Высшая математика
| Вид материала | Лекции |
- Рабочая программа по дисциплине «Высшая математика» для подготовки дипломированных, 198.36kb.
- Карпухин В. Б., доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Высшая и прикладная, 263.95kb.
- Правительство Российской Федерации Государственное образовательное бюджетное учреждение, 94.97kb.
- ME1304 операции и логистический менеджмент, 178.55kb.
- Высшая математика, 34.34kb.
- Т. А. Аббясева «математика и сельское хозяйство» (Предпрофильный курс) Автор курса, 92.47kb.
- Реферат по дисциплине «Философия» на тему: «Роль философии в жизни общества», 292.03kb.
- Перечень дисциплин для 2 курса, 2010, 186.32kb.
- Рабочая программа по дисциплине С. 1- высшая математика шифр и название дисциплины, 629.44kb.
- Вопросы к экзамену по курсу «Высшая математика часть, 14.58kb.
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Кафедра математического анализа и теории функций, факультет физико-математических и естественных наук
Общий курс
Объём учебной нагрузки: лекции - 211 часов, практические занятия – 175 часов.
Цели курса:
1) овладение основными понятиями и методами следующих разделов:
- векторная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве,
- дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной,
- дифференциальное и интегральное исчисление функций нескольких переменных,
- теория рядов,
- дифференциальные уравнения,
- элементы линейной алгебры,
- элементы теории вероятностей;
2) выработка навыков решения задач по указанным разделам;
3) развитие логического мышления.
Содержание курса
А. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Векторы на плоскости и в пространстве. Линейные операции над векторами и их свойства. Линейная зависимость векторов. Свойства линейно зависимых и линейно неза-висимых векторов.
Проекции векторов. Базис и координаты. Скалярное произведение векторов. Его свойства и координатное выражение. Направляющие косинусы вектора. Векторное и сме-шанное произведения векторов. Их свойства и координатное выражение.
Системы координат на плоскости и в пространстве: декартова, полярная, цилин-дрическая, сферическая. Простейшие геометрические задачи: расстояние между точками, площадь треугольника, объём тетраэдра, деление отрезка в данном отношении.
Уравнение линии на плоскости, уравнение поверхности в пространстве (явное, неявное, параметрические). Уравнения линии в пространстве. Алгебраическая линия (поверхность) и её порядок. Уравнение окружности и уравнение сферы.
Прямая на плоскости, различные виды её уравнения. Взаимное расположение двух прямых, угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой.
Эллипс, гипербола и парабола. Вывод их канонических уравнений и исследование их формы по каноническим уравнениям. Фокальные радиусы, эксцентриситет, директри-сы.
Преобразование координат на плоскости и в пространстве. Общее уравнение кри-вой 2-го порядка и его упрощение путём преобразования системы координат. Классифика-ция кривых 2-го порядка.
Плоскость и прямая в пространстве, различные виды их уравнений. Взаимное рас-положение прямых и плоскостей. Основные задачи на плоскость и прямую.
Цилиндрические и конические поверхности. Прямолинейные образующие и нап-равляющая. Проектирующий цилиндр. Цилиндры 2-го порядка.
Канонические уравнения поверхностей 2-го порядка. Исследование их формы ме-тодом параллельных сечений. Прямолинейные образующие однополостного гиперболо-ида и гиперболического параболоида.
Б. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
- Функции и пределы. Непрерывность.
Действительные числа. Абсолютная величина и её свойства. Числовые множества, ин-тервалы, отрезки, окрестность. Границы числовых множеств. Постоянные и переменные величины. Понятие функции. Способы задания функции. График функции.
Некоторые характеристики функции: возрастание, убывание, чётность, нечётность, пе-риодичность. Обратная функция. Сложная функция. Основные элементарные функции и их графики (обзор). Основные классы элементарных функций.
Предел функции при x . Предел последовательности. Предел функции при x xo. Односторонние пределы. Бесконечно малые функции и их свойства. Бесконечно большие. Основные теоремы о пределах. Два замечательных предела. Сравнение бесконечно малых.
Непрерывность функции. Свойства непрерывных функций. Точки разрыва и их классификация. Непрерывность элементарных функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке (без доказательства).
- Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
Производная функции, её геометрический и физический смысл. Правила дифференци-рования. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные основных элементарных функций. Таблица производных. Производные функций, задан-ных неявно и параметрически. Логарифмическая производная. Производные высших по-рядков. Уравнения касательной и нормали к кривой.
Дифференциал функции, его механический и геометрический смысл. Свойства диффе-ренциала и его применение. Дифференциалы высших порядков.
Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Формула Тейлора. Оста-точный член в форме Лагранжа. Формула Маклорена.
Исследование функций с помощью производной. Возрастание и убывание, максимум и минимум. Достаточные условия экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функ-ции. Вогнутость и выпуклость графика функции, точки перегиба. Асимптоты. Построение графиков функций.
- Интегральное исчисление функций одной переменной.
Первообразная функции и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого инте-грала. Таблица основных неопределённых интегралов. Интегрирование методом подведе-ния под знак дифференциала, методом разложения, методом подстановки и по частям. Интегрирование функций, содержащих квадратный трёхчлен.
Разложение рациональных дробей на простейшие. Интегрирование рациональных дро-бей. Интегрирование простейших иррациональных функций. Интегрирование дфференци-альных биномов. Подстановки Эйлера. Интегрирование выражений, содержащих триго-нометрические и гиперболические функции. Знакомство с «неберущимися» интегралами.
Определённый интеграл как предел интегральных сумм. Основные классы интегрируе-мых функций. Геометрический смысл определённого интеграла. Свойства определённого интеграла. Оценка определённого интеграла, теорема о среднем.
Определённый интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона – Лейб-ница. Интегрирование по частям и замена переменной в определённом интеграле.
Несобственные интегралы. Понятие об эйлеровых интегралах (гамма-функция и бета-функция). Приближённое вычисление определённых интегралов.
Площадь плоской фигуры в прямоугольных и полярных координатах. Длина дуги кри-вой, заданной явным уравнением, параметрическими уравнениями и полярным уравнени-ем. Вычисление объёма тела по площадям поперечных сечений. Объём тела вращения. Площадь поверхности вращения. Механические приложения определённого интеграла.
- Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Понятие функции двух и нескольких переменных. Область определения. Геометриче-ское изображение; линии и поверхности уровня. Предел функции двух переменных. Не-прерывность функции двух переменных.
Частные производные. Полный дифференциал. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции двух переменных. Дифференцирование сложных функций. Производные и дифференциалы высших порядков. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Формула Тейлора для функции двух и нескольких переменных. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточные условия экстремума функции. Ус-ловный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции.
- Теория рядов
Числовые ряды. Сумма ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Свойства числовых рядов. Необходимый признак сходимости. Знакоположительные ряды. Признаки сравне-ния, Даламбера, Коши, интегральный признак. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейб-ница. Знакопеременные ряды, абсолютная и условная сходимость.
Функциональные ряды; область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вей-ерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов. Степенные ряды. Теоремы Абеля. Интервал и радиус сходимости. Свойства степенных рядов, почленное интегрирование и дифференцирование.
Разложение функций в степенной ряд. Ряд Тейлора и ряд Маклорена. Разложение ос-новных элементарных функций в степенной ряд. Биномиальный ряд. Ряды с комплексны-ми членами. Формула Эйлера.
Ряды Фурье, коэффициенты Фурье. Сходимость ряда Фурье. Ряды синусов и косину-сов. Ряд Фурье для функций с произвольным периодом и для непериодических функций. Приближение в среднем.. Интеграл Фурье.
- Интегральное исчисление функций нескольких переменных.
Элементы теории поля.
Двойной интеграл. Определение и свойства. Геометрический смысл двойного интегра-ла. Вычисление двойного интеграла в прямоугольных декартовых координатах. Двойной интеграл в полярных координатах. Замена переменных в двойном интеграле, якобиан.
Тройной интеграл. Определение и свойства. Физический смысл тройного интеграла. Вычисление тройного интеграла в прямоугольных координатах. Замена переменных в тройном интеграле, якобиан. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам.
Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. Определение и свойства. Геометричес-кий и физический смысл. Вычисление криволинейных интегралов. Формула Грина и её следствия.
Поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода. Определение и свойства. Геометрический и физический смысл. Вычисление поверхностных интегралов. Формула Гаусса – Остро-градского и формула Стокса.
Скалярное и векторное поле. Производная функции по направлению. Градиент скаляр-ного поля. Векторные линии. Потенциальное векторное поле.
Циркуляция. Поток векторного поля через поверхность. Дивергенция. Соленоидальное векторное поле.
Ротор (вихрь) векторного поля. Гармоническое (лапласово) векторное поле. Диффе-ренциальные операции векторного поля.
В.ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса.
Перестановки и подстановки. Определители n-го порядка и их свойства. Миноры и алгебраиче-ские дополнения. Разложение определителя по элементам строки или столбца. Правило Крамера.
Матрицы и операции над ними. Присоединённая и обратная матрица.
Пространство арифметических векторов. Линейная зависимость. Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов. Базис и ранг системы векторов. Ранг матрицы.
Общая теория систем линейных уравнений. Теорема Кронекера – Капелли. Однород-ные системы. Фундаментальная система решений.
Линейные преобразования. (операторы). Собственные значения и собственные векто-ры.
Билинейные и квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническо-му (нормальному) виду. Закон инерции. Положительно определённые формы.
Г. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Обыкновенные дифференциальные уравнения; основные понятия. Задача Коши. Ос-новные типы дифференциальных уравнений 1-го порядка и методы их решения. Урав-нения с разделяющимися переменными, однородные уравнения, линейные уравнения, уравнение Бернулли. Метод вариации произвольной постоянной.
Диффереренциальные уравнения 1-го порядка, не разрешённые относительно произ-водной. Уравнение в полных дифференциалах. Особые точки и особые решения диффе-ренциального уравнения. Огибающая семейства кривых.
Дифференциальные уравнения высших порядков. Случаи понижения порядка. Линей-ные дфференциальные уравнения n-го порядка. Структура общего решения. Метод вари-ации произвольных постоянных.
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (однород-ные и неоднородные). Случаи стандартного вида правой части. Уравнение Эйлера.
Системы дифференциальных уравнений.
Постановки краевых задач для уравнения теплопроводности и волнового уравнения. Метод Фурье решения краевых задач. Вариационные задачи, приводящие к уравнениям Лапласа и Пуассона. Метод Ритца.
Д. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вводные понятия. Классическое определение вероятности. Понятие о геометричес-кой вероятности. Статистическое определение вероятности.
Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности и фор-мула Байеса.
Дискретная случайная величина и закон её распределения. Математическое ожида-ние дискретной случайной величины.
Дисперсия дискретной случайной величины. Среднее квадратичное уклонение. Би-номиальный закон распределения.
Интегральная и дифференциальная функции распределения случайной величины и их свойства.
Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины. Равно-мерный и нормальный законы распределения. Понятие о законе больших чисел.
Литература.
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. –Т. 1 – 2.
-М.: Наука, любой год издания.
2. Ефимов Н.В.Краткий курс аналитической геометрии. -М.: Наука, все годы издания.
3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. –М.: Наука , любой год издания.
4. Румшиский Л.З. Элементы теории вероятностей. –М.: Наука, 1966.
5. Сборник задач по математике для втузов. Под редакцией А.В.Ефимова и Б.П.Демидовича.–2-е изд., исправ. и доп.-Ч.1 – 2. –М.: Наука, 1986.
6. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под редакцией Б.П.Демидовича. –М.: Наука, любой год издания.
7. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. -М. Наука, любой год издания.
8. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. -М.: Наука, все годы издания.
9. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и матема-тической статистике. –М.:Высшая школа, 1970.
10. Тихонов А.Н.. Самарский А.А. Уравнения математической физики.-М., любой год издания.
11. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике.-М.:Мир,1985.