Книги, научные публикации
Pages: | 1 | 2 | 3 | 4 | -- [ Страница 1 ] --
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ФОНД ПОДГОТОВКИ КАДРОВ ИННОВАЦИОННЫЙ ПРОЕКТ РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ Программа Совершенствование преподавания социально-экономических дисциплин в
вузах НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Экономический факультет Синявская Эмилия Григорьевна Голубева Наталья Васильевна ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МИКРОЭКОНОМИКЕ Учебное пособие Новосибирск 2003 1 ПРЕДИСЛОВИЕ В настоящее время на русском языке издано большое количество учебников по микроэкономике различного уровня сложности как зарубежных, так и отечественных авторов. Большинство из них ориентировано, прежде всего, на изложение теоретического материала и в меньшей степени уделяется внимание методике применения микроэкономического анализа для решения задач и рассмотрению хозяйственных ситуаций. Между тем, по мнению авторов, творческое усвоение теории невозможно без овладения методикой решения задач.
Многолетний опыт преподавания микроэкономики на экономическом факультете НГУ доказал, что наиболее эффективный путь обучения микроэкономике на первой ступени - сочетание теории с применением основных результатов и выводов для решения числовых примеров. Такое сочетание позволяет студентам овладеть современной методологией и методикой экономического анализа и принятия решений, понять, как применяются современные инструменты микроэкономического анализа.
Данное учебное пособие предназначено студентам экономических вузов и факультетов, знающих основы математического анализа, для которых читается годовой курс микроэкономики.
Основная цель учебного пособия - научить студентов применять теоретические знания для решения практических задач, поэтому теоретические положения и выводы излагаются в пособии кратко. Основной акцент сделан на разборе задач с применением графиков и простейших моделей.
Поэтому изложение материала начинается не с вводной части (предмет исследования микроэкономики), присутствующей во всех учебниках, а с основных положений теории спроса и предложения, т.к. именно в этой теме начинают использоваться инструменты микроэкономического анализа.
Во втором разделе излагаются основные концепции теории потребительского выбора и рассматривается методика их применения для решения различных задач.
Третий раздел посвящён анализу производственной функции и издержек производства. Все выводы разбираются на конкретных примерах.
Центральное место в учебном пособии занимает анализ теории ценообразования на готовую продукцию в различных рыночных структурах. Специфика ценообразования, сравнение методов определения объемов выпуска и цен, проявления рыночной власти иллюстрируются в решении задач различной сложности.
В главах, посвященных ценообразованию на факторных рынках (труд, капитал, земля), особый упор делается на содержательной интерпретации численного решения, что позволяет глубже уяснить сочетание качественного и количественного анализа.
В последнем разделе рассмотрено как рыночный механизм решает проблемы эффективного использования ограниченных факторов производства. Показана взаимосвязь проблем равновесия и эффективности и методические походы для решения задач.
Авторы с благодарностью примут критические замечания и рекомендации по совершенствованию учебного пособия.
1. Теория спроса и предложения Основы теории рыночного спроса и предложения.
1.1. Рыночное равновесие: модель спроса и предложения Функция спроса Понятие спроса является базовым понятием всего микроэкономического анализа.
Поэтому изучение микроэкономики традиционно начинается именно с изучения спроса.
Спрос - это количество товара, которое потребитель/потребители хотят и могут купить на рынке за определенный период времени.
Различают индивидуальный (предъявляемый одним потребителем) и рыночный (предъявляемый всеми потребителями данного товара) спрос.
Желание и возможности потребителя иллюстрируются с помощью функции спроса:
Q = f(P).
D Функция спроса ставит в определенную зависимость объем приобретаемого товара и его цену (при неизменных неценовых факторах спроса). И, как правило, эта зависимость является обратной.
Р Р А A уменьшение цены Р В B увеличение Q D величины спроса Q 0 Q Q A B Рис. 1.1. Закон спроса.
Количество товара Q, приобретаемого потребителем по цене Р - это величина A A спроса. Изменение цены товара с Р до Р вызывает изменение величины спроса на A B данный товар.
Изменение спроса (рис. 1.2) вызывается неценовыми факторами, такими как изменение доходов потребителей, изменение цен на другие товары (взаимозаменяемые и взаимодополняемые к данному товару), изменение вкусов и предпочтений потребителей.
Р увеличение спроса Q D уменьшение спроса Q D Q D Q Рис. 1.2.
1. Теория спроса и предложения Функция предложения Предложение - количество товара, которое производители хотят и могут продать на рынке за определенный период времени.
Аналогично спросу, выделяют индивидуальное и рыночное предложение продукции.
Р Q S Р С C увеличение цены D Р D увеличение величины предложения Q Q Q D C Рис. 1.3. Закон предложения.
Функция предложения выражает прямую зависимость объема предлагаемого на рынок товара и его цены (при неизменности прочих неценовых факторов).
Изменение предложения товара на рынке может быть вызвано такими факторами как изменение числа производителей, изменение технологии производства, изменения цен на ресурсы, используемые в производстве продукции.
Р Q Q S2 S Q S уменьшение предложения увеличение предложения Q Рис. 1.4.
Совместив на одной плоскости функции спроса и предложения товара, мы получим информацию о существовании на рынке данного продукта равновесия и, если оно существует, характеристики этого равновесного состояния.
P P P Q Q S S Q D P* Q S Q Q D D Q* Q Q Q (а) (б) (в) Рис. 1.5.
1. Теория спроса и предложения Если функции спроса и предложения пересекутся в положительной плоскости осей цены (Р) и выпуска (Q), то на рынке будет существовать равновесие, при котором будет продано Q* единиц продукции по цене Р* (рис. 1.5 (а)). Но возможны и другие ситуации.
Допустим, объем предложения может превышать объем спроса при любой неотрицательной цене. В таком случае Q > Q и равновесной ценой считают Р = 0 (рис.
S D 1.5 (б)). Пример - бесплатность атмосферного воздуха.
Поскольку в микроэкономической теории изучается производство экономических благ с использованием ограниченных ресурсов, то подобная ситуация не является предметом анализа.
Если цена предложения превышает цену спроса при любом неотрицательном объеме, то считают, что равновесие достигается при Q = 0, если при этом Р > Р (рис.
S D 1.5 (в)). Примером последней ситуации является производство продукции с очень высокими издержками, которое технологически возможно, но экономически нецелесообразно.
Как видно из рис. 1.5 (а), не все потребители, которые предъявили спрос на данный продукт, смогли его удовлетворить, так же как и не все производители данного продукта могут его реализовать по сложившейся на рынке равновесной цене. Вместе с тем, часть потребителей и производителей, совершивших сделку по цене Р*, сделали это по цене меньше (потребители) и больше (производители), чем могли бы.
Допустим, на рынке продается 5 единиц продукции по цене 5 ден.ед. за единицу товара (рис. 1.6). Эти пять единиц купили 5 потребителей (каждый по 1 единице) у производителей (каждый производитель продал по 1 единице).
Р 8 S: Q (P) S 2 D: Q (P) D 0 1 2 3 4 5 Q Рис. 1.6.
Первый потребитель из приобретших данный товар мог бы купить его по цене ден.ед., второй - по цене 8 ден.ед. и т.д., но, поскольку цена на рынке 5 ден.ед., потребителя сэкономили свои денежные средства.
В данном примере мы можем легко подсчитать размер такой экономии: 10 ден.ед.
Аналогичные рассуждения применимы к производителям продукции: они тоже сэкономят 10 ден.ед.
Подобные сэкономленные денежные средства называют выигрыш потребителей и выигрыш производителей.
Выигрыш (излишек) потребителей можно определить также как потери, которые возникли бы у потребителей при запрете на производство и потребление данного товара.
Аналогичный смысл имеет и выигрыш производителей.
1. Теория спроса и предложения Р выигрыш потребителей S Р* выигрыш производителей D 0 Q* Q Рис. 1.7. Выигрыш потребителя и производителя.
Если функции спроса и предложения линейны, выигрыш потребителей и производителей рассчитывается как площади заштрихованных треугольников на рис. 1.7.
1.2. Эластичность спроса и предложения Одно из основополагающих понятий в микроэкономическом анализе - это понятие эластичности спроса/предложения продукции.
Эластичность спроса - это отношение процентного изменения величины спроса к небольшому процентному изменению цены продукции (например, на 1%).
P Эластичность спроса по цене обозначают как Е.
D %QD P Е =.
D %P Запишем формулу для расчета эластичности спроса по цене, исходя из данного нами определения:
QD 100% QD Q P dQ P P P Е = = или Е =. (*) D D P P Q dP Q 100% P dQ Поскольку величина отрицательная (значения цены и объема меняются в разных dP направлениях), эластичность спроса по цене тоже будет величиной отрицательной.
Р Р А A Р В B Q D Q 0 Q Q A B Рис. 1.8.
1. Теория спроса и предложения dQ P P Формула Е = позволяет подсчитать значение эластичности спроса по цене в D dP Q любой точке функции спроса (это формула точечной эластичности), но эластичность можно рассчитать не только в точке, но и на отрезке (дуге) [например, дуга АВ на рис.
1.8].
В этом случае эластичность спроса по цене находится по формуле:
QA - QB (PA + PB ) / P Е =, которую называют формулой дуговой эластичности.
D PA - PB (QA + QB ) / Вместо значений конкретной точки в правой части формулы (*) берется среднее арифметическое координат концов дуги.
QA - QB (PA + PB ) / 2 QA - QB PA + PB P P Е = Е =.
D D PA - PB (QA + QB ) / 2 PA - PB QA + QB Фактически формула дуговой эластичности определяет значение эластичности в середине отрезка АВ, а не кривой. Поэтому, если задана функция спроса, то можно найти P значения Е в точках А и В по формуле (*).
D Существует определенная закономерность изменения значения эластичности спроса по цене при движении вдоль функции спроса.
Рассмотрим случай линейной функции спроса (рис. 1.9).
Р P Е = - D N эластичный отрезок функции спроса P - < Е < - D P Е = - D K M неэластичный отрезок функции P спроса - 1< Е < D P Е = D 0 F R Q Рис. 1.9.
Точки N и R - точки крайних значений эластичности спроса по цене: в точке N P эластичность спроса по цене Е равна -, в точке R - равна нулю.
D Легко показать, что для любой точки линейной функции спроса (кроме крайних), допустим, для т. М, справедливо равенство:
QD PM OF OK OK P Е (М) = = =.
D P QM NK OF NK P Если ОК = KN, то Е (М) = - 1. На рис. 1.9 т. М находится на середине отрезка NR.
D Рассматривая эластичность спроса по цене, следует обратить внимание на то, что наклон функции спроса не совпадает с ее эластичностью. К примеру, если линейные функции спроса имеют общую точку на оси цен, то наклоны у них будут разные, а эластичности в любой точке одинаковыми (рис. 1.10).
1. Теория спроса и предложения Р N K A B C 0 Q Рис. 1.10.
OK P P P Е (А) = Е (В) = Е (С) =.
D D D NK a Противоположный пример - функции спроса вида Q = (a > 0). Очевидно, это Pn dQ a n гипербола, ее наклон = -. При движении вдоль такой кривой спроса ее наклон dP Pn+ изменяется, но эластичность остается постоянной.
dQ P a n P Pn P Действительно, Е = = - = - n.
D n+ dP Q P a Если n = 1, то мы получим кривую спроса с единичной эластичностью (рис. 1.11).
Для наглядности, однако, можно показать линейные функции, имеющие различный наклон и различные эластичности спроса по цене, если они не имеют общей точки по оси цен. Тогда, чем меньше тангенс угла наклона функции спроса Q(P) к оси ОР, тем неэластичнее будет сама функция спроса. Различают 5 видов функций спроса:
Р Q D P I. Е = 0 абсолютно неэластичный спрос D Q Р P Q II. - 1 < Е < 0 неэластичный спрос D D Q Р P III. Е = - 1 спрос единичной эластичности D Q D Q P P Q IV. - < Е < - 1 эластичный спрос D D Q 1. Теория спроса и предложения P P Q V. Е = - абсолютно эластичный спрос D D Q Рис. 1.11.
В реальной экономике знание производителя о характере эластичности спроса потребителя во многом может предопределить результат принятия того или иного экономического решения.
Р S S1 P S S 0 P Е P Е 0 0 0 P1 А Е1 P1 А Е1 D D Q Q1 Q Q Q1 Q 0 (а) случай неэластичного спроса (б) случай эластичного спроса Рис.1.12.
Например, решение производителя расширить производство и увеличить объем продаж, снизив цену. Очевидно, изменение общей выручки (дохода) производителя будет зависеть от характера эластичности спроса на его продукцию. В случае неэластичного спроса снижение цены приведет к относительно малому росту объема продаж. В итоге доход производителя сократится, как показано на рис. 1.12 (а). В случае неэластичного спроса потери общего дохода производителя будут равны разнице площадей прямоугольника АЕ1Q1Q и прямоугольника P Е АР1 (площадь прямоугольника 0 0 АЕ1Q1Q - увеличение общего дохода производителя в результате увеличения объема продаваемой продукции, площадь прямоугольника P Е АР1 - уменьшение общего дохода 0 производителя в результате уменьшения цены продаваемой продукции).
Рис. 1.12 (б) иллюстрирует, что в случае эластичного спроса прирост дохода в результате увеличения выпуска намного превысит потери в доходе от снижения цены.
Этот пример показывает, что увеличивать объем продаж за счет снижения цены имеет смысл только при эластичном спросе.
Цена продукции - не единственный фактор, по которому может быть рассчитана эластичность спроса. Мы можем подсчитать эластичность спроса по доходу, а также подсчитать перекрестную эластичность (эластичность спроса на данный продукт по цене другого продукта).
dI Q P Эластичность спроса по доходу: Е =.
I dQ I P Если Е > 0, значит, с ростом дохода, потребитель увеличил объем своего I P потребления данного товара и этот товар для него является нормальным;
если Е I становится меньше 0, значит потребитель отказывается от потребления этого товара при росте своего дохода и этот товар становится для него некачественным.
1. Теория спроса и предложения dQY PX PX Перекрестная эластичность спроса по цене: Е = показывает отношение QY dPX QY процентного изменения величины спроса на продукт у при процентном изменении цены на продукт х.
Например, цена на кофе увеличилась на 20% в результате неурожая кофе, объем спроса на чай (при относительно неизменных неценовых факторах на рынке чая) вырос на 10%.
10% PX Е = = 0,5 > 0.
QY 20% Если перекрестная эластичность больше 0, такие товары служат заменителями друг другу в потребительской корзине.
PX Если Е < 0, товары будут дополнять друг друга в потреблении (увеличение цены QY на кофе приводит к уменьшению потребления кофе и может привести к уменьшению потребления сахара и сливок).
Если перекрестная эластичность равна нулю, то такие товары являются независимыми друг от друга в потреблении.
Аналогично эластичности спроса, эластичность предложения - это отношение процентного изменения величины предложения к небольшому процентного изменению %QS dQS P P P цены: Е = или Е =.
S S %P dP QS Поскольку цена и объем для функции предложения изменяются в одном направлении, эластичность предложения по цене будет положительной.
P P Если Е = 0, то предложение является абсолютно неэластичным, если Е =, то S S предложение является абсолютно эластичным.
Следует особо обратить внимание на тот факт, что эластичность спроса и предложения меняется в зависимости от временных рамок проводимого анализа (рис.
1.13).
Р S S P1 Е P P Е 0 D LR D D Q Q1 Q Q 2 Рис. 1.13.
В результате неурожая апельсинов, их предложение уменьшилось, цена увеличилась, и объем продаж на рынке сократился в краткосрочном периоде с Q до Q1. Но в долгосрочном периоде потребители имеют возможность переключить свой спрос на 1. Теория спроса и предложения другие продукты, и спрос на апельсины уменьшится с D до D1. Долгосрочная функция спроса на апельсины будет более эластичной, чем функции спроса в краткосрочный период времени.
Предложение в краткосрочном периоде обычно характеризуется сильной неэластичностью (в мгновенном периоде предложение продукции, как правило, характеризуется абсолютной неэластичностью по цене), производители не могут быстро перестроить свое производство, даже если спрос на их продукцию сильно увеличится и цена возрастет (т. Е1 на рис. 1.14).
Но в долгосрочном периоде функция предложения может характеризоваться сильной эластичностью по цене. Привлеченные высокой ценой, на рынке появляются новые производители, что увеличивает предложение продукции и снижает ее цену (т. Е на рис.
1.14).
Р S S P1 Е1 S LR P E 2 P Е 0 D D 0 Q Q1 Q Q 0 Рис. 1.14.
Числовой пример 1.1.
На цветочном рынке по цене 20 рублей за штуку продается в день 600 гвоздик. При этом P P Е = -3, Е = 2.
D S 1. Определим функции спроса и предложения на гвоздики (при условии, что они линейны).
2. Как изменится цена и объем продаж гвоздик на рынке, если спрос на них увеличится на 20%, а предложение уменьшится на 10%.
Решение.
dQ P P 1. Запишем уравнение эластичности спроса по цене: Е =.
D dP Q Мы знаем значение эластичности спроса и значения цены и объема продаж, подставим эти значения в формулу эластичности:
dQD P dQ 20 dQ P Е = = - 3 = = -90.
D dP QD dP 600 dP Запишем уравнение функции спроса в виде линейной функции: Q = aP + b.
D 1. Теория спроса и предложения dQ = а = - 90 Q = -90P + b = -9020 + b = 600 b = D dP Получаем уравнение функции спроса: Q = -90Р + 2400.
D Аналогично найдем уравнение функции предложения:
dQS P dQ 20 dQ P Е = = 2 = = 60.
S dP QS dP 600 dP Q = 60P + d 600 = 6020 + d d = -600.
S Уравнение функции предложения: Q = 60P - 600.
S 2. Запишем новые уравнения функций спроса и предложения на рынке гвоздик:
Q = 1,2Q = 1,2(-90P + 2400) = -108P + 2880.
D1 D QS = 0,9Q = 0,9(60P - 600) = 54P - 540.
S Приравняем новые функции спроса и предложения: Q = Q D1 S -108P + 2880 = 54P - Р1 = 21, Q1 = 5421,11 - 540 = Покажем получившееся решение на графике (рис. 1.15).
Р QS Q S 21, Q D Q D 600 Q Рис.1.15.
1.3. Вмешательство государства в функционирование рынка Введение потоварного налога.
Для наглядности иллюстраций и упрощения вычислений предположим, что функции спроса и предложения являются линейными:
Q : Р = a - bQ D D Q : P = c + dQ S S Исходное равновесие показано на рис. 1.16.
1. Теория спроса и предложения P S a t S P1 E1 Исходная точка E :
a - bQ = c + dQ P E a - c = bQ + dQ 0 a - c ad + bc c + t t Q = ;
P = 0 b + d b + d D c Q1 Q Q Рис. 1.16.
Рассмотрим два варианта налогообложения:
А. Введение потоварного налога в виде фиксированной денежной суммы с единицы товара (например, государство вводит налог в размере 5 ден.ед. с каждой единицы проданного товара).
Б. Введение налога в виде процентных отчислений с единицы товара.
Случай А. Государство ввело налог в размере t ден.ед. на производителя продукции.
Посмотрим, что произойдет с ценой и объемом продаж на рынке.
Так как налог вводится на производителя, его функция предложения сдвигается вверх по оси цены на t: S1 = c +dQ + t = (c + t) + dQ.
S S Новая точка равновесия - точка Е1, ей соответствует новая цена на рынке (Р1) и новый объем продаж (Q1).
Но Р1 - это цена, которую заплатит потребитель за продукцию на данном рынке.
Производитель же получит за объем Q1, купленный потребителем, цену Р (рис. 1.17).
Эта цена может быть найдена из первоначальной кривой предложения производителя S.
Разница между лценой потребителя и лценой производителя и есть величина налога t.
P a S t S P1 E P N E Равновесие после введения налога - т. E1:
0 Р E a - bQ = (c + t) + dQ 2 a - (c + t) = bQ + dQ a - (c + t) ad + b(c + t) Q1 = ;
P1 = b + d b + d D Q1 Q Q Рис. 1.17.
1. Теория спроса и предложения Налоговые поступления государству составят величину t Q1, ей соответствует площадь прямоугольника Р1Е1Е Р на рис. 1.17.
2 Этот прямоугольник состоит из двух частей: прямоугольника Р1Е1NP, показывающего, какая величина налоговых сборов ложится на потребителя, и прямоугольника Р NE Р, показывающего величину налогового бремени, 0 2 приходящегося на долю производителя.
Величина этих прямоугольников относительно друг друга (распределение налогового бремени между потребителем и производителем) зависит от эластичностей функций спроса и предложения.
Р Р t S1 S1 S Р1 Е1 t S P1 E P E P E 0 0 0 Р Р 2 D D Q1 Q Q Q1 Q Q 0 а) случай эластичного предложения б) случай неэластичного предложения Рис. 1.18.
Из рис. 1.18 б) видно, что, чем предложение менее эластично при той же эластичности спроса и величине вводимого государством налога, тем меньше налогового бремени ложится на потребителя (т.е. разница между первоначальной ценой на рынке Р и ценой после налогообложения Р1 незначительна;
незначительно же изменился и объем продаж). В случае высокой эластичности предложения ситуация меняется и пострадавшей стороной выступает потребитель, который несет основную налоговую нагрузку (рис. 1.18 а)).
На рис. 1.19 показаны ситуации одновременно а) эластичного спроса и предложения;
б) неэластичного спроса и предложения.
В первом случае налогообложение приведет к значительному сокращению объема продаж на рынке;
во втором случае (при той же величине налога, что и в случае а)) объем продаж на рынке сократится незначительно и объем налоговых поступлений в бюджет будет значительно больше, чем в случае а).
1. Теория спроса и предложения Р Р S1 S1 S t Р1 Е1 S P1 E P E P E 0 0 0 Р Р 2 D D Q1 Q Q Q1 Q Q 0 а) случай эластичного предложения б) случай неэластичного предложения Рис. 1.19.
Продолжим рассмотрение нашей ситуации. Величина налогового бремени формируется из излишков потребителей и производителей. Но не вся часть изменения излишка входит в налоговые поступления.
До введения налога излишек потребителей составлял площадь треугольника аЕ Р, а 0 излишек производителей - площадь треугольника сЕ Р (рис.1.19).
0 Р S а t S P1 E P N E 0 Р E 2 с D Q1 Q Q Рис. 1.19.
После введения потоварного налога излишек потребителей - это площадь треугольника аЕ1Р1, а излишек производителей - это площадь треугольника сЕ Р.
2 Видно, что для потребителей изменение его излишка - это площадь трапеции Р1Е1Е Р, но только прямоугольник Р1Е1NР войдет в налоговые поступления;
0 0 треугольник Е1Е N потерян.
1. Теория спроса и предложения Аналогично для производителей: изменение излишка - площадь трапеции Р Е Е Р и потерянная часть - треугольник NЕ Е.
0 0 2 2 0 Сложив эти два треугольника (Е1Е N и NЕ Е ), мы получим чистые потери 0 0 общества в результате налогообложения.
Теперь проанализируем, как изменится ситуация на рынке, если тот же самый налог (t ден.ед.) государство введет не на производителя продукции, а на потребителя (рис.
1.20).
Р а S P1 E P E 0 t с D1 D Q1 Q Q Рис. 1.20.
Чтобы лучше проиллюстрировать данную ситуацию, рассмотрим числовой пример.
Числовой пример 1.2.
На рынке чая спрос представлен функцией Р = 180 - 3Q.
D Предложение чая имеет вид: Р = 70 + 2Q.
S Государство решило ввести налог на потребителей чая в размере 10 ден.ед. с единицы купленной продукции.
1. На сколько изменится объем продаж на рынке чая и его цена?
2. Сколько получит государство в виде налоговых поступлений?
Решение.
Найдем первоначальное равновесие на данном рынке:
180 - 3Q = 70 + 2Q 110 = 5Q Q = P = Поскольку налог вводится на потребителя продукции, изменится его функция спроса. Она будет иметь вид: Р = (180 - 3Q ) - 10 = 170 - 3Q.
D D Новое равновесие на рынке определим из равенства:
170 - 3Q = 70 + 2Q 100 = 5Q Q1 = P1 = 180 - 320 = 120.
Теперь на рынке будет продаваться 20 ед. чая по цене 120 ден.ед.
Производитель получит цену Р, равную 70 + 220 = 110.
1. Теория спроса и предложения Ту же самую цену Р можно также определить вычитанием из цены, которую заплатит потребитель величины налога: Р = Р1 - 10 = 120 - 10 = 110.
Налоговые поступления государству составят 1020 = 200 ден.ед. [P1E1E Р ].
2 Чистые потери общества равны (102)/2 = 10 [E1E E ].
0 Проиллюстрируем наше решение на рисунке (рис. 1.21).
Р S1: P = 80 + 2Q S: Р = 70 + 2Q S S P1 = 120 E P = 114 E 0 Р = 110 Е 2 t = D1 D : Р = 180 - 3Q 0 D Q1=20 Q =22 Q Рис. 1.21.
Если подобный налог государство решит ввести на производителей чая, ситуация на рынке не изменится: мы получим объем Q1, равный 20 и цены Р1 = 120, Р = 110.
Новая функция предложения будет иметь вид: P = (70 + 2Q ) + 10 = 80 + 2Q.
S S 80 + 2Q = 180 - 3Q 5Q = Q1 = P1 = 80 + 220 = Р = 70 + 220 = 110.
Случай Б. Рассмотрим другой способ налогообложения: государство вводит налог не в денежном выражении, а в процентном.
Числовой пример 1.3.
На рынке чая при первоначальных функциях спроса и предложения (числовой пример 1.2) Р = 180 - 3Q и Р = 70 + 2Q государство вводит налог на потребителей чая в размере D S 10% от цены единицы продукции.
1. На сколько изменится объем продаж на рынке чая и его цена?
2. Сколько получит государство в виде налоговых поступлений?
Решение.
D = 1,1D1 D1 = 0,909D 0 Новая функция спроса будет иметь вид: Р = 0,909(180 - 3Q ) = 163,64 - 2,73Q.
D D 163,64 - 2,73Q = 70 = 2Q 93,64 = 4,73Q Q1 = 19, 1. Теория спроса и предложения P1 = 163,64 - 2,7319,8 = 163,64 - 54,05 = 109, Р = 180 - 319,8 = 120, Р D S 0 Р = 120,6 D 114 Е Р1 = 109, Q1=19,8 Q =22 60 Q Рис. 1.22.
Государство получит в виде налоговых поступлений (120,6 - 109,6)19,8 = 217,8 ден.ед.
Это же решение можно получить следующим способом:
Поскольку налог платит потребитель, то Р = (1 + t)Р, где t - величина налога (в долях).
D S PD PS Выразим Q : Q = 60 -. Аналогично, Q = - 35.
D D S 3 В новой точке равновесия Q = Q D S PD PS 60 - = - 35 Р = 109,6 = Р S 3 Р = 1,1Р Р = 120,6 = Р D S D 120, Q1 = 60 - = 19, Если государство вводит процентный налог на производителей, то за каждую единицу проданного товара производитель получит Р = (1 - t) Р, где t - величина налога в S D долях.
Для нашего числового примера получим условия:
PD PS 60 - = - 35 Р = 109,1 = Р S 3 Р = 0,9Р Р = 121,3 = Р S D D 121, Q1 = 60 - = 19, Сумма налоговых поступлений составит (121,3 - 109,1)19,6 = 239,12 ден.ед.
Данное решение показано на рис. 1.23.
1. Теория спроса и предложения Р D S1 S 0 Р = 121, 114 Е Р1 = 109, Q1=19,6 Q =22 60 Q Рис. 1.23.
Нетрудно заметить, что в отличие от введения фиксированного денежного налога результат введения процентного налога от цены товара различается в зависимости от того, кто является плательщиком налога. Чем больше процентный налог, тем больше различаются рыночные параметры в зависимости от того, кто является плательщиком - потребитель (покупатель) или производитель (продавец) товара.
Взаимосвязь цен и налогов показана в таблице 1.1.
Таблица 1.1.
Плательщик налога Фиксированный денежный Процентный налог, r налог, t (в долях) (в денежном выражении) Продавец Р = Р - t Р = (1 - r)Р S D S D Покупатель Р = Р - t Р = (1 + r)Р D S D S Введение потоварной дотации Следующий способ вмешательства государства в функционирование рынка - введение потоварной дотации.
Р S К S Р = Р N S Р = Р1 E M D D D Q Q1 Q Рис. 1.24.
1. Теория спроса и предложения Предположим, городские власти решили дотировать производителей мяса в размере k ден.ед. с единицы проданной продукции. В результате предложение мяса увеличивается - функция предложения сдвигается вправо-вниз (рис. 1.34).
Мы получили новую функцию предложения (S ), которая даст нам новый объем продаж на рынке Q1 и цену Р1 - цену, которую заплатят потребители за купленный продукт (Р = Р1);
производители же получат цену Р, сформированную исходя из своей D первоначальной функции предложения, причем Р = Р = Р1 + k.
2 S Площадь прямоугольника Р NM Р1 - сумма дотации, которую выплачивает государство.
Так же как и в случае налогообложения сумма дотации распределится между потребителями и производителями: излишек потребителей увеличится на площадь трапеции P Е МР1;
излишек производителей - на площадь трапеции P Р NЕ. Площадь 0 0 0 2 треугольника Е NM - это чистые потери общества.
Как и при введении потоварного налога, по рис. 1.24 видно, что ситуация на рынке не изменится, если потоварная дотация выплачивается не производителям, а потребителям продукции (в этом случае мы получаем новую функцию спроса D1, проходящую через т. N).
Числовой пример 1.4. позволит нам еще раз проанализировать изменения, возникающие на рынке в случае выплаты государством дотации.
Функции спроса и предложения на рынке определены как Q = 435 - 4P;
Q = 15 + 8P.
D S Городские власти установили, что товар не может продаваться дороже 21 ден.
единицы. Чтобы избежать дефицита, власти ввели субсидию производителям за каждую единицу проданного товара.
Чему должна быть равна величина субсидии, при которой на рынке установится равенство спроса и предложения?
Решение.
До вмешательства городских властей на рынке существовало равновесие E : Q = Q 0 D S 435 - 4Р = 15 + 8Р P = 35, Q = 295.
0 Но городские власти решили, что цена P = 35 слишком высока для данной продукции и определили потолок цены в 21 денежную единицу.
При Р = 21 спрос потребителей на данный продукт будет равен 435 - 421 = 351 ед., а предложение производителей будет равно 15 + 821 = 183 единицы.
Чтобы на рынке продавалась 351 единица продукции, государство должно субсидировать производителей, т.е. цена для производителей должна удовлетворять условиям:
15 + 8Р = 351.
Мы получаем, что цена, по которой производители продадут 351 единицу продукции будет равна 42 ден.ед.
1. Теория спроса и предложения Р Q Q D S величина дотации составит P = 35 (42 - 21) = 21 ден.ед.
Q = 295 351 Q Рис.1.25.
Общая сумма дотации будет равна 35121 = 7371 ден.ед.
Введение верхнего и нижнего потолка цены Как мы увидели из примера 1.4, еще один способ государственного регулирования рынка - это установление потолка цены. Рассмотрим механизм установления верхнего потолка цены с помощью рис. 1.26.
Р А S B P* N E P С F рег D 0 Q1 Q* Q Q Рис. 1.26. Установление верхнего потолка цены Установление цены P, выше которой производители не могут продавать товар на рег рынке, неизбежно приводит к возникновению дефицита, равного [Q - Q1].
Посмотрим, что произошло с излишками потребителей и производителей в результате государственного регулирования цены.
Излишек потребителей в целом увеличился и стал равен площади трапеции АВСP, рег излишек производителей уменьшился на величину площади трапеции Р*ЕСP и стал рег равен площади треугольника P СО (мы видим, что часть излишка производителей рег [площадь прямоугольника Р*NCP ] перешла к потребителям).
рег 1. Теория спроса и предложения Но также мы видим, что произошла потеря потребительского излишка, связанного с уменьшением объема продаж на рынке (это площадь треугольника BNE). Чистые потери общества составят площадь треугольника ВЕС.
Если сравнить установление государственного контроля за ценой на рынках с эластичным и неэластичным спросом, можно сделать вывод о нецелесообразности подобных мероприятий для рынка с сильноэластичным спросом, поскольку на рынке возникнет огромный дефицит и это приведет, скорее всего, к возникновению черного рынка (рис. 1.27, рис. 1.28).
Р Р D S S D P* P* P P рег рег Q1 Q*Q Q Q1 Q* Q Q 2 а) случай неэластичного спроса б) случай эластичного спроса Рис. 1.27.
Р S S P рег S D Q* Q Рис. 1.28. Возникновение черного рынка Нижний потолок цены предполагает установление государством цены, ниже которой производитель не может продавать продукцию на рынке (рис. 1.29).
1. Теория спроса и предложения Р S P рег P* избыток продукции Q Q1 Q* Q Рис. 1.29. Установление нижнего потолка цены.
. 3. Теория производства Теория потребительского выбора 2.1. Равновесие потребителя в задаче потребительского выбора Теория потребительского выбора изучает поведение потребителей в рыночной экономике. Чтобы сделать выбор, потребитель должен сравнить полезности различных наборов благ при ограниченном денежном доходе и известных ценах на покупаемые товары.
Если известны потребительские предпочтения и бюджетное ограничение, то задачу потребительского выбора для двух благ Х и Y можно представить следующим образом:
max U(x, y) (1.1) ( x, y) при условии Р х + Р у = I (1.2) (1) x y x, y 0 (1.3) Представим графически задачу максимизации функции полезности потребителя.
Y A Х F Х D Y Х E U E U Х G U X B X E Рис. 2.1.
Px Если наклон бюджетной линии АВ задан соотношением цен (- ), то, при заданном Py доходе I и предпочтениях потребителя, выраженных в виде семейства кривых безразличия U1, U, U Е., оптимальным выбором потребителя будет набор (X, Y ), т.е. т. Е - это 2 3 E E точка касания данной бюджетной линии и самой высокой из достижимых кривых безразличия.
Набор D, принадлежащий кривой безразличия U, является недостижимым для потребителя, наборы F, G являются достижимыми, т.к. находятся на бюджетной линии АВ, но не оптимальными, т.к. соответствуют уровню полезности U1, который ниже оптимального уровня U.
Представленный на рис. 2.1. оптимальный выбор потребителя основывается на аксиомах порядковой (ординалистской) теории полезности, законе убывающей предельной полезности (1-й закон Госсена) и соответствующих свойствах кривых безразличия.
В этом случае оптимальный выбор потребителя всегда характеризуется положительными значениями покупаемых благ (X > 0, Y > 0). Это так называемый E E внутренний оптимум. Для него выполняется следующее условие, которое в теории получило название 2-го закона Госсена:
. 3. Теория производства MU PX X в т. Е MRS = = или XY MUY PY MU MUY X = PX PY Поскольку оптимальная т. Е находится на заданной бюджетной линии, то искомый оптимальный набор может быть найден из решения задачи (2), эквивалентной задаче (1):
MU PX X = (2.1) MUY PY Р Х + Р Y = I (2.2) (2) x y Х, Y 0 (2.3) Наиболее часто встречающейся в задачах по микроэкономике и хорошо изученной функцией полезности является функция Кобба-Дугласа. Для двух благ эта функция имеет вид: U = AX Y, где А,, - постоянные положительные числа.
Функция Кобба-Дугласа обладает тремя свойствами, что позволяет при решении задачи потребительского выбора рассматривать ее как лудобную функцию полезности для нахождения внутреннего оптимума.
Х Предельные полезности положительны для обоих благ. Поскольку - MU = Ax -1 y, MUY = Ax y, то MU > 0, MUY > 0 при А,, > 0. Это X X означает, что выполняется аксиома ненасыщенности.
Х Кривые безразличия, соответствующие этой функции, имеют отрицательный MU X наклон (наклон равен - MRS = - < 0).
XY MUY Х Функция Кобба-Дугласа имеет уменьшающуюся предельную норму замещения, поэтому соответствующие кривые безразличия являются выпуклыми к началу MU y X координат. Очевидно, что MRS = =. Если увеличивать х и XY MUY x уменьшать у при движении вдоль кривой безразличия сверху вниз, то значение MRS будет уменьшаться. Следовательно, в оптимальный набор потребителя XY будут входить оба блага.
Рассмотрим пример нахождения внутреннего оптимума при использовании функции Кобба-Дугласа.
Числовой пример 2.1.
Предпочтения потребителя заданы в виде функции полезности U(x, y) = xy. Доход равен 800 ден.ед. Цены благ соответственно равны Р = 20, Р = 40.
X Y Чему будет равен набор для потребителя?
Решение.
Запишем задачу в общем виде U(x, y) = xy max 20x + 40y = x, y. 3. Теория производства Поскольку оптимум в этом примере является внутренним, то должно выполняться MU PX y X условие MRS = = или =, т.е. х = 2у.
XY MUY PY x Таким образом, оптимальный набор должен находиться на прямой х = 2у и в то же время удовлетворять бюджетному ограничению. Получаем систему из 2-х линейных уравнений:
х = 2у 20х + 40у = Ее решение дает оптимальный набор у = 10;
х = 20.
E E Графическая интерпретация этой задачи:
У I = = Py наклон кривой безразличия в т.Е равен y Е - MRS (Е) = - = - XY x наклон бюджетной линии x у = равен - 2 0 20 40 Х I = = PX Рис. 2.2.
Аксиомы, лежащие в основе теории потребительского выбора, могут в действительности нарушаться. Например, потребитель может рассматривать два блага как совершенные заменители. Тогда предельная норма замещения для таких благ будет постоянной величиной, а не уменьшающейся. Либо потребитель всегда включает в набор блага в определенном (неизменном) соотношении. В этом случае блага становятся дополняющими друг друга в неизменной пропорции.
Рассмотрим решение задач оптимального выбора для специальных функций полезности.
2.2. Решение задач потребительского выбора для специальных функций полезности.
1 случай. Функции полезности - прямые линии (товары - совершенные заменители) В общем случае такая функция имеет вид U(x, y) = ax + by, где a, b > 0.
. 3. Теория производства у a Наклон этих прямых постоянен и равен -.
b Х MU a X MRS = =. Рис. 2.3.
XY MUY b Обратите внимание, что в этом случае линии безразличия пересекают оси координат, следовательно, в оптимальную корзину потребителя может входить не два блага, а только одно. Такое равновесие потребителя называют угловым.
Следует иметь в виду, что кривые безразличия могут пересекать оси координат, но потребитель выбирает внутренний оптимум. В качестве примера рассмотрим следующую задачу.
Числовой пример 2.2.
Предпочтения потребителя представлены функцией U = H + M, где Н и М - взаимозаменяемые блага. Доход потребителя за неделю составляет 24 ден.ед. Цены заданы как Р = 2, Р = 1. Сколько блага Н и блага М будет покупать каждую неделю H M потребитель, если он максимизирует свою полезность?
Решение.
Найдем предельную норму замещения для данной функции полезности.
MU 1/ 2 H M H MRS = = =.
HM MU 1/ 2 M H M При снижении М и увеличении Н MRS > 0 и является убывающей функцией.
HM Если функцию полезности записать в виде M = U - H (*) или М = (U - H ), то очевидно, что М = 0 (кривая пересекает горизонтальную ось) при Н = U. При Н = кривая безразличия пересекает вертикальную ось в т. М = U. Следовательно, можно представить карту кривых безразличий следующим образом (мы учитывали только левую ветку параболы (*), имеющей отрицательный наклон):
M 36 M = 4H 16 E U = 4 12 36 H Рис. 2.4.
. 3. Теория производства В точке оптимума должно выполняться условие касания кривой безразличия и MU M PH H бюджетной линии потребителя, т.е. MRS = = = =. Отсюда, М = 4Н.
HM MU PM H M Поскольку 2Н + М = 24, то оптимальный набор благ составляет Н = 4;
М = 16.
E E Оптимальный уровень полезности U = 4 + 16 = 6.
При данных предпочтениях потребитель всегда выбирает набор, в котором благо М в 4 раза больше, чем благо Н, т.е. допустимые наборы благ лежат на прямой М = 4Н.
Оптимальный выбор определяется как точка пересечения прямой М = 4Н и бюджетной линии 2Н + М = 24, что эквивалентно нахождению точки касания бюджетной линии и кривой безразличия 6 = H + M.
Это наивысший уровень полезности, который может быть достигнут при заданных ценах и уровне дохода.
Таким образом, в данном примере кривые безразличия пересекают оси координат, но оптимум является внутренним (Н > 0, М > 0).
Вернемся к анализу углового равновесия в общем случае для линейной функции полезности.
Пусть U(x, y) = (ax + by) max Бюджетная линия АВ: Р х + Р у = I.
x y Поскольку товары х и у являются совершенными заменителями (MRS = const) и XY потребитель стремится максимизировать полезность, то его потребительская корзина будет состоять только из одного блага. Формально это можно определить следующим образом.
PX Обозначим наклон бюджетного ограничения (без учета знака) = tg, наклон PY a линии полезности (без учета знака) = tg.
b У У А у = у А' 0 A Бюджетная линия Линии полезности А Линия полезности х = x 0 B В В' Х В Х Рис. 2.5.
Если tg < tg, то потребитель выберет набор х = 0, у = у > 0.
0 0 A. 3. Теория производства Если tg > tg, то потребитель выберет набор х = x, у = 0*).
0 B Содержательный смысл приведенных выше соотношений заключается в следующем.
PX a При линейной функции полезности MU = a, MUY = b. Если MRS = > (tg > X XY b PY a b tg), то >.
PX PY Следовательно, в данном случае предельная полезность 1 ден.ед., потраченной на покупку товара х, выше, чем предельная полезность 1 ден.ед., потраченной на покупку товара у. Чтобы увеличить общую полезность U(x, y), потребитель должен потратить больше денег на покупку товара х и сократить потребление товара у. Таким образом, I оптимальным набором будет угловая точка В, в которой у = 0, х =.
B B PX I I При этом U(х, у ) = a + b0 = a.
B B PX PX Обратите внимание, что при угловом равновесии равенство MU a PX X MRS = = = не достигается.
XY MUY b PY a PX a b Если < или <, то потребитель тоже выберет угловое равновесие, но b PY PX PY I I т.А, в которой х = 0, у =, U(х, у ) = b. В данном случае для увеличения A A A A PY PY полезности потребитель должен весь имеющийся у него доход потратить только на a PX покупку товара у. При этом равенство MRS = = не может быть достигнуто.
XY b PY Числовой пример 2.3.
Функция полезности потребителя U(x, y) = 3x + y. Пусть Р = 2, РY = 1, I = 24.
X Найдите оптимальный набор для потребителя.
Решение.
Товары х и у являются для потребителя совершенными заменителями, причем MU X MRS = = 3 = const. Следовательно, потребитель всегда отказывается от 3 ед.
XY MUY товара у, чтобы увеличить на 1 ед. количество товара х в наборе, не меняя при этом уровень полезности. Таким образом, если отложить товар х по горизонтали, а товар у по вертикали, то наклон любой линии полезности будет равен - 3.
PX Наклон бюджетной линии равен - = -2. Очевидно, в данном случае, чтобы PY максимизировать полезность, потребитель должен вообще не покупать товар у и все деньги потратить на покупку товара х. В этом случае его оптимальный набор Е(х, у):
24 у = 0;
х = = = 12. Максимальный уровень полезности U(x, y) = 312 = 36.
E E PX *) Если tg = tg, то бюджетное ограничение и линия безразличия совпадают, тогда выбор становится неопределенным. Потребитель, вообще говоря, может выбрать любую комбинацию благ, лежащую на бюджетной прямой или, что то же самое, на линии полезности.
. 3. Теория производства PX Обратите внимание, что в данном примере MRS = 3 > = 2 или XY PY MU 3 MUY X = > = 1.
PX 2 PY Таким образом, предельная полезность 1 ден.ед., затрачиваемой на покупку товара х, выше предельной полезности 1 ден.ед., затрачиваемой на товар у. Следовательно, чтобы увеличить полезность, потребитель будет стремиться покупать больше товара х, вытесняя товар у из набора до тех пор, пока весь бюджет не будет потрачен только на товар х. Мы получили угловое решение х = 12, у = 0 (рис. 2.6).
у бюджетное ограничение 2х + у = U = 3х + у угловое решение 12 х Рис. 2.6.
Числовой пример 2.4.
Допустим, функция полезности у потребителя осталась прежней, т.е. U(x, y) = 3x + y, но Р = 4, Р = 1, I = 24. Найдите оптимальный набор для потребителя.
X Y Решение.
MU X Предпочтения потребителя остались прежними: MRS = = 3.
XY MUY Соотношение цен изменилось. Соответственно, наклон бюджетного ограничения равен PX 4 PX MU 3 MUY X - = - = - 4. Таким образом, MRS. Теперь = < =, т.е.
XY PY 1 PY PX 4 PY потребитель будет в наборе замещать товар х товаром у до тех пор, пока весь доход не израсходует на покупку только товара у. Оптимальным является угловое равновесие:
х = 0, у = = 24 (рис. 2.7).
у угловой оптимум бюджетное ограничение 4х + у = U = 3х + у 6 х Рис. 2.7.
. 3. Теория производства 2-й случай. Функции полезности с жестко дополняющими благами.
Товары не являются заменителями. Напротив, потребители рассматривают товары как дополняющие друг друга в потреблении (например, левый и правый ботинок). В этом случае товары входят в потребительский набор в определенном соотношении. В общем виде функция полезности может быть записана так:
U(x, y) = min{ax, by}.
Коэффициенты а и b показывают соотношение, в котором товары х и у должны входить в потребительский набор. При данных предпочтениях потребитель всегда y a выбирает набор, в котором ах = bу или =.
x b a Таким образом, допустимые наборы лежат на прямой у = х и нахождение b оптимального набора определяется значениями дохода и цен на товары.
I bI Если I = Р х + Р у, то х = =, x y a PX + PY bPX + aPY b a I aI b у = =.
a PX + PY bPX + aPY b Графически карта кривых безразличия выглядит так:
Y D K C U B U A U N X Рис. 2.8.
Если задано бюджетное ограничение КN, то в качестве оптимального набора потребитель выберет т.С. Как бы не менялись цены товаров и величина дохода, y a потребитель всегда выберет набор, находящийся на луче OD, где =.
x b Рассмотрим численный пример.
Числовой пример 2.5.
Функция полезности потребителя имеет вид U(x, y) = min{x, 3y}. Цены благ Р = 2, X РY = 1. Доход потребителя равен 140.
Определите координаты точки равновесия потребителя.
. 3. Теория производства Решение.
Данная функция полезности характеризует такие предпочтения потребителя, при которых товары являются дополняющими друг друга в наборе. В данном примере товары х и у x всегда входят в набор в соотношении =. Следовательно, оптимальный набор y может быть найден из условий:
х = 2у х = 2х + у = 140 у = Y X У = E Х 60 Рис. 2.9.
Следует иметь в виду, что в случае взаимодополняемости благ карта кривых безразличия не всегда образуется в виде прямых углов. Допустим, предпочтения потребителя заданы следующим образом: U(x, y) = min{a1x + b1y;
a x + b y}.
2 Если a1x + b1y < a x + b y, то U(x, y) = a1x + b1y.
2 Если a1x + b1y > a x + b y, то U(x, y) = a x + b y.
2 2 2 Объединив эти два случая, можно записать целевую функцию следующим образом:
a1 - a U(x, y) = a1x + b1y, если у > х b1 - b a1 - a a x + b y, если у х*) 2 b1 - b Чтобы максимизировать полезность при заданном бюджетном ограничении, потребитель должен выбрать набор на прямой a1x + b1y = a x + b y. Отсюда, 2 a у(b - b1) = х(a - a1). Если обозначить а = a - a1, b = b - b1, то получим у = х**).
2 2 2 b Таким образом, если блага абсолютно взаимодополняемы, то оптимальный набор a находится на прямой у = х в точке ее пересечения с бюджетным ограничением.
b Графически такая целевая функция представляет собой две прямые, пересекающиеся не под прямым углом.
*) Знак равенства можно включить в любое условие.
**) Отношение (коэффициент) а/b должно быть положительным.
. 3. Теория производства Рассмотрим пример.
Числовой пример 2.6.
Потребитель тратит имеющиеся у него деньги на покупку двух товаров - х и у. Функция полезности для него имеет вид: U(x, y) = min{4x;
2x + y}. Нарисуйте карту кривых безразличия. Какой выбор сделает потребитель, если Р = 3, РY = 1, доход равен X ден.ед.?
Решение.
Чтобы представить карту кривых безразличия, запишем функцию полезности следующим образом:
U(x, y) = 4x, если у > 2х 2x + y, если у 2х.
Данные предпочтения графически можно показать следующим образом:
область значений у > 2х у у = 2х область значений у < 2х 8 Е 2 4 6 20/3 х Рис. 2.10.
Оптимальный набор должен удовлетворять следующим условиям:
у = 2х х = 3х + у = 20 у = 3-й случай: квазилинейные предпочтения Квазилинейная функция полезности имеет вид:
U(x, y) = (х) + bу, (1) где (х) есть возрастающая от х функция (например, (х) = x, (х) = х и т.п.), b - положительная константа.
Эта функция полезности является линейной относительно у и нелинейной относительно х.
Если функция полезности является линейной относительно х и нелинейной относительно у, то можно в общем виде представить ее следующим образом:
U(x, y) = ax + (y), (2) где (y) - возрастающая функция, а > 0.
Рассмотрим на графике карту безразличия для функции типа (1):
. 3. Теория производства у у А A В у U B y С U C U x1 x Рис. 2.11. Функция полезности нелинейна относительно х Отличительная особенность квазилинейной функции полезности заключается в том, что MRS остается постоянной при переходе от кривой безразличия U1 к U, U Е XY 2 вверх (лна север) и фиксированном значении х = x1. Другими словами, кривые безразличия параллельны друг другу, если мы движемся вертикально. При этом они dv(x) MU X dx пересекают оси координат х и у. Действительно, MRS = =. Величина XY MUY b MRS зависит только от значения х.
XY Квазилинейная функция полезности (2) имеет следующую графическую интерпретацию:
у U U U у1 А В С х х х х A B C Рис. 2.12. Функция полезности нелинейна относительно у. 3. Теория производства a Эта функция линейна относительно переменной х, поэтому MRS =. Таким XY d( y) dy образом, величина MRS зависит только от значения у. При у = у1 MRS (А) = XY XY MRS (В) = MRS (С) и т.д. Потребительские корзины А, В, С содержат одинаковое XY XY количество блага у = у1, меняется только количество блага х. При этом предельная норма замещения блага у благом х остается постоянной при движении вдоль оси ОХ. Кривые безразличия параллельны друг другу и пересекают как ось х-ов, так и ось у-ов.
В дальнейшем мы увидим, что квазилинейные функции полезности могут описывать предпочтения потребителя, который покупает одинаковое количество товара независимо от величины его дохода.
Рассмотрим достижение равновесия потребителя, имеющего квазилинейные предпочтения на численном примере.
Числовой пример 2.7.
U(x, y) = 2 x + y. Р =1, РY = 2, I = 10. Найдите оптимальный выбор потребителя.
X Решение.
Найдем предельную норму замещения. Поскольку MU =, MU = 1, то предельная X Y x норма замещения блага у благом х зависит только от количества блага х и не зависит от MU X количества блага у: MRS = =. Если зафиксировать количество блага х в XY MUY x наборе, то MRS будет постоянной величиной, как бы не менялось количество блага у.
XY Поскольку с увеличением х величина MRS падает, то данным предпочтениям XY соответствуют кривые безразличия с отрицательным наклоном, выпуклые к началу координат и пересекающие обе оси, как показано на рис. 2.13.
у u u у А A В у B y С C 2 x1 (u1) (u ) x Рис. 2.13.
В общем случае для максимизации полезности нужно найти точку касания данной PX бюджетной линии (наклон = - ) и кривой безразличия, т.е. должно выполняться PY 1 PX PY условие =, отсюда х =. Поскольку Р > 0, РY > 0, то х > 0, причем величина X PY PX x. 3. Теория производства спроса на х не зависит от дохода. Следовательно, в оптимальную корзину потребителя всегда входит некоторое количество блага х и левое угловое равновесие вида х = 0, у > 0 не может быть оптимальным. При снижении цены на благо х относительно блага у потребитель будет стремиться заменить товаром х товар у в оптимальном наборе, т.е.
будет стремиться к правому угловому равновесию. В случае углового равновесия PY2 PY х = > 0, у = 0. Весь доход тратится только на благо х, т.е. I = P x = (*).
X PX PX Таким образом, анализ квазилинейной функции показывает, что потребитель может выбрать набор благ, находящийся в любой точке кривой безразличия, включая точки пересечения кривой безразличия с осями координат. Следовательно, в этой ситуации оптимум потребителя может быть как внутренним, так и угловым. Решение зависит от конкретных значений I, P, РY.
X Вернемся к нашему примеру. Для оптимального выбора должны выполняться условия:
1 PX = = PY x 1х + 2у = Отсюда получаем х = 4, у = 3. U ( х, у ) = 2 4 + 3 = 7.
0 0 0 0 Итак, при заданных ценах и доходе в оптимальную корзину должно входить не только благо х, но и благо у. Если при тех же ценах на блага будет увеличиваться доход потребителя, то спрос на благо х останется неизменным, а спрос на благо у будет расти.
Покажем решение на графике.
у Е х 4 10 ( )2 12, рис. 2.14.
Изменим теперь исходное условие задачи, чтобы показать возможность существования углового равновесия. Пусть при тех же предпочтениях Р = 1, РY = 10, I = 100. Поскольку X PX товар х стал относительно дешевле, то дробь уменьшилась. Мы видели, что функция PY MRS = является убывающей при росте х, причем кривая безразличия пересекает XY x ось х-ов. Следовательно, стремясь достичь равновесия, потребитель будет увеличивать в корзине количество товара х, замещая им товар у и даже полностью вытеснив товар у.
Py 1 PX Поскольку должно выполняться условие MRS = =, то х = = 100.
XY PY 0 PX x. 3. Теория производства Очевидно, при таком выборе весь доход потребитель потратит только на благо х, выбрав угловое равновесие (у = 0).
PY Этот же результат можно было получить, сравнив доход с величиной (см. формулу *).
PX Следует обратить внимание на то, что в точке углового оптимума для квази линейной функции выполняется условие касания данного бюджетного ограничения и наивысшей кривой безразличия.
Покажем угловое равновесие для данной функции полезности на графике.
у 20 кривая безразличия U = 2 x + у = бюджетное ограничение 1х + 10у = 10 наклон = - 1/ точка оптимума х = 100;
у = В 100 х Рис. 2.15. наклон кривой безразличия в 1 точке оптимума равен - = - x Подводя итог сказанному, покажем на примере, что для правильного решения задачи оптимального выбора потребителя необходимо, прежде всего, уяснить вид заданной функции полезности и представить карту кривых безразличия.
Числовой пример 2.8.
Потребитель имеет функцию полезности U(x, y) = xy + 10x. Его доход I = 10. Цены благ:
Р = 1, РY = 2. Найдите оптимальный набор потребителя.
X Решение.
MU y + X Найдем предельную норму замещения функции полезности MRS = =.
XY MUY x Поскольку при х > 0, у 0 MU > 0, MUY > 0, то кривые безразличия имеют X отрицательный наклон. Величина MRS является убывающей при росте х и уменьшении XY у, следовательно, кривая безразличия является выпуклой к началу координат. Наконец, кривая безразличия пересекает ось х-ов, т.к. U(x, y) > 0 при х > 0 и у = 0. Таким образом, потребитель может отказаться вообще от товара у в потребительской корзине, покупая только благо х. (Заметьте, что не покупать вообще благо х (х = 0), а покупать только благо у потребитель не может, т.к. в этом случае его уровень полезности был бы нулевым). Это означает, что оптимум может быть угловым, т.е. в потребительскую корзину может входить только одно благо. Покажем, что при заданных предпочтениях, ценах и доходе потребитель действительно не выберет корзину с двумя благами, т.е. его оптимальный выбор не может быть внутренним. Для внутреннего оптимума должны выполняться условия:
. 3. Теория производства y + 10 = x 1х + 2у = 10, отсюда получаем х = 15, у = - 2, Данный алгебраический ответ не имеет экономического смысла, поскольку объемы покупаемых благ должны быть неотрицательными. Таким образом, на бюджетном ограничении нет потребительского набора, при котором бюджетная линия является касательной к кривой безразличия. Следовательно, оптимум должен быть в угловой точке. Покажем оптимальный выбор на графике.
у U = 80 U = U = 112, A R 8 10 15 x - 2, Рис. 2.16.
MU X Наклон кривой безразличия в т. R равен - = - 1.
MUY PX Наклон бюджетного ограничения AR равен - = -.
PY Как видно на графике, оптимальной будет корзина в т.R, где х = 10, у = 0. При этом MU PX X наборе MU = y + 10 = 10, MU = x = 10. Следовательно, =. Или, что то X Y MUY PY MU MUY X же самое, = 10 > = 5. Потребитель хотел бы купить больше товара х и PX PY меньше товара у, но не может это сделать, т.к. в точке углового равновесия R благо у полностью вытеснено благом х и дальнейшее увеличение блага х в наборе невозможно.
Следовательно, потребитель достиг наивысшей полезности при заданном бюджетной ограничении. На графике также видно, что бюджетное ограничение не является касательной к кривой безразличия в точке углового равновесия (в отличие от квазилинейной функции).
До сих пор, изучая поведение потребителя, мы рассматривали бюджетное ограничение в виде прямой линии при неизменных ценах на товары. Однако бюджетное ограничение может иметь вид ломаной линии, что влияет на потребительский выбор.
. 3. Теория производства Числовой пример 2.9.
Предположим, что продавец продает товар х по цене Р = 2, если вы покупаете не X больше 200 единиц товара и по цене Р = 0,5 за каждую единицу товара, купленного X сверх этого количества. Цена товара у постоянна и равна 1.
1. Запишите и покажите бюджетное ограничение потребителя, если его доход равен 500 ден.ед.
2. Возможно ли существование не единственной точки равновесия потребителя в этом случае?
Решение.
1. Поскольку цена товара не является постоянной для потребителя, а зависит от количества купленного товара, то бюджетное ограничение представляет собой ломаную линию. Излом наступает в точке х = 200, поскольку при х 200 Р = 2, но при х > X Р = 0,5.
X Запишем бюджетное ограничение потребителя.
Если х 200, то бюджетная линия имеет вид 500 = 2х + у или у = 500 - 2х.
Если х > 200, то бюджет расходуется следующим образом: 500 = 2200 + 0,5(х - 200) + у или у = 200 - 0,5х.
Объединив эти два уравнения, получим:
у = 500 - 2х, х у = 200 - 0,5х, х > у Е 100 А Е 200 х Рис. 2.17.
2. В ситуации, показанной на рис. 2.17 может существовать не единственное оптимальное решение, т.к. кривая безразличия может иметь две точки касания, соответствующих двум веткам бюджетного ограничения (точки Е1и Е, например).
2.3. Нахождение кривой спроса (влияние цены на изменение величины спроса) Анализ модели потребительского выбора показывает, как при заданных потребительских предпочтениях, доходе и ценах найти количества благ, которые хотел бы купить потребитель. Если менять цену одного блага при прочих неизменных условиях, то мы получим зависимость между ценой данного блага и величиной спроса на него, т.е.
кривую спроса.
Найдем кривую спроса для функции полезности с внутренним оптимумом. В этом случае оптимальный набор должен удовлетворять 2-м условиям:
. 3. Теория производства Р х + Р у = I (1) x y MU PX X MRS = = (2) XY MUY PY х, у > 0 (3) Пусть U(x, y) = xy, тогда получаем Р х + Р у = I (1) x y y PX = (2) x PY х, у > 0 (3) Пусть доход и цена блага у являются неизменными величинами, меняется только цена блага х. Выразим у из уравнения (2) и подставим в уравнение (1):
PX Р х + Р ( х) = I.
x y PY I Отсюда, x =. Полученная зависимость х от Р и есть искомая функция спроса X 2PX на товар х. Аналогично, считая доход и цену блага х заданными постоянными I величинами, можно вычислить функцию спроса на благо у: у =.
2PY Найдем в общем виде функции спрос на блага х и у, если предпочтения потребителя заданы в виде функции Кобба-Дугласа, т.е. U(х, у) = AX Y. Запишем условия оптимального выбора:
Р х + Р у = I (1) X y y PX MRS = = (2) XY x PY х, у > 0 (3) x PX Выразим у из (2)-го уравнения. Получим у =. Подставим это значение в PY I уравнение (1) и найдем функцию спроса на благо х: х =.
( + ) PX I Аналогично найдем у =.
( + ) PY Функции спроса на благо х и на благо у имеют постоянную эластичность по цене, PY равную - 1. Перекрестная эластичность спроса на благо х по цене Р (Е ) равна 0.
y DX PX Аналогично, Е = 0. К примеру, если меняется только цена Р, то изменяется спрос на DY X благо х, потребление блага у остается неизменным.
Допустим, цена на благо х падает (Р, I - const), тогда в оптимальной корзине y потребителя увеличивается количество блага х, но количество блага у остается постоянным. Покажем это на графике.
. 3. Теория производства у у А А у = y Е1 Е Е у Е 2 3 3 А U 2 U U у Е 2 3 2 U1 А1 U у1 Е1 U В1 В В В 2 х1 х х х х = x х 2 Рис. 2.18.
Если падает цена на благо у (Р, I - const), то в оптимальной корзине потребителя не X меняется количество блага х, количество блага у увеличивается.
Используя функции спроса, независимость благ х и у при анализе перекрестной эластичности по цене можно показать на графике следующим образом:
Р DY Р D X y X у = y у х = x х Рис. 2.19.
Найдем эластичность спроса на благо х по доходу:
I ( + ) PX dx I I Е = = = 1.
DX dI x ( + ) PX I I Аналогично, Е = 1.
DY Следовательно, оба блага являются для потребителя нормальными. Далее этот факт будет использован при построении кривой Энгеля.
Числовой пример 2.10.
Пусть U(x, y) = xy. Доход потребителя I = 40, Р = 4. Зададим три цены товара х:
y Р = 4, Р = 2, Р = 1 и для каждого значения цены товара х найдем величину спроса X X X на товар х, используя модель потребительского выбора.
. 3. Теория производства Решение.
y 4 Найдем MU = y, MUY = 4xy и MRS =. Пусть Р = 4. Тогда должны X XY X 4x выполняться условия:
4х + 4у = y = х = 2, у = 4x Если Р = 2, то получим систему:
X 2х + 4у = y = х = 4, у = 4x Если Р = 1, то получим систему:
X 1х + 4у = y = х = 8, у = 4x Покажем найденные точки с помощью кривых безразличия и построим кривую спроса на благо х:
у АВС - линия цена-потребление 8 А В С (в данном примере это прямая, т.к.
потребление блага у остается неизменным) (Р = 4) (Р = 2) (Р = 1) X X X 2 4 8 10 20 40 х Р X 4 А 2 В 1 С D X 2 4 8 х Рис. 2.20.
. 3. Теория производства Зная оптимальный выбор потребителя, найдем в общем виде функцию спроса на благо х. Запишем условия внутреннего оптимума:
Р х + Р у = I X y y PX MRS = = XY 4x PY х, у > I Отсюда, х = (*).
5PX Зная функцию спроса на благо х в общем виде, можно для разных значений цены Р X найти величину спроса и построить кривую спроса, не решая на каждом шаге задачу оптимального выбора.
Убедимся, что найденная зависимость (*) дает те же значения х, что и модель оптимального выбора:
при Р = 4 получаем х = = 2;
X 5 при Р = 2 х = = 4;
X при Р = 1 х = = 8.
X Убедитесь самостоятельно в том, что при заданных потребительских предпочтениях I спрос на благо у имеет вид у =. Следовательно, при фиксированном доходе и цене PY блага у изменение цены блага х не влияет на значение функции спроса на благо у.
Аналогичный вывод справедлив и для функции спроса на благо х.
Рассмотрим нахождение функции спроса, если потребитель может выбрать угловое равновесие. Используем функцию полезности, приведенную в числовом примере 2.8.
Запишем в общем виде условия оптимального выбора:
Р х + Р у = I X y y + 10 PX = или Р х = Р у + 10 Р.
X y y x PY I - 10PY Решим эту систему относительно у. Получим у =.
2PY Данное равенство выражает функцию спроса на благо у (при заданном доходе и изменяющейся цене блага у).
Очевидно, что спрос на благо у будет положительным, если I - 10 Р > 0, отсюда y I Р <.
y I I Когда Р =, потребитель не покупает вообще благо у. Докажем, что при Р > y y 10 потребитель выберет угловое равновесие. Т.к. при угловом равновесии у = 0, то весь I доход потребитель тратит только на благо х, т.е. х =.
PY. 3. Теория производства MU y + 10 X В этом случае для блага х = =.
PX PX PX MUY x I PX Для блага у = =.
PY PY PY MU MUY X Заметьте, что потребитель покупает только благо х, если > или PX PY I PX >. Отсюда получаем, что при угловом равновесии должно выполняться PX PY I I неравенство Р >. Таким образом, если Р >, то потребитель выберет лугловую y y 10 I корзину с координатами х =, у = 0.
PY Таким образом, в общем виде функция спроса на благо у выглядит следующим образом:
I - 10PY I у =, если Р y 2PY I 0, если Р >.
y Пусть I = 10. Зададим несколько значений Р и соответственно у в виде таблицы:
y 2 4 5 10 Р y у 20 7,5 5 0 Покажем функцию спроса на графике:
Р y 5 7,5 20 у Рис. 2.21.
Обратите внимание, что в рассмотренном примере 2.8. при доходе I = 10 была задана цена блага у, равная 2. При этих значениях цены и дохода выполняется неравенство. 3. Теория производства I Р > (2 > ), следовательно, потребитель не купит благо у (у = 0), т.е. выберет y 10 угловое равновесие, что и получено при решении.
2.4. Нахождение кривой Энгеля (влияние дохода на изменение величины спроса) При изменении величины дохода, которым располагает потребитель и постоянных ценах на блага, может изменяться величина спроса, т.е. потребительская корзина. Если PX, PY - неизменные цены товаров х и у, а доход потребителя возрастает, то решая задачу оптимального выбора при каждом заданном значении дохода, можно построить кривую доход-потребление и соответствующую ей кривую Энгеля.
U(x, y) max PX x + PY y = I, I = I1, I, I Е 2 x, y Схематично построение кривой Энгеля выглядит следующим образом (х, у - нормальные блага).
у М кривая доход-потребление М М1N1: I = I С М N : I = I 2 2 у U М N : I = I 3 3 3 3 у В М1 U А у U x1 x N1 x N N x 2 3 2 I Кривая Энгеля для блага х C I I B I1 A x1 x x x 2 Рис. 2.22.
. 3. Теория производства Если по вертикальной оси отложить цену товара х, то возрастание спроса на благо х при росте дохода потребителя можно показать следующим образом:
Р X А В С PX D (I = I ) 3 D (I = I ) 2 D1 (I = I1) x1 x x x 2 Рис. 2.23.
Числовой пример 2.11.
Предпочтения потребителя относительно 2-х благ (Х и Y) таковы, что наклон кривой безразличия всюду равен Ц(у/х), где у - количество товара Y (измеряемого по вертикальной оси), х - количество товара Х (измеряемого по горизонтальной оси).
1. Покажите, что спрос на товар Х не зависит от цены товара Y и что ценовая эластичность спроса на товар Х постоянна и равна - 1.
2. Найдите оптимальный набор и значение MRS в точке равновесия потребителя, XY если Р = 1, Р = 3, доход равен 120 ден.ед.
X y 3. Как выглядит кривая Энгеля для данного товара? Какова эластичность спроса на товар х по доходу?
Решение.
y 1. Поскольку по определению MRS =, то в точке равновесия потребителя должно XY x y PX выполняться равенство =.
x PY Кривая спроса на товар Х может быть найдена из двух условий:
y PX (*) = x PY Р х + Р у = М, где М - денежный доход потребителя.
X y M Отсюда, X =.
2PX. 3. Теория производства dx PX PX По формуле ценовой эластичности Е = получаем DX dPX x M PX 2PX PX Е = - = - 1.
DX 2PX M PX 2. При заданных ценах на товары в точке равновесия потребителя MRS = =.
XY PY Оптимальный набор может быть найден из условий (*) или, что эквивалентно, находим значение х из функции спроса, т.е. х = = 60. Значение у находим из бюджетного 2 M - PX x 120 - ограничения, т.е. у = = = 20.
PY Убедимся еще раз в том, что правильно найдена точка равновесия. Поскольку всегда y должно выполняться условие MRS =, то для х = 60, у = 20 получаем MRS =, XY 0 0 XY x PX что равно отношению цен на товары =. Таким образом, сделав данный выбор, PY потребитель получает максимальную полезность. Поскольку вид функции полезности не известен, то значение полезности не может быть найдено, но при заданных предпочтениях выбор потребителя является оптимальным.
3. Кривая Энгеля показывает зависимость, существующую между доходом потребителя и величиной спроса на товар (при прочих фиксированных условиях). В нашем примере M кривая Энгеля - это прямая линия х = (Р = 1), проходящая через начало координат и X имеющая наклон :
х 120 М Рис. 2.24.
dx M M Эластичность спроса по доходу ищется по формуле Е =.
DX dM x M 2PX M Или Е = = 1. При росте дохода на 1% значение спроса увеличится тоже DX 2PX M на 1%. Проверим этот результат. Итак, пусть Р = 2, М = 120. При увеличении дохода на X M 121, 1% М = 121,2. Соответствующее значение х = = = 60,6. Очевидно, что PX. 3. Теория производства x увеличение спроса х = 0,6 или в относительном выражении = 0,01, т.е. спрос вырос x на 1%, что и требовалось доказать. Обратите внимание на то, что эластичность спроса по доходу не совпадает с наклоном прямой Энгеля. В более общем случае, если прямая Энгеля имеет вид х = kМ, то эластичность спроса по доходу всегда постоянна и равна (наклон кривой Энгеля равен k).
2.5. Эффект дохода и эффект замещения в изменении спроса на товар Рассмотрим подробнее, как изменяется величина спроса на товар, если меняется его цена, а прочие факторы (цены на другие блага, доход) остаются неизменными. В изменении величины спроса выделяют две величины - эффект замещения (замены) и эффект дохода.
Эффект замещения показывает, каким будет изменение величины спроса на данный товар при изменении цены на него, если уровень полезности остается неизменным.
Другими словами, эффект замещения показывает влияние на изменение величины спроса только одного фактора - изменения структуры цен (данный товар может стать относительно других товаров дороже или дешевле).
Эффект дохода показывает, каким будет изменение величины спроса на данный товар при изменении цены на него за счет изменения дохода в реальном выражении (если цена данного товара уменьшилась, то при прочих равных условиях потребитель стал богаче, т.к. выросла покупательная способность неизменного в номинальном выражении дохода;
если, напротив, цена данного товара увеличилась, то реальная покупательная способность дохода уменьшилась).
Существует два подхода к нахождению эффекта дохода и эффекта замены - метод Хикса и метод Слуцкого.
Рассмотрим метод Хикса по шагам в общем виде, допустив, что меняется только цена блага х (цена блага у и доход потребителя остаются неизменными).
Шаг 1. Найдем исходную потребительскую корзину, т.е. решим задачу оптимального выбора при первоначальной цене блага х - Р :
X U(x, y) max (1.1) (1) Р x + PY y = I (2.1) X x, y 0 (3.1) Обозначим исходный оптимум как Е1, х1 - количество блага х в оптимальной корзине, достигнутый уровень полезности - U1.
Шаг 2. Найдем итоговую потребительскую корзину, т.е. решим задачу оптимального выбора, если цена блага х изменилась и стала равна Р :
X U(x, y) max (1.2) (2) Р x + PY y = I (2.2) X x, y 0 (3.2). 3. Теория производства Обозначим окончательный выбор потребителя при изменении цены блага х как Е с соответствующим количеством блага х = х, достигнутый уровень полезности - U.
2 Таким образом, изменение величины спроса при изменении цены составляет х = (х - х1).
Шаг 3. Чтобы разложить изменение величины спроса на эффект замены и эффект дохода, найдем промежуточную потребительскую корзину при условии, что новый уровень цен позволяет обеспечить исходный уровень полезности. Другими словами, при новом соотношении цен найдем бюджетное ограничение, которое касается первоначальной кривой безразличия U = U1. Потребитель, таким образом, оптимизирует доход, который позволяет при новом соотношении цен обеспечить исходный уровень полезности:
I = (Р x + PY y) ext*) (1.3) X (3) U(x, y) = U1, где U1 - уровень полезности, найденный в задаче (1) (2.3) x, y 0 (3.3) Поскольку мы ищем точку касания нового бюджетного ограничения и исходной кривой безразличия, то оптимизационная задача (3) эквивалентна следующей задаче (3):
PX MU X MRS = = (1.3) XY MUY PY U(x, y) = U1(E1) (2.3) x, y 0 (3.3) Обозначим найденный оптимум и соответствующую потребительскую корзину как Е, х 3 - промежуточное значение величины спроса на благо х.
Дадим графическую интерпретацию метода Хикса для случая, когда х является нормальным благом и цена блага х снижается. Итак, пусть Р < Р.
X X у A Шаг 1. Нахождение исходного оптимума у1 Е1 Р = Р ;
Е1 - исходная корзина;
X X U = U1- исходный уровень полезности.
U PX наклон бюджетного ограничения АB1 = - PY x1 B1 x *) Если Р < Р, то на данном шаге для обеспечения исходного уровня полезности потребителю X X потребуется меньший доход, чем у него есть в действительности. Если Р > Р, то для достижения X X исходного уровня полезности потребителю, напротив, потребуется больший доход, чем тот, которым он располагает.
. 3. Теория производства у А Шаг 2. Нахождение окончательного оптимума Е1 Е Р = Р, Р < Р.
2 X X X X 2 U1 U Е - итоговая потребительская корзина, 2 U = U - достигнутый уровень полезности PX PX 1 наклон = - наклон = = - PY PY x1 x B1 B x 2 у А Шаг 3. Разложение изменения величины С Е1 Е U спроса 2 Е E - промежуточный оптимум, Р = Р 3 3 X X PX U1 наклон = = - PY PX PX 1 наклон = - наклон = = - PY PY x1 х x B1 B х 3 2 ЭЗ = х - x ЭД = x - х 2 х = x - x1 = ЭЗ + ЭД Рис.2.25. Разложение по Хиксу Метод Слуцкого на 1-м и 2-м шагах аналогичен методу Хикса. На 3-м шаге для разложения изменения величины спроса на эффект замены и ээфект дохода нужно найти промежуточную потребительскую корзину при условии, что новый уровень цен позволяет обеспечить исходную структуру потребления. Другими словами, при новом соотношении цен и бюджетном ограничении, проходящем через исходную оптимальную потребительскую корзину, потребитель ищет набор благ, при котором уровень полезности достигает максимума.
Запишем оптимизационную задачу, решаемую на 3-м шаге, в общем виде.
U(x, y) max (1.3) (3) Р x + PY y = I, где I = Р x1 + PY у1 (2.3) X X 2 x, y 0 (3.3). 3. Теория производства Графическая интерпретация метода Слуцкого.
у A Шаг 1. Нахождение исходного оптимума у1 Е1 Р = Р ;
Е1 - исходная корзина;
X X U = U1- исходный уровень полезности.
U PX наклон бюджетного ограничения АB1 = - PY x1 B1 x у Шаг 2. Нахождение окончательного оптимума Е1 Е Р = Р, Р < Р.
2 X X X X 2 U1 U Е - итоговая потребительская корзина, 2 U = U - достигнутый уровень полезности PX PX 1 наклон = - наклон = = - PY PY x1 x B1 B x 2 у Шаг 3. Разложение изменения величины Е1 Е U спроса 2 Е U E - промежуточный оптимум, Р = Р 3 3 3 X X PX U1 наклон = = - PY PX PX 1 наклон = - наклон = = - PY PY x1 х x B1 B х 3 2 ЭЗ = х - x ЭД = x - х 2 х = x - x1 = ЭЗ + ЭД Рис. 2.26. Разложение по Слуцкому Обратите внимание на то, что при разложении по методу Слуцкого на 3-м шаге потребитель должен иметь доход, который при новых ценах обеспечивает исходную структуру потребления, а не исходный уровень полезности как в методе Хикса. Это позволяет потребителю получить уровень полезности, отличающийся от исходного. В нашем примере при снижении цены на благо х на 3-м шаге U = U(Е ) > U1= U(Е1). При 3 разложении по методу Хикса U = U(Е ) = U1= U(Е1).
3 Поясним экономический смысл разложения на эффект замещения и эффект дохода, используя метод Хикса и рис. 2.25.
. 3. Теория производства Когда цена на товар х снизилась с Р до Р, потребитель увеличил количество X1 X товара х в потребительской корзине с x1 до х при прежнем уровне полезности (Е1 U1, Е U1). Следовательно, данное увеличение спроса на товар вызвано только изменением соотношения цен на блага х и у, т.е. вызвано эффектом замещения - потребитель движется вдоль исходной кривой безразличия, замещая в корзине товар у подешевевшим товаром х. Поскольку товар х является нормальным, то эффект дохода также ведет к увеличению спроса на него. В итоге потребитель перемещается на более высокую кривую безразличия U и увеличивает спрос на товар х до величины x. Таким образом, когда 2 благо является нормальным, ЭЗ и ЭД усиливают друг друга. В этом случае кривая спроса на благо имеет отрицательный наклон: при снижении цены с Р до Р величина спроса X1 X выросла с x1 до x.
Аналогичные рассуждения справедливы для ситуации, когда цена на нормальное благо растет. В этом случае ЭЗ вызывает снижение спроса на благо х, т.к. он стал относительно дороже и вытесняется из потребительской корзины товаром у. В этом же направлении действует и ЭД, т.к. повышение цены на благо х вызывает снижение уровня полезности и сокращение спроса на благо х.
Подобное разложение уменьшения величины спроса на товар при изменении цены на него можно сделать также для низших товаров и товаров Гиффена*).
Если благо х является низшим и/или товаром Гиффена, то ЭЗ и ЭД действуют в разных направлениях, причем для низших благ ЭЗ превышает ЭД (по модулю), а для низших благ, являющихся в то же время товарами Гиффена, ЭЗ меньше ЭД (по модулю).
В результате кривая спроса на низшее благо имеет отрицательный наклон, а кривая спроса на товар Гиффена - положительный наклон (закон спроса нарушается).
Покажем разложение по Хиксу для низшего блага и товара Гиффена графически (цена блага х снижается).
у Е U 2 Е PX Е U1 наклон = = - PY PX наклон = - PY x1 x х х 2 ЭЗ = х - x ЭД = x - х 2 х = ЭЗ + ЭД = х - x1 + x - х = x - x1;
|ЭЗ| > |ЭД| 3 2 3 Рис. 2.27. Разложение по Хиксу для низшего товара *) Товаром Гиффена называют благо, функция спроса на которое имеет положительный наклон. Обычно это низший товар, расходы на который занимают большой удельный вес в бюджете потребителя.
Нестандартный наклон функции спроса на благо Гиффена объясняется тем, что для таких товаров эффект дохода превышает эффект замены.
. 3. Теория производства у Е U 2 Е PX Е U1 наклон = = - PY PX наклон = - PY x x1 х х 2 ЭЗ = х - x ЭД = x - х 2 х = ЭЗ + ЭД = х - x1 + x - х = x - x1;
|ЭЗ| < |ЭД| 3 2 3 Рис. 2.28. Разложение по Хиксу для товара Гиффена Различные случаи разложения на эффект замещения и эффект дохода сведем в таблицы.
Цена на благо х снижается Таблица 2.1.
Вид товара ЭЗ ЭД Соотношение ЭЗ и ЭД х Нормальный > 0 > 0 Усиливают друг друга > Низший > 0 < 0 |ЭЗ| > |ЭД| > Гиффена > 0 < 0 |ЭЗ| < |ЭД| < Цена на благо х растет Таблица 2.2.
Вид товара ЭЗ ЭД Соотношение ЭЗ и ЭД х Нормальный < 0 < 0 Усиливают друг друга < Низший < 0 > 0 |ЭЗ| > |ЭД| < Гиффена < 0 > 0 |ЭЗ| < |ЭД| > Заметим, кстати, что существуют товары, которые нельзя отнести ни к нормальным, ни к низшим: это такие блага, спрос на которые не зависит от дохода. Эластичность спроса по доходу для таких благ равна нулю. В этом случае при разложении спроса эффект дохода равен нулю и общее изменение спроса при изменении цены товара совпадает с эффектом замещения. Покажем этот частный случай на графике.
у Е1 Е U 2 PX Е U1 наклон = - PY PX наклон = - PY x1 х = x х 3 Рис. 2.29.
. 3. Теория производства Как видно из рис. 2.29, при снижении цены на товар х с Р до Р эффект замены X1 X ведет к увеличению спроса с x1 до х. Но товар не является ни нормальным благом, ни низшим, поэтому, хотя снижение цены позволяет потребителю перейти на более высокую кривую безразличия U, ЭД равен нулю, а значение x совпадает с х. Следовательно, х 2 2 = х - x = ЭЗ. При этом кривая спроса на такой товар имеет отрицательный наклон: при 3 снижении цены величина спроса на товар растет.
Рассмотрим числовой пример разложения спроса по шагам по методу Хикса и по методу Слуцкого.
Числовой пример 2.12.
Функция полезности имеет вид U(x, y) = xy. Доход потребителя составляет 72 ден.ед.
Допустим, цена блага у равна 1 ден.ед., первоначальная цена товара х составляла Р = X ден.ед. Найдем эффект дохода и эффект замещения в изменении величины спроса на благо х, ели его цена выросла и составляет Р = 9 ден.ед. Сравним разложение по Хиксу X и по Слуцкому.
Решение.
Метод Хикса Шаг 1.
Найдем исходную оптимальную корзину потребителя (Е1), т.е. решим следующую задачу:
U(x, y) = xy max 4x + y = x, y Она эквивалентна следующим условиям:
MU y X MRS = = = XY MUY x 4x + y = x, y Отсюда получаем координаты исходного оптимального набора Е1: х = 9;
у = 36;
1 U1 = U(х 1, у 1) = 324.
Шаг 2.
Найдем итоговый (окончательный) потребительский набор (Е ), когда Р = Р = 9:
2 X X U(x, y) = xy max 9x + y = x, y или y = x 9x + y = x, y Отсюда, Е : х = 4;
у = 36;
U = U(х, у ) = 144.
2 2 2 2 2. 3. Теория производства Шаг 3.
Найдем промежуточный оптимум потребителя при условии, что уровень полезности, несмотря на повышение цены блага х, остался прежним. Промежуточный набор благ должен удовлетворять следующим условиям:
MU y X MRS = = = XY MUY x U (x, y) = xy = x, y Отсюда найдем координаты промежуточного набора Е : х = 6;
у = 54;
3 3 U ( х, у ) = 324.
3 3 Обратите внимание, что для разложения спроса по методу Хикса мы ищем оптимальный набор, который при новой цене на благо х обеспечивает потребителю исходный уровень полезности.
Таким образом, в результате увеличения цены блага х величина спроса на благо х уменьшилась с 9 до 4, т.е. х = x - x1 = - 5. В данном изменении спроса эффект замещения (с учетом знака) составил ЭЗ = х - x1 = 6 - 9 = -3. Эффект дохода (с учетом знака) составил ЭД = х - х = 4 - 6 = -2. Покажем это решение на графике.
2 у 54 Е 36 Е Е U1 = U = ЭД ЭЗ наклон = -4/ наклон = -9/ 8 х х х1 х 2 Рис 2.30.
Метод Слуцкого Шаг 1 и шаг 2 в методе Слуцкого не отличаются от метода Хикса. Поэтому сразу перейдем к шагу 3. Найдем доход I, который необходим потребителю, чтобы обеспечить исходную структуру потребления (исходный набор благ) при новой цене на благо х:
I = Р х1 + РY у1 = 99 + 136 = 117. Решаем оптимизационную задачу:
X U(x, y) = xy max 9x + y = x, y или, что эквивалентно:
. 3. Теория производства y MRS = = XY x 9x + y = x, y Отсюда получаем координаты промежуточной точки Е : х = 6,5;
у = 58,5.
3 3 ЭЗ = 6,5 - 9 = -2,5;
ЭД = 4 - 6,5 = -2,5.
Найдем уровень полезности, который обеспечивает данный потребительский набор:
U = х у = 380,25. Обратите внимание, что это значение соответствует более высокой 3 3 кривой безразличия, чем U1 = 324.
Покажем метод Слуцкого на графике.
у 58,5 Е U = 380, 36 Е Е U1 = U = ЭД ЭЗ наклон = -4/ наклон = -9/ х х х1 х 2 Рис 2.31.
Поскольку методы Хикса и Слуцкого отличаются друг от друга на этапе разложения, то итоговое изменение спроса на благо при изменении цены на него получается одинаковым. Различия только в координатах промежуточной корзины, соответственно - в численных значениях эффекта замещения и эффекта дохода, но эти различия не являются существенными.
Как было показано ранее, зная предпочтения потребителя, можно вычислить функцию спроса в общем виде. В частности, мы получили, что функции полезности I U(x, y) = xy соответствует функция спроса на благо х вида х = и функция спроса на 2PX I благо у вида у =. Если известна функция спроса на благо, разложение изменения 2PY спроса на ЭД и ЭЗ при использовании метода Слуцкого значительно упрощается.
Обратимся к примеру 2.12. На 1-м шаге, зная I = 72, РY = 1 и Р = 4, находим х1 = X 2 I - PX x = 9. Соответственно, у1 = = 36 (или, что то же самое, у1 = ).
2 1 PY. 3. Теория производства На 2-м шаге, при I = 72, РY = 1 и Р = 9, получаем х = = 4;
у = 36.
X 2 2 На 3-м шаге находим вначале доход, который позволяет потребителю при новой цене на благо х обеспечить исходную структуру потребления:
I = Р х1 + РY у1 = 99 + 136 = =117. При данном доходе и цене Р = 9 спрос на благо X X 2 117 х был бы х = = 6,5 (у = = = 58,5).
3 2 9 Отсюда, ЭЗ = 6,5 - 9 = -2,5;
ЭД = 4 - 6,5 = -2,5. Общее изменение спроса на благо х при увеличении цены на него составило -5, т.е. спрос сократился на 5 ед., что подтверждает ответ, полученный в числовом примере.
Суммируем полученные результаты в таблице 2.3 и 2.4.
Метод Хикса Таблица 2.3.
корзина х у U = ху Бюджет MU y PX X = = потребителя MUY x PY Р х + РY у X 9 36 324 36 4 49 + 136 = Е = 9 4 36 144 36 9 94 + 136 = Е = 4 6 54 324 54 9 96 + 154 = Е = 6 Метод Слуцкого Таблица 2.4.
корзина х у U = ху Бюджет потребителя MU y PX X = = Р х + РY у X MUY x PY 9 36 324 36 4 49 + 136 = Е = 9 4 36 144 36 9 94 + 136 = Е = 4 6,5 58,5 380,25 58,5 9 96,5 + 158,5 = Е = 6,5 Рассмотрим разложение изменения спроса на ЭЗ и ЭД, если функция полезности является квазилинейной. Напомним, что о такой функции речь шла в примере 2.7.
Числовой пример 2.13.
Функция полезности потребителя U(x, y) = 2 x + y, где х Цданное благо, у - все другие блага. Допустим, бюджет потребителя I = 10, Р = 0,5, РY = 1.
X Как изменится спрос на благо х, если при прочих неизменных условиях его цена упадет до 0,2 ден.ед.?
Чему равен ЭЗ и ЭД в изменении спроса на благо х?
Решение.
1 PX 1. При внутреннем оптимуме MRS = = = Р. (РY = 1).
XY PY X x. 3. Теория производства 1 Поэтому функция спроса на благо х имеет вид х = = = 4. При заданном (PX )2 (0,5) бюджетном ограничении 0,5х + у = 10 оптимальный набор составит х 1 = 4;
у 1 = 8;
U1(х 1, у 1) = 2 4 + 8 = 12. Итак, исходный оптимальный набор Е1( х 1 = 4;
у 1 = 8).
2. Воспользуемся функцией спроса на благо х и найдем величину спроса при Р = 0,2.
X Очевидно, х = 25. Следовательно, у = 10 - 0,225 = 5;
U = 2 25 + 5 = 15.
2 2 Итак, х = х - х 1 = 21.
3. Для разложения спроса по методу Хикса нужно решить систему уравнений:
1 1 = = PX 0, x 2 x + y = U1(х 1, у 1) = 12 х = 25, у = 2.
3 Поскольку х = х = 25, то эффект дохода равен нулю. Изменение в величине спроса 3 х = 21 вызвано только эффектом замещения. Полученный нами результат является очевидным, если учесть, что функция спроса на благо х, соответствующая квазилинейной функции полезности общего вида U(x, y) = v(x) + by, не зависит от величины дохода.
Аналогично, для функции полезности U(x, y) = ax + w(y) функция спроса на благо у не зависит от величины дохода.
Покажем решение на графике.
у 8 Е Е 5 U = Е U1 = 4 20 25 х ЭЗ ЭД = Рис.2. Полученные числовые значения занесем в таблицу:
корзина х у Бюджет 1 PX U = 2 x + y MRS = = XY Р х + РY у X PY x 4 8 12 1 0,5 0,54 + 18 = Е = 25 5 15 1 0,2 0,225 + 15 = Е = 25 2 12 1 0,2 0,225 + 12 = Е =. 3. Теория производства В отличие от взаимозаменяемых благ, для взаимодополняемых благ при разложении спроса эффект замещения равен 0, поэтому изменение величины спроса определяется эффектом дохода. Покажем графически разложение спроса для функции полезности вида U(x, y) = {ax, by}, воспользовавшись методом Слуцкого. Пусть Р < Р.
X X у ax у = b А Е Е1 - исходный оптимум Е - конечный оптимум Е1= Е PX PX 1 наклон = - наклон = - PY PY x1 x B1 х ЭД, ЭЗ = Рис.2.33.
2.6. Компенсирующее и эквивалентное изменение дохода Разложение изменения величины спроса на товар при изменении цены на эффект замещения и эффект дохода позволяет ответить на вопрос, какой денежной суммой потребитель оценил бы изменение цены на товар? Допустим, цена товара увеличилась с Р1 до Р. Тогда, чтобы определить размер компенсирующего изменения дохода, нужно ответить на вопрос: какую денежную сумму нужно вернуть потребителю после увеличения цены, чтобы его уровень полезности сохранился на прежнем (исходном) уровне, каким он был до увеличения цены? Эквивалентное изменение дохода отвечает на вопрос: от какой денежной суммы должен отказаться потребитель прежде, чем цена увеличится, чтобы обеспечить уровень полезности, который будет после изменения (в нашем случае увеличения) цены?
у J эквивалентное наклон = - Р X изменение, JK К Е компенсирующее А изменение, KL L С U наклон = - Р 2 X В U наклон = - Р X ЭЗ ЭД Рис. 2.34.
. 3. Теория производства Покажем компенсирующее и эквивалентное изменение дохода на графике для стандартной функции полезности (рис. 2.34). Пусть х - нормальное благо, цена на него снижается, допустим РY = 1, Р > Р. Воспользуемся разложением по методу Хикса.
X1 X Для нормального блага х ЭЗ> 0, ЭД > 0. Это означает, что т. С лежит правее т.В, а т.Е лежит правее т.А. Отрезок KL показывает компенсирующую величину дохода, т.е. на эту сумму следует уменьшить денежный доход потребителя, чтобы после снижения цены на товар х его уровень полезности остался прежним. Для нахождения компенсирующего изменения дохода следует провести бюджетное ограничение при новой структуре цен, касающееся исходной кривой безразличия. Отрезок JK показывает эквивалентное изменение дохода, т.е. на эту сумму следовало бы увеличить доход потребителя, чтобы до снижения цены на благо х при старой структуре цен потребитель смог бы обеспечить итоговый уровень полезности. Для нахождения эквивалентного изменения дохода следует провести бюджетное ограничение при старой структуре цен, касающееся итоговой кривой безразличия.
При наличии положительного эффекта дохода отрезок JK > отрезка KL, т.е.
эквивалентное изменение дохода оказывается больше, чем компенсирующее изменение дохода. Для квазилинейных предпочтений, как мы видели, ЭД равен нулю. Поэтому эквивалентное и компенсирующее изменение дохода равны друг другу, как показано на рис. 2.35.
у J Е эквивалентное наклон = - Р X изменение, JK К А компенсирующее С изменение, KL L U наклон = - Р 2 X В U О ЭЗ ЭД = 0 х Рис. 2.35.
Компенсирующее изменение дохода KL равно эквивалентному изменению JK.
Графически компенсирующее и эквивалентное изменение дохода есть просто два различных способа измерить расстояние между исходной и итоговой кривой безразличия.
Если РY = 1, то отрезок ОК измеряет величину дохода. Отрезок OL измеряет расходы, которые необходимы, чтобы купить потребительскую корзину В при новой цене на благо х и прежнем уровне жизни (U1). Поскольку цена на благо х снизилась, то потребитель готов к сокращению дохода в размере KL. Отрезок OJ измеряет расходы, которые несет потребитель, чтобы купить набор Е при старой цене на благо х, оставаясь при этом на итоговой кривой безразличия (U ). Следовательно, потребителю потребуется дополнительный или эквивалентный доход в размере JK, чтобы при старой цене обеспечить новый уровень жизни.
Рассмотрим численный пример нахождения компенсирующего и эквивалентного изменения дохода.
. 3. Теория производства Числовой пример 2.14.
U(x, y) = xy. I = 72, PY = 1, Р = 4, Р = 9.
X1 X Чему равно компенсирующее и эквивалентное изменение дохода, вызванное ростом цены на благо х?
Решение.
Воспользуемся результатами решения аналогичной задачи, представленной в примере 2.12.
Исходный оптимум потребителя представлен корзиной Е1:
х 1 = 9;
у 1 = 36;
U1(х 1, у 1) = 324.
Итоговый оптимум потребителя представлен корзиной Е :
х = 4;
у = 36;
U (х, у ) = 144.
2 2 2 2 При разложении по методу Хикса на 3-м шаге мы нашли оптимальную корзину, которая обеспечивает потребителю исходный уровень полезности при новой цене на благо х:
Е ( х = 6;
у = 54);
U ( х, у ) = U1(х 1, у 1) = 324.
3 3 3 3 3 Какая денежная сумма необходима потребителю, чтобы купить набор Е ?
Очевидно, I = Р х + PY у = 96 + 154 = 108 (см. таблицу 3). Следовательно, X 3 компенсирующее изменение дохода составит I - I = 108 - 72 = 36. Именно на такую денежную сумму нужно увеличить доход потребителя, чтобы при новой цене на благо х он смог обеспечить первоначальный уровень жизни.
Для определения эквивалентного изменения дохода найдем потребительскую корзину, которую выбрал бы потребитель при прежней цене на благо х, чтобы достичь итоговый уровень полезности, равный U = 144. Эта задача эквивалентна следующим условиям:
y MRS = = XY x U ( х, у) = xy = Получаем новую т. Е с координатами х = 6;
у = 24.
4 4 Какой денежный доход необходимо иметь потребителю, чтобы при старой цене на благо х достичь уровня полезности U = 144?
I = Р х + PY у = 46 + 124 = 48.
X1 4 Следовательно, эквивалентное изменение дохода составит I - I = 72 - 48 = 24. Именно на такую сумму можно сократить доход потребителя при неизменной цене на благо х, чтобы его уровень полезности оказался равным итоговому значению.
Обратите внимание на то, что в общем случае компенсирующее изменение и эквивалентное изменение не равны между собой. Их различие тем меньше, чем меньше эффект дохода.
2.7. Построение рыночной кривой спроса Зная индивидуальные кривые спроса, можно построить рыночную кривую спроса.
Общее правило: рыночная кривая спроса есть горизонтальная сумма функций спроса индивидуальных потребителей.
Числовой пример 2.15.
1. Найдите алгебраическое выражение для рыночной кривой спроса, если известны кривые спроса на двух рыночных сегментах:
35 - 0,25P, если Р Q = 0, если Р > b. 3. Теория производства 120 - 1,5Р, если Р Q = 0, если Р > v 2. Найдите выигрыш потребителей при Р = 60 для каждого рыночного сегмента и для всей рыночной кривой спроса.
Решение.
1. Покажем на графике кривую спроса для отдельных сегментов:
Р Р 140 D b 80 D v 15 35 Q 120 Q Рис. 2.36.
Найдем рыночную кривую спроса, суммируя индивидуальные кривые спроса по горизонтали:
Q = 155 - 1,75P, 0 Р DD: Q = 35 - 0,25P, 80 < Р Q = 0, Р > 2. При Р = 60, Q = 20, Q = b v ВП = 20(140 - 60) = b ВП = 3020 = v ВП = Q = 155 - 1,7560 = ВП = 6015 + (15 + 50)20 = 450 + 650 = Р 140 D D 15 50 155 Q Рис. 2.37.
. 3. Теория производства Теория производства и издержек 3.1. Понятие производственной функции Производственные ресурсы, такие как рабочая сила, капитал, используемые фирмой для производства товаров и услуг, называются факторами производства. Фирма может использовать различные комбинации факторов для производства заданного объема продукции.
Производственная функция есть математическое представление различных технологических способов, из которых фирма может выбирать для производства продукции. Производственная функция характеризует максимальный выпуск продукции при заданных количествах используемых факторов производства.
Для двух факторов производства - рабочей силы (труда, L) и капитала (К) - производственную функцию можно записать следующим образом: Q = f(L, K).
Покажем на графике в общем виде производственную функцию, если фирма использует только один ресурс - труд.
Q Q D D Q = f(L) Q C C Q B B Q A A L = L L = L L C A D B Рис. 3.1.
В точках С и D фирма использует технически эффективные способы производства, т.к. она производит максимально возможное количество продукции при заданном количестве труда.
В точках А и В фирма работает технически неэффективно, т.к. она не получает максимально возможное количество продукции.
Зная функцию Q = f(L), можно найти обратную функцию L = g(Q), которая характеризует минимальное количество труда, необходимое для производства выпуска Q.
Производственные функции, зависящие от одного производственного фактора (например, труда), называют функциями общего выпуска - ТР или общего продукта, т.е.
Q = f(L) = TP, Q = (K) = TP и т.п.
L K Главными характеристиками производственной функции Q = f(L) являются средний (АР ) и предельный (МР ) продукт:
L L TPL Q АР = = L L L TPL dQ МР = = L L dL. 3. Теория производства TPK TPK Аналогично, АР = ;
МР = и т.п.
K K K K Взаимосвязь общего, среднего и предельного продукта какого-либо фактора производства определяется действием закона убывающей предельной отдачи фактора производства. Согласно этому закону, если используемое количество какого-либо ресурса (например, труда) увеличивается при неизменных количествах других ресурсов (капитала, земли), то с определенного момента предельная отдача этого ресурса начнет сокращаться.
С учетом действия закона убывающей отдачи для производственной функции одной переменной Q = f(L) кривые TP, АP и МP показаны на рис. 3.2.
L L L Q, N TP F J L M B TP L предельный продукт в т. L F равен наклону линии MN средний продукт G в т. L равен наклону луча ОА A 0 L L1 L L L L 0 2 F АP, L МP L G B AP(L ) A MP(L ) F АP F L J 0 L L1 L L L L 0 2 F МP L Рис. 3.2.
Предельный продукт труда в любой точке измеряется наклоном касательной (тангенсом угла наклона) к линии TP. Средний продукт труда измеряется наклоном луча, L проведенного из начала координат к соответствующей точке графика TP.
L. 3. Теория производства На рис. 3.2 кривая TP имеет так называемую S-образную форму, что объясняется L переходом от возрастающей предельной отдачи труда (на участке 0 L L1) к убывающей предельной отдаче (на участке L > L1).
Вначале вовлечение в производство дополнительной единицы труда приводит к росту предельного продукта, но, начиная с некоторого момента (на рис. 3.2 это L = L1), предельная отдача труда снижается. Таким образом, можно выделить 3 сегмента в изменении предельного продукта:
1. МP возрастает (0 L L1);
L 2. МP уменьшается, но при этом МP > 0 (L1 < L < L );
L L 3. МP уменьшается, но при этом МP < 0 (L > L ).
L L В т. L = L1 функция МP достигает своего максимума. Соответственно кривая ТP, L L оставаясь возрастающей, в т. L = L1 меняет свою кривизну. При L = L МP = 0, 3 L следовательно, значение ТP достигает своего максимума.
L При выборе способа производства фирма должна учитывать изменение не только предельного продукта, но и изменение среднего продукта. По характеру взаимосвязи среднего и предельного продуктов выделяют 3 стадии производства:
1. МP > AP, функция AP возрастает;
на рис. 3.2 этой стадии соответствует L L L участок 0 L L ;
2. МP < AP, функция AP убывает, но при этом МP > 0;
на рис. 3.2 этой стадии L L L L соответствует участок L < L < L ;
2 3. МP < AP, функция AP убывает, но при этом МP < 0;
на рис. 3.2 этой стадии L L L L соответствует участок L > L.
Очевидно, фирме выходить за пределы 2-й стадии не имеет экономического смысла.
Очевидно также, что в т. L = L средний продукт достигает своего максимального значения.
Таким образом, кривые среднего и предельного продукта пересекаются в точке максимума среднего продукта.
Математически это положение можно доказать, найдя производную среднего продукта и приравняв ее нулю.
dTPL L - TPL TPL dAPL dL Поскольку АР =, то = = 0.
L L dL L dTPL TPL Отсюда, = или МР = АР, что и требовалось доказать.
L L dL L Рассмотрим теперь производственную функцию как функцию двух факторов производства, причем эти факторы являются взаимозаменяемыми: Q = f(L, K).
Тогда Q АР = | L K -const L Q Q MP = | или MP = ;
L K -const L L L Q АР = | K L -const K. 3. Теория производства Q Q МР = | или МР =.
K L -const K K K 3.2. Изокванты. Предельная норма технического замещения.
Термин лизокванта означает одинаковое количество продукции, т.е. изокванте принадлежат любые комбинации труда и капитала, которые позволяют фирме производить то же самое количество продукции.
При фиксированном Q производственной функции Q = f(L, K) соответствует определенная изокванта.
Изокванта - это кривая безразличия для производственной функции. Семейство изоквант показано на рис. 3. К А В Q Q Q L Рис.3.3.
Важнейшая характеристика изокванты - предельная норма технического замещения или MRTS.
Если отложить труд (L) по горизонтали, капитал (К) по вертикали, то K dK MRTS = - | или MRTS = -, где К = (L, Q).
LK Q - const LK L dL Здесь Q - фиксированный выпуск продукции.
MRTS по своему экономическому содержанию аналогична MRS, LK XY рассматриваемой в теории потребительского выбора.
MRTS - это норма, в которой количество капитала может быть уменьшено при LK увеличении количества труда на 1 единицу, при этом выпуск продукции остается неизменным.
MRTS можно также определить как норму, в которой количество капитала может LK быть увеличено при уменьшении количества труда на 1 единицу при неизменности объема выпускаемой продукции.
Поскольку при движении вдоль изокванты количество произведенной продукции не меняется, то справедливо равенство LMP + KМР = Q = 0. Отсюда, L K MPL K MRTS = - = LK L MPK Геометрически MRTS равна тангенсу угла наклона касательной, например LK MRTS (А) = tg, MRTS (B) = tg (рис. 3.3).
LK LK При движении вдоль изокванты сверху вниз MRTS убывает, или, что LK эквивалентно, изокванта является выпуклой к началу координат. Убывание предельной. 3. Теория производства нормы технического замещения связано с законом убывающей предельной отдачи, т.к.
именно этот закон определяет изменение величин MP и МР при изменении L и К.
L K Эластичность замещения Эластичность замещения () измеряет, как быстро предельная норам технического замещения капитала трудом (MRTS ) изменяется при движении вдоль изокванты.
LK При движении вдоль изокванты сверху вниз изменяется соотношение (K/L), причем оно падает. Поэтому можно найти процентное изменение в соотношении (K/L), приходящееся на каждый процент изменения величины MRTS при движении вдоль LK изокванты.
Эластичность замещения (), таким образом, может быть рассчитана по формуле:
d(K/L) %(K/L) K/L = =.
dMRTSLK %MRTSLK MRTSLK Очевидно, 0.
Если замещение капитала трудом осуществляется трудно (с технической точки зрения), тогда процентное изменение в MRTS при движении вдоль изокванты будет LK значительным и величина будет близка к нулю.
Если замещение капитала трудом осуществляется легко, то процентное изменение в MRTS будет незначительным и величина будет большой.
LK Можно сказать, что коэффициент определяет меру кривизны изокванты.
К К Q = 1 млн.ед.
А А 50 45 В Q = 1 млн.ед.
20 В 0 100 400 L 0 100 400 L (а) (б) Рис. 3.4.
На рис 3.4 (а) фирма имеет ограниченные возможности замещения капитала трудом, MRTS изменяется заметно при движении вдоль изокванты;
изокванта имеет L - LK образную форму.
На рис. 3.4 (б) фирма обладает широкими возможностями для замещения одного фактора производства другим, MRTS изменяется незначительно при движении вдоль LK изокванты.
Числовой пример 3.1.
Задана производственная функция Q = L + K.
Чему равна эластичность замещения труда капиталом?
. 3. Теория производства Решение.
Найдем MRTS.
LK MP =, L 2 L MP =.
K 2 K Запишем значение следующим образом:
K d( ) MRTSLK L =.
K dMRTSLK L K Обратите внимание, что отношение рассматривается как функция от величины L K MRTS. Если ввести упрощающие обозначения MRTS = х, = у, то у = х и LK LK L K K K d( ) K L L L = 2. Следовательно, = = 2.
K dMRTSLK L L Рассмотрим наиболее часто встречающиеся при решении задач производственные функции и их свойства1.
a1 a 1. Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид Q = bL K, где b, а1, а - постоянные положительные числа.
Предельный продукт факторов производства:
2 Q Ka La Q a2 a1 - МР = = bK а1L = b а1 = а1 = а1AP.
L L L L L Аналогично МР = а АР.
K 2 K Предельная норма замещения факторов производства:
MPL a K MRTS = =.
LK MPK a L При движении вдоль изокванты (увеличение L и сокращение К) величина MRTS LK убывает, что определяет стандартный вид изоквант, соответствующих данной производственной функции (см. рис. 3.3).
Эластичность замещения:
K a K K d( ) ( ) d(K/L) d ( ) ( ) L a K/L L L = = = = 1.
dMRTSLK a1 K a1 K a1 K MRTSLK d (a ) (a ) (a ) d( L ) L L 2 2 2. Производственные функции являются прямыми вида Q = aL + bK, где а, b > 0.
Такие производственные функции отражают совершенную взаимозаменяемость факторов производства (рис. 3.5).
Очевидно, что МР = const = a, MP = const = b.
L K Здесь рассматриваются не все свойства производственных функций. В частности, отдача от масштаба определяется далее.
. 3. Теория производства MRTS = const = a/b.
LK Для таких производственных факторов эластичность замещения =.
K Q1 Q Q 2 0 L Рис. 3.5. Производственные факторы - совершенные заменители 3. Производственные факторы дополняют друг друга и соотношение между ними строго фиксировано. Тогда Q = min{aL, bK}* Карта изоквант имеет вид:
К Q1 Q Q 2 C B K K1 A 0 L1 L L Рис. 3.6. Производственные функции с фиксированной структурой используемых факторов K1 K a В любой точке А, В, С Е выполняется равенство aL = bK, поэтому = = Е =.
L1 L2 b Для данной производственной функции эластичность замещения = 0.
* Производственную функцию с фиксированной структурой факторов называют также функцией Леонтьева.
Американский экономист Василий Леонтьев использовал такие функции при моделировании межотраслевых связей в народном хозяйстве.
. 3. Теория производства 4. Если в производстве используется несколько способов, каждый из которых имеет определенную фиксированную структуру факторов, то получим семейство изоквант, показанных на рис. 3.7.
К Q Q A Q A B 2 B A1 C B1 C C L Рис. 3.7.
Каждая ломаная изокванта характеризуется убывающей MRTS при движении вдоль LK изокванты сверху-вниз, но на каждом отрезке ломаной линии MRTS остается LK постоянной.
3.3. Затраты производства. Изокоста.
Поскольку все ресурсы, необходимые для производства продукции, фирма покупает, то важнейшей характеристикой производства являются издержки (затраты) производства.
Существуют различные концепции затрат. При принятии решений фирме необходимо использовать экономический подход, т.е. учитывать не только явные (бухгалтерские) издержки, но и неявные (вмененные) издержки. Этот подход основан на концепции альтернативной стоимости.
Явные затраты - сумма расходов на оплату приобретаемых фирмой ресурсов (сырья, материалов, рабочей силы и т.п.).
Неявные затраты - это стоимость услуг факторов производства, которые используются в процессе производства, но не являются покупными (например, собственный капитал, земля). Неявные затраты являются издержками упущенных возможностей, поскольку, допустим, при использовании собственного оборудования предприниматель упускает другие возможности получения дохода от его использования, например, дохода от сдачи оборудования в аренду.
Экономические издержки - это сумма явных и неявных затрат.
Экономические издержки производства товара зависят от количества используемых ресурсов и цен на услуги факторов производства.
Связь между выпуском продукции и минимально возможными затратами, необходимыми для его обеспечения, называется функцией издержек - ТС.
В общем виде TC(Q) = f[Q(L, K), P, P ], где Р - почасовая оплата труда, Р - L K L K почасовая оплата работы капитала (оборудования) или арендная плата.
Часто используют следующие обозначения: Р = w, P = r.
L K При заданных ценах ресурсов функцию издержек можно представить в виде ТС = wL + rK.
. 3. Теория производства Графически это прямая линия.
Изокостой называется линия затрат, отражающая сочетания труда и капитала, при которых издержки производства равны (остаются неизменными).
Экономический смысл изокосты для фирмы аналогичен бюджетной линия для потребителя.
w Наклон изокосты равен -.
r При анализе поведения фирмы мы будем различать 2 периода - долгосрочный и краткосрочный. В долгосрочном все ресурсы являются переменными, в краткосрочном - некоторые из ресурсов постоянны, т.е. их количество не может быть изменено в пределах данного периода.
TC Помимо общих издержек мы будем анализировать средние издержки АС = и Q TC dTC предельные издержки МС = =.
Q dQ 3.4. Оптимальная комбинация используемых ресурсов в долгосрочном периоде В общем виде задача минимизации издержек выглядит следующим образом:
TC(Q) = (wL + rK) min L, K f(L, K) = Q, где Q - фиксированный выпуск L, K Для нахождения оптимального способа производства должны выполняться следующие условия:
MPL w MRTS = = LK MPK r f(L, K) = Q L, K Графически:
К A K E B Q = Q L L w Рис. 3.8. искомая изокоста: наклон = - ;
в точке r касания Е значение издержек производства w минимально;
наклон изокванты в т. Е равен - r. 3. Теория производства Способы производства А и В являются технически эффективными, но не оптимальными, т.к. они находятся на изокосте, соответствующей более высокому уровню затрат, чем изокоста, проходящая через т. Е. Двигаясь от т. А к т. Е, фирма может произвести то же количество продукции Q, но при более низких затратах. Следовательно, единственно оптимальным решением является т. Е. Только в точке касания заданной изокванты и изокосты выполняется равенство:
MPL PL w = =.
MPK PK r w В т. А, как видно из рис. 3.8, это равенство не выполняется, а именно MRTS (А) >, LK r MPL MPK отсюда, >. Это неравенство показывает, что фирме следует потратить w r дополнительные денежные средства на покупку рабочей силы, сократив использование капитала. В т. А эффективность дополнительно затраченного рубля выше для труда по сравнению с капиталом, при этом выпуск продукции остается неизменным.
Следовательно, фирма должна двигаться вдоль изокванты Q вниз до т. Е. В т. В, MPL MPK w напротив, MRTS (В) <, отсюда, <. Следовательно, находясь в т. В, LK r w r фирма должна увеличить вложение в капитал и сократить вложения в рабочую силу, т.е.
двигаться вверх по изокванте Q до т. Е.
Числовой пример 3.2.
Рассмотрим функцию Кобба-Дугласа Q = 50 LK.
Пусть Р = w = 5, Р = r = 20.
L K Чему будут равны затраты производства 1000 единиц продукции.
Решение.
Найдем MRTS :
LK MPL K MRTS = =.
LK MPK L В точке оптимума должны выполняться условия:
K MRTS = = LK L 50 LK = Отсюда получаем L = 40, K = 10.
0 TC(L, K ) = 540 + 1020 = 400.
0 Покажем решение на графике (рис. 3.9).
В точке касания Е K 10 MRTS = = =.
LK L0 40 Наклон изокванты Q равен Ц.
w 5 Наклон изокосты АВ равен - = - = -.
r 20. 3. Теория производства К наклон изокосты = - 20 А наклон изокванты в т. Е = - K = 10 Е Q = L = 40 80 L Рис. 3.9.
Способ Е (L = 40;
K = 10) обеспечивает производство 1000 единиц продукции с 0 наименьшими затратами, равными 400.
Посмотрим, что произойдет с оптимальным выбором фирмы, если будет меняться цена только одного ресурса. Допустим, первоначальная цена труда Р, цена капитала = 1.
L Задан выпуск продукции Q. Найдем, как изменится оптимальное решение, если новая цена труда Р > Р, Р = 1, Q = Q.
L1 L K Как видно на графике (рис. 3.10), фирма, стремясь минимизировать затраты на выпуск Q, перейдет от капиталосберегающего, но трудоемкого способа производства Е к менее капиталосберегающему, но более трудосберегающему способу производства Е.
К А А1B1: наклон = - Р 2 L А B : наклон = - Р 2 2 L MPL в т. Е1 MRTS = = Р LK MPK L MPL К Е в т. Е MRTS = = Р 2 2 2 LK MPK L А К1 E1 Q = Q L B L1 B1 L 2 Рис. 3.10.
Очевидно, если бы при неизменной цене труда стал дороже капитал, то, стремясь минимизировать затраты выпуска того же количества продукции Q, фирма стала бы экономить капитал, двигаясь от точки Е1 вправо по изокванте, замещая капитал трудом.
Эти утверждения базируются на двух предпосылках:
. 3. Теория производства 1. при первоначальных ценах фирма выбирает внутренний оптимум;
2. изокванты являются гладкими, выпуклыми к началу координат.
Угловое решение Рассмотрим изокванту с производственными факторами-совершенными заменителями.
Допустим, Q = 10L + 2K. Очевидно, подобные изокванты - прямые линии с постоянным наклоном, равным - = - 5.
Допустим, требуется найти оптимальную комбинацию факторов производства для производства 200 единиц продукции, если Р = 5, Р = 2. В данном случае наклон L K изокосты равен - 5/2 = - 2,5. Следовательно, не существует такой комбинации PL производственных факторов, при которой выполняется равенство MRTS =. В LK PK PL PL нашем примере MRTS = 5, = 2,5. Следовательно, MRTS >. Или, что то же LK LK PK PK MPL 10 MPK 2 MPL MPK самое, = = 2, = = 1, т.е. всегда >. Предельный продукт PL 5 PK 2 PL PK труда, приходящийся на рубль затрат, всегда превышает предельный продукт капитала, приходящийся на рубль затрат. Это означает, что фирме выгодно замещать трудом капитал, пока труд полностью не вытеснит капитал. Следовательно, при оптимальном выборе К = 0. Поскольку фирма должна произвести 200 единиц продукции, то L = = = 20. Затраты составят ТС = 520 = 100.
Графически:
К изокванта: 200 = 10L + 2K, наклон = - А изокоста: 100 = 5L + 2К, наклон = - 2, В 20 L т. В: оптимальная комбинация, L = 20, K = 0 Рис.3.11.
Производственная функция с факторами производства, дополняющими друг друга в заданной пропорции.
Пусть Q = min{aL;
bK}.
Тогда оптимальный выбор всегда определяется равенством aL = bK, т.е. лежит на a прямой К = L.
b. 3. Теория производства В т. Е(L, K ) фирма выбирает способ производства, обеспечивающий заданный 0 выпуск Q с минимальными затратами.
К А А Е PL K наклон изокосты АВ = -, PL < Р 0 L PK PL наклон АВ = PK L В В L Рис. 3.12.
Обратите внимание, если будет меняться цена какого-либо фактора, например, труда при неизменной цене другого фактора, например, капитала, то для выпуска заданного объема продукции Q с жесткодополняющими друг друга факторами фирма будет выбирать один и тот же способ производства - т. Е.
3.5. Нахождение функции спроса на ресурс.
Рассматривая задачу минимизации издержек производства заданного объема продукции, мы находили оптимальный способ производства при заданных ценах на ресурсы. Изменяя цену одного фактора производства (при прочих неизменных условиях), можно найти зависимость между ценой ресурса и величиной спроса на него.
Числовой пример 3.3.
Задана производственная функция Q = 50 LK и цены ресурсов Р = w, P = r.
L K Определим функции спроса на труд и капитал.
Решение.
Для минимизации издержек производства заданного объема выпуска, должны выполняться условия:
K w MRTS = = (1) LK L r Q = 50 LK (2) K w r K r = L =, подставив L в (2), получим Q = 50 ( K) K, отсюда L r w w 1 Q w Q r 2 К = ( ). Аналогично, L = ( ).
50 r 50 w. 3. Теория производства Спрос на труд является возрастающей функцией при снижении w и увеличении r, что согласуется с экономическим содержанием функции спроса на труд. Если цена труда снижается, то фирма увеличивает спрос на ресурс. Если увеличивается цена капитала, то фирма замещает капитал трудом и спрос на труд увеличивается.
На данном примере мы показали, как, зная производственную функцию, можно найти функции спроса на соответствующие факторы производства.
Нетрудно показать, что если известны функции спроса на факторы производства, то можно вернуться к производственной функции. Таким образом, связь между производственной функцией и функциями спроса на факторы производства является двойственной.
Рассмотрим пример, лобратный к числовому примеру 3.3.
1 Q w Q r 2 Пусть известны функции спроса на труд и капитал, К = ( ) ;
L = ( ).
50 r 50 w Найдем производственные функции.
Q 1. Начнем с функции спроса на труд и выразим w через L, Q, r: w = ( )2 r.
50L 2. Подставим значение w в выражение для функции спроса на капитал. Получим:
2 Q r Q 50L Q К = или после упрощения К =.
50 r 2500L 1 2 3. Выразим Q через L, K: Q = 50K L.
Теперь мы вернулись именно к той производственной функции, из которой вывели соответствующие функции спроса на факторы производства.
Взаимосвязь производственных функций и функций спроса на ресурсы важна для построения функций издержек, о чем речь пойдет дальше.
3.6. Отдача от масштаба Рассмотрим, как увеличение затрачиваемых факторов производства влияет на количество продукции, которую фирма может произвести.
Когда факторы производства имеют положительные предельные продукты, общий выпуск должен расти при увеличении затрачиваемых факторов производства. Это означает, что масштаб деятельности фирмы увеличился.
Отдача от масштаба показывает, на сколько процентов увеличился выпуск продукции, когда фирма увеличивает использование всех факторов производства на заданный процент:
%Q Отдача от масштаба = (а - количества всех факторов производства).
%a Допустим, фирма использует два ресурса - труд (L) и капитал (К), чтобы произвести выпуск в количестве Q, т.е. Q = f(L, K).
Предположим, что все используемые фирмой ресурсы увеличились в раз ( > 1), т.е. количество используемого труда увеличилось с L до L, капитала - с К до К*.
Пусть представляет итоговый рост выпуска, т.е. выпуск увеличился с Q до Q.
Тогда:
* Это означает, что процентное изменение всех затрачиваемых факторов производства составляет ( - 1)100%.
. 3. Теория производства Х Если >, мы имеем возрастающую отдачу от масштаба.
Х Если =, мы имеем постоянную отдачу от масштаба.
Х Если <, мы имеем убывающую отдачу от масштаба.
Рис. 3.13 иллюстрирует 3 случая отдачи от масштаба.
К К К Q = 2 2 Q = 3 Q = 2 Q = 3 2 1 1 Q = Q1 = 1 Q1 = 1 Q1 = 1 2 L 1 2 L 1 2 L увеличивающаяся отдача постоянная отдача уменьшающаяся отдача от масштаба: от масштаба: от масштаба:
удвоение затрат факторов и удвоение затрат факторов удвоение затрат факторов более, чем удвоение, выпуска и удвоение выпуска и меньше, чем удвоение, выпуска Рис. 3.13.
Когда производственная функция характеризуется возрастающей отдачей от масштаба, то у крупной фирмы появляются преимущества в издержках. В особенности, единственная фирма будет в состоянии произвести заданное количество продукции с более низкими средними издержками, чем две равные по размеру фирмы при выпуске каждой ровно половины заданного объема.
Числовой пример 3.4.
Найдем отдачу от масштаба для производственной функции Кобба-Дугласа Q = AL K.
Решение.
Допустим, L1, K1 - заданные объемы использования факторов производства.
Тогда Q1 = AL1 K1.
Пусть все факторы производства увеличились в раз ( > 1).
Тогда Q = A(L1) (K1) = + A L1 K1 = + Q1.
Таким образом, характер отдачи от масштаба для функции Кобба-Дугласа зависит от коэффициента +. А именно, если Х + > 1, тогда + > и Q > Q1. Отдача от масштаба будет возрастающей.
Х + = 1, тогда + = и Q = Q1. Отдача от масштаба будет постоянной.
Х + < 1, тогда + < и Q < Q1. Отдача от масштаба будет убывающей.
Таким образом, сумма степеней показателей ( + ) в функции Кобба-Дугласа определяет, какой отдачей от масштаба характеризуется данная функция.
Числовой пример 3.5.
Фирма использует 8 ед. труда и 24 ед. капитала, чтобы обеспечить 24 ед. выпуска. Если предельная отдача труда равна 1,5 и производство характеризуется постоянной отдачей от масштаба, то чему будет равна предельная отдача капитала?
. 3. Теория производства Решение.
По условиям задачи Q1 = 24 = f(8;
24) - т. А на рис. 3.14.
Поскольку МР = 1,5, то Q = 25,5 при L = L1 + 1 = 9, K = K1 = 24.
L 2 2 Таким образом, Q = f(9;
24) = 25,5 - т. В на рис. 3.14.
При постоянной отдаче от масштаба увеличим оба используемых ресурса в раз.
L 9 9 / В нашей задаче = ( = ). Тогда К = K1 = 24 = 27.
8 L1 8 9 9 Q = f(L1;
K1) = f( L1;
K1) = f(9;
27) = Q1 = 27 - т.С на рис. 3.14.
8 8 К К = 27 С C К = К = 24 А В A B Q = Q1 = Q = 25,5 = 24 + 1, Q1 = 8 9 L Рис. 3.14.
TP По определению, МР = (при переходе от т. В к т. С при L = const).
K K TP(K ) - TP(K ) - 25, C B МР = = = 0,5 (L = 9).
K K - K 27 - C B 3.7. Минимизация издержек в краткосрочном периоде.
В краткосрочном периоде какой-либо фактор (или факторы) является фиксированным, т.е. фирма не в состоянии изменить имеющееся количество какого-либо ресурса. Допустим, фиксировано количество капитала, т.е. К = K.
Тогда в краткосрочном периоде необходимо решить задачу:
ТС(Q, K ) = min (wL + rK) L f(L, K ) = Q, где Q - заданный выпуск 0 L В таком случае фирма выберет способ производства в т. F для выпуска Q, хотя в длительном периоде оптимальной комбинацией является способ производства А (рис.
3.15).
. 3. Теория производства K N R К A A F K Q = Q L H L M L A F При К = K фирма выберет L = L, т.к. выпуск Q обеспечивает только способ производства F F(L, K ). Рис. 3.15.
F Обратите внимание, что в краткосрочном периоде не выполняется условие равенства предельной нормы замещения отношению цен ресурсов.
Действительно, в т. F, определяемой ограниченным количеством К = K, изокоста NM не является касательной к заданной изокванте Q = Q, следовательно PL MRTS (F).
LK PK В долгосрочном периоде, минимизируя издержки, фирма выбрала бы комбинацию PL факторов производства в т. А(L, К ), причем MRTS (А) =.
A A LK PK Таким образом, минимизация издержки в краткосрочном периоде, вообще говоря, не совпадает с минимизацией издержек в долгосрочном периоде, что означает, что в краткосрочном периоде у фирмы будут более высокие издержки по сравнению с долгосрочным периодом, когда можно изменять все факторы производства.
Существует, однако, одно исключение из этого правила.
Если фирма хочет произвести продукцию в количестве Q1, для которого требуемое количество капитала K совпадает с минимально необходимым в долгосрочном периоде, то количество труда в краткосрочном периоде совпадет с количеством труда в долгосрочном периоде. Только в этом случае издержки в краткосрочном периоде будут равны издержкам в долгосрочном периоде (рис. 3.16).
К траектория роста в долгосрочном периоде C D B K E Q расширение производства в A краткосрочном периоде Q Q L Рис. 3.16. Минимизация издержек в краткосрочном и долгосрочном периодах. 3. Теория производства В долгосрочном периоде траектория роста проходит через т. А, В, С, где PL выполняется условие MRTS =. Соответственно меняются объемы используемого LK PK труда и капитала вдоль линии АВС. В краткосрочном периоде при фиксированном количестве капитала K и при изменении объема выпуска, требуемое для минимизации издержек производства количество труда меняется вдоль линии DBE. Соответствующие линии роста пересекаются в т. В.
В т. В имеющееся у фирмы ограниченное количество капитала совпадает с количеством капитала, при котором издержки минимальны.
Числовой пример 3.6.
0,5 0, Задана производственная функция Q = K L. L - единственный переменный фактор производства. В краткосрочном периоде капитал, которым располагает фирма, фиксирован. Пусть К = K.
Какое количество труда должна использовать фирма, чтобы минимизировать издержки производства в краткосрочном периоде?
Решение.
0,5 0, Поскольку количество постоянного ресурса - капитала - фиксировано, то Q = K L.
Q Отсюда L = - это количество труда, требуемое в краткосрочном периоде для выпуска K Q единиц продукции с минимальными издержками.
Ситуация, однако, меняется, если в краткосрочном периоде производственная функция фирмы зависит от нескольких переменных факторов.
Допустим, Q = f(L, K, M).
Пусть Р = w, P = r, P = m.
L K M Пусть количество используемого капитала фиксировано и равно K. Труд (L) и сырье (M) являются переменными факторами.
Тогда задача минимизации издержек в краткосрочном периоде выглядит так:
ТС = (wL + r K + mM) min f(L, K, M) = Q L, M Поскольку при заданной цене P = r и количестве капитала К = K величина K r K является постоянной, то функцию издержек можно записать следующим образом:
ТС1 = (ТС - r K ) = wL + mM Соответственно задача минимизации издержек в краткосрочном периоде имеет вид:
ТС1 = (wL + mM) min f(L, K, M) = Q L, M Для внутреннего оптимума получаем условия, аналогичные долгосрочному периоду:
MPL w MRTS = = LM MPM m Q = f(L, K, M). 3. Теория производства Покажем решение графически.
M A w наклон изокосты = - m TC m w Е наклон изокванты в т. оптимума Е = - m В Q TC L w Рис. 3.17.
В т. Е издержки производства продукции в количестве Q являются минимальными в краткосрочном периоде (К = K ). Любые другие технически эффективные способы производства (например А, В) требуют более высоких издержек производства.
Числовой пример 3.7.
Фирма использует при производстве продукции три вида ресурсов: капитал (К), труд (L) и материалы (М). Известна производственная функция фирмы: Q = K1/ 3 L1/ 3 M1/ 3.
Цены ресурсов - капитала, труда и материалов соответственно r = 1, w = 1, m = 1.
1. Найдем способ производства Q единиц продукции в долгосрочном периоде, при котором издержки фирмы минимальны.
2. Найдем способ производства Q единиц продукции, если капитал фиксирован, К = K.
3. Докажем, что когда Q = 4 и K = 4, количества L и М в долгосрочном и краткосрочном периодах совпадают.
Решение.
1. Запишем условия касания изокосты и заданной изокванты для производственной функции с тремя переменными ресурсами:
1 -2 3 MPL 3 K L3 M M = = = M = L MPM 1 1 1 -2 L 3 K L3 M 1 -2 3 MPL 3 K L3 M K = = = K = L MPK 1 -2 1 1 L 3 K L3 M Q = K1/ 3 L1/ 3 M1/. 3. Теория производства Решая эту систему из трех уравнений с тремя неизвестными, найдем искомый способ производства: L = Q M = Q K = Q.
2. Пусть К = K.
MPL PL Запишем условие = = 1.
MPM PM 1 -2 K L3 M M = = M = L 1 - L K L3 M 1/ 3 1/ 3 2 / Производственная функция в краткосрочном периоде Q = K L1/ 3 M1/ 3 = K L, Q3 Q 0 отсюда L =. Соответственно, M = L =.
K K 3. Найдем параметры долгосрочного равновесия при Q = 4 и K = 4.
Поскольку L = M = Q, то в долгосрочном периоде L = M = 4.
В краткосрочном периоде M = L = = 4, что совпадает со значениями труда и капитала в краткосрочном периоде.
Численный пример 3.8.
Платежная ведомость для 10000 рабочих может быть сделана за 1 час работы компьютера (К) без участия служащих либо за 10 часов работы служащих (L) без использования компьютера. Работа компьютера и служащих - полностью взаимозаменяемые факторы производства, так что, например, можно сделать платежную ведомость, используя часа работы компьютера и 5 часов работы служащих.
1. Покажем на графике изокванту, соответствующую выпуску платежной ведомости для 10000 рабочих.
2. Пусть Р = 7,5 ден.ед. в час, P = 5 ден.ед. в час. Сколько L и К нужно использовать L K для минимизации издержек и чему будут равны минимальные издержки?
3. Насколько высокой должная быть цена часа работы компьютера, чтобы было выгодно использовать только труд служащих?
Решение.
1. Поскольку используемые факторы являются совершенными заменителями, то изокванта имеет вид прямой: Q = 10K + L (рис. 3.18).
MPL Наклон прямой постоянен и равен - MRTS = - = - 0,1.
LK MPK. 3. Теория производства К, часы PL 1 А наклон изокосты АМ равен - = - 1, PK наклон изокванты равен - 0, В 0 М 10 L, часы Рис. 3.18.
2. Уравнение изокосты при Р = 7,5 ден.ед., P = 5 ден. ед. имеет вид ТС = 7,5L + 5К.
L K 7, Наклон изокосты равен - = - 1,5. Следовательно, изокоста проходит более круто к оси OL, чем изокванта. Минимум издержек достигается в точке углового равновесия А:
L = 0, K = 1. TC(А) = 51 = 5 ден.ед.
A A В точке углового равновесия А изокоста не является касательной к изокванте, PL следовательно, не выполняется равенство MRTS =.
LK PK PL 3. Если цена на капитал будет расти при неизменной цене на труд, то соотношение PK будет уменьшаться, бюджетная линия (изокоста) будет более пологой к оси OL. Чтобы угловое решение переместилось в т В (для выпуска ведомости используются только PL PL служащие), должно выполняться неравенство < 0,1, отсюда Р >, т.е. Р > K K PK 0, ден.ед. Следовательно, цена часа работы компьютера должна быть выше 75 ден.ед., чтобы, минимизируя затраты, фирма использовала в производстве только служащих.
3.8. Построение функций издержек.
Pages: | 1 | 2 | 3 | 4 | Книги, научные публикации