f(x,y) = x'y'+i = Ix'y'(3)
Это соответствует в 3-м(Аристотелевском) базисе следующему заклю-
чению:"Некоторые x' суть y'".Такое же заключение можно вывести и при
внимательном рассмотрении скалярных диаграмм(также для 3-го бази-
са).Однако,лучше всего с этой целью воспользоваться алгоритмом
"ТВАТ",т.е.перенести содержимое скалярных диаграмм в таблицу истиннос-
ти и синтезировать f(x,y).Для второго базиса полученное заключение
x'y'+i не имеет соответствующего представления,т.е. для заданных посы-
лок заключения в виде категорического суждения не существует .Для про-
верки соритов,число посылок в которых может достигать 6 и более,реко-
мендуется применять методы минимизации,изложенные в [11,12].Проверим
полученное заключение по алгоритму "ИЭИ".
M = AxmAym = (x'+m)(y'+m) = m+x'y'
f(x,y) = x'y'+i = Ix'y',т.е. алгоритм "ИЭИ" подтвердил результаты
синтеза.
Пример 3.
В книге К.И.Бахтиярова "Логические основы компьютеризации заклю-
чений" - М.:1986(стр.42) приведен тест преподавателей логики Ф.Джон-
сон-Лэрда и М.Стидмена,с которым справились лишь 60% испытуемых:
Ни один химик(x) не есть пчеловод(m).
Некоторые пчеловоды(m) есть художники(y).
__________________________________
Некоторые художники(y) - не химики(x)
Решение.
Протестируем самих преподавателей.
1.Exm = (mx)'
Imy = my + i(my)'(3)
__________________
f(x,y) = ?
Здесь вторая посылка представлена в 3-м базисе.
2.(mx)'(my+i(my)') -> f(x,y) = mx+j(my)'+f(x,y) = 1(i)
xy -----T------¬
\ 00 01 11 10 x ===========---------- ¦ xy ¦f(x,y)¦
m \---T---T---T---¬ m ---------------====== +----+------+
0 ¦ j ¦ j ¦ j ¦ j ¦ y1 -----------=======--- ¦ 00 ¦ i ¦
+---+---+---+---+ y2 -----================ ¦ 01 ¦ 1 ¦
1 ¦ j ¦ ¦ 1 ¦ 1 ¦ y3 ==================--- ¦ 10 ¦ i ¦
\L---+---+---+---- y4 -----------------==== ¦ 11 ¦ i ¦
L----+-------
После доопределения получаем в 3-м базисе:
f(x,y) = x'y+i(x'y)' = Ix'y(3),
т.е."Некоторые не-химики суть художники".Скалярные диаграммы и
алгоритм "ТВАТ" также подтверждают этот результат.
По алгоритму "ИЭИ":
M = EmxImy = (m'+x')(my+i(m'+y')) = mx'y+im'
f(x,y) = x'y+i = Ix'y(3).
Все три алгоритма дали одинаковые результаты. Эти результаты слу-
чайно совпали с тестовым заключением. Если бы мы вторую посылку предс-
тавили в базисе Васильева,что соответствует здравому смыслу,то получи-
ли бы иной результат,недоступный пониманию авторов теста:
M = ExmImy(8) = (x'+m') & 1 = x'+m'
f(x,y) = x'+i = Ix'y(5),т.е. заключение получено в 5-м базисе,о
котором тестирующие не имеют ни малейшего представления.
Пример 4.
Проверить силлогизм.
Все математики(m) - умные(y)
Некоторые математики(m) - хитрые(x)
____________________________________________________
f(x,y) = IxyIx'y.
M = AmyImx = (m'+y)(m+x+im'x') = m'x+my+xy+im'x'
f(x,y) = x+y+ix' = Ixy
По алгоритму "ТВАТ" получим более сильное заключение:
f(x,y) = y+iy' = IxyIx'y.
Пример 5.
У Кэрролла [10,стр.27] приведен "неправильный" силлогизм:
Все солдаты(х) храбрые(m)
Некоторые англичане(y) храбрые(m)
----------------------------------
Некоторые англичане - солдаты
Автор силлогизма утверждает,что любое заключение будет лож-
ным.Проверим утверждение Кэрролла для русского базиса.
M = AxmIym = (x'+m)(y+m+im'y') = m+x'y+im'x'y'
f(x,y) = x'y+i = Ix'y(3),
т.е. "Некоторые не-солдаты - англичане".
Алгоритм "ТВАТ" подтверждает этот результат.В Аристотелевском ба-
зисе полчаем Ixy(3).
На основе рассмотренных методов может быть предложен обобщенный
алгоритм "Суздаль" решения задач по силлогистике.
Алгоритм "Суздаль".
1.Привести все посылки к общему "знаменателю"(универсуму).
2.Выполнить алгоритм "ИЭИ" для получения оценочного заключения.
3.Изобразить все посылки с помощью кругов Эйлера,а затем перевес-
ти их на язык скалярных диаграмм.Иметь в виду,что круги Эйлера
отображают не все возможные ситуации,в связи с чем возможно до-
определение скалярных диаграмм.
4.Выполнить алгоритм "ТВАТ".Заключение должно быть не менее силь-
ным,чем полученое в п.2.
Пункт 3 алгоритма "Суздаль" может быть опущен после надлежащего
освоения скалярных диаграмм.Недостатки кругов Эйлера особенно ярко
проявляются при синтезе силлогизмов в базисе Аристотеля-Жергонна,пос-
кольку приходится описывать слишком большое число ситуаций.
В традиционной логике различают четыре разновидности простого ка-
тегорического силлогизма,которые называют фигурами.Три первых фигуры
были предложены Аристотелем,а 4-ю фигуру впервые использовали схолас-
ты.
m ----- x x ------¬m m------- x x ----- m
\ ¦ ¦ /
\ ¦ ¦ /
\ ¦ ¦ /
\ ¦ ¦ /
y ----- m y -------m mL------ y m ----- y
1-я 2-я 3-я 4-я фигура
Для каждой фигуры существуют 64 модуса.Модусы - это разновидности
силлогизмов,определяемые формой и взаимозависимостью их посылок и зак-
лючений.В традиционной силлогистике рассматривют обычно лишь 64 моду-
са,т.е. по 16 модусов для каждой фигуры.
Используя приведенные методы, проверим все 64 модуса для 4-х
фигур категорического силлогизма[8].В результате получим следую-
щие правильные модусы русской силлогистики:
1-я фигура:
AAA,AEIxy'[3],AIIxy[5],AOOxy[7],EAE,EEIx'y'[3],EIIx'y[5],
EOOxy[7],IAIxy'[3],IEIxy'[2],IOOxy[7],OAOxy[2],OEOxy[5],
OIOxy'[2],OOOxy[2].
2-я фигура:
AAIx'y'[3],AEE,AIIx'y[3],AOOxy[2],EAE,EEIx'y'[3],EIIx'y[5],
EOOxy[7],IAIxy'[3],IEIxy'[2],IOOx'y[2],OAOxy[2],OEOxy[5],
OIOxy'[2],OOOxy[2].
3-я фигура:
AAIxy[3],AEIxy'[3],AIIxy[5],AOOxy[7],EAIx'y[3],EEIx'y'[3],
EIIx'y[5],EOOxy[7],IAIxy[7],IEIxy'[7],IOOx'y[2],OAOxy[5],
OEOxy[5],OIOxy'[2],OOOxy[2].
4-я фигура:
AAA,AEE,AIIx'y[3],AOOxy[2],EAIx'y[3],EEIx'y'[3],EIIx'y[5],
EOOxy[7],IAIxy[7],IEIxy'[7],IOOx'y[2],OAOxy[5],OEOxy[5],
OIOxy'[2],OOOxy[2].
Все они не противоречат здравому смыслу.Однако большей