Книги по разным темам Pages:     | 1 | 2 | Складн системи процеси № 2, 2002 СКЛАДН ФЗИЧН СИСТЕМИ ПРОЦЕСИ СКЛАДН ФЗИЧН СИСТЕМИ ПРОЦЕСИ УДК 539.67:669.293 МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ СКЛАДНИХ СПЕКТРВ ВНУТРШНЬОГО ТЕРТЯ Бахрушин В.к.1, Чирков О.Ю.2 1 Гумантарний унверситет "ЗДМУ", 2Бердянський нститут пдпримництва У статт розглянуто методику побудови математичних моделей складних спектрв. Показано можливсть застосування процедури пошуку розвТязку електронних таблиць MS Excel для визначення параметрв моделей. Сформульовано гпотезу про можлив критер адекватност моделей.

В статье рассматривается методика построения математических моделей сложных спектров. Показана возможность использования электронных таблиц MS Excel для определения параметров моделей. Сформулирована гипотеза про возможные критерии адекватности моделей.

Methodic of complex spectra mathematics models construction is discussed. It is shown the possibility of MS Excel electronic tables application for the definition of models parameters. Hypothesis of possible model adequacy criteria is formulated.

Задача аналзу складних спектрв акту- та завданням моделювання, тому у рзних альною проблемою у багатьох прикладних випадках слд застосовувати рзн критер.

дослдженнях [1-3]. Зокрема, при аналз ншою проблемою те, що цльовий релаксацйних спектрв внутршнього тер- функцонал, який мнмзуться при пдбор тя, у рентгеноструктурному та рентгено- параметрв модел, не унмодальним. Зокспектральному аналз часто виника про- рема, у випадку, коли математична модель блема розкладання емпрично криво, що спектру чи складного розподлу обираться сумою однотипних максимумв, як опису- у вигляд суми n однотипних функцй, що ються однаковими математичними вираза- розрзняються лише параметрами, кльксть ми але розрзняються за параметрами, на його мнмумв через симетрю вдносно окрем максимуми. У соцально- змни нумерац складових не може бути економчному аналз часто виника близь- меншою за величину n!. Крм того, статиска за математичною постановкою задача тичн критер адекватност модел виконувидлення у систем, що характеризуться ються зазвичай не тльки в точках екстресумшшю однотипно розподлених параме- мумв, але також у деяких околах цих тотрв, складових, що характеризуються од- чок. Тому виника проблема побудови сиснотипними простими функцями розподлу. теми критерв, яка б мстила основний та При побудов аналз математичних додатков критер адекватност. Такими моделей складних спектрв та розподлв критерями можуть бути, наприклад, хараквиника низка проблем, як залишаються тер змни (зростання чи згасання) вихдних невиршеними. параметрв при заданих малих змнах вхдПершою проблемою обрання критерв них параметрв модел, незначна змна виадекватност одержуваних моделей. Зви- хдних параметрв при малих змнах вхдчайн критер, що використовуються у ре- них тощо.

гресйному аналз, не завжди придатни- Метою дано роботи було визначення ми. Проблема поляга у тому, що обрання критерв адекватност математичних модекритерв адекватност ма вдповдати мет лей складних спектрв та сумшей розпод Складн системи процеси № 2, в випадкових величин, що мають вигляд вують математичну модель (1, 2), параметсуми невизначеного числа однотипних фу- ри яко визначають на основ критерю:

нкцй, як мають вигляд симетричних пкв, m з невдомими параметрами. Бльш детально S = (Q-1 - Q-1(Tj)) = min, (3) j ця проблема була дослджена нами для заj=дач аналзу складних релаксацйних спектрв внутршнього тертя твердих розчинв проникнення на основ ОЦК металв.

де Q-1 - експериментальне значення внутj У загальному випадку релаксацйний ршнього тертя при температур Tj, спектр внутршнього тертя твердого розчиQ-1(Tj) - значення, яке розраховане для тну впровадження в област релаксац Снука може бути описаний [3] такою матема ж температури на основ модел (1, 2), m тичною моделлю:

Ц кльксть емпричних точок. Для знаходження параметрв, що задовольняють умоEf в (3) найчастше використовують нйний -Q-1 = Qf exp- + або нелнйний метод найменших квадраRT (1) тв, а також терацйн процедури. Приклаn Ei 1 -ди реалзац таких методв наведен в робо + Q0i cosh-1 - R T T0i, тах [3 - 7]. Найбльш поширеною тера i= цйна процедура пошуку мнмуму функцоналу (3), за якою на кожному кроц черго-де Qf - передекспонентний множник фове наближення визначають за допомогою ну, n - кльксть елементарних дебавських нйного методу найменших квадратв [7].

пкв, що накладаються, Ef - енергя актиЗа свою сутнстю вона екввалентна виковац фону, R - унверсальна газова стала, n ристанню методу найшвидшого спуску -ма властив цьому методу переваги й неЦ кльксть елементарних пкв, Q0i - висодолки. Серед останнх слд вказати на пота -го елементарного пка, Ei - енергя акгану збжнсть у випадку яружних функцотивац цього пка, T0i - його температура.

налв [8], до яких звичайно вдноситься й Для твердих розчинв впровадження на осфункцонал (3).

нов ОЦК металв фоновою складовою звиЗагальною проблемою, яка виника при чайно можна зневажати, оскльки висоти аналз релаксацйних спектрв, визначеносновних пкв суттво перевищують рвень ня адекватност обрано модел та оцнка фону.

доврчого нтервалу для отриманих значень У випадках, коли пки, що накладають параметрв. Умова (3) не може бути обрася, зумовлен релаксацю домшок впрованою як такий критерй, оскльки з збльдження у розбавлених твердих розчинах, шенням клькост пкв, на як розкладають енергя активац максимуму повТязана з спектр, що аналзують, можна отримати як його температурою формулою Вертазавгодно мале значення S.

Маркса [3]:

Таким критерм може бути вдхилення вдношення середньоквадратичного вдхиkT0i Ei = RT0i ln, (2) лення емпричних точок вд модел до сереhf дньоквадратично похибки експерименту вд значення критерю Фшера для заданих де k - стала Больцмана, f - частота колирвня значущост та числа ступенв вльносвань зразка.

т [9, 10]. Теоретично вн дозволя обмежиОсновною проблемою аналзу складних ти кльксть пкв в модел не тльки знизу, спектрв визначення клькост та параметале також зверху. Проте у практиц для рв елементарних пкв за експериментальскладних спектрв швидксть зменшення ною залежнстю внутршнього тертя вд тевеличини S з зростанням клькост пкв, на мператури. Зазвичай для цього використояк розкладаться спектр, малою. Тому в Складн системи процеси № 2, багатьох випадках використання цього кри- Традицйн методи аналзу складних ретерю не дозволя визначити реальну кль- лаксацйних спектрв були розроблен у той ксть пкв з точнстю, яка потрбна для по- час, коли можливост х компТютерно реадальшого використання результатв моде- зац були набагато гршими, нж сьоголювання. дн. Сучасн пакети прикладного програмПри обранн критерв адекватност мо- ного забезпечення дозволяють використодел слд враховувати цл моделювання. вувати для аналзу спектрв процедури та Типовими задачами, для яких використо- методи нелнйно оптимзац, що нада вують результати вивчення релаксацйних можливсть варювати у широких межах як спектрв, визначення загального рвня за- постановку задач аналзу спектрв, так гасання для дослджуваного матералу в за- вибр алгоритмв розвТязування. дея заданих дапазонах температур частот; до- стосування таких методв у задачах аналзу слдження параметрв взамод домшок складних спектрв виникла вже давно [1, 2, впровадження з структурними дефектами 11, 12], але тльки сьогодн вони починають та ншими домшками; дослдження проце- широко використовуватися у практиц.

св розпаду твердих розчинв тощо. Вихо- Нами була дослджена можливсть видячи з цих завдань, можна сформулювати користання вбудовано процедури пошуку суттво рзн цл аналзу релаксацйних розвТязку електронних таблиць MS Excel спектрв. У рзних випадках такими цлями для виршення задач аналзу складних реможуть бути найбльш точне вдновлюван- лаксацйних спектрв внутршнього тертя.

ня форми спектра для заданого матералу Процедура нада можливсть застосування при заданих умовах; найбльш точне визна- за вибором дослдника двох методв чисечення параметрв елементарних релакса- льного розвТязування задач нелнйно багацйних процесв та пкв, що м вдповда- токритерально оптимзац, а саме одного ють; прогнозування змни форми спектра з квазиньютонвських методв та методу при задано змн умов його вимрювання спряжених граднтв. Теоря цих методв чи параметрв матералу тощо. Зрозумло, наведена у багатьох тературних джерещо критер адекватност, як вдповдають лах, зокрема у роботах [11-15]. В обох вирзним цлям моделювання, мають бути р- падках ставиться задача знаходження локазними. льного екстремуму функц багатьох змннша загальна проблема поляга у тому, них. При цьому на значення змнних мощо в загальному випадку функцонал S ма жуть накладатися деяк обмеження. Макдеклька мнмумв. Тому виника додатко- симальн припустим клькост змнних та ва задача обрання того з них, який най- обмежень становлять 50-60 [13]. З точки бльш вдповда прийнятому критерю зору потрбних ресурсв рзниця мж метоадекватност модел. Якщо метою моделю- дами поляга у тому, що метод Ньютона вання вдновлення форми спектра, то, як швидше збгаться, але потребу бльшо правило, необхдно шукати глобальний м- памТят. Для типових задач аналзу складнмум цього функцоналу. Але в нших ви- них релаксацйних спектрв кльксть елепадках один з локальних мнмумв може ментарних пкв у спектр не перевищу 10забезпечити кращу вдповднсть обрано 12, кльксть невдомих параметрв для косукупност критерв адекватност. жного пку - 2-4. Кльксть обмежень дорСпецифчними проблемами, як вини- вню загальнй клькост параметрв (викокають при використанн методу найменших ристовуться тльки одне обмеження для квадратв, необхднсть забезпечення не- кожного параметру - вн ма бути невдТмних значень параметрв модел нер- вдТмним). Тому можна зробити висновок, вноточнсть експериментальних даних. Це що з погляду розмрност задач процедура веде до необхдност суттвого ускладнення пошуку розвТязку електронних таблиць алгоритмв реалзац методу або до збль- MS Excel придатною для аналзу складшення моврност отримання помилкових них релаксацйних спектрв. Обидва методи результатв аналзу. вдносяться до групи граднтних методв Складн системи процеси № 2, мають спльн для цих методв переваги й Псля цього на робочому аркуш форнедолки [15]. Головною х перевагою мують n + 4 стовпця, до яких вносять так можливсть побудови ефективних процедур дан: температура Tj, експериментальне обчислювань для вдносно простих задач -значення Q-1, значення Qi (Tj), що вдj оптимзац (для достатньо гладких опуклих повда вкладу -го релаксацйного процесу функцй). Головним недолком цих методв в загасання при температур Tj, теоретичне рзке зменшення швидкост збгання для погано обумовлених задач. Розроблен базначення Q-1(Tj), Sj - квадрат вдхилення гато модифкацй вказаних методв, як дотеоретичного значення вд експериментазволяють використовувати х для деяких льного при температур Tj. Крм того, до втипв погано обумовлених задач. Проте в льних полв робочого аркуша заносять знадовдковому файл електронних таблиць чення сталих параметрв R, k, h, f. ЗначенMS Excel довдково тератур нема вня Tj, Q-1 уводять безпосередньо, викоридомостей про те, яка саме модифкаця та j як алгоритми використовуються у цих табстовуючи емпричн дан. До комрок, прилицях. Тому вдповдь на запитання про -значених для значень Qi (Tj), уводять фоможливсть х використання у конкретному рмулу випадку може бути отримана лише шляхом проведення обчислювальних експериментв.

Ei 1 -1 - Нами була розроблена така схема вико- Qi (Tj) = Q0i cosh-1 -.

R Tj T0i ристання процедури пошуку розвТязку для виршення задач аналзу складного релаксацйного спектра.

Як значення вдхилень до вдповдних Спочатку обирають кльксть n елеменкомрок уводять величини тарних пкв, на як буде розкладатися експериментальний спектр. Потм формують Sj =[Q-1 - Q-1(Tj)].

j таблицю розмром 3n, у рядки яко вводять температуру, енергю активац та висоту -го елементарного пка. Початков До окремо комрки, що використовузначення температур висот пкв можуть ться як цльова, уводять суму квадратв бути задан довльно у межах деякого давдхилень теоретичних значень вд експепазону. Як показали результати виконаних риментальних обчислювальних експериментв, початков температури пкв доцльно обирати в ме- m S =.

Sj жах того нтервалу температур, для якого j=емпричн дан. При виход за межи цього дапазону виника ймоврнсть отримання Процедура пошуку розвТязку дозволя результатв, що не мають фзичного змсту визначити найкращ з погляду мнмуму вевнаслдок накопичення похибок, як не вра-ховуються при розрахунку значення параличини S значення параметрв T0i, Q0i.

метру S. Бльш детально питання про вплив Для реалзац ц процедури необхдно завибору початкового наближення на резульдати в далоговому вкн посилання на цтати моделювання буде розглянуте нижче.

ьову комрку та комрки, де знаходяться Початков значення висот пкв, як показу-значення параметрв T0i, Q0i, а також вкають результати обчислювальних експериментв, не впливають на результати аналзу.

зати, що шукають мнмум величини, яка Значення енергй активац елементарних знаходиться у цльовй комрц. У далогопкв можуть бути задан шляхом введення вому вкн параметрв процедури необхдно формули (2) у вдповдн комрки таблиц.

Pages:     | 1 | 2 |    Книги по разным темам