Міністерство освіти І науки України Кіровоградський державний педагогічний університет імені Володимира Винниченка
Вид материала | Документы |
- Міністерство освіти І науки україни «Переяслав – Хмельницький державний педагогічний, 554.03kb.
- Міністерство освіти І науки україни двнз«Переяслав – Хмельницький державний педагогічний, 1277.11kb.
- Міністерство освіти І науки, молоді та спорту україни уманський національний університет, 29.37kb.
- Міністерство освіти І науки україни полтавський державний педагогічний університет, 680.62kb.
- Міністерство освіти І науки україни переяслав-хмельницький державний педагогічний університет, 616.99kb.
- Міністерство освіти І науки України, 1659.87kb.
- Міністерство освіти І науки україни мелітопольський державний педагогічний університет, 2525.18kb.
- Південноукраїнський державний педагогічний університет імені К. Д. Ушинського (м. Одеса), 349.4kb.
- Міністерство освіти І науки, молоді та спорту україни уманський національний університет, 30.09kb.
- Міністерство освіти І науки України Слов’янський державний педагогічний університет, 2976.14kb.
10 (7 балів). Числа утворюють арифметичну прогресію. Чи утворюють арифметичну прогресію числа ?
Оскільки числа утворюють арифметичну прогресію, то , а тоді .
Для того, щоб числа утворювали арифметичну прогресію, необхідно, щоб для усіх значень невідомої виконувалась умова:
, а тоді . Аналіз отриманих результатів, дозволяє зробити висновок, що при всі умови виконуються (друга сукупність є наслідком першої). Відповідь є позитивною.
9 (4 бали). Довести нерівність якщо .
Скористаємося нерівністю Коші-Буняковського, отримаємо:
9 (7 балів). Знайти найбільше значення функції .
ОДЗ: .
Скористаємося нерівністю Коші-Буняковського, отримаємо:
.
Знак рівності досягається за умови співнапрямленості векторів: .
Функція досягає найбільшого значення .
10 (7 балів). Знайти найбільше значення функції .
ОДЗ: .
Скористаємося нерівністю Коші-Буняковського, отримаємо:
.
Знак рівності досягається за умови співнапрямленості векторів: .
Функція досягає найбільшого значення .
9 (7 балів). Знайти всі пари дійсних чисел , для яких
а)
б)
а) Скористаємося нерівністю Коші-Буняковського, отримаємо:
.
Знак рівності досягається за умови співнапрямленості векторів: . Очевидно, умова виконується, маємо:
Відповідь: пара .
б) Нерівність має місце для усіх з ОДЗ, обчислимо ОДЗ:
Відповіддю є множина внутрішніх точок Δ АВС разом з межею.
10 (7 балів). Знайти всі пари дійсних чисел , для яких
Скористаємося нерівністю Коші-Буняковського, отримаємо:
Знак рівності досягається за умови співнапрямленості векторів: Маємо:
Відповідь: пара .
10 (7 балів). Знайти всі пари дійсних чисел , для яких
Розглянемо ліву частину, скористаємося нерівністю Коші-Буняковського:
Знак рівності досягається за умов (І чверть), звідки .
Отримали , а тоді Маємо обмеження на
А тоді усі пари описуються:
11 (7 балів). Довести нерівність .
ОДЗ: . Скористаємося нерівністю Коші-Буняковського:
10 (7 балів). Довести нерівність .
Враховуючи нерівність Коші-Буняковського, маємо:
11 (7 балів). Розв’язати рівняння .
Враховуючи нерівність Коші-Буняковського, маємо:
Рівність можлива, лише коли і .
Розглянемо два випадки:
1) , , а тоді і , де . Звідси маємо , . З останніх двох рівностей отримаємо (діофантове рівняння), а тоді: , , . Звідки , .
2) , , тоді і , . А тоді отримаємо , . Прирівняємо, отримаємо: , , , . Звідки , .
Отже, , де .
9 (7 балів). Знайти усі трійки дійсних чисел , щоб
Враховуючи нерівність Коші-Буняковського маємо: , звідси , , . Рівність можлива, лише коли , , , , . , ,
або , , .
Маємо два розв’язки , , .
9 (4 бали). В одному сплаві маси латуні та міді знаходяться у відношенні 2:3, а в другому – у відношенні 4:5. Скільки частин першого та другого сплавів треба взяти, щоб дістати сплав, в якому маси цих металів знаходяться у відношенні 10:13?
Розв’язання задачі зведемо до розв’язання системи лінійних рівнянь, де через позначено, скільки частин першого і другого сплавів треба взяти, відповідно, щоб отримати частин третього сплаву:
.
А тому першого сплаву треба взяти 1 частину, другого – 2 частини.
10 (4 бали). Визначити значення параметра , при кожному з яких рівняння має від’ємні розв’язки.
, ОДЗ
1) при – задовольняє умову.
2) , або ,
;
, за умовою , тому нулі чисельника і знаменника :
Маємо (з урахуванням випадку 1) . Врахуємо ОДЗ:
Виключимо , що не задовольняє ОДЗ і входить у проміжок.
Відповідь: .
10 (4 бали). Знайти всі дійсні значення параметра , для яких нерівність має своїм наслідком нерівність .
1) . Умова не виконується.
2)
– нерівність має своїми розв’язками проміжок при ; об’єднання проміжків при і при , а тоді вона не має своїм наслідком
якщо , нерівність розв’язків не має. Якщо нерівність має своїми розв’язками проміжок . Вона матиме своїм наслідком проміжок , якщо а тому маємо три умови:
;
Якщо ; – виконується; – не виконується при .
Якщо , – виконується при ; – виконується .
Відповідь: при .
11 (7 балів). Розв’язати рівняння: .
По-перше, , і чисельник та знаменник – числа додатні (перевірте!), а тому значення параметра ; по-друге, добутки чисельника і знаменника на спряжені дорівнюють: , . Враховуючи це, маємо: , а тоді , звідки , а тоді , за умови (*) отримаємо . Рівняння при перетворюється на лінійне, звідки . При маємо квадратне рівняння, а тоді , . Перевіримо виконання умови (*) для . , виконавши перетворення, отримаємо ; якщо замінити у чисельнику , отримаємо кубічне рівняння з єдиним дійсним (раціональним коренем) , а тоді для усіх умова (*) не виконується. Для : , після перетворень матимемо ; чисельник при усіх набуває додатних значень, тому при умова (*) не виконується, при виконується (нескладно помітити, що при ).
Відповідь: при розв’язків не має; при ; при