Книги, научные публикации
Pages: | 1 | 2 | 3 | ИЗаФОНДОВаРОССИЙСКОЙаГОСУДАРСТВЕННОЙаБИБЛИОТЕКИ Карелина,аИринааЕвгеньевна Формированиеамировоззренияаучащихсяапри изученииагеометрииавастаршихаклассах естественнонаучногоапрофиляаобучения Москва ...
-- [ Страница 3 ] --наблюдение над проведением занятий но математике с учащимися, ориентированными на естественнонаучную деятельность, а также анкетирование щколь НИКОВ и учителей. Анкетирование учеников ставило своей целью выяснение уровня сформированности мировоззрения учащихся. С помощью опроса были выяснены мнения и интересы учащихся, ориентированных на естественнонаучную деятельность при обучении математике. Так, для учащихся девятых классов была предложена анкета (см. приложение 2). Анкетированием было охвачено 42 человека. Ниже, в таблице приведены его результаты:
Таблица Вонрос Ответ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
I. 29% 22% 27% 15% 7% II. 66% 19% 12% 3% III. 22% 26% 19% 10% 7% 11% 5% IV.
V. 39% 61% VI. 24% 17% 8% 12% 2% 0% 33% 4% Диаграмма Анализ результатов анкетирования (Таблица 15, Диаграмма 1) показал, что учащиеся девятого класса положительно относятся к школьному предмету Ч математика, и осознают, что его необходимо изучать в комплексе с другими предметами естественнонаучного цикла. Наибольший интерес у учащихся при изучении математики вызывает возможность нрактического применения полученных знаний. Однако это противоречит отсутствию заинтересованности учеников в осознанном, самостоятельном добывании знаний.
Далее было выяснено, что, понимая необходимость нрофессиональной ориентации, школьники, тем не менее, плохо осознают возможности профилирования собственной школы. Так, на вопрос о том, каким школьники представляют свое обучение в естественнонаучном классе, были высказаны следующие мнения: такой класс в моем понимании Ч это все, что связано с техникой, компьютером, математикой;
л... это класс, более подробно изучающий физику, различные отрасли математики;
л... такой класс похож на класс физики и труда одновременно;
л... это класс, в котором проходят усиленную программу технических предметов;
л... это класс, где изучают науки, относящиеся к жизни практически. Исходя из этих ответов, можпо сделать вывод, что школьники интуитивно и упрощенно представляют себе цели и задачи обучения в данном профиле. Поэтому оценивают возможность обучения в естественнонаучном профильном классе положительно: примерно половина из желающих остаться в школе в 1011 классах хотели бы заниматься в таком классе. Перед началом занятий учащимся десятого класса были предложены вопросы анкеты 2 (см. приложение 2), которые помогли диагностировать степень информированности учащихся о своих собственных мировоззренческих качествах.
Таблица Вопросы Ответы 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
I 5% 12% 13% 6% 17% 27% 9% 11% II 15% 22% 26% 33% 4% III 26% 14% 36% 24% IV Диаграмма Результаты анкетирования (Таблица 16, Диаграмма 2) нозволили сделать следующие выводы. Большинство учащихся, желающих обучаться в miacce естественнонаучного направления, не готовы самостоятельно получать знания, но хотят знакомиться с возможным применением математики в реальной жизни, старшеклассникам интересны истоки математических знаний. В связи с этим актуально такое преподавание математики, которое позволяет формировать мировоззрение школьников, корректируя содержание общеобразовательного курса математики с целью реализации особенностей обучения в классе естественнонаучного направления, выявленных в ходе теоретического исследования. Многие учащиеся нреднолагают при обучении в таком классе подготовку к поступлению в вуз. Кто-то из них сделал этот выбор по совету родителей, а кто-то Ч желая изучать более подробно прикладные и нрактические формы курса математики. На данном этапе большинство учеников понимают, что: мировоззрение-Ч возможность соотносить желаемое с действительностью, пренебрегая несущественными деталями;
умение выйти из критической ситуации, опираясь на собственные познания;
лего можно сформировать, если ты будешь давать свою оценку окружающим событиям;
Также автором данного исследования для учителей математики проводились курсы по изучению программной среды Живая математика, организованные ЦИТУО г. Москвы. Слушателям курсов была предложена анкета 3, направленная на изучение отношения учителей к применению компьютерных средств обучения в образовательном процессе. В анкетировании участвовало 18 человек. Отвечая на вонрос о наличии профаммы в школе, только 44% ответили ноложительно. Тогда как, на вопрос, планируют ли они использование Т программы в своей деятельности, ответили положительно уже 89% опрошенных учителей. Отвечая на вопрос желании продолжить знакомство с возможностями профаммы, 78% педагогов высказались за. Эти результаты позволяют сделать вывод о готовности использования в учебном процессе компьютерных средств обучения (нри их наличии в школе) учителями Ч математиками. Из опрошенных 78% человек будут пытаться использовать алгебраическую составляющую программы, и 56% Ч геометрические возможпости нрофаммы, 67% Ч динамические средства профаммы. Интересно, что каждый из учителей, участвующих в опросе, нашел свои цели использования профаммы и увидел ее применение в разных классах. Все респонденты указали на положительное влияние компьютерных средств обучения (на примере профаммы Живая математика) на формирование мировоззрения учащихся, мотивируя свой ответ тем, что л... в движении легко понимать суть геометрии, л... для формирования личности учащегося, л... это помогает почувствовать объем предмета, его построение, умение ощущать пространство, красочность, точность, '^ наглядность. В ходе бесед с учителями выяснилось, что для них естественнонаучный класс Ч это, прежде всего, класс, спрофилированный на технический вуз. Однако ими признается очевидной необходимость целенаправленного воздействия на формирование мировоззрения старщеклассников средствами математики. Исходя из этого, самым актуальным для учащихся, обучающихся в классах естественнонаучного профиля, является изучение такого материала, кото^ рый должен одновременно учитывать общекультурные и специальные цели обучения, способствуя умственному развитию и формированию мировоззренческих интересов. Вот ещё несколько мыслей щкольников на тему, помогает ли геометрия в развитии мировоззрения: л... геометрия номогает развивать логику рещений;
л... помогает развивать... способность мыслить;
л развивает мыщление и делает человека более нрактичным, логичным в своих поступках;
л геометрия помогает посмотреть на мир особенно, а математика просто дает возможность просчитать все это;
л геометрия помогает формированию чётности;
л математика и геометрия помогают попять мир с рапиональной точки зрения, попять, что мпогое па Земле объяснимо математически В ходе нашей работы исследовался процесс мировоззренчески направленного обучения геометрии в классах естественнонаучного профиля. На осповании анализа результатов первого этапа эксперимепта была выдвинута гипотеза педагогического эксперимента (исследования), а именно: если методика преподавания стереометрии соответствует этапам, определенным образом организующим учебные ситуации при обучении предмету, то формирование мировоззрения учащихся естественнонаучных классов на уроках геометрии происходит наиболее эффективно. Для проверки достоверпости выдвинутой гипотезы осуществлялся педагогический эксперимент, целью которого было эмпирическое подтверждение выдвинутой гипотезы исследования и справедливости теоретических результатов, то есть обоспование того, что предполагаемое педагогическое воздействие на мировоззрение учащихся с помощью специально разработанных материалов в соответствии с основными этапами формирования мировоззрения старщеклассников более эффективно. На втором, формирующем, этапе эксперимента решались следующие задачи: 1. Поиск таких тем курса стереометрии, изучение которых в классе естественнонаучного направления позволило бы реализовать выявленные особенности преподавания математики, способствующие комплекспому решению образовательных, воспитательных и развивающих задач. 2. Установлепие влияпия отобранного материала на методы проведепия занятий в классах естественнонаучного направления, на уровень сформирован ности мировоззрения учащихся. 3. Проверка достунности отобранного материала и качества его усвоения, а также проверка эффективности нредложенных методологических подходов к изучению геометрии. 4. Проверка того, что предполагаемое педагогическое воздействие на мировоззрение учащихся с помощью снепиально разработанных методических материалов в соответствии с основными этапами формирования мировоззрения старшеклассников более эффективно, чем-то, которое осуществляется при традиционном изложении соответствующих тем. Эксперимент проводился в щколе N2 1690 г. Москвы. С учетом полученных на первом этапе эксперимента результатов, были выделены две группы учащихся десятых классов: экспериментальная (24 человека) и контрольная (29 человек). Класс естественнонаучного профиля составлял основу экспериментальной грунпы (ЭГ), общеобразовательный класс Ч контрольной группы (КГ). Для выявления динамики изменения сформированности мировоззренчески значимых качеств у старщеклассников в результате применения разработанной методики в начале эксперимента нам было необходимо установить, что не существует никаких различий в самооценке развития своего мировоззрения у щкольников экснериментальной и контрольной групп. Для этого учащимся (24+29) был предложен контрольный входной тест 1 по математике, состоящий из 28 заданий, где в равном количестве были задания геометрического и алгебраического содержания. В результате теста были получены следующие данные, взятые но щкале отношений ([109]): /A:i;
i=i...24=(14, 14, 17, 21, 20, 6, 10, 18, 14, 8, 15, 18, 16, 22, 14, 23, 13, 9, 15, 9, 19, 10, 11, 16) Ч выборка для ЭГ (количество правильно выполненных заданий), 6'i/j=i...29=(17, 14, 12, 19, 13, 10, 24, 7, 9, 13, 16, 17, 27, 6, 9, 12, 16, 17, 15,6, 11,22, 11,7, 18,25, 14, И, 12) Чвыборка для КГ. Для проверки нулевой гипотезы об отсутствии различий в самооценке развития своего мировоззрения у школьников экспериментальной и контрольной групп использовался критерий Вилкоксона-Манна-Уитни, Данный критерий оперирует с результатами парных сравнений двух выборок. Возьмем две указанные выборки и для каждого элемента первой выборки Xi определим число Oi элементов второй выборки, которые нревосходят его по своему значению, есть число таких yj, что уу>Х{, а также число bi элементов второй выборки, которые по своему значению равны ему (то есть число таких ^^j, что yjЧXi). Сумма i по всем Jy членам первой ^,= ^ 1= выборки называется эмпирическим значением критерия Манна-Уитни и обо1 значается и. Сумма всех 24 чисел в столбце i +T^i до начала эксиеримента дает эмпирическое значение критерия U=3\5 (см. Приложение 5) Оиределим эмпирическое значение критерия Вилкоксона: N'M Ч С/ W =Х " эмп V 12 Вычислим для сравниваемых выборок;
24- эмп 24.29-(24 V = 0, Сравнивая это значение с критическим значением Wo,o5=l,96, получаем ^^ЭМП=0,5897<1,96.
Следовательно, нулевая гипотеза о том, что сравниваемые выборки совпадают, принимается на уровне значимости 0,05. Таким образом, Т можно сделать вывод о том, что не существует значимых различий в сформированности мировоззренческих качеств у старшеклассников экспернмептальной и контрольной групп до начала эксперимента. Результаты проведенного теста можно оценить и с использованием по рядковой шкалы измерений. Тогда результаты можно представить следующим образом.
Таблица % выполнения заданий Среднее кол-во выполненных заданий Количество участников Уровень знаний Высокий Средний (Г) Я X эг 24 51% 14,6 5 13 6 52% кг 29 5 17 7 14,1 Рассмотрим случай, когда используется порядковая шкала с Z,=3 различными баллами, подразумевая три уровня знаний: низкий, средний, высокий. Характеристикой группы будет число её членов, набравших тот или иной балл. Для экспериментальной группы вектор баллов есть п=(в, 13, 5), где к Ч число членов экспериментальной группы, получивших к-ът балл, к=\, 2, 3. Для контрольной грунпы вектор баллов есть m-fl, 17, 5^, где т^Ч число членов контрольной группы, получивших к-ът балл, к=\, 2, 3. Для данных таблицы 16, измеренных в порядковой шкале, целесообразно использование статистического критерия х^эмпирическое значение вычисляется по формуле ([109]):
п.
т, Заметим, что данный критерий применим при условии, что для любого значения балла в любой из сравниваемых выборок не менее пяти её членов получили данный балл. Кроме того, желательно, чтобы число градаций L было не менее трех. В данной выборке условие соблюдено. Вычислим для сравниваемых выборок х^^а 'Х 24 29 J 1= V 29j U4 5+ 6+ 13 + = 0, Таким образом, эмнирическое значение критерия Хъгяп Х> получаемое при сравнении характеристик контрольной и экснериментальной групп до начала эксперимента, равпо 0,14. Так как 1=3, то L-l=2, то Joo5^=5,99. Следовательно, 0,14 < 5,99. Так как характеристики сравниваемых выборок совнадают с уровнем значимости 0,05, то можно сделать вывод о том, что не существует значимых различий в сформированности мировоззренческих качеств у старшеклассников экспериментальной и контрольной грунп до пачала эксперимента. В процессе экспериментальной работы особое внимание обращалось на создание творческой обстановки на уроках, на организацию самостоятельной, индивидуальной, исследовательской работы как с учебной литературой, так и с дополнительной научно-популярной литературой, па использование компьютера. В ходе запятий поэтапно отрабатывались задания, подготавливающие учеников к соответствующей учебной деятельности (см. Глава 2. з 2, з 3, з 4, з 5). Происходил отбор материала и по уровням трудности, что позволило даже у самых слабых в математическом отнощении учащихся выработать обсуждаемые на занятиях подходы к выполнению тех или иных заданий. Задачи для домащней и самостоятельной работы отбирались с учетом индивидуальных возможностей учащихся (см. [180]). В ходе работы с экспериментальной группой после изучения тем Начала стереометрии, Многогранники, и Многогранники в задачах оптимизации учащимся были предложены три диагностирующие контрольные работы (см. Приложение 4). Данные контрольные работы предусматривали проверку усвоения основных приемов рещепия задач по данным темам. Результаты контрольной работы JT 1 по теме Начала стереометрии Sa (Таблина 18 и Диаграмма 3) ноказывают, что задание 1, содержащее вопрос на понимание пространственной ситуации выполнено отлично.
Таблица Номер задания 1. 2. 3. 4.
100% 80% 60% 40% 4 Ч 20% Ответили верно 100% 73% 67% 33% Ответили Не пристуиили к заданию неверно 27% 33% 45% 22% Диаграмма Ш Ответили верно Q Ответили неверно В Не приступили к заданию 2.
4.
Задание 2 предполагало проверку усвоения аксиом и следствий и умения провести доказательство. Поскольку учащиеся отрабатывали специально логику таких доказательств, то результат выполнения этого задания составил 73%. Задание 3 предполагало проверку понимапия учащимися терминов многоугольник и многофанник, а также их элементов. Снравились с этим заданием две трети учащихся, что показывает понимание сути вопроса, но не на уровне навыка. Так как при рассмотрении темы Многогранники у школьников будет возможность продолжить работу с этими понятиями, то этот результат вполне объясним. Задание 4 содержало задачу на определение расстояния между двумя точками на поверхности куба. Выполнение чертежа, определение искомого расстояния и его численное нахождение было достаточно сложным. Поэтому к этому заданию вообще не приступили 22 % учеников, писавших работу. Однако треть учащихся довела решение до правильного ответа. Остальные школьники, в больщинстве, допустили или вычислительные ошибки, или неправильно определили, между какими именно точками требуется определить расстоя ние. В целом, в соответствии с результатами, можно считать данную тему, изученную с использованием предложенной методики, успешно усвоенной. Результаты контрольной работы № 2 но теме Многогранники (Таблица 19, Диаграмма 4) показывают, что предложенный подход к изучению оказался очень эффективным.
Таблица Номер задания 1. 2. 3. 4. 5.
100% - г 90% - 80% Х Ответили Ответили Не нриступили к заданию неверно верно 94% 6% 89% 11% 72% 28% 22% 30% 48% 40% 45% 15% Диаграмма 70% Х 60% - 50% Х D Ответили верно В Ответили неверно п Не приступили к заданию 40% - 30% 20% Х 0% Х 10% -J 1. 2. 3. 4. 5.
Так, первый вопрос проверял умение работать с многогранным углом на уровне определения, с ним справились почти все. Второй вопрос предусматривал попимапие теоремы Эйлера и умения ее применять. Определить нужное количество плоских углов, ребер и граней данного многогранника смогло подавляющее большинство учеников. А вот следующее, четвертое, задание оказалось сложнее, поскольку требовалось сначала смоделировать ситуацию, возникающую при отсечении одного из углов произвольпого выпуклого многогранника. Поэтому 28% щкольников не смогли довести до правильного ответа все поставленные вонросы. Четвертое задание требовало вычислить длину ребра нравильного октаэдра, вписапного в куб. По разным причинам 22% учащихся не нриступили к выполнению задачи, а 48% Ч допустили ошибки при вы полнении чертежа или при выполнении нромежуточных вычислений. Интересно, что пятое, самое сложное, задание не начали выполнять всего 15%, что меньше, чем для четвертого задания. Однако правильное доказательство того, что любое сечение трехгранного угла с плоскими углами по 90, пересекаюшее все его ребра, является остроугольпым треугольником, смогли провести 40%. Количество ошибок для этого задания почти такое же, как и для предыдушего задания. При изучении темы Конические сечения мы не проводили контрольной работы. Однако по результатам самостоятельных работ и по тому, как школьники выполняли предложенные задания, можно сделать вывод, что данная тема нуждается в подробной методической проработке. Компетентное преподавание рассматриваемых вонросов было затруднительно осуществить, вследствие сложности изучаемого материала. В этой теме переплелись вопросы изображения пространственных фигур, изображения эллипса, гиперболы, параболы, их свойства и приложения. Выполнение сложных чертежей требовало хорошо развитого пространственного компонента мышления. Формирование умения моделирования реальных процессов, развитие графических связей, иснользо ванне проектных методов работы, интенсивное использование динамической геометрии помогло провести обучение уснешно. Это интересная и очень мировоззренчески важная тема профильного курса. Для нее мы планируем продолжить разработку оптимального алгоритма изучения. Результаты контрольной работы N 3 по теме Многогранники в задачах оптимизации (Таблица 20, Диаграмма 5) показали, что учашимся очень нравиться изучение вопросов, связывающих стереометрию с алгеброй. Поэтому обучение аналитическому заданию пространственных фигур было успешным.
Таблица Помер задания 1. 2. 3.
Ответили Ответили Не нриступили к заданию верно неверно 12% 88% 78% 17% 5% 55% 40% 5% 4. 5.
55% 50% 34% 17% 11% 33% Диаграмма 100% 80% 60% 40% 20% 0% 1. 2. 3. 4. 5. ш Ответили верно Е Ответили неверно Э Х Не приступили к заданию Первое задание на составление уравнения нлоскости было выполнено почти всеми учениками. Второе задание, в котором надо было определить координаты точки нересечения нлоскости с осями координат, выполнили чуть хуже, и только 5% не пристунили к его выполнению. Третье задание предполагало определение того, какую геометрическую фигуру онределяет система условий. Большинство учащихся допустили ошибки в определении центра шара, однако были и другие ошибки. Это задание правильно выполнили 55% учеников. Четвертое задание нреднолагало для тетраэдра, заданного координатами своих вершин, записать систему неравенств, онределяющих внутреннюю область, изобразить эту область и найти ее объем. Только 11% учеников не нриступили к выполнению задачи, но из тех, кто приступил Ч 34% допустили ошибки, что пе позволило им дать правильный ответ. Так как пятое задание базировалось на четвертом и требовало найти наибольшее и наименьшее значения линейной функции на тетраэдре, то к его вынолнению не нриступили уже треть учеников. Однако 50% учащихся все-таки смогли дать правильный ответ. Комплексный анализ приведенных результатов ноказал, что вопросы, непосредственно разобранные на занятиях, организованных в логике поэтапного формирования мировоззрения учащихся, хорошо усвоены учашимися. Там же, где требовалось проявить творческие способности, результаты хуже. В ходе данного этапа эксперимента представилось возможным разработать следуюшие рекомендации но работе с указанными выше содержательны ми линиями курса стереометрии естественнонаучных классов, 1,Так как в ходе эксперимента доказывается, что предложенные факты экспериментальной группой усвоены, и нодборка содержательного материала по этим темам достаточно легко формируется в виду разработанности математического содержания и наличия большего количества соответствующей методической и научно-популярной литературы, доступной как для учителей, так и для учащихся, то сделаем следующие выводы: а) рассмотрения начал стереометрии при одновременном изучении пространственных тел эффективно;
б) изучение правильных многогранников желательно нредварять знакомством с многогранными углами, выпуклостью и исследованиями теоремы Эйлера и необходимо продолжать подробпым рассмотрением других классов многогранников, учитывая офомное историческое, эстетическое и естественнонаучное значение данного содержания;
в) изучение конических сечений оптимально проводить, изучая эллипс, гиперболу и параболу на предшествующих этапах обучения;
однако большое количество прикладных аспектов данной темы, связанных как с историей науки, так и с современными теоретическими исследованиями, делает необходимым ее нодробное и тщательное изучение в классах естественнонаучного профиля обучения. г) решение задач линейного нрограммирования хорошо усваивается при нроведении подготовительной работы по темам, связанным с уравнением плоскости, прямой, аналитическим заданием пространственных фигур. 2. Изучение данных тем позволит обучить учащихся методу математического моделирования, реализуя тем самым ведущую особенность обучения в классах естественнонаучного профиля, а именно, прикладную и практичест^'ю направленность курса математики. 3. Учитывание тонкостей решения стереометрических задач позволит широко организовать внутреннюю дифференциацию учащихся.
4. Указанные выше темы являются интересными и познавательными для формируюшихся личностей старшеклассников, что поможет преподавателю ^ организовать интересную творческую, исследовательскую и проектпую деятельность учашихся, способствуя формированию у них умения устанавливать взаимосвязи между элементами рассматриваемых объектов и явлений. 5. Особенность нредложенного материала в том, что для него можно подобрать такие методы работы, которые непосредственно базируются на использовании современных информационных технологий в обучении, позволяют разнообразно организовывать разработанные этаны при прохождении разХ личных учебных ситуаций (иснользование компьютера как инструмента, позволяющего значительно расширить иллюстративную базу курса геометрии;
использование компьютера для формирования алгоритмической культуры;
иснользование компьютера при решении вычислительных задач геометрии;
использование компьютера при решении задач на визуализацию геометрических объектов;
использование компьютерных технологий в качестве средства создания творческого, эмоционального отношения к процессу решения задач;
использование компьютерных технологий в качестве средства экспериментирования и моделирования;
учебные информационно-ориентированные проекты). Результаты второго этапа эксперимента позволили перейти к третьему его этапу Ч обучающему и контролирующему эксперимепту, который проводился в течение учебного года (2003-2005 гг.) в ГОУ СОШ № 1690 и ЦО № 345 г. Москвы. Внесение эксперимептальпого содержания в обучение охватило 80 учеников. В ходе работы учащимся взятых классов предлагались приведенные выше контрольные работы 1, 2 и 3. Результаты их проведения примерно такие же, как и полученные на предыдущем этапе эксперимента. х^ Апализ результатов контрольных работ выявил, что внесенные изменения в содержание курса математики в классах естественнонаучного направления доступны для учащихся и уровень обученности высокий. Однако при оргапизации внутренней дифференциации в классах необходимо корректировать уровень строгости изложения данного материала. Так, в ходе классно-урочных занятий разбирать требуемый для нонимания сути излагаемого содержания теоретический минимум, оставляя разбор тонкостей теории на донолнительные занятия по решению стереометрических задач. Однако исследовательская и нроектная работа учеников данного профиля доступна и слабым ученикам, особенно в виду большого мировоззренческого значения предлагаемого материала. В ходе бесед было отмечено, что представление учащихся о практическом и прикладном аспектах их будущей профессиональной деятельности конкретизировалось и нерестало быть формальным. Для более глубокой опенки знаний и умений учащихся был проведен итоговый тест, состоящий из 54 вонросов и охватывающий требования к уровню нодготовки выпускников в соответствии со стандартами среднего (полного) общего образования. В результате теста были нолучены следующие данные, взятые но шкале отнощений (см. [109]): A:t/i=i...24=(41, 40, 28, 36, 39, 41, 42, 40, 39, 40,40, 39,41,38,40, 40,40, 41, 32, 31, 31, 34, 29, 23) Ч выборка для ЭГ (количество правильно выполненных заданий), 6'j^j=i...29^(34, 34, 33, 33, 32, 32, 31, 30, 28, 26, 26,23,36,35, 34,28, 25, 34, 28,26, 33, 22,38, 31,40,20, 34, 36,27) Ч выборка для КГ. Для проверки гипотезы о наличии различий в развитии мировоззрения у школьников экспериментальной и контрольной групп использовался критерий Вилкоксона-Манна-Уитни. Сумма всех 24 чисел в столбце а^ +Ч^i носле окончания эксперимента дает эмпирическое для значение критерия /= (см. Приложение 5).
Вычислим сравниваемых выборок W^MU-' 24-29 Ч 129 2,^4, 29 + Г) ~ '. Сравнивая это значение с критическим значением Wo,o5~l596, нолучаем Жэмп=3,9221>1,96. Результаты нроведенного теста можно оценить и с использованием по рядковой шкалы измерений. Результаты можно представить следующим образом (см. Таблица 21).
Г % выполнения заданий Среднее кол-во выполненных заданий Количество участников Таблица Уровень знаний Высокий Средний ЗЯ (Г) Я 24 68%^ 36,9 14 5 5 14 кг 29 57% 30,7 5 10 Занесем результаты измерений уровня знаний в КГ и ЭГ до и после эксперимента (см. Таблица 22).
Таблица ЭГ Уровень знаний Высокий Средний Низкий Составим 7).
ЭГдо КГ до наЭГ после КГ после чала эксокончания эксокончания начала перимента, (%) эксперименэкспери- перимента, (%) та, (%) мента, (%) 20,83% 17,24% 58,33% 17,24% 58,62% 20,83% 34,48% 54,17% 24,14% 25,00% 20,83% 48,28% гистограммы контрольной и экспериментальной групп до на чала эксперимента, и после окончания эксперимента (Диаграмма 6, Диаграмма Диаграмма б П ЭГдо начала эксперимента (%) И к г до начала эксперимента Высокий Средний Низкий 165 Диаграмма П ЭГ после окончания эксперимента(%) И КГ после окончания эксперимента(%) Высокий Средний Низкий Для экснериментальной грунны вектор баллов есть п=(14, 5, 5^, где W Ч k число членов экснериментальной грунны, нолучивших к-ът балл, А:=1,2,3. Для контрольной грунны вектор баллов есть т=(5, 10, Ы), где т^Ч число членов контрольной групны, иолучивших А:-ый балл, к=1,2,3. Для данных таблицы 22, измеренных в порядковой шкале, целесообразно использование статистического критерия х^ Х Вычислим для сравниваемых выборок Хшп^ 'Х П, ГПг 29 j 14 + U 4 29;
^ 124 29 5 + 10 5 + = 9, Таким образом, эмпирическое значение критерия Хшп^ нолучаемое нри сравнении характеристик контрольной и экспериментальной групп после окончания эксперимента, равно 9,8086. Так как L=3, то LЧ1=2, то j^oj^=5,99. Следовательно, 9,8086 > 5,99. Следовательно, гипотеза эксперимента о том, что если методика преподавания стереометрии соответствует этапам, определенным образом организующим учебные ситуации при обучепии предмету, то формирование мировоззрения учащихся естественнонаучных классов на уроках геометрии нроисходит наиболее эффективно, нринимается на уровне значимости 0,05. То есть, достоверность различий характеристик экснериментальной и контрольной грунн но статистическому критерию Вилкоксона-Манна-Уитни и статистическому кри терию х^ равна 95%. Значит, если характеристики ЭГ и КГ до начала экснеримента совпадают с уровнем значимости 0,05, и, одновременно с этим, достоверность различий характеристик ЭГ и КГ носле эксперимента равна 95%, то можно сделать вывод о том, что применение предложенной методики формирования мировоззрения учащихся естественнонаучных классов приводит к статистически значимым (на уровне 95% но статистическому критерию Вилкоксона-Манна-Уитни и статистическому критерию х^) отличиям результатов. Таким образом, проведенное экспериментальное исследование подтверждает выдвинутую гинотезу об эффективности преподавания некоторых тем математики, в методике которого были заложены рекомендации, выдвинутые на основе использования поэтапной учебной мировоззренчески нанравленной математической деятельности. Организованная па основе соответствующим образом нодобранного мировоззренчески значимого содержания и в соответствии с основными этанами формирования мировоззрения учебная деятельность учащихся естественнонаучных классов нозволяет личности учащегося наиболее нолно реализовать имеющийся потенциал собственного мировидения через познавательную математическую деятельность, формируя: Ч устойчивое положительное отнощение к примепепию математики;
Ч способность к математическому познанию мира;
Ч индивидуальные системы ценностей;
Ч структурное видение мира.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ Проведенное теоретическое и экспериментальное исследование нозволяет доложить о достижении ноставленных задач. Мировоззрение является одним из главных механизмов формирования личности в процессе её становления. Оно рассматривается как целостное качество личности, единство трех его составных частей: нотребностей и эмоционально-ценностных отнощений к окружающему миру, обобщенных способов деятельности отражения и преобразования мира и обобщенных представлеНИИ, мыслей, знаний о мире. Такой подход дает возможность наметить этапы формирования мировоззрения. Организованная на основе соответствующим образом подобранного мировоззренчески значимого содержания и в соответствии с основными этапами формирования мировоззрения учебная деятельность учащихся естественнонаучных классов позволяет личности учащегося наиболее полно реализовать имеющийся потенциал собственного мировидения. Выделены методические особенности изучения математики в классах естественнонаучного направления, основанные на умениях, характеризующих соответствующий стиль мыщления (таких как моделирование, составление графических моделей, оперирование образом и др.). Исходя из анализа психологопедагогической и учебно-методической литературы, даны некоторые особенности изучения геометрии в естественнонаучном направлении. При этом методика обучения должна быть нанравлена на: а) формирование умения моделирования реальных процессов;
б) развитие графических связей, особенно с предметами, ведущими для дапного профиля обучения;
в) щирокое использование приближенных методов и усиление алгоритмического аснекта обучения;
г) смещение акцентов преподавания на лекционно-семинарскую систему, увеличение числа практических и лабораторных работ;
д) нроведение межпредметных конференций и семинаров.
Ведущей особенностью преподавания математики в классах естествеппопаучного профиля является усиление научной и прикладной направленности обучепия математике, позволяющей сформировать техпический стиль мышлепия, развивающий образпый компопепт мышлепия, графические умепия, павыки моделировапия, иптепсивное использовапие вычислительпой техпики и различпых компьютериых программпых сред. Реализация этапов целостного акта учебной мировоззренчески направленной математической деятельности при изучеиии стереометрии в естествеппопаучных классах позволяет реализовать позпавательпую математическую деятельпость учащихся, формируя устойчивое положительпое отпошепие к позпапию и примепепию математики, способпость к математическому позпапию мира, ипдивидуальиые системы цеппостей и структурпое видепие мира. В силу ряда обстоятельств особое зпачепие компьютерпые техпологии приобретают в процессе геометрической подготовки школьпиков. Осповпые мотивы их использования в курсе геометрии таковы: а) компьютерпые методы в последпее время все шире используются в геометрической пауке;
б) применение компьютерных техпологии в школьпом курсе геометрии существенно повышает качество усвоения учебного материала. Использование компьютера при формировании мировоззрения учащихся классов естественнонаучного профиля существеппо помогает при изучении геометрии, что показывает необходимость использовапия современных компьютерпых техпологии при разработке мировоззрепчески паправленной методики преподавания курса стереометрии. Следующие методы работы, непосредствепно базирующиеся на использовании современных информационных технологий в обучении, позволяют разпообразпо оргапизовывать разработанные этапы при прохождепии различпых учебпых ситуаций: а) метод использования компьютера как инструмента, позволяющего значительно расширить иллюстративную базу курса геометрии;
б) метод использования компьютера для формирования алгоритмической культуры;
в) метод иснользования компьютера при решении вычислительных задач геометрии;
г) метод использования компьютера при решепии задач на визуализацию геометрических объектов;
д) метод использования компьютерных технологий в качестве средства создания творческого, эмоционального отношения к процессу решения задач;
е) метод использования компьютерных технологий в качестве средства эксперимептирования и моделирования;
ж) метод учебных информационно ориентированных проектов. Проведена реализация предложенных этапов но формированию мировоззрения учащихся к методике обучеиия математике на примере разработки некоторых тем курса стереометрии. Предложенные рекомендации показывают, что указанные этапы организованной таким образом учебной деятельности позволяют сделать учебный процесс мировоззренчески ориентированным. Подход к организации обучения в логике целостных актов мировоззренчески направленпой учебной деятельности, характеризуемый четырьмя названными этапами, существенно повышает результативность обучения. Осуществлена эксперимептальпая проверка эффективности разработанных материалов. Эксперимент показал, что разработанные рекомендации достунны учащимся естественнонаучных классов, способствуют формированию у них умений, характеризующих технический стиль мышления, существенно повышают активность познавательной деятельности, старшеклассников, при изучепии математики;
способствуют повышению качества знаний, как общекультурных, так и специальных. Рекомендуемая методика изучения стереометрических задач в профильных классах естественнонаучного направления оказывает благоприятное воздействие на формирование мировоззрения старшеклассников, а также способствует реализации идей личностно ориентированного образования.
ЛИТЕРАТУРА 1. 2. 3. 4. 5. 6. 288 с. 7. 8. 9.
Александров А.Д. Выпуклые многогранники.Ч М.- Л.: Гостехиздат, Александров А.Д. и др. Геометрия 10-11 кл.: Учебник для общеобраАлександров А.Д. и др. Геометрия: Учебн. Для уч-ся 10 кл. с углубл. Александров А.Д. и др. Геометрия: Учебн. Для уч-ся 11 кл. с углубл. Александров А.Д. О геометрии // МШ. Ч 1980. Ч ^23. Ч С. 56 Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по опти 1950. Ч428 с. зовательных учреждений. Ч М.: Просвещение, 2000. Ч 256 с. изуч. математики. Ч М.: Просвещение, 1999. Ч 239 с. изуч. математики. Ч М.: Просвещение, 2000. Ч 320 с.
мизации. Теория. Примеры. Задачи. Учебное нособие.Ч М.: Наука, 1984.Ч Антология педагогической мысли в России первой половины XIX в. Ч Антология педагогической мысли России XVIII в. / Сост. СоловАтанасян Л.С. и др. Геометрия: Учебник для 10-11 классов общеобра М.: Педагогика, 1987. Ч 559 с. ков И.А. Ч М.: Педагогика, 1985. Ч 480 с. зовательных учреждений. Ч 9-е изд. Ч М.: Просвещение, 2000. Ч 206 с. 10. Ащкинузе В.Г. Многоугольники и многогранники / Энциклопедия элементарной математики. Книга четвертая. Геометрия. Ч М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1963. Ч382 с. 11. Бащмаков М.И. Уровень и профиль математического образования // Математика в школе. Ч 1993. Ч № 2. Ч С. 8. 12. Бескин Н.М. Методика геометрии: Учебник для недагогических институтов. Ч М.-Л.: Учпедгиз, 1947. Ч 276 с. 13. Богомолов С.А. Геометрия (систематический курс): Пособие для учителей средней школы. Ч М.-Л.: Учпедгиз, 1949. Ч 320 с.
14. Болтянский В.Г. Элементарная геометрия: Книга для учителя. Ч М.: Нросвещение, 1985. Ч 320 с. 15. Болтянский В.Г., Глейзер Г.Д. К проблеме дифференциации образования // Математика в школе. -1988. Ч № 3. Ч с. 9. 16. Босс В.Интуиция и математика. Ч М.: Айрис-пресс, 2003. Ч 192 с. 17. БронштейнИ.Н. Гипербола//Квант, 1975. Ч. № 3. Ч С. 16. 18. Бронштейн И. Н. Эллипс // Квант, 1975. Ч.№ 1. Ч С. 2. 19. Веннинджер М. Модели многогранников / Неревод с англ. В.В. Фирсова. Под ред. и с послесл. И.М. Яглома. Ч М.: Мир, 1974. Ч 236 с. 20. Верпадский В.И. Избранные труды по истории науки. Ч М.:, 1981. Ч 359 с. 21. Вернадский В.И. Научное мировоззрение (из лекции л О научном мировоззрении) // В кн.: На переломе. Философские дискуссии 20- годов: философия и мировоззрение / Сост. П.В. Алексеев. Ч М.: Политиздат, 1990. Ч 528 с Ч С. 180-203. 22. Вернадский В.И. О науке. Т.1: Научное знание. Научное творчество. Научная мысль. Ч Дубна: Феникс, 1997. Ч 23. Вернер А.Л. и др. Математика. 10 (И) кл..Ч М.: Нросвещение, 2000. Ч с. 24. Владимирский Г.А. Стереоскопические чертежи по геометрии. Ч М.: Учпедгиз, 1962. Ч 176 с. 25. Выготский Л.С. Собр. соч. Т.З / Проблемы развития психики / Под ред. и с послесл. A.M. Матюшина. Ч М.: Педагогика, 1983. Ч 367 с. 26. Гайбуллаев Н.Р., Дырченко И.И. Развитие математических способностей учащихся: Метод, пособие для учителей.Ч Ташкент: Укитувчи, 1988.Ч 248 с. 27. Гегель Г.В.Ф. Наука логики. Ч М.: Мысль, 1974. Ч 452 с. 28. Геометрия: Задачник для классов с углубл. профильным изучением математики: 10 (И) кл. / Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич;
Под науч. ред. А.Р. Ряза новского. Ч 2-е изд. Ч М.: Дрофа, 2004. Ч 250 с. (235 с.) 29. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений./ И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. ^Ч М.: Просвещение, 2001. Ч 271 е. 30. Геометрия: Учеб. для классов с углубл. нрофильным изучением математики: 10 кл. / Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич;
Под науч. ред. А.Р. Рязановского. Ч М.: Дрофа, 2004. Ч 223 с. 31. Геометрия: Учеб. для классов с углубл. нрофильным изучением математики: 11 кл. / Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич;
Под науч. ред. А.Р. Рязановского. Ч 2-е изд., иснр. Ч М.: Дрофа, 2004. Ч 368 с. 32. Глаголев А.Н. Сборник геометрических задач и краткий курс элементарной геометрии. Ч М.,1890. 33. Глаголева Е.Г., Пикольская И.Л. Формирование материалистического мировоззрения на уроках алгебра и начала анализа в средней школе: Сб. статей / Сост. Е.Г. Глаголева, О.С. Ивашев- Мусатов.Ч М., Просвещение, 1980.Ч 256 с. Ч С. 29-52. 34. Глейзер Г.Д. О дифференцированном обучении // Математика (еженедельное приложение к газете Первое сентября).- 1995. Ч № 40. Ч С. 2. 35. Глейзер Г.И. История математики в школе: 9-10 классы. Пособие для учителей. Ч М.: Просвещение, 1983. Ч 351 с. 36. Гнеденко Б.В. Введение в снециальность математика.Ч М.: Наука, 1991. Ч240 с. 37. Гнеденко Б.В. Формирование мировоззрения учащихся в процессе обучения математике. Ч М.: Просвещение, 1982. Ч 145 с. 38. Голованова Е.Ю. Методические особенности обучения математике в старших классах гуманитарного направления: Автореф. дис....канд. пед. наук.ЧМ., 1991.Ч18 с. 39. Гончаров Н., Макаров В., Морозов В. В лучах кристалла Земли // Техника Ч молодежи, 1981. Ч № 1. 40. Гончаров Н.К. О введении фуркации в старших классах средней щколы // Советская педагогика. Ч 1958. -J^2 6. Ч С. 12-37. 41. Горстко А.Б. Познакомтесь с математическим моделированием. Ч М.: Знание, 1991.Ч160 с. 42. Грабарь М.И., Краснянская К.А. Применение математической статистики в недагогических исследованиях. Непараметрические методы. Ч М.: Педагогика, 1977. Ч136 с. 43. Гурьев П.С. Практические упражнения в геометрии. Ч СПб., 1844. 44. Гусев В.А. Индивидуализация учебной деятельности учащихся как основа дифференцированного обучения математике в средней школе // Математика в школе. -1990. Ч Ш4. Ч С. 27. 45. Гусев В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике. Ч М.: Вербум Ч М, 2003. Ч 432 с. 46. Давидов А.Ю. Элементарная геометрия в объеме гимназического курса. Ч 34-е изд. Ч М.-СПбю: Типография В.В. Думнов Ч наел. бр. Салаевых, 1914. 47. Дидактика: Учебно-методические материалы по курсу / Абдуллина О.А. Ч М.: Прометей, МПГУ, 1992. Ч 248 с. 48. Дорофеев Г.В. и др. Дифференциация в обучении математике // Математика в школе, Ч 1990. ЧJV24. Ч С. 15-21. 49. Дорофеев Г.В. О принципах отбора содержания школьного математического образования // Математика в школе Ч 1990. Ч №6. Ч С. 2. 50. Дубровский В.Н. Неожиданный ракурс // Квант, 1980. Ч Jf 2. Ч С. 51. Дубровский В.Н. Стереометрия с компьютером // Компьютерные инструменты в образовании, 2003. Ч № 6. Ч С. 52. Епишева О.Б. Технология обучения математике на основе деятельностного подхода. Ч М.: Просвешепие, 2003. Ч 224 с. 53. Ерохина М.Н. Формирование эвристической деятельности старшеклассников при изучении углубленного курса геометрии: Автор, дисс.... канд. пед. наук. Ч М.;
1999. Ч 16 с.
54. Жохов А.Л. Научные основы мировоззренчески направленного обучения математике в общеобразовательной и профессиональной школе: Автореф. дисс.... докт. пед. наук. Ч М.;
1999. Ч 40с. 55. Жохов А.Л. О проблеме реализации мировоззренческой направленности обучения предметам // Совершенствование уч.-восн. процесса в школе и вузе: Материалы Республ. конфер. Ч Кривой рог, 1990. Ч С. 76-78. 56. Жохов А.Л. Формирование мировоззрения как направляющей структуры мчности // Деятельность и формирование творч. личности учащихся / Тезисы Всесоюзн. конфер. 4.1. Ч Уфа Ч Москва, 1990. Ч С. 54-56. 57. Жохов А.Л., Володарская А.А. Личностно и мировоззренчески ориентированные ситуации в образовательном процессе профессиональной школы (на примере естественнонаучных и общетехнических дисциплин). Методические рекомендации. Ч М.: АПК и ПРО, 2002. Ч 23 с. 58. Земляков А. Введение в стереометрию // Квант, 1985. Ч К 9. Ч С. 14. 59. Зильберберг Н.И. Урок математики: подготовка и проведение: Кн. для учителя. Ч М.: Просвещение: АО Учеб. лит., 1995. Ч 178 с. 60. Исследование психологии процесса изобретения в области математики / Адамар Ж.;
Пер. с фр.: М.А. Шаталова, О.П. Шаталовой;
под ред. И.Б. Погребысского. Ч М.: МЦНМО, 2001. Ч 127 с. 61. Калошина И.П. Проблемы формирования технического мышления.Ч М.:МГУ, 1974.Ч184 с. 62. Канторович Л. В. Экономический расчет наилучшего использования ресурсов. Ч М.: Изд-во АП СССРД959. Ч с. 63. Карелина И.Е. Некоторые вопросы формирования мировоззрения старшеклассников при использовании предметно-ориентированной среды Живая геометрия // Проблемы совершенствования математической подготовки в школе и ВУЗе. Вынуск 9. Ч М.: Прометей, МПГУ, 2004. Ч С. 17-19. 64. Карелина И.Е. О проблеме формирования мировоззрения учащихся при изучении математики // Актуальные проблемы подготовки будущего учи теля математики. Межвузовский сборник научных трудов. Выпуск 5. / Под ред. Ю.А. Дробышева и И.В. Дробышевой. Ч Калуга: Изд-во КГПУ им. К.Э. Циолковского, 2003. Ч С. 194-198. 65. Карелина И.Е. О роли информапионных технологий в развитии мировоззрения учащихся // Математическая и методическая подготовка студентов педвузов и университетов в условиях модерпизапии системы образования: Материалы XXII Всероссийского семинара преподавателей математики педвузов и университетов. Ч Тверь: Твер. гос. ун-т, 2003. Ч С. 201. 66. Карелина И.Е. Основные этапы формирования мировоззрения старшеклассников// Современные проблемы школьного и вузовского математического I образования: Тезисы XXIV Всероссийского семинара преподавателей математики университетов и педагогических вузов. Ч М.;
Саратов: Саратовский, гос. ун-т,2005. Ч С. 173-174. 67. Карелина И.Е., Кузьминова И.В. О современной концепции профильного обучения в средней школе // Иаучные труды МПГУ. Серия: Естественные науки. Сб. статей. Ч М.: Прометей, 2003. Ч С. 70-73. 68. Карелина И.Е., Петрова Л.В. Математика. Психология. Интеллект // Математика (еженедельное приложение к газете Первое сентября), 2002. Ч №47 Ч С. 1-4. 69. Карпей ж. Моё дидактическое кредо // Повые ценности образования: Десять концепций и эссе. Ч М.:ИПИ РАО, 1995. Ч 154 с. 70. Касьян А.А. Контекст образования: наука и мировоззрение: Монография. Ч Н. Новгород: Изд-во ПГПУ, 1996. -184 с. 71. Киселев А.П. Элементарная геометрия. Ч Изд-е 12-е. Ч М.-Л.: Учпедгиз, 1931.Ч272 с. 72. Клайн М. Математика: Утрата определенности / Пер. с англ. Ю.А. Данилова;
Под ред. И.М. Яглома. Ч М.: Мир, 1984. Ч 446 с. 73. Клаус Г. Введение в дифференциальную психологию учения. / Пер. с нем. Ч М.: Педагогика, 1987. Ч 176 с.
74. Колмогоров А.П. МатематикаЧ наука и нрофессия.Ч М.: Паука, 1988. Ч 8 8 с. 75. Колягин IO.M., Ткачева М.В., Федорова П.Е. Профильная дифференциация обучения математике // Математика в щколе.Ч 1990.Ч J^2 4. Ч С. 21-27. 76. Концепция общего среднего образования как базового в единой системе непрерывного образования. Ч М.: Педагогика, 1988. Ч 64 с. 77. Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования // Учительская газета. Ч 2002. Ч N2 42. Ч С. 13. > 78. Кордемский Б.А. Великие жизни в математике: Кн. для учащихся 8-11 кл. Ч М.: Просвещение, 1995. Ч 192 с. 79. Крутецкий В.А. Психология математических снособностей щкольников. Ч М.: Просвещение, 1968. Ч 431 с. 80. Крутецкий В.А. Психология. Ч 2-е изд., нерераб. и донол. Ч М.: Просвещение, 1986. Ч 336 с. 81. Крылов А.П. Мои воспоминания. Ч М.: Изд-во Академии наук СССР, 1963. Ч380 с. ^ 82. Купиларри А. Трудности доказательств. Как преодолеть страх перед математикой. Ч М.: Техносфера, 2002. Ч 304 с. 83. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов. Ч 2-е изд. Ч М.: Просвещение, 1967. Ч 560 с. 84. Кущнир И. Возвращение утраченной геометрии. Ч Киев: Факт, 2004. 328 с. 85. Кущнир И. Треугольник и тетраэдр в задачах. Ч Киев: Факт, 2004. Ч 336 с. <: 86. Лазурский А.Ф. Классификация личностей / Под ред. М.Я.Басова, В.П.Мясищева. Ч 2-е изд. Ч М. -Петроград: Госиздат, 1923. Ч 368 с. 87. Леонтьев А.П. Избранные психологические произведения. В двух томах. Т. 1 Ч М.: Педагогика, 1983. Ч 392 с.
88. Майер В.Р. Методическая система геом. подготовки учителя математики на основе новых информационных технологий: Автореф. дисс. на соиск, учен. степ, д-ра пед. наук: (13.00.02) / Красноярский гос. пед. уп.-т.Ч М., 2001. Ч42 с. 89. Майер Р.А., Колмакова Н.Р. Задачи прикладной направленности как средство формирования основных понятий и методов математического анализа в школе: Учебн. пос. Ч Красноярск: КГПИ, 1989. Ч 134 с. 90. Мамардашвили М.К. Как я понимаю философию. 2-е изд., измен и допол. / Сост. и общ. ред. Ю.П. Сенокосов.Ч М.: Изд-во Лабиринт, 1992.Ч 415 с. 91. Мамардашвили М.К. Картезианские размышления. Ч М.: Изд. группа Прогресс, Культура, 1993. Ч 352 с. 92. Мамардашвили М.К. Необходимость себя. / Лекции. Статьи. Философские заметки. / Под общей ред. Ю.П.Сенокосова. Ч М.: Изд-во Лабиринт, 1996. Ч432 с. 93. Манвелов С.Г. Конструирование современного урока математики.Ч М.: Просвещение, 2002. Ч 176 с. 94. Марголис Дж. Личность и сознание. Перспективы нередуктивного материализма. Пер. с англ.. Ч М.: Прогресс, 1986. Ч 420 с. 95. Математика в современном мире / Пер. с англ. Предисл. В.А. Успенского.Ч М.: Мир, 1967. Ч 205 с. 96. Математика: Учеб. пос. для 10 кл.: (Для шк. ест.-науч. ориент.) / Атапасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Ч Спб.: Спец. лит., 1996. Ч 244 с. 97. Межпредметные связи естественно-математических дисциплин. Пособие для учителя / Под ред. Федоровой В.П. Ч М.:Просвещение,1980. Ч 207 с. 98. Метельский П.В. Психолого-педагогические основы дидактики математики. Ч Минск: Вышэйная школа, 1977. Ч 158 с. 99. Метельский П.В. Пути совершенствования обучения математике: пробл. соврем, методики математики.Ч Минск: Университетское изд-во.
1989-169 С. 100. Методика обучения геометрии / Под. Ред. В.А. Гусева.Ч М.: Академия, 2004.Ч 368 с. 101. Методика преподавания геометрии в ст. классах ср. школы / Под ред. А.И. Фетисова. М.: Просвещение, 1967. Ч 272 с. 102. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика: Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов/ Оганесян В.А., Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Саннинский В.Я.. Ч М.: Просвещение, 1980. Ч 368 с. 103. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика / А.Я.БЛОХ, В.А.Гусев, Г.Д.Дорофеев и др.;
Сост. В.И.Мишин. Ч М.: Просвещение, 1987. Ч 416 с. 104. Методологические и мировоззренческие проблемы истории философии / АП СССР, Ин-т философии. Отв. ред. В.В. Мшвениерадзе. Ч М.: Наука, 1988.Ч278 с. 105. Мордкович А.Г., Смирнова И.М. Математика. 10 (И) К л. Ч М.: Мнемозина, 2004. Ч с. 106. Налимов В.В. На грани третьего тысячелетия: что осмыслили мы, приближаясь к XXI веку. Ч М.: Лабиринт, 1994. Ч 73 с. 107. Немов Р.С. Психология. Ч М.: Просвещение, 1990. Ч 302 с. 108. Никонова Е.Ю. Особенности содержания математического образования учащихся классов экономического направления: Дисс....канд. пед. наук. Ч М., 1995. Ч232 с. 109. Новиков Д.А. Статистические методы в педагогических исследованиях (типовые случаи). Ч М.: МЗ-Пресс, 2004. Ч 67 с. НО. Новые цепности образования: тезаурус для учителей и школьных психологов / Сост. Крылова Н.Б. Ч М.;
1995. Ч 114 с. 111. Осмоловская И.М. Как организовать дифференцированное обучение. Ч М.: Сентябрь, 2002. Ч 160 с.
112. Особенности обучения математике в профильной школе н подготовка учителя к работе с пей: Тезисы докл. на Герцен, чтениях/ РГПУ им. А.И. Герцена. Ч Спб.: Образовапие, 1996. Ч 59 с. ИЗ. Пензина О.П. Реализация принципа гумапизации образования на фак.ных занятиях по геометрии с уч-ся ст. классов. Автор, дисс.... канд. нед. наук.ЧМ.: 2001.Ч16 с. 114. Перепелкин Д.И. Курс элементарной геометрии. Часть II. Геометрия в пространстве. Ч М.-Л.: Гос. изд. техн.-теор. лит., 1949. Ч 347 с. 115. Погорелов А.В. Геометрия 7 Ч 11 кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений. Ч 10-е изд. Ч М.: Просвещепие, 2000. Ч 383 с. 116. Пойя Д. Математика и правдоподобные рассуждения.Ч М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1975. Ч 464 с. 117. Пономарева Т.Х. Методические особенности обучения математике в старших классах технического направления: Автореф. дисс....кан. пед. наук. Ч М., 1992.-17 с. 118. Поспелов П.П., Поспелов И.Н. Формировапие мыслительных операций у старшеклассников. Ч М.: Педагогика, 1989. Ч 152 с. 119. Профаммы для общеобразовательных учреждений. Математика.Ч М.: Просвещение, 1996. Ч 193 с. 120. Психологический словарь / Под ред. В.В. Давыдова и др. Ч М.: Педагогика, 1983. Ч447 с. 121. Радемахер Т., Теплиц О. Числа и фигуры: Опыты математического мышления. Ч 4-е изд. Ч М.: Паука, 1966. Ч 263 с. 122. Рассуждения о концепции шк. геометрии / И.Ф. Шарыгин. Ч М.: МЦНМО, 2000. Ч 56 с. 123. Роберт И.В. Современные информационные технологии в образовании: дидактические проблемы: перспективы использования. Ч М.: ШколаПресс, 1994. Ч205 с. 124. Рубинштейн С.Л. Основы общей психологииЧ 2-е изд. Ч М.: Учпед гиз, 1956. Ч619 с. 125. Рубинштейн С.Л. Проблемы общей нсихологии.Ч М.: Педагогика, Х 1976. Ч416 с. 126. Селевко Г.К. Современные образовательные технологии.Ч М.: Пародное образование, 1998. Ч 256 с. 127. Симур Паперт и образовательные технологии в российской нерснективе / Сб. иод ред. А.Л. Семенова. Ч М.: МИКПРО Ч Пресс, 2001. Ч 104 с. 128. Смилга В. Как начиналась геометрия // Квант, 1992. Ч JT 2. Ч С. 11. So 129. Смирнова И.М. В мире многогранников: Кн. для учащихся. Ч М.: Про^ свещение, 1995.Ч 144 с. 130. Смирнова И.М. Геометрия 10-11: Учебное нособие для учащихся гуманитарного профиля обучения. Ч М.: Просвещение, 1996. Ч 239 с. 131. Смирнова И.М. Паучно-методические основы нреподавания геометрии в условиях нрофильной дифференциации обучения.Ч М.: Прометей, 1994.Ч152 с. 132. Смирнова И.М. Педагогика геометрии.Ч М.: Прометей, 2004.Ч 337 с. *^ 133. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия, 10-11 кл: Учебник для естественнонаучного профиля обучения. Ч М.: Просвещение, 2003. Ч 239 с. 134. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия, 10-11: Учебник для общеобразовательных учреждений. Ч М.: Мнемозина, 2003. Ч 232 с. 135. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия. 10-11 кл.: Методические рекомендации для учителя. Ч. 1. Ч М.: Мнемозина, 2003. Ч 255с.;
Ч. 2. Ч М.: Мнемозина, 2004. Ч215с. 136. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия. Дидактические материалы: ^. Учеб. нособие для 10Ч11 кл. общеобразоват. учреждений.Ч М.: Мнемозина, 2003.Ч192 с. 137. Струве В.Б. О курсе математики в коммерческих училищах // Техническое образование.Ч 1894. Ч J 2 1. Ч С. 1-13. N 138. Такая разная геометрия / Составитель А.А.ЕгоровЧ М.: Бюро Квантум, 2001.Ч128 с. 139. Теплов Б.М. Избранные труды. В двух томах. Том 1. Том 2. Ч М.: Педагогика, 1985. Ч 328 с, 360 с. 140. Терешин Н.А. Методическая система работы учителя математике ио формированию научного мировоззрения учащихся: Дисс в форме научного доклада... докт. нед. наук. Ч М.;
1991. Ч 44 с. 141. Терешин Н.А. Прикладная нанравленность школьного курса математики. Книга для учителя. Ч М.: Просвещение, 1990. Ч 95 с. 142. Терешина Т.Н. Изучение начал математического анализа в условиях дифференциации учебного нроцесса в средней школе: Автореф. дисс....канд. пед. наук. Ч М.;
1997. Ч 17 с. 143. Тесленко И.Ф. Формирование диалектико-материалистического мировоззрения учащихся при изучении математики.Ч М.: Просвещение, 1979.Ч 136 с. 144. Трайнев В.А. Информационные педагогические технологии (обобщения и рекомендации). Ч М.: Прометей, 2003. Ч 280 с. 145. Трайнев В.А. Конструктивная педагогика: Учебное пособие. Ч М.: Сфера, 2004. Ч 320 с. 146. Труды I Всероссийского съезда преподавателей математики. Том 1.Ч Снб;
1913. Ч609 с. 147. Унт И.Э. Индивидуализация и дифференциация обучения. Ч М.: Педагогика, 1990. Ч192 с. 148. Уровневая дифференциация обучения. Из опыта работы. Выпуск 2 / Сост. О.Б.Логинова. Ч М.:Образование для всех, 1994. Ч 125 с. 149. Федеральный компонент государственного стандарта общего образования. Часть П. Среднее (полное) общее образование./ Министерство образования Российской Федерации. Ч М, 2004. Ч 266 с. 150. Федорова П.Е. Методическое обеспечение профильной дифференциа ции обучения математике в старших классах средней школы: Дисс.... канд. пед. наук в форме научного доклада. Ч М., 1991. -28 с. ^ 151. Философский энциклопедический словарь / ред. кол.: С.С. Аверинцев идр. Ч 2-е изд. Ч М.: Сов. энцилк.,1989. Ч 815 с. 152. Фирсов В.В. О прикладной ориентации курса математики // Углубленное изучение алгебры и анализа: Пособие для учителей (Из опыта работы). Ч М.: Просвещение, 1977. Ч с. 215-239. 153. Хинчин А.Я. Педагогические статьи / Под ред. Б.В. Гнеденко.Ч М.: Изд-во Акад. пед. наук РСФСР, 1963. Ч 204 с. 154. Холодная М.А. Психология интеллекта: Парадоксы исследования.Ч М.- Томск: ТГУ;
Барс, 1997. Ч 392 с. 155. Четверухин П.Ф. Изображение фигур в курсе геометрии. Пособие для учеников и студентов. Ч Изд. 2-е, нерераб. Ч М.: Учпедгиз, 1958. Ч 216 с. 156. Четверухин П.Ф. Методы геометрических ностроений.Ч 2-е изд.Ч М.: Учпедгиз, 1952. Ч 148 с. 157. Чистякова С.Н., Родичев П.Ф., Лернер П.С. Интересы и склонности подростков Ч основа профильного обучения (концентуальные подходы) / Поf' вые ценности образования. Личностно ориентированная нрофильная школа. Ч 2005, выпуск 1 (20). Ч С. 5 Ч 17. 158. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10-11 кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений. Ч М.: Дрофа, 2002. Ч 208 с. 159. Шарыгин И.Ф. Геометрия. Планиметрия. 9-11 кл.: От учебной задачи к творческой: Пособие для учащихся.Ч 2-е изд., стереотип..Ч М.: Дрофа, 2001. Ч400 с. 160. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.П. Наглядная геометрия. 5-6 кл.: Пособие для общеобразоват. учеб. заведений. Ч 5-е изд. Ч М.: Дрофа, 2002. Ч 189 с. 161. Шарыгин И.Ф., Шарыгин Д.И. Геометрия. 10 кл.: Методическое пособие к учебнику И.Ф. Шарыгина Геометрия 10-11 класс.Ч М.: Дрофа, 2002.Ч144 c. 162. Шаскольская М.П. Очерки о свойствах кристаллов.Ч М.: Наука, 1978.Ч191с. 163. Швейцер А. Благоговение иеред жизнью: Пер. с нем. / Сост. и послесл. А.А, Гусейнова;
Общ. ред. А.А. Гусейнова, М.Г. Селезнева. Ч М.: Професс, 1992. Ч572 с. 164. Эвристический принции Л. В. Канторовича А. Г. Кусраев, С. С. Кутателадзе // Сибирский журнал индустриальной математики.Ч Т.4, JT 2. Ч С. sa 18-28(2001). 165. Якиманская И.С. Развитие нространственного мышления школьников. Ч М.: Педагогика, 1980. Ч 240 с. 166. Якиманская И.С. Формирование интеллектуальных умений и навыков в нроцессе производственного труда. Ч М.: Высш. шк., 1979. Ч 88 с. 167. 5/1001522/Literature.htm 168. 169. 170. 171. www.mto.ru/katal/index.html (сайт Р - ЭМТО) <' ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение 1 Учебный материал по теме Конические сечения 1. Свойства конических сечений поистине неисчернаемы, и любое из них можно принять за определяющее. Важное место в Математическом собрании Паппа (ок. 300), Геометрии Декарта (1637) и Началах Ньютона (1687) запимает задача о геометрическом месте точек относительно четырех прямых. Если на плоскости заданы четыре прямые L^ Lj, L^VL L4 (две из которых могут совпадать) и точка Р такова, что произведение расстояний от Р до L\ и Ьг пропорциопальпо произведепию расстояний от Р до L3 и L^, то геометрическое место точек Р является коническим сечением. Ошибочно полагая, что Аполлоний и Папп не сумели решить задачу о геометрическом месте точек относительно четырех прямых, Декарт, чтобы получить решение и обобщить его, создал аналитическую геометрию. 2. Аналитический подход. 2.1. Алгебраическая классификация. В алгебраических терминах конические сечения можно определить как плоские кривые, координаты которых в декартовой системе координат удовлетворяют уравнению второй степени. Иначе говоря, уравнение всех конических сечений можно записать в общем виде как (1) ylc^+2Fx/ + Q'^+2:tc + 2 ' / + F = 0, где не все коэффициенты А, В и С равны нулю. С помощью параллельного переноса и поворота осей уравнение (1) можно привести к виду Первое уравпение получается из уравнения (1) при В^ ^АС, второе Ч при В^ = АС. Конические сечения, уравнения которых приводятся к первому виду, называются центральными. Конические сечения, заданные уравнениями второго вида с q ФО, называются нецентральными. В рамках этих двух категорий существуют девять различных типов конических сечений в зависимости от знаков коэффициентов. 1) Если коэффициенты а,Ьис имеют один и тот же знак, то не существует вещественных точек, координаты которых удовлетворяли бы уравнению. Такое коническое сечение называется мнимым эллипсом (или мнимой окружностью, если а = Ь). 2) Если аиЬ имеют один знак, а с - противоположный, то коническое сечение - эллипс (рис. 1,а);
при а = Ь- окружность (Рис. 37,6).
^ ' ' Рис. 3) Если а и b имеют разные знаки, то коническое сечение - гинербола (рис. 1,в). 4) Если аи b имеют разные знаки и с = О, то коническое сечение состоит из двух пересекающихся прямых (Рис. 37, а). 5) Если а и b имеют один знак и с = О, то существует только одна действительная точка на кривой, удовлетворяющая уравнению, и коническое сечение - две мнимые пересекающиеся прямые. В этом случае также говорят о стянутом в точку эллипсе или, если а ^ Ь, стянутой в точку окружности (Рис. 37,6). 6) Если либо а, либо b равно нулю, а остальные коэффициенты имеют разные знаки, то коническое сечение состоит из двух параллельных прямых. 7) Если либо а, либо b равно нулю, а остальные коэффициенты имеют один знак, то не существует ни одной действительной точки, удовлетворяющей уравнению. В этом случае говорят, что коническое сечение состоит из двух мнимых нараллельных прямых. 8) Если с = О, и либо а, либо b также равно нулю, то коническое сечение состоит из двух действительных совпадающих прямых. (Уравнение не онределяет никакого конического сечения при а = b = О, поскольку в этом случае исходное уравнение (1) не второй степени.) 9) Уравнения второго тина определяют параболы, если р и q отличны от нуля. Если/7 ^O,aq = O, мы получаем кривую из п. 8. Если жер = О, то уравнение не определяет никакого конического сечения, поскольку исходное уравнение (1) не второй степени. 2.2. Вывод уравнений конических сечений. Любое коническое сечение можно также определить как кривую, по которой плоскость пересекается с квадратичной поверхностью, т.е. с поверхностью, задаваемой уравнением второй степени/(х,>;
, z) = 0. По-видимому, конические сечения были впервые распознаны именно в этом виде, а их названия (см. ниже) связаны с тем, что они были получепы при пересечении плоскости с конусом z^ = х^ +у^. Пусть ABCD - основание нрямого кругового конуса (Рис. 38) с нрямым углом нри вершине V. Пусть нлоскость FDC пересекает образующую VB в точке F, основание - но прямой CD и поверхность конуса - по кривой DFPC, где Р - любая точка на кривой. Проведем через середину отрезка CD - точку - нрямую EF и диаметр АВ. Через точку Р проведем плоскость, параллельную основанию конуса, пере секающую конус по окружности RPS и нрямую EF в точке Q. Тогда QF и QP можно принять, соответственно, за абсциссу х и ординату у точки Р. Получившаяся кривая будет параболой. Построение, представленное на Рис. 38, можно использовать для вывода общих уравнений конических сечений. Квадрат длины отрезка перпендикуляра, восстановленного из любой точки диаметра до пересечения с окружностью, всегда равен нроизведению длин отрезков диаметра. Поэтому Рис. Для параболы отрезок RQ имеет ностоянную длину (так как при любом положении точки Р он равен отрезку АЕ), а длина отрезка QS пропорциональна X (из соотношения QSIEB = QFIFE). Отсюда следует, что (2) у'^ = ах, где а - постоянный коэффициент. Число а выражает длину фокального параметра параболы. Если угол при вершине конуса острый, то отрезок RQ не равен отрезку АЕ;
но соотношение У = RQQS эквивалентно уравнению вида (3) y'^=b'^{lax-x'^)fa^, где аиЬ-постоянные, или, после сдвига осей, уравнению (За) (х^/а^) + (;
/^/Ь^) = 1, являющемуся уравнением эллипса. Точки пересечения эллипса с осью х (х = д и X = -а) и точки пересечения эллипса с осью у (у = Ьиу = -Ь) определяют соответственно большую и малую оси. Если угол нри вершине конуса тупой, то кривая нересечения конуса и плоскости имеет вид гиперболы, и уравнение приобретает следующий вид: (4) у^ = Ь^(2ах + х^)/а^или, после переноса осей, (4а) (х2/а^)-(7^/ь2)=1. В этом случае точки пересечения с осью х, задаваемые соотношением х^ = а^, определяют поперечную ось, а точки нересечения с осью у, задаваемые соотношением у^ = -Ь^, определяют сопряженную ось. Если постоянные а и Ьв уравнении (4а) равны, то гипербола называется равнобочной. Поворотом осей ее уравнение приводится к виду ху = к. Теперь из уравнений (3), (2) и (4) мы можем понять смысл названий, данных Аполлонием трем основным коническим сечениям. Термины лэллипс.
^ I., ^ парабола и гипербола происходят от греческих слов, означающих недостает, равен и превосходит. Из уравнений (3), (2) и (4) ясно, что для эллипсау < (2Ь Id) X, для параболы у = (а) х и для гиперболы у > (2Ь Id) х. В каждом случае величина, заключенная в скобки, равна фокальному параметру кривой. Сам Аполлоний рассматривал только три общих типа конических сечений (перечисленные выше типы 2, 3 и 9), но его нодход допускает обобщение, позволяющее рассматривать все действительные кривые второго порядка. Если секущую плоскость выбрать параллельной круговому основанию конуса, то в сечении получится окружность. Если секущая плоскость имеет только одну общую точку с конусом, его вершину, то получится сечение типа 5;
если она содержит вершину и касательную к конусу, то мы получаем сечение типа 8 (Рис. 37, б);
если секущая плоскость содержит две образующие конуса, то в сечении иолучается кривая типа 4 (Рис. 37, а);
при переносе вершины в бесконечность конус превращается в цилиндр, и если при этом плоскость содержит две образующие, то получается сечение типа 6. Если на окружность смотреть под косым углом, то она выглядит как эллипс. Взаимосвязь между окружностью и эллипсом, известная еще Архимеду, становится очевидной, если окружность ]^+Y^=c^ с помощью подстановки Х=х, Y= {alb) у преобразовать в эллипс, заданный уравнением (За). Преобразование Х=х, Y={ailb)y, где /^=Ч1, позволяет записать уравнение окружности в виде (4а). Это показывает, что гиперболу можно рассматривать как эллипс с мнимой малой осью, или, наоборот, эллипс можно рассматривать как гиперболу с мнимой сопряженной осью. Соотношение между ординатами окружности X +у =а и эллипса (л: 1а )+(у 1Ь )=1 непосредственно приводит к формуле Архимеда А = 7гаЬ для плошади эллипса. Кеплеру была известна приближенная формула 7г(а + Ь) для периметра эллипса, близкого к окружности, но точное выражение было получено лишь в 18 веке после введеиия эллиптических интегралов. Как показал Архимед, плошадь параболического сегмента составляет четыре третьих площади вписапного треугольника, ио длину дуги параболы удалось вычислить лишь после того, как в 17 веке было изобретено дифференциальное исчисление. 3. Проективный подход. Проективпая геометрия тесно связана с построением иерспективы. Если начертить окружность на прозрачном листе бумаги и поместить под источником света, то эта окружность будет проецироваться на находяшуюся ниже плоскость. При этом если источник света расположен непосредственно над центром окружности, а плоскость и ирозрачный лист параллельны, то проекция также будет окружностью (Рис. 39). Положение источника света называется точкой схода. Она обозначена буквой V. Если Красноложена не над центром окружности или если плоскость не параллельна листу бумаги, то проекция окружности принимает форму эллипса. При еще большем паклопе плоскости большая ось эллипса (проекции окружности) удлиняется, и эллипс постепенно переходит в параболу;
па плоскости, параллельной прямой VP, проекция имеет вид параболы;
при еще большем наклоне ироекция принимает вид 188 ОДНОЙ из ветвей гинерболы.
Рис. Каждой точке на исходной окружности соответствует некоторая точка на проекции. Если проекция имеет вид параболы или гиперболы, то говорят, что точка, соответствующая точке Р, находится в бесконечности или бесконечно удалена. Как мы видели, при подходящем выборе точек схода окружность может проецироваться в эллипсы различных размеров и с различными эксцентриситетами, а длины больших осей не имеют прямого отношения к диаметру проецируемой окружности. Поэтому нроективная геометрия не имеет дела с расстояниями или длинами самими по себе, ее задача - изучение отношения длин, которое сохраняется при проецировапии. Это отношение можно найти с помощью следующего построения. Через любую точку Р плоскости проведем две касательные к любой окружности и соединим точки касания прямой р. Пусть другая прямая, проходящая через точку Р, пересекает окружность в точках С\ и Cj, а прямую /? - в точке Q (Рис. 40). В планиметрии доказывается, что РС1/РС2 = -QC\/QC2. (Знак минус возникает из-за того, что направление отрезка QC\ противоноложно направлениям других отрезков.) Иначе говоря, точки Р и Q делят отрезок С\С2 внешним и внутренним образом в одном и том же отношении;
говорят также, что гармоническое отношение четырех отрезков равно - 1. Если окружность спроецировать в коническое сечение и сохранить за соответствующими точками те же обозначения, то гармоническое отношение {PC\){QC2)I{PC2){QC\) останется равным - 1. Точка Р называется нолюсом прямой р относительно конического сечения, а прямая р - полярой точки Р относительно конического сечения.
\ Рис. \ Рис. Когда точка Р приближается к коническому сечению, поляра стремится занять положение касательной;
если точка Р лежит на коническом сечении, то ее поляра совпадает с касательной к коническому сечению в точке Р. Если точка Р расположена внутри конического сечения, то построить ее поляру можно следующим образом. Проведем через точку Р любую прямую, пересекаюп1ую коническое сечение в двух точках;
проведем касательные к коническому сечению в точках пересечения;
предположим, что эти касательные пересекаются в точке Pi. Проведем через точку Р еще одну прямую, которая пересекается с коническим сечением в двух других точках;
допустим, что касательпые к коническому сечению в этих новых точках пересекаются в точке Рг (Рис. 41). Прямая, проходящая через точки Pi и Р2, и есть искомая поляра р. Если точка Р приближается к пентру О центрального конического сечения, то поляра р удаляется от О. Когда точка Р совпадает с О, то ее поляра становится бесконечно удаленной, или идеальной, прямой на нлоскости. 4. Особый интерес для астрономов представляет следующее простое построение точек эллипса с помощью циркуля и линейки. Пусть произвольная нрямая, проходящая через точку О (Рис. 42, а), пересекает в точках Q и R две концентрические окружности с центром в точке О и радиусами Ьиа, где Ь<а. Проведем через точку Q горизонтальную прямую, а через R - вертикальную прямую, и обозначим их точку пересечения Р. Тогда геометрическим местом точек Р при вращении прямой OQR вокруг точки О будет эллипс. Угол ф между прямой OQR и большой осью называется эксцентрическим углом, а ностроенный эллипс удобно задавать параметрическими уравнениями х =а у =Ь sin^. Исключая из них параметр ф, получим уравнение (За).
Рис. Для гиперболы построение во многом аналогично. Произвольная прямая, проходящая через точку О, пересекает одну из двух окружностей в точке R (Рис. 42, б). К точке R одной окружности и к конечной точке S горизонтального диаметра другой окружности проведем касательные, пересекающие OS в точке Т и OR Ч в точке Q. Пусть вертикальная прямая, проходящая через точку Т, и горизонтальная прямая, проходящая через точку Q, пересекаются в точке Р. Тогда геометрическим местом точек Р при вращении отрезка OR вокруг О будет гипербола, задаваемая параметрическими уравнениями х = а sec ф,у = big ф, где ф Ч эксцентрический угол. Эти уравнения были получены французским математиком А,Лежандром (1752-1833). Исключив параметр ф, мы получим уравнение (4а). Эллине, как заметил Н.Коперник (1473-1543), можно построить с помо ш;
ью эпициклического движения. Если окружность катится без скольжения но внутренней стороне другой окружности вдвое большего диаметра, то каждая точка Р, не лежаш,ая на меньшей окружности, но неподвижная относительно нее, опишет эллипс. Если точка Р находится на меньшей окружности, то траектория этой точки представляет собой вырожденный случай эллипса - диаметр большей окружности. Еще более простое построение эллипса было предложено Проклом в V веке. Если концы А и В отрезка прямой АВ заданной длины скользят по двум неподвижным пересекающимся прямым (например, по координатным осям), то каждая внутренняя точка Р отрезка опишет эллипс;
нидерландский математик Ф. Ван Схотен (1615-1660) показал, что любая точка в плоскости пересекающихся прямых, неподвижная относительно скользящего отрезка, также опишет эллипс. Б.Паскаль (1623-1662) в 16 лет сформулировал ныне знаменитую теорему Паскаля, гласящую: три точки пересечения противоположных сторон шестиугольника, вписанного в любое коническое сечение, лежат на одной прямой. Из этой теоремы Паскаль вывел более 400 следствий (см. [167]).
Приложение Построение правильного икосаэдра в программе Живая математика Как построить правильный икосаэдр |Начинаем с ^ |Шаг l | Проведем в каждой грани куба среднюю ннию так, чтобы линии на смежных граиях были иернендикулярны.
масштаб 1.
|Назад| |Кл;
ачалу построения! |Вперед| |Исходное иодожение Как построить правильный икосаэдр |Начинаем с куба..Т] Illter 11 Проведем в каждой грани куба среднюю линию так, чтобы линии на смежных гранях были нернендикулярны. | Отметим на этих линиях по две точки, симметричные относнтельно нентров граней.
|Назад| | К началу построения! |Вдеред| |Вравдать масштаб |Исходиое положен не |Начинаем с Как построить правильный икосаэдр |Шаг 11 Проведем в каждой грани куба среднюю ннню так, чтобы линии на смежных гранях былн нерпендикулярны. [Шаг 21 Отметим на этнх нннях но две точкн, снмметрнчные относнтельно центров граней. [Шаг31 Этн точкн будут вершннамн. Соединим нх ребрами.
3.L [Назад! [ к началу построенвя! [Вперед масштаб [Вращать! [Исходное положение Как построить правильный икосаэдр |Начинаем с ^ Проведем в каждой грани куба средпюю лиииютак, чтобы линии на смежных гранях были нерпендикулярны. |Шаг2 Отметнм на этих линиях но две точки, симметричные относительно центров граней. |111агЗ Эти точки будут верши намн. Соединим их ребрами. |Д1аг 41 Получился многогранник с 20-ю треугольными гранями.
4.
|Назад| | К началу построения! |Вперед| масштаб шатъ |Исходное положение Как построить правильный икосаэдр |Начинаем с ^ 1П1яг 1! Проведем в каждой грани куба среднюю лииию так, чтобы линии на смежных гранях были перпендикулярны. |Шаг 2! Отметим па этих линиях по две точки, симметричные относительно центров грапей. |111агЗ! Эти точки будут вершинами. Соединим их ребрами. |Шаг 41 Получился миогогранпик с 20-ю треугольными гранями. |Шаг5! Из симметричности куба следует, что среди них 12 граией Ч |^внобедренные треугольники! а остальные 8 Ч [равносторонние треугольники | 5.
|Пазад| | К началу построения! |Вперед!
масштаб |Вращать1 |Исходное положепие Как построить правильный икосаэдр |Начинаем с куба...| Проведем в каждой грани куба среднюю линию так, чтобы линии на смежных гранях были нернендикулярны. Отметим на этих линиях но две точки, симметричные относительно центров граней. Эти точки будут вершинами. Соединим их ребрами. |Шаг 41 Получился миогограниик с 20-ю треугольными гранями. Из симметричности куба следует, что среди них 12 граией Ч [равнобедренные треугольники! а остальные 8 Ч[равносторониие треугольники] 6.L |Назад| | К началу построения | |Вперед [вращать] масштаб 1сходное положение!
Как построить правильный икосаэдр Нужно сделать все грани равносторонними. Для этого вынолните следующее |задание;
| Считая ребро куба равным 1, найднте значенне длины ребер икосаэдра, нроведенных в гранях куба, нрн котором все ребра будут равны, введите его в качестве значення а над кнопкой Проверка и нрове1н>те ответ. |У казан йе] ЦПроверкД 7.
| К началу построения] |Вперед| |Вращать масштаб 1сходное положение!
Как построить правильный икосаэдр Нужно сделать все грани равносторонними. Для этого вынолните следующее |задание1 Считая ребро куба равным 1, найдите значение длины ребер икосаэдра, ироведенных в гранях куба, при котором все ребра будут равны, введнте его в качестве значения а над кнонкой Проверка и нрове{и>те ответ.
|Указание| С номощьютеоремы Пифагора выразите длииу ребра АС через а, приравняйте ее к АВ = а и решите получеииое уравненне для а.
8.
| К началу построения! |Вперед| масштаб |Вращать | |Исходное ноложение!
Приложение Анкета 1 (нужные ответы подчеркните или впишите) 1.Ваше отношение к предмету Математика: 1. Самый любимый предмет 2. Занимает равное место среди других предметов естественного цикла 3. Занимает равное место среди других предметов, изучаемых в школе 4. Имеется несколько нелюбимых предметов, в том числе математика. 5. Самый нелюбимый предмет (укажите причину): П.Какую литературу Вы используете при выполнении домашней работы по геометрии? 1.Учебник, тетрадь с классными записями 2.Дидактические материалы 3.Справочная литература 4.Дополнительная литература Ш.Какие этапы урока Вам больше нравятся? 1.Решение задач 2.Объяснение нового материала 3.Устная работа 4.Самостоятельная работа 5.Обобщающие моменты б.Лабораторная работа 7. Индивидуальная работа над заданием IV.HTO В Вашем нонимании естественнонаучный класс? У.Хотели бы Вы заниматься в классе, снрофилированном на технический вуз? 1.Да. 2.Нет. У1.Укажите нричины, от которых зависит Ваш ответ: 1.Нежелание изучать математику в нолном объеме 2.Желание изучать более нодробно нрикладные и нрактические стороны курса математики З.Мне одинаково интересны все предметы 4.Мне одинаковы неинтересны все предметы 5.Так хотели бы родители б.Посоветуюсь с друзьями и сделаю так же, как и они 7.Возможность подготовиться к поступлению в вуз 8.Льготное поступление в вуз Анкета 2 (нужные ответы нодчеркните или впишите) 1.Что Вам было бы интересно при изучении математики: 1.Доказательство теоретических фактов 2.Решение задач З.Построение графиков 4.Построение стереометрических чертежей 5.Решение прикладных задач б.Решение занимательных задач 7.Применение алгоритмических методов при решении задач 8.Исторические сведения П.Что Вам было бы наиболее полезно при изучении математики? 1.Теория 2.Решение задач всем классом З.Самостоятельное решение задач 4.Практическое применение полученных знаний 5.Исторические сведения Ш.Какой раздел школьного курса математики Вы готовы изучать с наименьшим интересом? А с наибольшим? Почему? 1.Планиметрия 2.Алгебра З.Стереометрия 4.Алгебра и начала анализа IV.4T0 такое в Вашем понимании МИРОВОЗЗРЕПИЕ? Есть ли оно у Вас? Можно ли его сформировать? Если да, то помогает ли в этом геометрия?
Анкета 3 (нужные ответы подчеркните нли внишите) I.EcTb ли в Вашей школе программа Живая математика (или её нредыдушие версии)? П.Планируете ли Вы использование программы в своей работе? Ш.Какие возможности программы для Вас паиболее интересны? 1У.Для каких целей и каким образом Вы могли бы использовать программу? У.Считаете ли Вы, что использование программы оказывает положительное влияние и способствует формированию математически направленного мировоззрения учаш;
ихся? VI.Ha Ваш взгляд, для учашихся каких классов нрименение программы наиболее целесообразно? VII.Собираетесь ли Вы продолжить изучать возможности нрограммы?
/> ^ i Приложение 4 Контрольная работа № 1 1. Дана нрямая а и точка А. Сколько нлоскостей можно провести через данную прямую и данную точку? Ответ объясните. 2. Докажите, что если нлоскость и прямая, не лежашая па ней, имеют общую точку, то эта точка единственная. У' 3. Найдите число диагоналей: а) пятиугольпика;
б) пятиугольной призмы. 4. Ребро куба A...Dx равно 1. Определите расстояние от центра грани ABCD до точки пересечения нрямой С\М, где М Ч середина ребра ^4^1, и плоскости грапи ABCD. Контрольная работа JT 2 S 1. Можно ли составить трехгранный угол с плоскими углами: а) 40, 70 и 100;
б) 150, 120, 90? 2. В выпуклом многограннике известно число вершин В, нрпчем в каждой вершине сходится одно и то же число ребер т. Найдите число плоских углов, ребер и граней данного многогранника. 3. Как измениться число вершин, ребер и граней выпуклого многограпника, если от него отсечь один из его углов?
4. Найдите ребро правильного октаэдра, вписанного в куб, если ребро куба равно 1.
{ 5*. Докажите, что любое сечение трехграиного угла с плоскими углами по 90, пересекающее все его ребра, является остроугольным треугольником. Контрольная работа № 3 1. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку ЩЧ3, О, 7) и перпендикулярную вектору с координатами (1,-1,3). 2. Найдите координаты точки нересечения плоскости 2хЧу с осью а) абсцисс;
б) ординат. 3. Выясните, f 3 < л: < 6, а 4. Верщины тетраэдра имеют следующие координаты: 0(0, О, 0), какую геометрическую фигуру определяет система: + ЪгЧ 1= О А{5, 0,0), 5(0, 3, 0), С(0, О, 6). Занищите неравенство, характеризующее внутреннюю область данного тетраэдра. Изобразите внутреннюю область данного в предыдущем задании тетраэдра и найдите ее объем. 5. Найдите наибольшее и наименьшее значения линейной функции и = X Ч у + Z Ч 1 на тетраэдре из предыдушей задачи.
Приложение Вычисление эмпирического значения критерия Манна-Уитии до начала эксперимента Таблица Номер члена ЭГ Число задач, правильно решенных 1-ым членом ЭГ до начала эксперимента Xi Число членов КГ, правильно решивших строго большее число задач, чем /-ый член ЭГ Номер члена КГ Число задач, правильно решенных j-ым членом КГ до начала эксперимента J 13 13 7,5 4 1 2 3 У} 1 2 3 14 14 17 17 14 12 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 20 6 10 18 14 8 15 18 16 22 14 23 13 9 15 9 18 10 И 16 4 28 22,5 5,5 13 25 11,5 5,5 10 3,5 13 3 15 24 11,5 24 5,5 22,5 20,5 10 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 13 10 24 7 9 13 16 17 27 6 9 12 16 17 15 6 11 22 11 7 18 25 14 11 Вычисление эмпирического значения критерия Манна-Уитни носле эксперимента Таблица Число членов КГ, правильно Номер Число задач, правильно реНомер Число задач, правильно ререшивших строго большее члена КГ члена ЭГ шеннььх /Ы членом ЭГ по-М шенных j-ым членом КГ число задач, чем /-ый член ЭГ сле начала эксперимента после начала эксперимента / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Xi 1, 0 0,5 19.5 3 1 0 0 0,5 1 0,5 0,5 1 0 1,5 0,5 0,5 0,5 J 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 У] 41 40 28 36 39 41 42 40 39 40 40 39 41 38 40 40 40 34 34 33 33 32 32 31 30 28 26 26 23 36 35 34 28 25 19 20 21 22 23 24 32 31 31 34 29 23 14 16 16 75, 18 26,5 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 28 26 33 22 38 31 40 20 34 36 Приложение 6 Изготовление моделей многогранников При построении бумажных моделей многогранников рекомендуют действовать следующим образом: 1. Изготовьте чертежи граней. Если вы хотите построить модель среднего размера, можно просто нанечатать чертежи, приведенные на странице, посвященной соответствующему многограннику. Если же вы хотите ностроить модель другого размера, вы должны выполнить чертеж самостоятельно. Будьте очень аккуратны, от точности чертежа зависит, насколько хорощо нодойдут детали. 2. Изготовьте по чертежу трафарет. Для этого наложите чертеж на лист плотного картона и проколите оба листа в вершипах многоугольника иглой или тонким щилом. Острым карандащом соедините по линейке полученные проколы. Аккуратно вырежьте пожом или ножницами трафарет, отступив от карандащной линии примерно на 0.5 см. 3. Выберите материал, из которого вы будете изготавливать модель. Для моделей среднего размера неплохо подходит плотная чертежная бумага. Хорошо также использовать тонкий гляпцевый картон. Если же вы делаете больщую модель, нужно выбирать более плотный материал, чтобы модель не разрущилась от собственного веса. Если вы делаете цветную модель, надо использовать цветной материал или самостоятельно окрасить его до того, как вы еде лаете заготовки. 4. По трафарету изготовьте требуемое число заготовок. Для изготовления Л^ заготовки положите трафарет на лист материала, выбранного вами для модели, и сделайте проколы в вершинах многоугольника. Тенерь острым предметом Ч иглой или шилом Ч нанесите между проколами границы и линии сгибов. Если вы используете достаточно толстый картон, вместо иглы можно воспользоваться очень острым ножом, аккуратно надрезав картон на треть толшины. 5. Вырежьте детали, оставляя поля-наклейки, которыми части будут соединены, размером от 0.3 до 0.5 см. Есть несколько технологий соединения деталей (о них сказано ниже);
оставляйте те наклейки, которые требуются при выбранной вами технологии. Срежьте уголки заготовок так, чтобы разрез прошел точно через прокол. 6. Аккуратно согните заготовки по проведенным вами линиям. Если сгиб очень длинный (более 8 см) то, чтобы не помять заготовку, воспользуйтесь липейкой, прижав ей заготовку по линии сгиба. 7. Этот этап можно нропустить, но если вы делаете одноцветную модель, с такой обработкой она значительно выиграет. Отогнув наклейки, аккуратно ). окрасьте черной тушью ребра будущей модели. Чтобы не испачкать заготовки, окрашивайте ребра по одному, не приступая к следующему, пока не просохло предыдущее. Очень удобно работать конвейерным способом, делая одновременно много одинаковых заготовок Ч вы окрашиваете у каждой заготовки по одному ребру, и, когда вы обработаете последнюю деталь, первая уже полпостью высохнет и можно начинать окраску следующего ребра. 8. Если модель имеет очень острые многогранные углы, дополнительно подрежьте уголки наклеек. Это не стоит делать раньше, иначе будет сложно i, аккуратно отогнуть наклейки. Постарайтесь оставлять для склейки как можно больше места. Срезайте ровно столько, чтобы наклейки не мешали граням и друг другу вблизи вершин многогранника. 9. Когда все детали готовы, можно приступать к склейке модели. Существуют четыре способа склейки деталей:
вуют четыре способа склейки деталей: Двойные наклейки. Наклейки сохраняются на каждом ребре каждой де/Хл тали. Наклейки приклеиваются друг к другу, оставаясь внутри модели;
в результате получаются ребра двойной толщины. Эти ребра делают модель очень жесткой и прочной. Одинарные наклейки. Наклейка оставляется только на одной из деталей и приклеивается к другой. Этот метод плох тем, что склейка получается несимметричной, а модель Ч неаккуратной. Я не рекомендую пользоваться этим методом. Однако при изготовлении некоторых моделей при соединении отдельных частей приходится пользоваться именно этим методом, так как двойную наклейку сделать не удается. Все такие случаи оговорены в тексте особо. Склейка встык. Метод требует очень большой аккуратности. Нри склейке встык наклейки вообще не оставляются. Детали соединяются без клея, а затем клей густо наносится на границу между ними. Части необходимо придерживать до высыхания клея. Этим методом стоит пользоваться только при изготовлении относительно простых моделей (там, где части легко придерживать до высыхания) из очень плотного материала. Кроме того, иногда ). встык приходится прикреплять очепь мелкие детали Ч настолько мелкие, что наклейку сделать практически невозможно. Склейка дополнительным материалом. Наклейки, так же, как и при склейке встык, не делаются. Части скрепляются полоской тонкой бумаги (например, кальки), смазанной клеем, или скотчем. Таким способом трудно сделать аккуратную модель. Выбор клея немаловажен. Нрежде чем делать модель, проверьте клей на кусочках той же бумаги, с которой вы собираетесь работать. Необходимо, что;
, Л.. бы клей после высыхания не коробил бумагу и не оставлял на ней нятен. Кроме того, клей должен схватываться достаточно быстро (менее минуты, чтобы вам не нрищлось придерживать детали в течепии нескольких суток), но не мгновенно (чтобы вы могли немного сдвинуть уже соединенные детали для дости жения аккуратного результата). Последнее, но очень важное требование Ч клей не должен быть токсичным. h\ Из достунных клеев лучше всего иснользовать ПВА. Этот клей удовлетворяет всем требованиям. Он бесцветен и не коробит бумагу, схватывается за 10-20 секунд и совершенно нетоксичен (нри высыхании выделяет нары воды). Кроме того, ПВА можно разбавлять водой до нужной густоты. Дело в том, что иногда (нанример, при склеивании крунных деталей) удобнее иметь дело с жидким клеем, который схватывается чуть медленнее, а в других случаях (для мелких или труднодостунных деталей) хочется, чтобы клей схватился быстрее. Можно, конечно, пользоваться несколькими разными клеями, но использова Щ ние смеси ПВА с водой в нужной нронорции значительно удобнее. Максимальное рекомендуемое разведениеЧ 1:1, чаще же всего используется смесь одной части воды на две части клея. Процедура склейки достаточно проста. Вы наносите равномерно тонкий слой клея на обе наклейки и соединяете их. Следует чутьЧчуть подвигать детали, чтобы клей равномерно распределился по наклейкам. После того, как части приведены в правильное положепие, их следует плотно сжать и дождаться, поР, ка клей пе подсохнет. Время от времени надо пользоваться пипцетами или, еще лучше, хирургическими зажимами. Эти инструменты особенно полезны на завершающих стадиях, когда приходится работать внутри модели через небольшое отверстие. Кроме того, при постройке сложных моделей иногда приходится применять широкие плоские зажимы для придерживания наклеек до полного высыхания клея.
Pages: | 1 | 2 | 3 | Книги, научные публикации