Розділ передумови вдосконалення методики проведення етапу закріплення знань та формування умінь І навичок з математики у середній школі

Вид материала

Документы

Содержание Уміння – це дія, яка виконується певним способом із певною якістю. Навички Актуалізація попередніх знань і способів дій Ускладнений рівень Підвищений рівень

Подобный материал:

• О. П. Глазова рідна мова плани-конспект, 2342.68kb.
• Програма з підвищення рівня вдосконалення комунікативних вмінь та навичок під час проведення, 391.79kb.
• В. Е., Бражко Є. Л. Визначення коефіцієнта компетентності студентів, 49.38kb.
• Коли йдеться про зміст шкільного курсу математики, то, звичайно, мають на увазі засвоєння, 124.36kb.
• Тема: Загальні питання методики викладання біології, 88.73kb.
• Уроки розвитку зв’язного мовлення, 460.86kb.
• Методика формування умінь І навичок у процесі навчання географії в школі, 114.72kb.
• План І. Вступ >ІІ. Дидактичні ігри важливий засіб успішного засвоєння учнями математичних, 276.55kb.
• Про організацію навчально-виховного процесу в початкових класах загальноосвітніх навчальних, 171.21kb.
• Методичні рекомендації по самостійної роботі студентів з дисципліни, 190.19kb.

§ 1.3. Основи теорії поетапного формування умінь і навичок розв”язування вправ


Кожна теорія повинна грунтуватися на певних базисних термінах, тому, перш ніж перейти до викладу матеріалу з даної теми, визначимо зміст її основних понять.

Уміння – це дія, яка виконується певним способом із певною якістю.

Навички – це автоматизовані компоненти свідомої дії людини, які виробляються в процесі її виконання.

Навичка виникає як свідомо автоматизована дія і потім функціонує як автоматизований спосіб його виконання. Те, що дана дія стала навичкою, означає, що людина в результаті вправи набула можливості здійснювати дану операцію, не роблячи її виконання свідомою метою.

У своїй роботі ми спираємось на психологічну теорію поетапного формування розумових дій, розроблену П.Я. Гальпериним і Н.Ф. Гализіною. Такий вибір обумовлений тим, що на відміну від всіх інших теорій, зокрема теорії асоціацій А.К.Артемова, М.Н.Шеварьова, Я.І.Трудюкова, вона дає змогу розкрити, продемонструвати і реалізувати принцип формування умінь і навичок розв”язування вправ, як засіб організації навчально-пізнавального процесу на всіх рівнях диференційованого підходу до навчання.

Згідно цієї теорії навчання зводиться до засвоєння орієнтирів діяльності і розумових дій за її плануванням і здійсненням. Для повноцінного формування будь-яких знань і вмінь треба:

1. створення мотивації;
   
2. пояснення і виділення схеми орієнтовної основи дій (ООД), тобто розкладання дії на елементарні операції, доступні для учня;
   
3. формування дії в матеріальній формі;
   
4. формування дії за допомогою усної мови без опори на матеріальні чи матеріалізовані засоби (всі операції алгоритму коментують вголос у міру їх виконання);
   
5. формування дій у внутрішню мову, в розумову дію (на цьому етапі відбувається автоматична дія).
   

Теорія поетапного формування розумових дій дає змогу виділити три типи орієнтації в завданні.

Перший тип орієнтації: учневі дають зразок дії і називають її результат, але без вказівок, як виконати дію. Учень сам шукає правильний спосіб розв”язування методом проб і помилок, але міцна навичка у нього не утворюється, і навіть при незначній зміні умови завдання він не може виконати цю дію, перенести її на нові завдання. Вчитель, працюючи за першим типом орієнтації, сам програмує помилки учнів, тому йому доводиться більш перевчати, довчати, ніж займатися правильним навчанням.

Другий тип орієнтації: учневі дають всі вказівки, як правильно виконати завдання, є готовий алгоритм дій.

При дотриманні вказівок алгоритму начання йде без помилок, швидше, ніж на першому етапі орієнтиру. У міру виконання вправ алгоритм засвоюється. Нове завдання учень співставляє з розв”язаним, і, якщо вони одного типу, то даний алгоритм успішно застосовується до нового завдання.

Недоліки роботи цього типу в тому, що учневі ззовні дається послідовність операцій для виконання конкретного завдання. Якщо учневі весь час давати тільки готові алгоритми, схеми, помітки, він мало досягне в розумовому розвитку.

Цей тип орієнтації корисний при ліквідації прогалин у вміннях і навичках за минулі роки. Якщо матеріал складний, то краще дати схему, план, орієнтири і вчити застосовувати їх до конкретного матеріалу. При дефіциті часу також доцільно працювати у відповідності до другого типу орієнтації.

При третьому типі орієнтації навчання на перше місце виступає навчання не стільки способу дій в конкретному випадку, скільки аналізу ситуації. Вчитель спеціальним чином організовує з учнями такий поглиблений аналіз завдання, що вони самостійно складають узагальнену схему або алгоритм. Це вже творча робота.

Навчання за третім типом орієнтації – складаний процес, вимагає більше часу. Але коли вже складена узагальнена ООД для достатнього кола завдань, темп навчання різко зростає.

Робота за третім типом відповідає закономірностям формування змістовних узагальнень, сприяє розвитку теоретичного мислення. Від алгоритмічної діяльності при другому типі орієнтації здійснюється перехід до творчого теоретичного мислення при навчанні за третім типом. Сформульовані при цьому дії стійкі до зміни умови.

На матеріалах різних шкільних предметів психологи довели, що третій тип орієнтації завдань найближче підводить учнів до творчого мислення, є орієнтиром на суть, це шлях до формування теоретичного мислення.

Завдання вчителя на уроці – організувати процес навчання так, щоб в учнів зростали інтерес до знань, потреба в повноцінному оволодінню ними, розвивалася самостійність у роботі, щоб кожний учень працював з повною напругою своїх сил, що сприятиме глибшому засвоєнню програмного матеріалу, формуванню більш міцних умінь і навичок, розвитку здібностей учнів. Це можна реалізувати через систему завдань, що передбачають поетапне формування дій:

1. з повним набором необхідних умов;
   
2. з пропущеними деякими з них;
   
3. з наявністю всіх необхідних і з добавкою зайвих умов;
   
4. з пропущеними деякими необхідними та наявністю зайвих.
   

Завдання можуть відрізнятися за рівнем проблемності. Всі завдання пропонуються на кожному етапі доти, доки їх виконання не буде правильним і швидким.

Їснує ряд показників, за якими змінюється поетапне формування дій:

1. рівень, на якому фактично виконується дія;
   
2. повнота операцій (розгортання і скорочення дій);
   
3. узагальнення дії за матеріалом, типами і закономірностями;
   
4. міра засвоєння дії.
   

Для поетапного формування дій при розв”язуванні задач необхідно використовувати стимулюючі ланки.

Якщо задачі розв”язуються обгрунтовано з опорою на знання, аксіоми, що вивчаються, то досягається глибоке розуміння і формуються міцні стійкі уміння і навички. Це означає, що під час розв"зування задач учні повинні як можна частіше користуватися стимулюючими ланками. У той самий час відомо, що багато учнів розв”язують задачі механічно, тільки за аналогією з попередніми задачами, намагаються обійтися без роздумів, не вникаючи в суть пояснень. Тому необхідно знати умови, які збуджують учнів обгрунтувати розв”язування задач. Якщо у процесі вивчення нової теми виконуються умови:

1. учневі пропонують задачі лише одного типу;
   
2. розв”язування кожної з них зводиться до однієї і тієї ж операції;
   
3. цю операцію (її результат) учневі не доводиться вибирати серед інших, які можливі у збіжних ситуаціях;
   
4. дані задачі не є для учня незвичними;
   
5. він впевнений у безпомилковості своїх дій
   

то учень під час розв”язування другої чи третьої задачі перестає обгрунтовувати розв”язання задач.

Якщо хоча б одна з перерахованих умов порушується під час розв”язування якоїсь задачі, то учень починає обгрунтовувати розв”язання цієї і однієї-двох наступних задач.

Отже, учитель повинен виділити операційний склад діяльності учня та узагальнити (з урахуванням особливостей матеріалу і відповідних психолого-педагогічних закономірностей) у вигляді орієнтовних основ дій і використовувати диференційований підхід у процесі навчання та контролю успішності учнів з використанням кількісних і якісних критеріїв оцінки.


§ 1.4. Етап закріплення знань та формування умінь і навичок розв”язування вправ як складова і обов”язкова ланка єдиного процесу здобування учнями математичної освіти


У зв”язку з необхідністю удосконалення методів викладання математики все більшого поширення набуває диференціація навчання на уроці. Це дозволяє створювати оптимальні умови для виявлення здібностей та інтересів учнів в умовах колективної роботи.

Розглядаючи урок з точки зору логіки навчального процесу, приходимо до поняття “структура уроку”. У дидактиці досліджується поняття “загальна дидактична структура”, суть і компоненти якої видно із схеми:

Актуалізація попередніх знань і способів дій


Формування нових знань і способів дій


Застосування

формування умінь і навичок





Розглядаючи конкретніше компоненти із загальної структури, можна виділити з множення можливих основні етапи уроку:

1. Постановка мети уроку перед учнями.
   
2. Ознайомлення з новим матеріалом.
   
3. Закріплення нового матеріалу:
   

а) на рівні відтворення інформації і способів дій;

б) на рівні творчого застосування і здобування знань.

4. Перевірка знань, умінь і навичок.
   
5. Систематизація і узагальнення вивченого матеріалу (з теми, розділу).
   

Якщо основна дидактична мета уроку – закріплення вивченого матеріалу, то, природно, урок слід відвести до уроків закріплення знань. Урок закріплення знань ділиться на два підтипи: урок тренувального характеру і урок творчого застосування знань. Але це не означає, що урок тренувального характеру не має продуктивних методів, а на уроці творчого застосування знань відсутні репродуктивні методи. Під час диференційованого підходу на етапі закріплення знань мета уроку змінюється в залежності від етапів вивчення матеріалу та в міру просування учнів по рівнях.

У процесі навчання математики закріплення знань та формування умінь і навичок відбувається в основному за допомогою розв”язування задач. Тому проблема методів навчання математики включає і проблему методів навчання розв”язування задач. Учнів необхідно підготувати до розв”язування задач різних типів. Шкільна математика, особливо алгебра, багата на різного роду алгоритми для розв”язування стандартних задач різноманітних видів, від задач на додавання багатозначних чисел до задач диференціювання певних класів функцій.

Щоб вивчити алгоритми, можна їх пояснити учням у готовому вигляді, але така методика неефективна. Методи навчання, орієнтовані на розвиток активної пізнавальної діяльності учнів є умовою необхідності навчити школярів відшукувати і описувати загальні методи розв”язування класів однотипних задач за допомогою аналізу і узагальнення способів розв”язування часткових задач, які належать до цих класів.

З психології відомо, що учні відрізняються своїми нахилами, типами пам”яті, темпом роботи, мисленням, особливостями сприймання матеріалу. Диференціація навчання дозволяє вибрати такі методи, засоби навчання, які сприяють максимальному розвитку всіх учнів. Так, широко застосовуються самостійні роботи за варіантами, що відрізняються складністю змісту і розраховані на різні рівні підготовленості учнів, їх самостійності.

Докладніше принцип добору вправ щодо впровадження диференційованого вивчення матеріалу, специфіку методики викладання тем і контролю знань буде розкрито в розділі 2.


Розділ 2. Особливості організації та методики проведення етапу закріплення знань та формування умінь і навичок.


§ 2.1. Методичні особливості системи вправ на закріплення знань


Диференціація в шкільному курсі може здійснюватися в залежності від вибраних напрямів засвоєння навчального матеріалу можна виділити такі види впровадження диференціації у процесі закріплення вивченого матеріалу та формування умінь і навичок:

• за повнотою вивченого навчального матеріалу;
  
• за ступенем обгрунтованості навчального матеріалу;
  
• диференціація за складністю задач.
  

При вивченні математики в школі диференціація вимог до учнів повинна здійснюватися за лінією задач. При цьому з кожної теми рівень підготовки може бути охарактеризований невеликою кількістю завдань певної складності, кожне з яких є представником деякого класу задач. У процесі розробки матеріалів можна виділити три рівні підготовки до поділу учнів на групи (див. розділ 1; 1.1.4): базисний, ускладнений і підвищений.

Перший рівень складають завдання не безпосереднє застосування теоретичних знань, які відповідають широко відомим обов”язковим результатам (див. розділ 1; 1.1.3). До другого рівня віднесем завдання типу обов”язкових, але які вимагають більш складних обчислень і перетворень, об”єднання двох або декількох задач першого рівня, а також такі, що містять новий прийом або спосіб розв”зання. Третій рівень включає в себе задачі підвищеної складності, олімпіадні та конкурсного характеру (творчі задачі).

У своїй роботі ми спираємось на підхід, запропонований і використовуваний вчителем Запорізької школи Дніпропетровської області А.М.Капіносовим.

З точки зору індивідуалізації навчального процесу, тобто створення умов для оволодіння кожним учнем його рівнем підготовки в характерному для нього темпі, найбільш доцільною є така організація навчання, за якою учні спочатку оволодівають програмним матеріалом з усієї теми на базисному рівні. Учні, які досягають його, переходять до навчання на ускладненому рівні, а ті, що стикаються з труднощами, залучаються до додаткової тренувальної роботи на основі блоків навчальних завдань, а потім переходять до вищого рівня. Для організації поетапного оволодіння кожним рівнем підготовки і розраховані насамперед приклади даної розробленої системи вправ (2.1.1, 2.1.2, 2.1.3).

Для цілеспрямованої роботи з формування вмінь базисного рівня підготовки і здійснення контролю за його досягненням використовуються відповідно тренувальні вправи і залікові роботи.

Тренувальні вправи доповнюють системи вправ обов”язкового рівня підготовки діючих підручників. Вони можуть використовуватись як для фронтальної, так і для індивідуальної роботи. Залікові роботи охоплюють всі основні типи завдань базисного рівня і дозволяють здійснювати повний, а не вибірковий контроль за його досягенням. Для успішного досягнення цього рівня бажано при вивченні кожної теми спеціально виділяти 2-4 уроки для виконання тренувальних вправ і проведення залікової роботи. Учні, які за цей час оволоділи даним рівнем підготовки, переходять до наступного. З рештою учнів організовується на основі тренувальних вправ додаткова індивідуальна робота. Кількість варіантів залікових робіт дозволяє використовувати їх для проведення повторного письмового заліку з учнями, які пізніше оволодівають базисним рівнем.

Головним змістом навчання на ускладненому рівні є формування в учнів умінь самостійно знаходити способи розв”язування ускладнених задач, спираючись на базові вміння. Виходячи з цього, процес оволодіння ускладненим рівнем з навчальних тем доцільно організовувати за такою схемою: самостійний пошук способів розв”язування задач з наступним колективним аналізом їх виконання; тренувальна робота, перевірка ступеня досягнення рівня.


2.1.1. Базисний рівень


А.М.Капіносовим розроблена система вправ з алгебри для 5-9 класів та з геометрії для 10-11 класів у формі дидактичного матеріалу, за яким кожний учень безпосередньо працює у процесі вивчення матеріалу на етапі закріплення знань та формування умінь і навичок з кожної теми на відповідному рівні. Оскільки немає розробленої системи вправ з алгебри для 10 класу, то саме тому в даній роботі розглядається методика диференційованого вивчення алгебри в середній школі на етапі закріплення знань та формування умінь і навичок на прикладі теми “Тригонометричні рівняння і нерівності та їх системи”, тобто тієї теми, дидактичне забезпечення якої відсутнє в методичній літературі на сьогоднішній день.

Розглянемо принцип добору вправ на прикладі тригонометричних рівнянь. На кожному з виділених нами рівнів рівняння чітко розділені за методами їх розв”язування (зазначимо, що в процесі добору вправ використовувалися різні збірники задач, крім того, автор роботи особисто складала багато із запропонованих рівнянь).

Зокрема, на базисному рівні спочатку розглядаються рівняння, які не потребують застосування будь-яких перетворень алгебраїчних чи іншого характеру. А лише визначають знання формул для знаходження коренів відповідного тригонометричного рівняння.

Наприклад: sin х = ½; х = (-1)^k π /6 + πk , k € z

Дані рівняння ускладнюються тим, що замість аргумента стоїть не сама змінна, а з певним коефіцієнтом. При цьому перетворення виконуються безпосередньо із знайденим коренем і звертається увага на те, що в результаті змінюється як значення кута, так і значення періоду.

Наприклад: cos 2х = √2/2

2х = ± π/4 + 2πn, n € z

х = ± π/8 + πn, n € z

У наступних рівняннях ставиться коефіцієнт перед самою функцією, а аргумент складається з однієї змінної.

Наприклад: 2 sin х = √3,

sin х = √3/2,

х = (-1)^k π /3 + πk , k € z

Потім пропонуються рівняння з коефіцієнтом перед функцією та перед аргументом, що вимагає від учнів знання і вміння поєднувати два попередньо розглянутих перетворення.

Наприклад: 5 tg 3х = -5;

tg 3х = -1;

3х = - π/4 + πn, n € z

х = - π/12 + π/3n, n € z

Аналогічно, коли ускладнюється значення аргумента додаванням певного кута та множенням на коефіцієнт і додаванням числа до функцій та множенням на коефіцієнт безпосередньо функції.

Коли учні опрацюють рівняння таких видів, то, щоб перевірити засвоєння цих знань, необхідно запропонувати їм розв”язати такі рівняння, які містять об”єднання всіх розглянутих раніше прийомів їх розв”язування.

Наприклад: 3 + 2 sin (2х - π/4 ) = 4;

2 sin (2х - π/4 ) = 1;

sin (2х - π/4 ) = ½;

2х - π/4 = х = (-1)^k π /6 + πk , k € z

х = (-1)^k π /12 + π /8 + π|2 k , k € z

Як уже зазначалося раніше, навчання на базисному рівні з метою вироблення елементарних умінь і навичок розв”язування вправ передбачає проведення тренувальної роботи. Разом з тим, окремим учням (найслабішим) як початковий етап вказаної роботи доцільно запропонувати такі найпростіші тригонометричні рівняння.


1. а) cos х = √2; г) cos х = √3; є) cos х = - ½

2 2

б) sin х = 1 д) sin х =- √3; ж) cos х = - √2

2 2 2

в) tg х = 1; е) tg х = -√3; 3) ctg х = - 1

√3

2. а) sin 4х = 1 г) sin 2х = ½ є) sin 3х = - √2
   

2

б) cos 2х = 1 д) cos х/2 = 0,5 ж) cos 4х = - 1


в) sin (t/4) = - √2 е) cos t/5 = - √2 з) tg (-х/3) = 1/√3

2. 2
   

3. а) 2 sin х =√2 в) 6 cos х = 3 д) 3 tg х = √3

б) 2 sin 4х = √3 г) 4 cos х/3 = 4 е) 5 tg 3х = - 5


4. а) sin (х + π/4 ) = 0 в) tg (π/3 – х ) = √2 д) cos ( х - π/6 ) = 1

2

б) tg (2х + π/6) = √3 г) cos (х/3 - π/4) = 1 е) sin ( π/3 – 2х) = 0

3


5. а) 2 sin (4х + π/3) = - √3 в) √3 tg ( π/3 – х/4 ) = 1

б) 2 cos (3х - π/3) = - 1 г) 3 ctg ( π/6 – х/2 ) = - √3


Оскільки засвоєння базисного рівня характеризує обов”язкові результати навчання учнів, то для організації закріплення знань на даному етапі необхідно враховувати такі умови:

1. кількість вправ, що пропонуються учням залежить від ступеня складності цих вправ;
   

2) у разі незасвоєння окремими учнями розглядуваної теми (для ліквідації прогалин) використовують блоки дублюючих завдань.

1. Рівняння, які зводяться до квадратних відносно будь-якої тригонометричної функції
   

Варіант 1

а) 3 cos² х + 10 cos х + 3 = 0

б) tg² х – ( 1 + √3) tg х + √3 = 0

в) cos² 2х + 5 cos 2х = 2 sin² 2х

г) 2 + cos² х = 2 sin х

д) 2 cos² х/3 + 3 sin х/3 = 0

е) 5 sin² х + 4 sin ( π/2 + х ) = 4

є) 2 cos² 5х – 1 = sin 5х

ж) tg х + 3 ctg х = 4

з) tg² (2 ( х + π )) + 4 = 5 tg ( 3π/2 - 2 х )


Варіант П


а) 2 sin² х + 5 sin х + 2 = 0

б) сtg² х – ( √3 – 1 ) сtg х - √3 = 0

в) sin² х/2 - 5 sin х/2 = 2 cos² х/2

г) 3 - 3 cos х = 2 sin² х

д) 2 sin² 3х – 5 cos 3х – 4 = 0

е) 3 sin х/4 + 3 = 2 cos² х/4

є) 6 cos² х + 5 cos( π/2 - х ) = 7

ж) tg х - 4 ctg х = 3

з) сtg² 5π - х + 2 сtg ( π - х/2) = 1

2

Розв”язання таких вправ потребує вміння беспосередньої заміни будь-якої тригонометричної функції змінною, в результаті чого рівняння зводять до вивчених раніше квадратних рівнянь, які, як правило, не повинні викликати труднощів щодо розв”язання. Далі після знаходження коренів відносно введеної змінної переходять до розчлененого етапу розв”язування найпростіших тригонометричних рівнянь. Крім того в міру ускладнень рівнянь для їх розв”язання використовують основну тригонометричну тотожність та формули зведення. Особливо характерними в цьому плані є вправи типу г), є), з).


2. Рівняння, однорідні відносно синуса і косинуса


Варіант 1


а) sin х - √3 cos х = 0

б) 3 sin х + 4 sin ( π/2 + х ) = 0

в) 6 sin х cos х = 5 cos 2х

г) sin² х + 14 sin х cos х = 15 cos² х

д) cos² х - 7 sin² х = 3 sin 2х

е) 4 sin 2х = 3 cos² ( 3π/2 - х ) + 4 sin²( 5π/2 + х )


Варіант П


а) √3 sin х + cos х = 0

б) cos ( 3π/2 + х ) - 5 cos х = 0

в) 7 sin² х + 4 sin 2х = 7 cos² х

г) cos² х - 12 sin х cos х = 13 sin² х

д) sin² х + 9 cos² х = 5 sin 2х

е) 1,5 sin 2х = 2 sin² ( 3π/2 + х ) - 9 cos²( π/2 + х )


Для розв”язування таких рівннянь необхідно навчити учнів зводити дані рівняння до відомих шляхом ділення на синус (косинус) першого чи другого степеня відповідного аргумента, щоб одержати рівняння відносно тангенсів, знайомих щодо розв”язування, а також в міру ускладнення вміти застосовувати вивчені формули подвійного аргумента, суми аргументів та формули зведення.


3. Рівняння, що розв”язуються методом розкладання на множники


Варіант 1

а) √3 cos х = sin² х cos х

б) 2 sin х/2 = 3 sin² х/2

в) ) √2 cos 4х + cos 4х = 0

г) sin 2х = √2 sin х

д) sin х + sin 5х = 0

е) сtg 2х cos² х = сtg 2х sin² х

є) cos 3х = 1 + cos 6х

ж) cos² х - sin² х = 2 cos² 2х


Варіант П


а) √2 sin х = cos² х sin х

б) 3 cos х/3 + 4 cos² х/3 = 0

в) 2 sin² 3х = √3 sin 3х

г) sin 2х = √3 cos х

д) cos х = cos 5х

е) sin 3х sin² х = sin 3х cos² х

є) sin х/4 = 1 - cos х/2

ж) sin² х - cos² х = sin 4х


Для розв”язання рівнянь такого типу необхідно знати основні тригонометричні формули, вміти виносити спільний множник за дужки, щоб одержати рівняння, яке можна розв”язати, як найпростіше.


4. Рівняння, які розв”язуються методом введення допоміжного аргумента


Варіант 1

а) sin х - cos х = 1

б) sin х + √3 cos х = 2

в) cos 2х - √3 sin 2 х = √3

г) 2 sin² х + cos² х = 5 sin х cos х

д) cos² х + 2 sin² х + 2√3 sin х cos х = 3


Варіант П


а) sin х + cos х = 1

б) √3 sin х - cos х = 2

в) √3 cos х/2 + sin х/2 = 1

г) 2 sin² х - sin х cos х = cos² х

д) cos 2х = 5 sin х + 3


Особливість даних рівнянь полягає в тому, що учні повинні зразу замінювати тригонометричні функції тангенсом половинного аргументу, що вважається універсальним методом розв”язування будь-яких рівнянь. А далі вже розв”язування зводиться до вивчених раніше методів.


5. Нерівності


Варіант 1

а) sin х ‹ - 1

б) 2 sin х ‹ - 1

в) - 3 tg х ≥ √3

г) √2 sin ( π/2 + 2х ) › 1

д) 2 sin ( π + 3х) ≤ √3

е) сtg ( 3π/2 – х/2) ≤ √3


Варіант П

а) cos х › 0,5

б) 2 cos х ≥ √3

в) - 3 tg х ≤3

г) 2 cos (3π/2 + 3х ) ≤ - √2

д) 2 cos ( π - 2х) › 1

е) tg ( π + х/3) + 1 ≥ 0


Нерівності такого характеру відрізняються тим, що учні повинні правильно зрозуміти методику знаходження потрібних проміжків. Решта перетворень в процесі розв”язування нерівностей аналогічна до перетворень, розглянутих у рівняннях.


6. Системи рівнянь

Варіант 1


а) у – х = π/2,

cos х + sin у = 1


б) х + у = π,

sin х + sin у = √3


в) sin х - cos у = 1,

sin х + cos у = 0


Варіант П


а) х + у = π/2,

sin х + cos у = √2


б) - х + у = π,

cos х - cos у = 1


в) cos х + sin у = 0,5,

cos х - sin у = 0,5


Згідно даних вправ можна зробити такий висновок: базисний рівень (рівень елементарної підготовки) – це рівень тренувальної роботи і розвитку репродуктивного мислення. В результаті виконання вправ цього рівня учні оволодівають уміннями і навичками, необхідними для успішного вивчення даного і наступних розділів математики.

2. Ускладнений рівень
   

1. Рівняння, що зводяться до квадратних
   

а) 15 (sin² 2х + sin х + cos² 2х)² = 17 + 31 sin х


б) 3 + 5 sin 3х = cos 6х


в) cos х + 1 = 4

sin х/2


г) 12 cos² (2 - 3х) + 4 sin (2 – 3х) - 11 = 0


д) 3 cos х/2 + sin ((х + 5π)/2) – 4 = 0

cos ((х - 4π)/2) + 1


е) sin 2х = 1 + 3 – 7 sin (5π + 2х)

4 cos (3π/2 + 2х)

є) √3 sin (5π – х/2) = 2 tg ( 7π/2 - х/2)


ж) 2 + 1 + tg х = 2 сtg х - 2

4 - 3 tg х 4 сtg² х - 3 сtgх


Проаналізуємо, як розв”язуєтьс одне з рівнянь цього рівня:


12 (cos х - cos² х/2 - sin² х/2)² = 10 - 13 cos х

12 (cos х – (cos² х/2 + sin² х/2))² = 10 - 13 cos х

12 (cos х - 1)² = 10 - 13 cos х

12 (cos² х - 2 cos х + 1) = 10 - 13 cos х

24 cos² х - 24 cos х + 12 = 10 - 13 cos х

12 cos² х - 11 cos х + 2 = 0

Отже, щоб звести таке рівняння до квадратного, учень має розпізнати основну тригонометричну тотожність, винести знак “-“ за дужки, потім піднести до квадрату вираз, одержаний в дужках і звести подібні доданки. Далі за стандартним методом, виробленим під час розв”язування рівнянь базисного рівня, учень робить заміну cos х=t і розв”язує квадратне рівняння:


12 t² - 11 t + 2 = 0


Д = 121 – 4 ^. 12 ^. 2 = 25


t ₁ = 11 - √25 , t ₂ = 11 + √25

24. 24
    

t ₁ = ¼, t ₂ = 2/3


Після цього знаходяться розв”язки найпростіших тригонометричних рівнянь


cos х=1/4 та cos х=2/3

2. Рівняння, які зводяться до однорідних
   

а) 2 sin² 2х + 3 cos² 2х – 2,5 sin 4х = 0


б) 3 sin² х/3 + 2 cos² х/3 = 3,5 sin 2х/3


в) 10 sin² х - 12 sin х cosх - 11 cos² х = 1


г) 3 sin 2х + 8 cos² х = 7


д) 8 sin² (π/8 – 2х) - cos² (2х - π/8) = 0,5 sin (4х - π/4) + 3


Розглянемо, як розв”язується таке рівняння:

2 sin² 2х + 3 cos² 2х = 2,5 sin 4х

Спочатку виконуються перетворення, які зводять до однакових аргументів:


2 sin² 2х + 3 cos² 2х = 2,5 ^. 2 sin 2х ^. cos 2х

2 sin² 2х - 5 sin 2х cos 2х + 3 cos² 2х = 0


Далі застосовуємо новий прийом – кожен член рівняння ділиться на будь-яку тригонометричну функцію найвищого степеня, наприклад, на cos² 2х, тоді


2 tg² 2х - 5 tg 2х + 3 = 0


Метод розв”язування такого рівняння був розглянутий вище.


3. Рівняння, які розв”язуються методом розкладання на множники


а) (1 - cos 6х) cos 2х = sin² 3х

б) cos ( 3х + π/5) = sin ( 9х + 2π/5)

в) cos х + cos 3х + 2 sin² х = 1

г) cos 3х + cos 7х = sin 3х + sin 7х

д) √3 sin х + tg 2х sin х = tg 2х + √3

е) cos х + sin ( 5π/2 + 7х) - cos 4х = 0

є) sin х/4 - √3 cos 3х/8 - sin х/2 = 0

ж) √3 (cos х - sin х) = √2 sin ( 2х - 3π/2)


Розв”язуючи рівняння:


(1 - cos 6х) cos 2х = sin² 3х,

2 sin² 3х cos 2х = sin² 3х,

2 sin² 3х cos 2х - sin² 3х = 0,

sin² 3х ( 2cos 2х – 1) = 0,


бачимо, що воно звелося до двох рівнянь базисного рівня:


sin² 3х = 0 і 2 cos 2х – 1 = 0,


методом розв»язування яких учні оволоділи на попередньому етапі.

3. Рівняння, які розв»язуються методом введення допоміжного аргумента
   

а) 2 sin 3х + 2 cos 3х = √2

б) 3 sin х/3 - √3 cos х/3 = 3

в) 9 cos ( 1 - 2х ) - √27 sin (2х – 1) = - 6√3

г) 3 sin (х/3 – 2) + √3 cos ( 2 – х/3) = - √12


На відміну від рівнянь такого виду на базисному рівні тут виконуються більш складні перетворення, враховуються властивості тригонометричних функцій. Кожне наступне рівняння, як і на базисному рівні, вимагає допоміжних перетворень, включаючи ті, що застосовувалися до попереднього.

Принцип добору нерівностей та систем рівнянь аналогічний добору рівнянь.


5. Нерівності


а) сtg ( 3π/2 + х/2) – 1 ≤ 0

б) √3 tg ( х/3 + π/6 ) – 1 ≥ 0

в) cos ( 3π/4 - 4х ) + 0,5 › 0

г) 2 sin ( х/2 - π/4 ) ≥ - 1

д) sin² х + 2 sin х ‹ 0

е) sin х ≤ - cos х


6. Системи рівнянь


а) х – у = 1,

cos πх + √3 = cos πу


б) у - х = π/6,

2 cos у = √3 cos х


в) х - у = 3π/2,

5 cos² х = 6 sin у – 1.


Ускладнення нерівностей і систем рівнянь одного рівня відбувається на основі ускладнення значення аргумента без застосування тригонометричних формул; метод розв”язування аналогічний до попереднього рівня.

Основне призначення ускладненого рівня – розвивати продуктивне мислення, вміти самостійно зводити складні вправи до простих, застосовуючи певні перетворення. Вправи даного рівня спрямовані на вироблення умінь і навичок на високому рівні програмних вимог.

2. Підвищений рівень
   

1. Рівняння, які зводяться до квадратних
   

а) cos 4х = 6 cos² х - 5

б) sin⁴ х + cos⁴ х = sin х cos х

в) 2 cos² (х/2 + π/4) + 3 sin² (х/4 + π/8) = 2

г) (√3 sin х/2 - cos х/2)² = 5 + sin (π/6 – х/2)

д) 2 cos² 2х – 12 cos² х + cos 4х – 1 = 8 sin (5π/2 + 2х)


е) 5 + 3 sin х – 3 cos х = 8 cos² х + 2 sin² х

tg х – 1 2 cos х + 2 sin х sin² х - cos² х

1. Із всіх розв»язків рівняння 5 cos 2 х + 7 cos (х - 3π/2) + 1 = 0 вказати ті, значення х, при яких cos х ≤ 0.
   
2. Із всіх розв”язків рівняння 2 sin² 2 х - 5 cos 2х + 1 = 0 вказати ті значення х, які належать проміжку [π; 2π].
   

2. Рівняння, які зводяться до однорідних відносно синуса чи косинуса
   

а) 3 cos² х/2 - 5 cos х - 2 sin х = 4

б) 2 sin⁴ 2х - 3 + 5 sin 4 х = 2 cos⁴ 2х

в) 2 cos х - 3 sin х = І sin х І

1. Із всіх розв”язків рівняння sin 3х (1+ cos 4х ) = cos² 2х вказати ті значення х, які належать проміжку [ π/2; π ].
   
2. Із всіх розв”язків рівняння 4 sin² х (1 + cos 2х) = 1 - cos 2х вказати ті значення х, які належать проміжку [π/2; 3π/2].
   

3. Рівняння, які розв”язуються методом розкладання на множники
   

а) 2 cos 12х + cos 2х - √3 sin 2х = 0

б) sin х + cos х = 1 + sin 2х

в) sin х = - 2 cos х/2

1 + sin х/2

г) (1 + tg х/2) (1 - sin х) = 1 - tg х/2

д) cos² 2х + cos² 3х + cos² 4х + cos² 5х = 2

е) sin⁴ 2х + sin⁴ (2х - 3π/4) = 0,25

4. Рівняння, які розв”язуються методом введення допоміжного аргумента або за допомогою формул, які виражають синус і косинус через тангенс половинного аргумента
   

а) 3 sin х - 4 cos х = 5

б)1 + cos х = 3

1 - sin х

в) 3 cos 2х + 5 sin 2х = √34/2


1) При яких значеннях a рівняння 5 sin 3х - 6 cos 3х = а має розв”язок?

2)При яких значеннях b рівняння 3 sin (4х - 5π/13) - b cos (5π/13 – 4х) = 4 має розв”язок?


Завдання такого характеру вимагають від учнів систематизованих знань з елементарної математики щодо перетворення виразів – винесення спільного множника за дужки, розкриття модуля, а також уміння розв”язувати рівняння з параметром, використання тригонометричних формул та певних етапів перетворення рівнянь подібно до базисного та ускладненого рівнів, комбінвоаних певним чином.

5. Нерівності
   

а) ½ ‹ sin х ≤ √2/2

б) 3 tg² 3х - 2 ‹0

в) sin ( π/3 - 2х ) cos ( π/3 - 2х ) ≥ - √3/4

г) √3 sin х/2 - cos х/2 ≤ √3

д) cos² х/3 ≤ sin² х /3 – 0,5


Розв”язування нерівностей такого плану вимагає насамперед зведення їх до елементарних до застосування тригонометричних формул, а потім уже перетворень алгебраїчного характеру.

6. Системи рівнянь
   

а) sin х sin у = 3/4,

cos х cos у = 1/4


б) х + у = π/4,

tg х – tg у = 2




в) √ cos 2х cos х = 0,

2 sin² х – cos (2у - π/3) = 0


г) √ sin 2у – 1 sin у = 0,

cos² (2 (π/4 – у)) – 2 sin 3х = 0


Системи рівнянь цього рівня вимагають застосування тригонометричних формул; крім методу підстановки тут використовують ще метод додавання, а також застосування алгебраїчних перетворень.


Розв»язування завдань підвищеного рівня полягає у формуванні творчого мислення в учнів. Такі вправи адресовані для школярів, які проявляють підвищену зацікавленість до вивчення математики. Крім організації індивідуальної роботи на уроках із сильними учнями подібні завдання та завдання, подані нижче, можуть бути використані на факультативних заняттях, а також у роботі математичного гуртка.


1. Розв»язати рівняння, використовуючи обмеження функцій синус і косинус


а) cos х + cos 5х = 2


б) 2 sin πх/2 = х² + 1

х

в) cos⁴ 3х - sin² 2х = 1




г) sin х sin 2х sin 3х = 0,8


д) √25 –4х² (3 sin 2 πх + 8 sin πх) = 0

2. Розв”язати рівняння методом заміни змінної
   

а) 2 cos х - 4/3 = cos² (х + π/4)

sin 3х + sin х


б) ½ tg² х sin 2х = tg х - 3

4 sin 2х


в) sin х (1 - cos х)² + cos х (1 - sin² х)² = 2

3. Розв»язати рівняння, використовуючи метод розкладання на множники
   

а) sin 5х = 5 sin х


б) 3 сtg 2х - 4 tg 3х = tg 2х

в)1 + sin 2х + 2√2 cos 3х sin (х + π/4) = 2 sin х + 2 cos 3х + cos 2х


4. Знайти всі пари чисел (х; у), що задовольняють кожному з рівнянь


а) 12 sin х - 5cos х = 2 у² - 4у + 15


б) 6 tg х/2 = 3 у² + 12 у + 15

1 + tg² х


в) 1 - tg² х = 12 у – 19 - 2 у²

1 + tg² х


5. Розв”язати нерівності

а) 2 sin⁴ 2 х ≥ sin² 2 х

б) 2 cos х (cos х - √8 tg х) ‹ 5

в) 2 cos 2 х + 4 Іcos хІ › 1


6. Довести, що якщо 3 х² – 31х + 80 ‹ 0, то cos (3/ (6 – х)) ‹ 0.


7. Розв”язати системи тригонометричних рівнянь

а) 2 cos 6х - sin у = - 3,

2х + у = - π/2


б) сtg х + sin 2у = sin 2х

2 sin (х + у) sin у = cos х





в) tg х + сtg х = 2 sin Z ,

sin у + cos³ Z cos х = 0,5


г) sin² у - cos² 2х = 1,

2 cos² Z - cos у sin² 2 Z = √3.


§ 2.2. Критерії оцінювання знань (умінь і навичок) учнів.


Під час впровадження диференціації у навчальний процес суттєве значення відіграють критерії оцінювання знань учнів, які характеризують результати досягнень школярів на кожному відповідному етапі оволодіння знаннями теорії та практичних навичок.

Слід зазначити, що оцінка учня повинна фіксувати не лише певний обсяг знань у результаті вивчення того чи іншого матеріалу, а й рівень самостійного оволодіння навчальним матеріалом.

Можна виділити такі вимоги щодо характеристики оцінювання знань учнів.