Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | ... | 16 | (б) Докажите, что количество оставшихся чисел равно Задача. Верны ли следующие утверждения n - [n/pi] + [n/(pi pj)] - [n/(pi pj pk)] + Е (а) При всех x, y, z верно равенство [[x + y] + z] = [x + [ y + z]].
1 i r 1 i< j r 1 i< j Е + (-1)r[n/(p1 p2 Е pr)]. (в) При всех x, y, z верно равенство [[x y] z] = [x [ y z]]. (г) При всех x, y, z верно {{x y} z} = {x { y z}}. равенство [x] x (д) Если x > 0 и n, то =. Задача. n n Найдите первые сто сорок шесть знаков после запятой в числе {(2 + 3)2002}. x y x Задача *. Известно, что x1 = 1/2 и xk+1 = xk + xk при k > 1. Найди(е) Если x, y, z, то =. z yz 1 1 те целую часть выражения + + Е +. Задача. Решите уравнения и неравенства: x1 + 1 x2 + 1 x100 + (а) [x] x - ; (б) {x} + {57x} = 1; (в) x4 - 2x2 + 5[x] - 6 = 0. Задача *. Существуют ли такие иррациональные числа a и b, боль шие 1, что [am] = [bn] для любых m, n Задача. Вычислите [ 1] + [ 2] + [ 3] + Е + [ 10 000]. Задача. Известно, что a и b при делении на дают остатки и соответственно. Что можно сказать об остатках от деления a + b и a b Ар-. Делимость в на ( декабря г.) Задача *. При попытках разделить кулек конфет на, и равных В первом листке (Ap-) мы познакомились с общим понятием дели- кучек оставалось соответственно,, конфеты. Сколько останется мости. Обратимся теперь к частному, но очень важному случаю целых конфет при делении на или кучек А на чисел. Задача. 103993 Определение. Пусть a, b, b = 0. Будем говорить, что a делится (а) Решите уравнение = 6 +. . 16551. на b (обозначается a b), если существует такое c, что a = b c. Вместо 3 +. . . 1 + a b часто используют обозначение b | a (лb делит a). . 1 + Задача. (а) Делится ли на 7 + (б) Правда ли, что если a < b, то a не делится на b 2 + x. . (в) Для каких пар целых чисел a и b выполнено одновременно a b. . . (б) Упростите: 1 + (n знаков дроби). и b a. 1 + Задача. Докажите свойства делимости: .. .. 1 + (а) если a c, то (k a) c; .. . . ... . ... (б) если a c и b c, то (a + b) c; ... ... Определение. Цепной дробью называют выражение вида: ... (в) если a c и b c, то (a - b) c; ... ... ... (г) если a c и b d, то (a b) (c d); ... a0 +,...... (д) если a b и b c, то a c. ... a1 + Задача. Докажите, что при всех целых n a2 +.. ... . (а) n(n + 1)(n + 2) 6; (б) ((n + 1)3 - (n - 1)3 + 4) 6. .. . + an Целые числа (впрочем, не только целые и не только числа) можно где n 0, a0, ai при i 1. Мы будем записывать это выражение делить с остатком. так: [a0; a1, Е, an]. Определение. Пусть a, b, b = 0. Разделить a на b с остатком Задача. Докажите, что всякое рациональное число представимо значит найти такие целые q и r, что в виде цепной дроби. Единственно ли такое представление a = b q + r и 0 r < |b| Задача *. (а) Что больше: [a0; a1, Е, an] или [a0; a1, Е, an+1] (q называют неполным частным, а r Ч остатком). (б) Пусть dk = [a0; a1, Е, ak] Ч подходящие дроби для цепной дроби Задача. Каков остаток от деления [a0; a1, Е, an]. Доказать, что тогда при четных k 0 верны неравенства (а) -5 на -10 -10 на -5 dk dk+2 dk+3 dk+1. (б) -20 022 002 на (в) 12 345 678 987 654 321 на Задача. Разложите в цепную дробь: (г) 123 456 789 на 87 98 765 104 (а) ; (б) ; (в). (д) an - 1 на am - 1 (a, a 2) 32 43 210 33 Задача. Докажите, что деление с остатком всегда возможно, при- Задача *. (а) Чему равно [1; 1, 1, 1, 1, Е] чем неполное частное и остаток определены однозначно. (б) Представьте 57 в виде цепной дроби. Hint. Рассмотрите наименьшее неотрицательное число вида a - b q. Задача. (а) Сформулируйте, что значит поделить многочлен на многочлен с остатком, и докажите, что это всегда (при ненулевом деAл-. Многочлены лителе) возможно. ( января г.) (б) Докажите, что остаток (а значит, и частное) определен однозначно. Задача. (а) В выражении (x5 - 6x4 + 3x2 + 1)2002 раскрыли скобки Задача. Найдите остаток от деления и привели подобные члены. Найдите сумму коэффициентов при всех (а) x6 - 31x - 1 на x - 2; (б) x5 - 6x3 + 2x2 - 4 на x2 - x + 1. степенях x в полученном выражении. Задача (теорема Безу). (а) Докажите, что остаток от деления (б) У многочлена P(x) сумма коэффициентов при четных степенях многочлена P(x) на x - a равен P(a). равна сумме коэффициентов при нечетных степенях; многочлен Q(x). . (б) Пусть a Ч корень P(x). Докажите, что тогда P(x) (x - a). Верно. обладает тем же свойством. Можно ли утверждать, что это свойство ли обратное выполнено и для многочленов P(x) + Q(x) и P(x)Q(x). . (в) Пусть P(1) = P(2) = 0. Докажите, что тогда P(x) (x - 1)(x - 2). . Многочлены выгодно отличаются от рядов тем, что в них можно подставОбобщите этот факт. ять не только нуль, а любое число. Подумайте, какой смысл имеют значения (г) Докажите, что многочлен n-й степени не может иметь более n многочлена в точках 0, 1, -1. различных корней. Определение. Пусть P(x) Ч многочлен, P(x)=a0+a1 x +a2x2+Е (д) Можно ли найти два таких многочлена, что их значения совпаЕ+anxn, Ч число. Значением многочлена P(x) в называется число дают при все натуральных x = n, и различны при x = 2 P() = a0 + a1 + a22 + Е + ann. Число называется корнем много(е) Уточните формулировку пункта г), разобрав случай кратных члена P(x), если P() = 0. корней. . . Задача. Докажите, что если P Q (P, Q Ч многочлены), то все кор. Задача. (а) Остатки от деления многочлена F(x) на многочлены ни Q являются корнями P. Верно ли обратное x - 2 и x - 3 равны соответственно и. Найдите остаток от деления Задача *. Существует ли такой многочлен P(x) с целыми коэффимногочлена F(x) на многочлен x2 - 5x + 6. циентами, что (б) Найдите остаток от деления многочлена x105 + x + 1 на много(а) P(0) = 19, P(1) = 89, P(2) = 1989; (б) P(1) = 19, P(19) = 89 член x2 - 1. Задача. (а) Дайте формальное определение степени deg P (от слоЗадача. Делятся ли (в [x]) ва degree) многочлена P. (а) x5 - 4x2 + 24 на 2x - 4; (б) 7x2002 + 13x - 2 на x2 - 1; (б) Докажите, что deg(PQ) = deg P + deg Q. Как связаны deg(P + Q) (в) x2002 + x - 2 на x2 + 1; (г) x103 - 1057x2 + 125 на 3x - 1 и deg(P - Q) с deg P и deg Q Задача. Докажите, что для любых трех различных чисел a, b и c (в) Дайте определение степени ряда так, чтобы оно совпадало с имеют место равенства: предыдущим для рядов вида xn (одночленов) и удовлетворяло соотно1 1 (а) + + = 0; шению deg(PQ) = deg P + deg Q. Чему равна степень x2 + x как ряда (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) (c - a)(c - b) bc ac ab (б) + + = 1; Задача *. (а) Рассмотрим для многочлена P(x) последовательность (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) (c - a)(c - b) P(1), P(2), P(3), Е его значений в натуральных числах. Составим поHint. Рассмотрите тождество следовательность разностей, написав под каждыми двумя числами из (x - b)(x - c) (x - a)(x - c) (x - a)(x - b) + + 1. последовательности их разность (получится последовательность P(1) (a - b)(a - c) (b - a)(b - c) (c - a)(c - b) - P(2), P(2) - P(3), P(3) - P(4), Е). Сделаем то же самое с полученной b c (в) a + + = 0; последовательностью и т. д. Докажите, что на каком-то шаге получен(a - b)(a - c) (b - c)(b - a) (c - a)(c - b) ная последовательность будет состоять из одних нулей. Пусть P(x) [x], P(x) = 0, P() = 0 ( ). Кратностью корня называется такое..(x (б) Придумайте последовательность, для которой ни одна из после.. натуральное число k, что P(x) (x - )k и P(x) - )k+1. Корень называется кратным,.. довательностей разностей не будет нулевой. если его кратность больше единицы. b2 c(г) a2 + + = 1; (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) (c - a)(c - b) Геом-. Аффинные плоскости b3 c(д) a3 + + = a + b + c. ( февраля г.) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) (c - a)(c - b) (е) Придумайте какое-нибудь нетривиальное тождество для a, b, c, d. Определение. Пусть Ч множество, Ч некоторый набор его подмножеств. Элементы мы будем называть точками, а элементы Ч k Определение. Определим ряд (1 + x) как Cxk. прямыми. Говорят, что пара (, ) образует аффинную плоскость, если k=выполнены следующие три условия (аксиомы). Задача. (а) Проверьте корректность (что это значит) нашего АП. Существуют три точки, не принадлежащие одной прямой. определения. АП. Для любых двух различных точек существует, притом ровно (б) Докажите, что (1 + x) (1 + x) = (1 + x)2. одна, прямая, их содержащая. Указание. Рассмотрите коэффициент при xk как многочлен от. АПЗ. Для любой прямой l и точки A, не принадлежащей l, суще(в) Извлеките квадратный корень из ряда 1 + x. ствует ровно одна прямая, содержащая A и не имеющая общих точек (г) Докажите, что (1 + x) (1 + x) = (1 + x)+. с l. Эти условия, разумеется, выполнены на нашей лобычной (евклидовой) плоскости, так что она является аффинной. Есть и другие примеры. Задача. Придумайте аффинную плоскость с (а) ; (б) точками. Задача. (а) Пусть Ч подмножество координатной плоскости, состоящее из точек, обе координаты которых рациональные числа, а состоит из пересечений с обычными прямыми, проходящими через пару точек из. Докажите, что (, ) Ч аффинная плоскость. (б) Будет ли предыдущее утверждение верно, если вместо = положить = Задача (первые следствия аксиом). Докажите, что (а) на каждой прямой в аффинной плоскости лежит не менее двух точек; (б) в любой точке аффинной плоскости пересекается не менее трех прямых. Задача. Пусть дана аффинная плоскость (, ). Докажите, что (а) число точек в не меньше ; (б) на любой прямой l не менее двух точек; (в) если в не менее точек, то их и не менее 9. Определение. Пусть по-прежнему (, ) Ч аффинная плоскость. Прямые l и m (l, m ) называются параллельными (обозначается l m), если они не имеют общих точек. (Обратите внимание, что мы не считаем совпадающие прямые параллельными.) Задача. Рассмотрим аффинную плоскость (, ). (а) Докажите, что если l m и m n,то l n или l = n. (б) Докажите, что на любых двух прямых из одно и то же число ПП. Существуют станции, любые три из которых не лежат на точек. одной линии. (в) Докажите, что через любую точку A проходит одинаковое ПП. С любой станции на любую другую можно проехать без пере(какое именно) число прямых. (Это утверждение двойственно преды- садки. дущему в смысле задачи.) ППЗ. С любой линии на любую другую можно пересесть и притом Предыдущая задача позволяет нам дать следующее ровно на одной станции. Докажите, что Определение. Порядком конечной аффинной плоскости называ(а) число станций не меньше ; ется число точек на любой прямой в этой плоскости. (б) на всех линиях станций поровну (это число минус один называЗадача (сколько точек на плоскости). Рассмотрим конечную ется порядком проективной плоскости); аффинную плоскость (, ) порядка k. (в) число станций равно числу линий; (а) Докажите, что каждой прямой параллельно ровно k - 1 прямых. (г) если одну линию закрыть на ремонт (вместе с ее станциями), то (б) Докажите, что в ровно k2 точек. получится аффинная плоскость. (в) Сколько прямых в (д) Верно ли, что любую аффинную плоскость можно так получить Задача. Существует ли аффинная плоскость порядка Для каждого геометрического утверждения, включающего в себя лишь пря(а) ; (б) ; (в) мые, точки и отношение принадлежности, можно сформулировать двойственЗадача. Из 16 альпинистов нужно выбрать четверых для восхожное ему утверждение, получаемое из исходного заменой слов прямая на точдения на Чогори. Тренировочные восхождения проводятся четырьмя ка, точка на прямая и обращением знака принадлежности в другую сторогруппами по четыре спортсмена в каждой. Можно ли составить график ну. Например, утверждение, двойственное аксиоме АП формулируется так: тренировок таким образом, чтобы каждые два альпиниста ровно один АП. Любые две различные прямые имеют ровно одну общую точку. раз побывали в одной группе Задача (проективная двойственность). (а) Сформулируйте утЗадача (задача Эйлера). Пусть есть n полков, в каждом из кото- верждения, двойственные аксиомам АП и ПП. Какие из этих утверждерых есть офицеры n званий. Требуется так выстроить n2 офицеров (по ний верны в соответствующих геометриях n из каждого полка) в каре n n, чтобы в каждой шеренге и в каждой (б) Докажите (это и есть проективная двойственность), что на проколонне было бы по одному офицеру каждого полка и чина. ективной плоскости точки и прямые равноправны, т. е. для любого ут(а) Приведите пример такого расположения для n = 5 (в вашем рас- верждения проективной геометрии двойственное к нему также верпоряжении уланы, драгуны, гусары, кирасиры и гренадеры, являющи- но. (Вот поэтому, например, в проективной геометрии точек и прямых еся полковниками, майорами, капитанами, поручиками и подпоручи- одинаковое количество.) ками). (в) Равноправны ли точки и прямые на аффинной плоскости (б) Докажите, что если есть аффинная плоскость порядка n, то для (г) Докажите, что для проективной плоскости следующие утвержэтого числа задача Эйлера имеет решение. дения эквивалентны. (в) Докажите, что для n = 14 задача Эйлера имеет решение (в то ) Некоторая прямая содержит ровно n + 1 точку. время как аффинной плоскости порядка 14 по теореме БрукаЧРайзера ) Некоторая точка лежит ровно на n + 1 прямой. не существует). ) Каждая прямая содержит ровно n + 1 точку. (г) Докажите, что для n = 6 (а именно для этого числа ее первона- ) Каждая точка лежит ровно на n + 1 прямой. чально и сформулировал автор) задача Эйлера не имеет решения. ) В данной плоскости ровно n2 + n + 1 точка. ) В данной плоскости ровно n2 + n + 1 прямая. Задача (проективная плоскость). В столице страны царя Дезарга система линий метрополитена устроена следующим образом. Задача. Нарисуйте схему метрополитена для царя Дезарга так, чтобы на каждой линии было по (а) 3; (б) 5; (в) 6 станций. Упомянем также в этой связи общую теорему БрукаЧРайзера, которая утверждает, (г) Можно ли построить такую схему метрополитена, в которой всечто если число k дает при делении на 4 остаток 1 или 2 и существует аффинная плоскость порядка k, то k представимо в виде суммы квадратов двух целых чисел. го было бы 57 станций Определение. Рассмотрим выпуклый (n + 2)-угольник, вершины которого занумерованы против часовой стрелки числами от 0 до n + 1. Книги по разным темам