с нелинейными зависимостями в уравнении регрессии. Различают два класса нели-нейных регрессий. К первому классу относят регрессии, нелинейные относительно включенных в уравнение объясняющих переменных хк, но линейных относительно оце-ниваемых параметров ак. Эти регрессии называются квазилинейными или существенно линейными регрессиями. Преимущество таких уравнений в том, что для них остаются в силе все предпосылки классического линейного регрессионного анализа. Параметры оцениваются непосредственно обыкновенным методом наименьших квадратов.
Примером данного типа регрессий являются полиномы разных степеней y = a + b-x + c-x2+d-x3+u; гиперболы у = а + - + и.
х
В общем виде квазилинейная регрессия записывается в виде:
f. = а0 + а^ (х) + a2F2 (х) +... + apFp (х), (4.4) где i71(x),i72(x),... - функции от объясняющих переменных. Они не содержат других параметров. Это могут быть
функции: Fj(x) = sinx,F2(x) = - и пр. Квазилинейную
х
функцию для удобства можно представить в виде линейной множественной регрессии, проведя замену переменных. Например, в полиноме y = a + b-x + c-x2+d-x3+u заменим х = zx\x2 - z2;x3 = z3; а = a0;b = аг,с = a2,d = а3. Тогда уравнение можно записать в виде:
ft = а{) + alzl + a2z2 + аъгъ.
Второй класс регрессий характеризуется нелинейностью по оцениваемым параметрам. Эти регрессии назы-ваются существенно нелинейными регрессиями. Оценить параметры обыкновенным методом наименьших квадратов невозможно, т.к. имеют место нелинейные уравнения относительно неизвестных параметров.
Существенно нелинейными регрессиями являются следующие функции, наиболее часто используемые для описания экономических процессов:
степенная функция ji=axb; (4.5)
показательная функция ft=abx ; (4.6)
логистическая функция И = ЧЧ ,
1 + Ье сх
или у = а (4.7)
1 + е
Использование регрессий данного класса связано с вычислительными трудностями, т.к. эти уравнения не до-пускают непосредственного применения обыкновенного метода наименьших квадратов. Линеаризация уравнения осуществляется посредством логарифмирования, для функции (4) преобразование имеет следующий вид:
logj2= loga + 6-logx. (4.8)
При замене log j2= ?; log а = b0; logx = и, уравнение (4.8) принимает вид линейной функции z = b0+bu .Логарифмирование показательной функции
(4.6) приводит к выражению log j? = loga + x log b, а логистической соответственно:
1п(а/ j?-1) = In b-cx, In {a! jL-1 ) = b-cx.
Нелинейные регрессии второго класса представляют большой экономический интерес. Наибольшую известность из них приобрели производственные функции. Более подробно с точки зрения прикладных аспектов они рассмотрены в следующем разделе в главе "Прогнозирование экономического роста".
|
- 4.4.Метод наименьших квадратов и его оценки
нелинейных регрессий первого
- 8.2. Производственные функции в анализе и прогнозировании экономического роста
нелинейную регрессию (классификация уравнений регрессии дана в главе 4). Наибольшую известность имеет ПФ Кобба-Дугласа, использованная в анализе экономики США в 20Ч30 годах прошлого века: Yt=f(Kt,Q=AKatLpt (8.1) где А - коэффициент, характеризующий эффективность производства, а и /? - коэффициенты эластичности производства по капиталу (К) и труду (L) соответственно, кото- рые в соответствии
- 7.1. СУЩНОСТЬ И ПРИНЦИПЫ ФИНАНСОВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ
нелинейной регрессии, метод множественной регрессии, К специализированным методам можно отнести методы, основанные на разработке отдельных прогнозных моделей для каждой переменной величины. К примеру, дебиторская задолженность оценивается по принципу оптимизации платежной дисциплины; прогноз величины основных средств строится на основе инвестиционного бюджета и т.п. Одним из плановых
- 11.3. РАЗВИТИЕ НАУКИ, ТЕХНОЛОГИИ И РОСТ ЗНАНИЙ
нелинейными уравнениями. Иногда возникающая область исследований так и не становится областью науки, поскольку обладает лишь очень слабыми преимуществами в отборе по сравнению с мощными соседними областями. Например, области техники, использующие так называемые альтернативные источники энергии (ветер, солнце), все еще находятся в зачаточном состоянии - главенствующее положение занимают
- Глава 1.4. Методы экономического анализа 1.4.1. Общая характеристика методов экономического анализа
нелинейное, динамическое программирование); методы исследования операций и принятия решений (теория графов, теория игр, теория массового обслуживания). Матричные модели представляют собой схематическое отражение экономического явления или процесса с помощью научной абстракции. Наибольшее распространение здесь получил метод анализа лзатраты-выпуск, строящийся по шахматной схеме и позволяющий в
- 4.7. Многофакторные модели прогнозирования
нелинейные зависимости, например, степенная зависмость Д = arXu x2i ''' х1',' , которую путем простейших преобразований можно привести к линейному виду: Inyt =lnа0 +ах lnxu +а2 \nx2t +... + ар lnx^. Анализ временных рядов с учетом предпосылок регрессионного анализа позволяет определить общую направленность в процессе прогнозирования изменения величины исследуемого показателя. Для исключения
- Характеристика тесноты связи.
нелинейной зависимости коэффициент множественной корреляции рассчитывается как результат сопоставления двух дисперсий: остаточной а2ост и общей 2 общ ' I ; г" I T(y~f)2ln
- 8.2. Оценка стоимости объектов недвижимости с помощью подхода прямого сравнительного анализа продаж
нелинейные модели типа: Jc = ]^a1 х X1, 1=1 где а 1 - коэффициенты регрессии; - различные переменные, характеризующие те или иные факторы, от которых зависит стоимость объекта недвижимости. Однако применение подобных моделей возможно лишь при наличии больших массивов информации о сделках купли-продажи аналогичных объектов недвижимости. В связи с большим разнообразием объектов недвижимости
- Введение
нелинейных методах анализа экономической и финансовой информации. В условиях возрастающей неуправляемости мировых процессов в финансовой сфере традиционные (читай, линейные) методы все чаще оказываются неспособными распознать ключевые переломы в тенденциях рынка. Так было, например, в случаях с крахом фондового рынка в 1987 году или началом глубокого спада в экономике Великобритании.
- Очистка и преобразование базы данных
нелинейному преобразованию: исходный ряд значений переменной преобразуется некоторой функцией, и ряд, полученный на выходе, принимается за новую входную переменную. Типичные способы преобразования - возведение в степень, извлечение корня, взятие обратных величин, экспонент или логарифмов (см. [250]). Нужно проявить осторожность в отношении функций, которые определены не" всюду (например, логарифм
|
Социология