Вопросы к экзамену по дисциплине «Высшая математика»
| Вид материала | Вопросы к экзамену |
- Перечень дисциплин для 2 курса, 2010, 186.32kb.
- Вопросы к экзамену по курсу «Высшая математика часть, 14.58kb.
- Вопросы к экзамену по курсу «Высшая математика часть, 19.83kb.
- Рабочая программа по дисциплине «Высшая математика» для подготовки дипломированных, 198.36kb.
- Вопросы к экзамену по дисциплине «Экономический анализ», 35.26kb.
- В г. Воскресенске > к э. н., доцент К. А. Артамонова 2009 г. Вопросы к экзамену, 14.63kb.
- Вопросы к экзамену по дисциплине «Психология управления», 11.1kb.
- Вопросы к экзамену по дисциплине «Математика» для студентов, 85.79kb.
- Карпухин В. Б., доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Высшая и прикладная, 263.95kb.
- Вопросы к экзамену по дисциплине сд. 05 «Племенное дело в мясном скотоводстве», 33.19kb.
Теоретические вопросы к экзамену по дисциплине
«Высшая математика».
I семестр
1. Матрица. Частные виды матриц. Элементарные преобразования матриц. Равенство матриц. Операции над матрицам (сложение, вычитание, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу) и их основные свойства.
2. Определители 2-го и 3-го порядка, их свойства и вычисление. Понятие определителя порядка n.
3. Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Теорема о
разложении определителя по элементам строки или столбца (д-ть для определителя 3-го порядка). Вычисление определителей различных порядков.
4. Общий вид системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Частные вид систем. Решение СЛАУ. Множество решений СЛАУ. Совместность (несовместность), определённость (неопределенность) эквивалентность СЛАУ. Элементарные преобразования СЛАУ. Матрица и расширенная матрица СЛАУ.
5. СЛАУ порядка n. Определитель СЛАУ. Теорема с разрешимости СЛАУ порядка n. Формулы Крамера.
6. Метод Гаусса решения произвольных СЛАУ. Условие несовместности
определенности неопределенности СЛАУ.
Базисные и свободные неизвестные. Общее, частное решение СЛАУ.
7. N-мерный арифметический вектор. Размерность вектора. Равенство векторов. Линейные операций над векторами (сложение, вычитание, умножение на число) и их свойства. Понятие n-мерного векторного пространства.
8. Скалярное произведение арифметических векторов. Длина вектора. Угол между векторами. Ортогональность векторов.
9. Система векторов. Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость и независимость систем векторов. Теорема о необходимом и достаточном условиях линейной зависимости системы векторов.
10. Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов. Максимальная линейно независимая система векторов. Базис и ранг системы векторов. Базис и ранг n-мерного векторного пространства.
11. Теорема о единственности представления вектора в данном базисе. Координаты вектора, переход от старого базиса к новому. Матрица перехода.
12. Ранг матрицы, Вычисление ранга матрицы и системы векторов.
13. Ортогональная система векторов и её свойства. Ортогональный базис. Разложение векторов по ортогональному базису.
14. Ортогональная составляющая вектора относительно ортогональной системы векторов. Процесс ортогонализации Шмидта.
15. Критерии совместности СЛАУ (теорема Кронекера- Капели). Условие разрешимости СЛАУ.
16. Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрица (д-во). Вычисление обратной матрицы (метод элементарных преобразований)
17. Матричные уравнения и их решение. Матричная форма записи системы линейных уравнений общего вита. Решения СЛАУ порядка n-матричным способом (метод обратной матрицы).
18. Теорема о «необходимом и достаточном условиях существования не нулевых решениях однородных СЛАУ. Свойства решений однородных СЛАУ. Фундаментальная система решений.
19. Понятие линейного оператора. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при преобразовании базиса. Действия над линейными операторами.
20. Собственное число и собственный вектор матрицы. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен матрицы. Спектр матрицы. Условие линейной независимости собственных векторов матрицы.
21. Условие приведения матрицы к диагональному виду. Ортогональная матрица, условие ортогональности матрицы.
22. Квадратичная форма. Матрица и ранг квадратичной формы. Каноническая и нормальная квадратичная формы.
23. Линейное преобразование квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническом виду (с помощью ортогонального преобразования и методом Лагранжа).
24. Знакоопределённость квадратичных форм. Критерии знакоопределённости.
25. Понятие множества и операции над ними. Логическая символика. Элементы комбинаторики. Биномиальная формула Ньютона.
26. Геометрический вектор. Длина вектора. Нулевой вектор. Противоположный вектор. Проекция вектора на вектор и его свойства.
27. Линейные операции над векторами. Орт вектора.
28. Коллинеарность и компланарность вектора. Базис плоскости и
пространства. Канонический базис плоскости и пространства. Координаты вектора.
29. Декартовы прямоугольные системы координат на плоскости и в пространстве. Координатные орты. Радиус-вектор и его координаты. Определение длины и направления вектора. Координаты точки.
30. Линейные операции над геометрическими векторами, заданными своими координатами. Определение координат вектора, заданными своими точками. Расстояние между точками. Координаты точки, делящей отрезок пополам.
31. Скалярное произведение геометрических векторов и его свойства. Вычисление скалярного произведения через координаты векторов. Вычисление угла между векторами. Условие перпендикулярности векторов.
32. Векторное произведение геометрических векторов и его свойства.
Геометрический смысл векторного произведения. Вычисление векторного произведения через координаты векторов. Условие параллельности векторов.
33. Смешанное произведение геометрических векторов и его свойства.
Геометрический смысл смешанного произведения. Вычисление смешанного произведения через координаты векторов. Условие компланарности 3-х векторов.
34. Линия на плоскости и ее уравнение. Составление уравнения, линии.
35. Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой. Нормальный и
направляющий векторы прямой на плоскости. Построение прямой на плоскости.
36. Понятие функции, способы её задания. Элементы поведения функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Элементарные функции и их классификация.
37. Понятие обратной и сложной функции. Преобразование графиков функции.
38. Понятие числовой последовательности. Действия над ними.
Ограниченные, неограниченные, монотонные последовательности. Монотонная последовательность, признак её сходности. Число е. Понятие натурального логарифма.
39. Придел числовой последовательности, её свойства.
40. Понятие предела функции в точке и на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их основные свойства.
41. Связь между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией. Основные теоремы о пределах (док-ть).
42. Односторонние пределы. Признаки существования пределов. Первый и второй замечательные пределы, следствия из них.
43. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Символы о и О.Эквивалентные бесконечно малые функции, их свойства и применение при вычислении пределов.
44. Понятие о непрерывности функции. Точки разрыва функции и их классификация. Основные теоремы о непрерывных функциях.
45. Непрерывность элементарных функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Метод бисекции.
46. Различные виды уравнения прямой на плоскости (проходящей через точку перпендикулярно данному вектору; каноническое; проходящей через две точки; с угловым коэффициентом; в отрезках).
47. Координаты точки пересечения прямых. Расстояние от точки до прямой. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
48. Поверхность в пространстве и ее уравнение. Составление уравнения поверхности. Сфера и ее уравнение.
49. Плоскость. Общее уравнение плоскости. Нормальный вектор плоскости и его нахождение. Построение плоскости. Различные виды уравнения плоскости (проходящей через точку перпендикулярно данному вектору; проходящей через три точки; в отрезках).
50. Координаты точки пересечения трех плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Условия их параллельности и перпендикулярности.
51. Линия в пространстве и ее уравнение, прямая в пространстве. Общее уравнение прямой. Направляющий вектор прямой и его нахождение.
52. Различные виды уравнения прямой в пространстве (каноническое; параметрическое: проходящей через две точки). Приведение общего уравнения прямой к каноническому виду.
53. Координаты точки пересечения прямой и плоскости в пространстве. Угол между двумя прямыми, между прямой и плоскостью в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых, прямой я плоскости.
54. Общее уравнение алгебраических кривых 2-го порядка на плоскости. Классификация алгебраических кривых 2-го порядка на плоскости.
55. Окружность (определение, составление уравнения). Нормальное и каноническое уравнение окружности.
56. Эллипс (определение, составление канонического уравнения). Основные свойства и характеристики эллипса (оси симметрии, центр вершины, полуоси, эксцентриситет, директрисы, фокальные радиусы). Построение эллипса.
57. Гипербола (определение, составление уравнения). Основные свойства и характеристики гиперболы (оси симметрии, центр вершины, полуоси, эксцентриситет, директрисы, асимптоты, фокальные радиусы). Построение гиперболы.
58. Парабола (определение, составление канонического уравнения). Основные свойства и характеристики параболы (ось симметрии, центр вершины, эксцентриситет, директрисы, фокальные радиусы). Построение параболы.
59. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническом виду.
60. Алгебраические кривые 2-ого порядка. Цилиндры, сфера, конусы, эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды (их канонические уравнения и графики).
Теоретические вопросы к экзамену по дисциплине
«высшая математика»
II семестр
1. Производная функции, ее геометрический смысл.
2. Правила вычисления производных постоянной, суммы, разности, произведения,
частного функции.
3. Производная сложной и обратной функции.
4. Таблица производных основных элементарных функций.
5. Неявная функция и ее производная. Логарифмическое дифференцирование.
6. Дифференцирование функции, заданных параметрически.
7. Дифференциал функции, его геометрический смысл.
8. Инвариантность формы дифференциала, правила его нахождения.
9. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
10. Производные и дифференциалы высших порядков.
11. Основные теоремы дифференциального исчисления (теорема Ферма, Ролля, Лагранжа,
Коши).
12. Правило Лопиталя.
13. Формулы Тейлора и Маклорена. Их применение в приближенных вычислениях.
14. Схема полного исследования функции.
15. Асимптоты функций. Понятие об асимптотическом разложении.
16. Условия монотонности функции, нахождение интервалов монотонности.
17. Экстремум функции.
18. Необходимое и достаточное условия экстремум;
19. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, их нахождение.
20. Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости графика функции. Точки перегиба.
Необходимое и достаточное условия существования точек перегиба.
21. Построение графика функции.
22. Комплексные числа, их изображение на плоскости.
23. Формы записи комплексных чисел.
24. Действия над комплексными числами.
25. Основная теорема алгебры. Разложение многочленов на множители.
26. Понятие первообразной и ее свойства.
27. Неопределенный интеграл, условия его существования, свойства.
28. Таблица неопределенных интегралов. Непосредственное интегрирование.
29. Основные методы интегрирования в неопределенном интеграле.
30. Метод замены переменной.
31. Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
32. Простые дроби, их интегрирование.
33. Интегрирование рациональных дробей путем разложения их на простые.
34. Интегрирование тригонометрических выражений.
35. Интегрирование иррациональных выражений.
36. Интегральная сумма. Определенный интеграл и условие его существования.
37. Основные свойства определенного интеграла.
38. Определенный интеграл как функция верхнего предела, его свойства.
39. Формула Ньютона-Лейбница.
40. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
41. Методы вычисления определенного интеграла по формулам прямоугольников,
трапеций, Симпсона.
42. Вычисление площадей плоских фигур.
43. Вычисление длины дуги плоской кривой.
44. Вычисление объема тела.
45. Понятие несобственного интеграла. Интеграл с бесконечным
промежутком интегрирования/ несобственный интеграл первого рода).
46. Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл второго рода).
47. Признаки сходимости несобственных интегралов.
48. Функции двух переменных. Основные понятия. Предел функции.
49. Непрерывность функции двух переменных.
50. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области.
51. Частные производные, их вычисление. Теорема о равенстве смешанных производных.
52. Полный дифференциал функции двух переменных, его связь с частными
производными.
53. Инвариантность формы полного дифференциала.
54. Касательная плоскость, нормаль к поверхности.
55. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
56. Формула Тейлора. Понятие неявной функции. Теоремы существования.
57. Дифференцирование неявных и сложных функций. Понятие однородной функции.
58. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия
локального экстремума, его нахождение.
59. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод неопределенных
множителей Лагранжа.
60. Наибольшее и наименьшее значения функций нескольких переменных, их
нахождение.
Теоретические вопросы к экзамену по дисциплине
«Высшая математика»
III семестр
1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
2. Общее решения ДУ первого порядка.
3. Частное решения ДУ первого порядка
4. ДУ с разделяющимися переменными, его решение.
5. Однородные ДУ первого порядка.
6. Линейные уравнения.
7. Уравнение Я.Бернулли.
8. ДУ высших порядков.
9. Теория и задача Коши.
10. Общее частое решения.
11. ДУ, допускающие понижение порядка.
12. Линейные ДУ высших порядка.
13. Понятие линейной зависимости и независимости систем функций.
14. Определитель Вронского.
15. Фундаментальная система решений.
16. Структура общего решения однородного линейного ДУ.
17. Структура общего решения неоднородного линейного ДУ.
18. Интегрирование ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.
19. Интегрирование ЛОДУ первого порядка с постоянными коэффициентами.
20. Интегрирование ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой
частью специального вида.
21. Интегрирование ЛОДУ первого порядка с постоянными коэффициентами и правой
частью специального вида.
22. Нормальная система ДУ.
23. Теорема и задача Коши.
24. Интегрирование нормальных систем.
25. Система линейных ДУ с постоянными коэффициентами.
26. Числовые ряды.
27. Сходимость и сумма ряда.
28. Основные свойства сходящихся рядов.
29. Необходимый признак сходимости ряда.
30. Достаточные признаки сходимости рядов.
31. Признаки сравнения.
32. Признак Даламбера.
33. Интегрированный признак Коши.
34. Радикальный признак Коши.
35. Знакочередующиеся ряды.
36. Признак Лейбница.
37. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов.
38. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов.
39. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
40. Функциональные ряды.
41. Область сходимости, ее определения.
42. Степенной ряд.
43. Признак Абеля.
44. Радиус, интервал сходимости ряда.
45. Свойство степенного ряда.
46. Нахождение области сходимости степенного ряда.
47. Ряды Тейлора и Маклорена.
48. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора и Маклорена.
49. Приближенное вычисление значений функции.
50. Гармоническое колебание.
51. Понятие тригонометрического ряда и его сходимость.
52. Ряд Фурье.
53. Теория о разложимости функции в ряд Фурье.
54. Разложение в ряд Фурье четных функций с произвольным периодом.
55. Разложение в ряд Фурье нечетных функций с произвольным периодом
56. Разложение в ряд Фурье непериодических функций.
57. Комплексная форма ряда Фурье.
58. Комплексные коэффициенты Фурье.
59. Интеграл Фурье.
60. Преобразовании Фурье.
Теоретические вопросы к экзамену по дисциплине
«Высшая математика»
IV семестр
1. Основные понятия двойного интеграла.
2 Определение двойного интеграла.
3. Геометрический смысл двойного интеграла.
4. Физический смысл двойного интеграла.
5. Основные свойства двойного интеграла.
6. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.
7. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.
8. Основные понятия тройного интеграла.
9. Свойства тройного интеграла.
10 Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.
11. Замена переменных в тройном интеграле.
12. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах.
13. Вычисление тройного интеграла в сферических координатах.
14. Основные понятия криволинейного интеграла первого рода.
15. Свойства криволинейного интеграла первого рода.
16. Вычисление криволинейного интеграла первого рода.
17. Основные понятия криволинейного интеграла второго рода.
18. Свойства криволинейного интеграла второго рода.
19. Вычисление криволинейного интеграла второго рода.
20. Формула Остроградского - Грина.
21. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути
интегрирования.
22. Основные понятия поверхностного интеграла первого рода.
23. Свойства поверхностного интеграла первого рода.
24. Вычисление поверхностного интеграла первого рода.
25. Основные понятия поверхностного интеграла второго рода.
26. Свойства поверхностного интеграла второго рода.
27. Вычисление поверхностного интеграла второго рода.
28. Формула Остроградского-Гаусса.
29. Поверхности уровня скалярного поля.
30. Линии уровня скалярного поля.
31. Производная по направлению.
32. Градиент скалярного поля.
33. Свойства градиента скалярного поля.
34. Векторные линии поля.
35. Поток поля.
36. Дивергенция поля.
37. Формула Остроградского-Гаусса для векторного поля.
38. Соленоидальное поле.
39. Циркуляция поля.
40. Ротор поля
41. Формула Стокса.
42. Потенциальное поле.
43. Виды событий.
44. Алгебра событий.
44. Классическое определение вероятности.
46. Статистическое определение вероятности.
47. Геометрическое определение вероятности.
48. Теоремы сложения вероятностей.
49. Теоремы умножения вероятностей.
50. Теорема о полной вероятности.
51. Формула Байеса.
52. Испытания по схеме Бернулли.
53. Локальная формула Лапласа.
54. Интегральная формула Лапласа.
55. Дискретная случайная величина.
56. Математическое ожидание и его свойства.
57. Дисперсия.
58. Непрерывная случайная величина.
59. Равномерное распределения.
60. Нормальное распределения.