§ Деякі застосування визначеного інтеграла

Вид материала

Подобный материал:

§ 2.Деякі застосування визначеного інтеграла.

2.1.Обчислення площ плоских фігур.

1.Обчислення площ в декартових координатах.

Розглянемо криволінійну трапецію,яка обмежена кривою y=f(x), прямими x=a; x=b; y=0; функція y=f(x) повинна бути неперервна на відрізку[a; b].

Можливі слідуючи випадки:

a

) f(x) [a; b]

Формула (1) виплила з геометричного змісту визначеного інтеграл.

б

) f(x)

(Саме величина інтеграла буде від’ємною). Або

) Функція y=f(x) на відрізку [a; b] скінчене число разів змінює знак.

Тобто і в цьому випадку формула (2) справедлива.

4

) Площа на відрізу [a; b] обмежена двома кривими y=f₁(x) та y=f₂(x)

Площу можна знайти як різницю двох площин.

Ця формула справедлива при будь-якому роз положенні фігури відносно осі OX, якщо тільки на всьому відрізку [a; b] f₂(x)

Приклад 1: знайти площу фігури, обмеженою лініями:

y=4-x²;

y=x²-2x.

Зробимо схематичний рисунок. Для цього обчислимо точки перетину цих двох парабол:

Для розв'язку задачі неважливо, де знаходиться вершина параболи. Треба знайти заштриховану фігуру, яку зверху обмежує перша задана крива, знизу – друга. Тому згідно (3) площа фігури буде дорівнюватись:

*9+3=12-6+3=9(ед²).

Приклад 2. Знайти площу фігури, яка обмежена еліпсом

Еліпс симетричний відносно осей координат.

Такому достатньо знайти площу S₁ тієї частини фігури, яка знаходиться в першій чверті, а потім домножити цю площю на 4.

Приміняючи формулу (1), запишимо: Цей інтеграл легше обчислити, переходячи до змінної t.

x=a cos t x ׀ t

dx=-a sin t dt 0 ׀

y=b sin t a ׀0

Цей висновок корисно запам'ятати. Площа еліпса дорівнює добутку числа на добуток піввісей еліпса.

2. Обчислення площ в прямих координатах.

Нехай прямолінійний сектор обмежений двома прямими φ=α, φ=β, які виходять з полюса 0, та кривою ρ=ρ(φ).

Його площу можна знайти так. Двома близькими полярними площинами з кутами φ та φ+dφ до осі oρ виділимо в заданій фігурі елементарний сектор. Його площа з точністю до малих порядка вище першого, дорівнює площі кругового сектора ρ(φ) при тому же центральному куті dφ. Тобто

Про інтегруємо цю рівність і тим самим знайдемо площу всього криволінійного сектора.

Приклад. Обчислити площу, обмежену ” трипелюстковою розою ” ρ=a sin 3φ

При полярний радіус ρ приймає своє найбільше значення: sin 3φ=1; 3φ=

Усі пелюстки однакові та симетричні відносно своєї вісі. Тому знайдемо площу заштрихованої площі та результат помножимо на 6.

2.2. Довжина дуги.

Формули для обчислення довжини дуги приведемо без доведення.

1. Гладка крива задана функцією y=f(x),

2. Крива задана параметрично:

3. Гладка крива задана рівнянням ρ=ρ(φ), α в полярних координатах.

Приклади.

1)знайди довжину дуги кривої якщо задані прикінцеві точки дуги: A(2;0), B(6;8).

Маємо полу кубічну параболу з вершиною у точці A(2; 0).

Знаходимо

y=

. Знайти довжину однієї арки циклоїди.

x'=a(1-cost)

y'=a sin t

. Знайти довжину дуги кривої ρ= на проміжку

ρ'=

од. дов.

2.3. Об'єм тіл обертання.

Нехай криволінійна трапеція обмежена зверху графіком неперервної функції y=f(x), .

Якщо цю трапецію обертати навколо осі ОХ, то утворюється просторова фігура, яка називається тілом обертання.

Об'єм такого тіла обчислюється за формулою:

Якщо криволінійна трапеція, обмежена графіком неперервної функції і прямими y=c, y=d, x=0, то об'єм дорівнює:

Приклади.

1] фігура, обмежена лініями xy=1, x=0, y=1, y=2 та обмежується навколо вісі ОY. Знайди об’єм тіла обертання.

Криволінійна трапеція прилягає до вісі ОY. Так як то згідно (9)

2] Астроїда обертається навколо вісі ОХ. V_x-?

Так як крива симетрична відносно вісей координат, то знайдемо об’єм половини тіла обертання, тобто х є [0; a], а потім результат подвоїмо.

2.4. Обчислення роботи.

Нехай під дією сили F=F(x) матеріальна точка рухається вздовж прямої лінії. Якщо напрям руху збігається з напрямом сили, то робота, виконана з цією силою при переміщенні точки на відрізок [a; b], обчислюється за формулою

Приклади.

1] Обчислити роботу, яку треба затратити, щоб тіло маси m підняти з поверхні Землі вертикально вверх на висоту h, якщо радіус Землі дорівнює R.

0] згідно з законом Ньютона сила F притягання тіла Землею дорівнює

де M - маса Землі; γ - гравітаційна стала; х - відстань від центра тіла до центра Землі. Покладемо k = γmM. Тоді Коли x = R, F(R)=дорівнює вазі тіла p=mg, тобто тому . Тоді F(x)=

Робота згідно (10) буде:

2] яка робота виконується під час стискання гвинтової пружини на 5см. Якщо для стискання пружини на 1см витрачається сила 4H. Стиск гвинтової пружини пропорційний прикладеній силі.

0] Сила F і стискання x за умовою пропорційні: F = kx (k - стала). При x=0,01м, F=4H; тому з рівності 4=k*0,01→k=400. Отже F(x)=400x, Маємо

3] Нехай y циліндрі з рухомим поршнем знаходиться деяка кількість газу (об'ємом V₁). Визначити роботу по стисканню газу до об’єму V₂. (ізотермічний тиск).

0] Поршень в циліндрі стискає газ. Нехай вісь ОХ буде напрямка паралельно вісі циліндра.

На елементарному проміжку [x, x+dx] виконується робота, dA=F(x)dx, причому F(х) чисельно дорівнює силі тиску газу при положенні корня в позиції х, тобто F(x)=pS, де S – площа корня, а р- тиск газу. Переміщення поршня на величину dx визве зміну об’єму dV=Sdx. При чому dA=pSdx=pdV.

Згідно з законом Бойля-Маріотта тиск р при ізотермічному тиску , де C - стала, яка залежить від пружніх властивостей газу.

4] Обчислити роботу, яку необхідно затратити, що викачати воду, яка наповнює котел, який має формулу напівкулі радіуса R.

0] Обчислення роботи затруднюється тим, що різні прошарки (слої) на різній глибині.

Спочатку обчислимо роботу, необхідну для підняття нескінченно тонкого прошарка. Кожний такий прошарок будемо вважати циліндричним. Через х позначимо глибину шара, через r - його радіус. Тоді вага dp цього шару буде

де γ- густина рідини, g - прискорення вільного падіння.

А робота dA=dpx, тобто

Знайдемо зв'язок між r та x:

r²+x²=R²; r²+R²-x²

5] Обчислити роботу, яка повинна буде витрачена для розтягу l мм мідної дротини довжиною L мм, поперечний переріз якої є круг з радіусом r мм. (модуль Юнга для міді можна прийняти E=10000).

0] Згадаємо відомості з фізики. Якщо якесь пружне тіло розтягують в прокольному напрямі, то із збільшенням деформації збільшується і сила пружності. Залежність між деформацією і силою пружності дуже складна, але при невеликих розтягах можна вважати, що сила пружності пропорційна деформації (закон Гука). При одній і тій же деформації сила пружності крім того пропорційна площині поперечного перерізу тіла і обернено пропорційна його довжині. Тобто, якщо F - сила пружності, L - довжина тіла, S - площа поперечного перерізу, x - величина деформації, то

Вернемось до задачі.

Сила пружності не залишається незмінною при розтягу дрота. Тому всю деформацію ми поділимо на нескінченно-малі деформації. Якщо через х-ми позначили величину деформації, то dx -нескінченно-мала деформація, на протязі якої ми можемо вважати силу пружності F сталою. Тоді вся робота

6] Два електричних заряда е₁=+20 електростатичних одиниць та е₂=+30 ел. од. знаходяться на відстані r =10см одне від одного. Розподіляюча їх середа- повітря. Спочатку обидва заряди закріплені нерухомо, потім заряд е₂ висвободжується. Тоді під дією сили відштовхування заряду е₂ поринає зміщатися, віддаляючись від заряду е₁. Яку роботу виконує сила відштовхування, коли заряд е₂ віддалиться на відстань 20 см від заряда е₁?

0] згідно закону Кулона, сила відштовхування F яка діє на рухаючий заряд е₂, дорівнює (в динах)

При віддалені заряду е₂ ця сила неперервно зменшується, а тому шукана робота не може бути знайдена простим добутком сили на пройдений шлях(10 см).

Для обчислення цієї роботи ми повинні розбити шлях на нескінченно-малі участки, на протязі яких можна вважати силу відштовхування незмінною.

Тоді робота на нескінченно-малому шляху dr буде

А робота на шляху ВС:

2.5. Розв'язання геометричних задач.

Отримаємо відому з курсу елементарної геометрії формулу об’єму конуса. Будемо знаходити об’єм яку суму нескінченно-великого числа нескінченно-малих її частин.

Приклад.

Обчислити об’єм V конуса, висота якого H, а радіус основи -R.

0] Розіб'ємо конус на нескінченно-велике число нескінченно-тонких платівок площинами, які паралельні основі конуса.

Одна така платівка радіуса r зображена на рисунку. Приймемо цю полоску за циліндр радіус r і висотою dh. Тоді об’єм такого циліндра

Об’єм конуса буде дорівнюватися сумі об’ємів нескінченно-великого числа таких платівок, тобто інтегралу

Під інтегралом знаходяться дві змінні r та h. Знайдемо зв'язок між ними:

2. Знайти площу круга радіус R, якщо відомо, що довжина кола .

0] Розіб’ємо круг радіуса R концентричними колами на нескінченно-велике число кілець нескінченно-малої товщини. Через r позначимо змінний радіус такого кільця через l - його довжина. Його площа буде ldr, де dr - його товщина.

Таким чином

Обчислення сили тиску рідини.

Плоска фігура (платівка), яка обмежена вісями координат та кривою y=y(x), вертикально занурена в рідину так, що вісь OY співпадає з рівнем рідини. X x y x+dx y=y(x)

Як відомо, тиск рідини на горизонтальну площадку, занурену у рідину, визначається за законом Паскаля: Тиск F рідини на площадку дорівнює її площі S₁ помножені на глибину занурення h, густину рідини γ і на прискорення вільного падіння g:

Якщо в рідину занурити не горизонтальну площадку, то її різні точки лежатимуть на різних глибинах і цією формулою користуватися не можна. Проте, якщо площадка дуже мала, то всі її точки лежать на майже одній глибині, яку вважають за глибину занурення площадки. Це дає змагу знайти диференціал тиску на всю поверхню.

Приклади.

1] знайти тиск рідини на вертикальну занурений в рідину півкруг, діаметр якого дорівнює 2R і знаходиться на поверхні рідин

0] Нехай елементарна площадка знаходиться на глибині х. вважаючи її прямокутником 2y на dx, знайдемо

dF=γgx*2ydx=2γgx

2] платівка, обмежена вісями координат та кривою вертикально занурена в рідину так, що вісь OY співпадає з рівнем рідини. Знайти тиск рідини на платівку.

0]

3] Платівка у формі трикутника висотою H з основою а занурена вертикально у рідину так, що вершина трикутника знаходиться на її поверхні, а основа трикутника паралельна рівню рідини. Знайти тиск рідини на платівку.

0] Зобразимо платівку на рисунку.

Blog

§ Деякі застосування визначеного інтеграла