Книги по разным темам
Pages: | 1 | ... | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | ... | 34 | Итак, при условии 2 2 a33 = a11 - a(34) преобразование имеет две неподвижные ортогональные изотропные прямые и одну неподвижную точку на одной из этих прямых.
Заметим, что при условиях (32) и а12 0 указанная неподвижная точка (a11 - a33 : -a12 : a31) имеет координаты и является центром пучка неизотропных прямых, инвариантных в силу поточечной неподвижности прямой (24).
Если а12 = 0, то условие (34) определяет два варианта:
a11 = a33 и a11 = -a33.
(0 :
В первом случае неподвижная точка имеет координаты: -2а11 : а32 ).
Если а31 = 0, то есть если выполняются условия (32), эта точка является центром пучка двойных неизотропных прямых.
(2а11 : 0 : а31) Во втором случае неподвижной является точка. Которая при а32 = 0, то есть при выполнении условий (32), также является центром пучка неподвижных неизотропных прямых.
Таким образом, при одновременном выполнении условий (32), (34) преобразование имеет двойную собственную точку, двойную изотропную прямую, проходящую через эту точку, и поточечно неподвижную изотропную прямую, ортогональную указанной двойной точке.
3.Уравнение (9) имеет трехкратный корень 2 a11 - a12 = a33 = Тогда и, следовательно, матрица (1) не определяет преобразование копсевдоевклидовой плоскости.
Результаты проведенной классификации преобразований представлены в таблицах 3, 4 (приложение 3). Конструктивное определение преобразований каждого класса и их названия введем в з6.
4.3 Движения и псевдодвижения копсевдоевклидовой плоскости Теоремы 1 - 4, доказанные в предыдущих параграфах, и проведенная классификация определяют инвариантные элементы копсевдоевклидовых преобразований.
Докажем теоремы, определяющие числовые характеристики преобразований копсевдоевклидовой плоскости.
Теорема 5. Каждое преобразование H группы Q, заданное матрицей (1), изменяет меру данного угла в k раз, где ak = 2 2 (35) a11 - a12.
Доказательство. Пусть (ai), (bi), где i = 1, 2, 3, - однородные координаты прямых a' и b' соответственно. На прямой a' выберем две точки, например, F1(0 : -a3 : a2) F2(-a3 : 0 : a1) и. Прообразы этих точек в преобразовании Н группы Q имеют координаты:
2 F1(a3a12a33 : -a3a11a33 : -a3a12a31 + a3a11a32 + a2 (a11 - a12 )) ;
2 F2 (-a3a11a33 : a3a12a33 : a3a11a31 - a3a12a32 + a1(a11 - a12 )).
Следовательно, однородные координаты прообраза прямой a' в преобразовании H имеют вид:
a (a1a11 + a2a12 + a3a31 : -a1a12 - a2a11 + a3a32 : a3a33). (36) Аналогично, однородные координаты прообраза прямой b' в преобразовании Н имеют вид:
b (b1a11 + b2a12 + b3a31 : -b1a12 - b2a11 + b3a32 : b3a33). (37) Найдём по формуле (17) главы 2 меру угла a'b':
2 2 2 2 2 2 b1 a1 a2 a3(b1 -b2 )+b3 (a1 - a2)- 2a3b3(a1b1 -a2b2) - -b2 - = 2 2.(38) b ab3 a3 a3b 3 Мера угла ab равна 2 2 2 2 2 2 a11 - a12 a3(b12 - b2 )+ b3 (a1 - a2 )- 2a3b3(a1b1 - a2b2) ab =. (39) 2 2 a33 a3bИз равенств (38), (39) следует a' b' ak = = 2 ab a11 - a12.
Теорема доказана.
Число k назовём коэффициентом искажения преобразования H.
Согласно неравенствам (2) коэффициент искажения преобразований первого (второго) вида является числом действительным (мнимым).
Преобразования копсевдоевклидовой плоскости, сохраняющие меры углов без изменения, назовём движениями копсевдоевклидовой плоскости.
Очевидно, все движения копсевдоевклидовой плоскости являются преобразованиями первого вида.
Пусть преобразование H задано матрицей (1). Согласно теореме 5 H является движением тогда и только тогда, когда k = 1, то есть когда выполняется условие (34).
Преобразования копсевдоевклидовой плоскости, коэффициент искажения которых равен мнимой единице, назовем псевдодвижениями копсевдоевклидовой плоскости. Все псевдодвижения копсевдоевклидовой плоскости являются преобразованиями второго вида.
Для коэффициентов матрицы (1) псевдодвижений копсевдоевклидовой плоскости выполняется равенство:
2 2 а33 = а12 - а11.
(40) Одновременное выполнение условий (34), (40) для коэффициентов матрицы (1) преобразования копсевдоевклидовой плоскости невозможно, следовательно, не существует преобразования копсевдоевклидовой плоскости, которое является движением и псевдодвижением.
Все движения (псевдодвижения) копсевдоевклидовой плоскости сохраняют (изменяют) тип каждого неизотропного ковектора данной плоскости.
Теорема 6. Каждое преобразование H копсевдоевклидовой плоскости, заданное матрицей (1), изменяет расстояние от точки до прямой в k раз, где число k определено выражением (35).
Доказательство. Каждое копсевдоевклидово преобразование Н переводит прямую m (m1: m2: m3) в прямую m':
(а11(а31m3 - a33m1)- a12(a32m3 - a33m2 ):
(a12(a33m1 - a31m3)+ a11(a32m3 - a33m2 )):
2 m3(a12 - a11)), а точку B(b1:b2:b3) в точку B' (a11b1+a12b2: a12b1+a11b2: a31b1+a32b2+a33b3).
Согласно формуле (20) главы 2 имеем:
b1m1 + b2m2 + b3m(B,m) =, (41) m3 b12 - ba33 b1m1 + b2m2 + b3m (B,m ) =. (42) 2 2 m3 a11 - a12 b12 - b (B,m ) k = Полагая, из выражений (41), (42) получаем равенство (35).
(B,m) Что и требовалось доказать.
Следствиями теоремы 6 являются следующие утверждения.
Теорема 7. Преобразование копсевдоевклидовой плоскости не изменяет расстояние от точки до прямой тогда и только тогда, когда оно является движением этой плоскости.
Теорема 8. Преобразование копсевдоевклидовой плоскости не изменяет расстояния между коллинеарными точками тогда и только тогда, когда оно является движением этой плоскости.
Последние две колонки таблиц 3, 4 (приложение 2) определяет место движений и псевдодвижений среди копсевдоевклидовых преобразований.
4.4 Полудвижения, абсолютные движения и абсолютные псевдодвижения копсевдоевклидовой плоскости Теорема 9. Каждое преобразование H копсевдоевклидовой плоскости, заданное матрицей (1), изменяет расстояние между двумя 1-параллельными (2-параллельными) прямыми копсевдоевклидовой плоскости в m раз, где am = am = (43) a11 - a12, a11 + a12.
Доказательство. Для параллельных прямых a'(ai), b'(bi), i = 1, 2, 3, пересекающихся на второй (первой) абсолютной прямой ((1), гл. 1), соответственно верхнему (нижнему) знаку выполняется условие:
а1 а2 а b1 b2 b3 = 0, 1 1 или b1 a1 b2 a- = (44) b3 a3 b3 a3.
Расстояние между прямыми a', b' согласно формуле (19) главы 2 равно:
a3b1 - a1b a b = (45) a3b3.
Пользуясь выражениями (36), (37), найдем расстояние между прямыми a, b, прообразами прямых a', b' в преобразовании H:
a11(a3b1 - a1b3) + a12 (a3b2 - a2b3 ) ab =. (46) a3b3aРавенства (45), (46) при условиях (44) дают a b a= m = ab a11 a12.
Что и требовалось доказать.
Преобразования группы Q, которые не изменяют расстояния между параллельными прямыми пучков с центрами на одной из абсолютных прямых, назовем полудвижениями копсевдоевклидовой плоскости.
Согласно предыдущей теореме преобразование копсевдоевклидовой плоскости, заданное матрицей (1), является полудвижением, тогда и только тогда, когда выполняется одно и только одно из условий:
a33 = a11 + a12, a33 = -a11 + a12, (47) a33 = a11 - a12, a33 = -a11 - a12.
Заметим, что выполнение условия (34) при выполнении только одного из условий (47) невозможно, следовательно, не существует преобразования копсевдоевклидовой плоскости, которое является движением и полудвижением.
Преобразование копсевдоевклидовой плоскости согласно теореме 9 не изменяет расстояние между любыми двумя параллельными прямыми тогда и только тогда, когда для коэффициентов матрицы (1) этого преобразования одновременно выполняются условия:
a33 a= 1, = 1.
a11 + a12 a11 - aПоследние равенства дают:
а11 = 0, (48) а33 = а12, или а12 = 0, (49) а33 = а11.
Преобразования, для коэффициентов матрицы (1) которых выполняются равенства (49) ((48)), удовлетворяют условию (34) ((40)). Следовательно, все преобразования копсевдоевклидовой плоскости, сохраняющие без изменения расстояния между любыми двумя параллельными прямыми, являются либо движениями, либо псевдодвижениями этой плоскости. Учитывая этот факт, дадим следующее определение.
Движения (псевдодвижения) копсевдоевклидовой плоскости, которые не изменяют расстояния между любыми двумя параллельными прямыми, назовем абсолютными движениями (абсолютными псевдодвижениями) копсевдоевклидовой плоскости.
Условиями (49) ((48)) на коэффициенты матрицы (1) определены все абсолютные движения (абсолютные псевдодвижения) копсевдоевклидовой плоскости.
Каждое абсолютное движение и каждое абсолютное псевдодвижение копсевдоевклидовой плоскости сохраняет без изменения псевдомодуль любого изотропного ковектора этой плоскости.
Выпишем матрицы всех абсолютных движений и всех абсолютных псевдодвижений. Все копсевдоевклидовы преобразования при условиях (49) могут быть заданы одной из следующих матриц:
a 0 0 a 0 H1 = 0 a 0, H2 = 0 a, (50) а а32 a а а32 - a 31 a 0 a 0 H3 = 0 - a 0, H4 = 0 - a.
(51) a a32 a a a32 - a 31 Матрицы Н1, Н2 определяют абсолютные движения первого рода, а матрицы Н3, Н4 - абсолютные движения второго рода.
Все копсевдоевклидовы преобразования первого рода при условиях (48) могут быть заданы одной из матриц:
0 a 0 0 a L1 = a 0 0, L2 = a 0.
(52) a a32 a a a32 - a 31 Матрицы всех абсолютных псевдодвижений второго рода имеют один из следующих видов:
0 a 0 a L3 = a 0 0, L4 = a 0 - -.
(53) a31 a32 a a31 a32 - a Согласно проведенной классификации копсевдоевклидовых преобразований (таблица 3, приложение 2) матрица H1 в каждом каноническом репере задает одно из следующих трех преобразований:
1) сдвиг на ненулевой неизотропный ковектор при |а32| |a31|;
2) сдвиг на изотропный ковектор при |а32| = |a31|;
3) тождественное преобразование при а32 = a31 = 0.
Матрица Н2 совпадает с матрицей А2 (таблица 3, приложение 2) в случае а33 = Ца11, следовательно, определяет частный вид сжатия к неизотропной прямой - симметрию относительно прямой (см. п. 4, з6).
Таким образом, каждое абсолютное движение первого рода является либо изотропным сдвигом, либо симметрией относительно прямой.
Каждое абсолютное движение второго рода является либо скользящим отражением, либо отражением от точки.
Действительно, каждое абсолютное движение второго рода может быть задано одной из матриц H3, H4 (51). Если в матрице преобразования H3 (H4) а31 = 0 (а32 = 0), то согласно проведенной классификации преобразований (таблица 4, приложение 2) в данном преобразовании поточечно инвариантна координатная прямая А1А3 (А2А3) и действительная точка K координатной прямой А2А3 (А1А3), следовательно, преобразование является отражением от указанной точки K координатной прямой.
Если в матрице преобразования H3 (H4) а31 0 (а32 0), то в данном преобразовании инвариантна одна действительная точка K, принадлежащая координатной прямой А2А3 (А1А3). Согласно классификации копсевдоевклидовых преобразований имеем скользящее отражение.
Что и требовалось доказать.
Матрицы L2, L1 в каждом каноническом репере при а32 = а31 задают гомотетию, а при а32 а31 - скользящую гомотетию (приложение 2).
Матрицы L3, L4 определяют евклидово вращение (таблица 4, приложение 2), инвариантные точки которого гармонически сопряжены относительно собственных координатных вершин.
Следовательно, каждое абсолютное псевдодвижение является или гомотетией, или скользящей гомотетией, или евклидовым вращением.
Более подробно преобразования, заданные матрицами (50) - (53), исследуем при конструктивном определении копсевдоевклидовых преобразований (з6).
Обратим внимание на тот факт, что абсолютными движениями и абсолютными псевдодвижениями второго рода преобразования являются только в определенном каноническом репере.
Непосредственная проверка доказывает справедливость следующих теорем.
Теорема 10. Все абсолютные движения образуют группу.
Теорема 11. Все абсолютные движения и абсолютные псевдодвижения образуют группу.
4.5 Дополнительные теоремы о линейных преобразованиях копсевдоевклидовой плоскости Следующие две теоремы характеризуют преобразования первого рода копсевдоевклидовой плоскости.
Теорема 12. Пусть в преобразовании H копсевдоевклидовой плоскости М' - образ произвольной точки М. Если расстояние ММ' постоянно, то есть не зависит от выбора точки М, то Н - преобразование первого рода.
Доказательство. Пусть в некотором каноническом репере R преобразования копсевдоевклидовой плоскости заданы матрицей (1), а точка М - однородными координатами (x1: x2: x3), тогда однородные координаты точки М' в том же репере имеют вид:
M (a11x1 + a12x2 : a12x1 +a11x2 : a31x1 + a32x2 + a33x3). (54) По формуле (19) главы 2 a11x1 + a12x1x2(1- )- a11x ch MM =. (55) 2 2 2 (x1 - x2 ) a11 - aТак как ММ' - const, то правая часть равенства (55) не должна зависеть от переменных x1, x2, то есть необходимо иметь тождество a11 x12 + a12 x1x2 (1 - )- a11 x=, x12 - xгде 2 = ch M M a11 - a12, из которого получаем 2 x1 (a11 -)+ x2( -a11)+ a12x1x2(1-) =.
Последнее равенство является тождественным при выполнении a = a11 = a12(1- )= условий:,,, то есть при = 1.
Что и требовалось доказать.
Формула (55) при =1 имеет вид a ch MM =. (56) 2 a11 - aТаким образом, справедлива теорема.
Теорема 13. Если М' - образ точки М в преобразовании первого рода коевклидовой плоскости, заданном матрицей (1) при = 1, то имеет место равенство (56).
В теореме 3 для каждого преобразования второго рода установлено наличие двух инвариантных ортогональных друг другу изотропных прямых.
Следующая теорема дает еще одно свойство преобразований второго рода.
Теорема 14. Каждая точка копсевдоевклидовой плоскости со своим образом в любом преобразовании второго рода гармонически разделяет пару инвариантных изотропных прямых преобразования.
Доказательство. Образом точки M (m1: m2: m3) в преобразовании второго рода, заданном матрицей (1) при = - 1, является точка М' (4).
Пусть прямая ММ' пересекает неподвижные изотропные прямые t1, tпреобразования в точках Т1, Т2 соответственно. Выражение (6) определяет зависимости двух первых координат точек Т1, Т2.
Найдем сложное отношение четырех точек Т1, Т2, М, М'.
2 2 2 - a11 + a11 - a12 a12 - a11 - a11 - a12 am1 m2 a11m1 + a12m2 - a12m1 - a11m (T1T2MM )= = -1.
2 2 2 - a11 + a11 - a12 a12 - a11 - a11 - a12 aa11m1 + a12m2 - a12m1 - a11m2 m1 mСледовательно, точки M, M' гармонически разделяют инвариантные изотропные прямые t1, t2. Что и требовалось доказать.
Pages: | 1 | ... | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | ... | 34 | Книги по разным темам