Авторефераты по всем темам  >>  Авторефераты по разным специальностям

На правах рукописи

Сафонов Роман Анатольевич

Статический изгиб и установившиеся колебания прямоугольных пластинок и пологих оболочек при локальных воздействиях

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов - 2012

Работа выполнена на кафедре математической теории упругости и биомеханики ФГБОУ ВПО "Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского".

Научный консультант: доктор технических наук, профессор, Недорезов Пётр Феодосьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Шашкин Александр Иванович (Воронеж, ВГУ) доктор физико-математических наук, профессор Шляхов Станислав Михайлович (Саратов, СГТУ)

Ведущая организация: Институт проблем точной механики и управлен ния РАН (Саратов)

Защита состоится У17Ф мая 2012 г. в 15:30 на заседании диссертационного совен та Д 212.243.10 при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Черн нышевского, по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, СГУ, 9 корп., 18 ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке Саран товского государственного университета.

Автореферат разослан л 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н., доцент Ю.В. Шевцова

Общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящена решению задач статического и вибн рационного изгиба идеально упругих и вязкоупругих тонких пластинок и оболочек при локальных нагрузках. Под локальными нагрузками понимаютн ся нагрузки, которые распределены в узкой зоне в окрестности точки или некоторой произвольной кривой на одной из лицевых поверхностей. Для опин сания таких усилий предлагаются функции специального вида. Рассмотрение всех задач ведется в предположениях малости деформаций и справедливости гипотез Кирхгофа для пластин и гипотез Кирхгофа-Лява для оболочек.

Актуальность работы. Теория тонких пластин Кирхгофа сформирован лась в XIX веке в работах Софи Жермен, Лагранжа, Коши, Пуассона, Кирхн гофа и других авторов. В дальнейшем на основе аналогичных гипотез была построена теория тонких оболочек Кирхгофа-Лява. Развитие этих теорий тесно связано с трудами таких ученых, как С.А. Амбарцумян, В.З. Власов, Б.Г. Галеркин, А.Л. Гольденвейзер, С.Г. Лехницкий, А.И. Лурье, Р. Миндлин, Х.М. Муштари, В.В. Новожилов, Э. Рейсснер, С.П. Тимошенко, К.Ф. Черных и др.

Построенные теории впоследствии были обобщены на случаи пластинок и оболочек из материалов, обладающих анизотропными, вязкоупругими, пьен зоэлектрическими и другими свойствами. Исследованию напряженно-дефорн мированного состояния(НДС) таких элементов посвящены работы коллектин ва ученых Института механики НАН Украины: Я.М. Григоренко, М.Н. Бен ренова, Н.Н. Крюкова и др. Ими также был предложен численный метод сплайн-коллокации, который применяется для решения широкого круга зан дач теории пластин и оболочек. Дальнейшее развитие метод получил в трудах ученых Саратовского государственного университета среди которых следует отметить П.Ф. Недорезова, Н.М. Сироткину и А.А. Барышева.

Во многих приложениях практически важное значение имеет расчет тонн костенных элементов конструкций под действием усилий, распределенных в узкой зоне вблизи точки либо некоторой кривой. Как правило, такие усин лия рассматриваются как сосредоточенная сила либо усилия, распределенные вдоль кривой. Однако, поскольку сосредоточенная сила является математин ческой абстракцией, полученные при таком подходе результаты могут иметь значительные отличия от экспериментальных данных. В работе для задания нагрузок, приложенных в узкой зоне вблизи точки или кривой предлагается использовать непрерывные функции специального вида. Возможно варьирон вание ширины зоны ненулевых нагрузок.

Рассмотренные в диссертационной работе задачи представляют интерес как с точки зрения фундаментальной науки, так и приложений. Теоретичен ский интерес обусловлен тем, что предлагаемый в работе подход позволян ет существенно расширить область применения метода сплайн-коллокации.

Кроме этого, такой метод аппроксимации сосредоточенных усилий свободен от ряда недостатков, присущих традиционным методам.

С точки зрения приложений этот подход интересен тем, что он позволяет эффективно решать задачи статического и вибрационного изгиба пластин и оболочек при локальных усилиях, приложенных в окрестности точки или кривой произвольного вида.

Цели диссертационной работы.

распространение метода сплайн-коллокации и его модификации на слун чаи статического и вибрационного изгиба идеально упругих и вязкоупрун гих пластинок и оболочек при локальных воздействиях для сложных спон собов закрепления контура;

решение модельных задач для апробации используемой методики, сравн нение результатов с известными теоретическими решениями и решением по методу конечных элементов;

адаптация применяемой вычислительной методики для использования на вычислительном кластере для сокращения времени вычислений;

проверка справедливости принципа Сен-Венана при замене сосредоточенн ной силы либо усилий, распределенных вдоль линии, на соответствующие локальные нагрузки при исследовании НДС тонких пластинок;

оценки влияния стрелы подъема и отношения сторон на результаты рен шения задач статического изгиба и установившихся колебаний тонких открытых круговых цилиндрических оболочек, перекрывающих прямон угольный план;

проведение сравнительного анализа влияния на значения резонансных частот гипотез пологости и сил инерции в тангенциальных направлениях при вибрационном изгибе оболочек.

Научная новизна. Все задачи, за исключением модельных, решены впервые. В результате вычислительных экспериментов обнаружен и исследон ван ряд механических эффектов и закономерностей. Проведен сравнительн ный анализ эффективности использования метода сплайн-коллокации и кон нечно-элементных пакетов.

Практическая значимость. Изложенная методика и полученные рен зультаты представляют теоретический и практический интерес для механин ки, и могут использоваться при моделировании тонкостенных элементов и вибрационном анализе конструкций.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью исн пользованных математических методов и хорошим совпадением результатов для модельных задач.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы дон кладывались на конференции ФАктуальные проблемы математики и механикиФ (Саратов, 2006, 2007, 2008, 2009 гг), 2 Международном форуме (7 международной конференции) молодых учен ных "Актуальные проблемы современной науки"(Самара, 2006 г.), Ежегодной Всероссийской научной школе-семинаре УМетоды компьютерн ной диагностики в биологии и медицине - 2008Ф (Саратов, 2008, 2009 гг.), Пятых Поляховских чтениях (Санкт-Петергург, 2009 г.), Седьмой Всероссийской научной конференции с международным участин ем ФМатематическое моделирование и краевые задачиФ (Самара, 2010 г.), Международной конференции ФАктуальные проблемы прикладной матен матики, информатики и механикиФ (Воронеж, 2010 г.), X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011 г.), научных семинарах кафедры математической теории упругости и биомен ханики Саратовского государственного университета им. Н. Г. Чернышевн ского под руководством д.ф.-м.н., проф. Коссовича Л.Ю.

На защиту выносятся следующие основные результаты и полон жения:

методика численного исследования НДС тонких упругих и вязкоупругих пластинок и оболочек под действием локальных нагрузок с помощью мен тода сплайн-коллокации (классический и модифицированный варианты);

результаты и выводы, сделанные по итогам вычислительных эксперименн тов по определению НДС и резонансных частот пластинок и оболочек;

оценки влияния стрелы подъема оболочки на область применимости теон рии пологих оболочек и значимость учета сил инерции в тангенциальных направлениях.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 9 печатных ран ботах, из них 4 статьи в рецензируемых журналах [1, 7Ц9], 3 статьи в сборн никах трудов конференций [2, 5, 6] и 2 статьи в сборниках научных трудов [3, 4].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитированной литературы. Материал рабон ты изложен на 148 страницах, содержит 45 рисунков, 28 таблицы, список цитированной литературы содержит 132 наименований.

Содержание работы Во введении обосновывается актуальность выбора темы диссертации, сформулированы цели и задачи, дан краткий обзор публикаций по теории пластин и оболочек, теории вязкоупругости и численным методам, которые применяются для решения задач статики и установившихся колебаний тонн ких пластин и оболочек.

В первой главе рассмотрена постановка задачи статического изгиба и установившихся колебаний тонких пластинок из идеально упругого ортотропн ного материала при действии локальных усилий в условиях справедливости гипотез Кирхгофа (рис. 1).

Разрешающее уравнение для слун чая установившихся колебаний план стинки из идеально упругого материн y ала имеет вид 4w 4w h D1 + 2D3 + x4 x2y2 (1) q y, t) (x, b 4w +D2 = q (x, y) - h2w, yгде D1, D2 и D3 - изгибные жесткон сти пластинки, w - амплитуда прон O x гиба пластинки, - частота внешн z a ней нагрузки, q(x, y) - амплитуда приложенных на лицевой поверхнон Рис. 1.

сти пластинки поперечных усилий q y, t) = q (x, y) eit. Граничные условия определяются условиями заделн (x, ки краев пластинки.

Если рассматривается статический изгиб пластинки, в уравнении (1) w прогиб точек срединной плоскости пластинки, а частота внешней нагрузки полагается равной нулю, т.е. q(x, y, t) = q(x, y).

Под локальными нагрузками понимаются усилия, приложенные в узкой зоне в окрестности точки либо кривой приложения нагрузки. Локальные нан грузки, приложенные в окрестности кривой f(x, y) = 0, предлагается задан вать функцией f (x, y) q (x, y) = C cosk, fmax = max |f (x, y)|, (2) 2 fmax (x,y) где k - достаточно большое число, определяющее скорость роста функции в зоне приложения нагрузки, C - нормирующий коэффициент, который опрен деляется из условия q (x, y) dxdy = Q, (3) (x,y) где Q - равнодействующая внешней нагрузки. Интеграл берется по всей обн ласти пластинки.

Чтобы получить представление о характере изменения функций вида (2) в зоне ее ненулевых значений был рассмотрен частный случай q (x, y) = cosk (x - 0.5). (4) Графики этой функции при различных значениях показателя степени k представлены на рис. 2. При k = 100 и k = 500 зона ненулевых значений расн сматриваемой функции имеет значительный размер, при больших значениях k (k = 5000, k = 10000) зона ненулевых значений сильно сужается.

k = 1k = 5k = 50k = 1000.0.0.0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 Рис. 2.

В работе приводится конкретный вид функции (2) для локальной нагрузн ки, приложенной в окрестности координатных линий, диагоналей пластинки, окружности и точки.

Уравнение (1) сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода сплайн-коллокации в классическом либо мон дифицированном варианте. Соответствующая краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка решается чисн ленно методом дискретной ортогонализации С.К. Годунова.

При исследовании НДС тонких оболочек локальные нагрузки задаван лись аналогичным образом.

Во второй главе проводится численное исследование НДС идеально упругих пластинок, у которых две противоположные стороны заделаны. В этом случае численное решение задач статики и установившихся колебаний пластинки проводится классическим методом сплайн-коллокации.

Изложенный в первой главе подход использовался для численного исслен дования НДС пластинки с жестко заделанным и шарнирно опертым контун ром при локальных усилиях.

Результаты численного решения задачи статического изгиба тонкой стальн ной пластинки, загруженной локальной нагрузкой в окрестности ее центра при шарнирно опирании контура сравнивались с известным точным аналитин ческим решением (решением Навье для сосредоточенной силы). Поскольку эти задачи эквивалентны с точностью до принципа Сен-Венана при достан точно большом k, результаты их решения должны быть близки. В табл. приводятся значения максимального прогиба пластинки при различных знан T чениях отношения сторон пластинки c = a/b, wmax - максимальный прогиб пластинки, полученный согласно решению Навье, wmax - максимальный прон гиб пластинки, вычисленный методом сплайн-коллокации. Здесь и далее рен зультаты численных расчетов приводятся для h = 0.01 м, a = 1 м, Q = Н. В решении Навье при численных расчетах суммирование проводилось до 50-го члена ряда по каждой из переменных.

Таблица 1.

c k 0.2 0.5 1.0 2.0 5.T wmax, 10-7 м - 9.239 9.018 6.333 2.255 0.3wmax, 10-7 м 1000 8.784 8.872 6.259 2.218 0.3wmax, 10-7 м 10000 9.040 8.854 6.220 2.213 0.3При k = 1000 расхождение между решением Навье и методом сплайнн коллокации не превосходит 6%, а при k = 10000 - 3%.

Была также решена задача статического изгиба квадратной пластинки при нагружении ее локальными усилиями в окрестности окружности с ценн тром в геометрическом центре пластинки. Рассмотрены случаи, когда контур пластинки жестко закреплен либо шарнирно оперт. Результаты решения этой задачи сравнивались с результатами, полученными с помощью конечно-элен ментного пакета Comsol для пластинки, загруженной усилиями, равномерно распределенными вдоль окружности. Как и в случае нагружения в окрестн ности центра пластинки, эти задачи эквивалентны с точностью до принципа Сен-Венана. При k = 500 расхождения между полученными результатами достигают 33%, при k = 1000 они снижаются до 20%, а при k = 5000 - до 8%.

Результаты, полученные в этой главе, опубликованы в работах [2, 3, 7, 8] В третьей главе исследуется НДС пластинок, граничные условия кон торых не позволяют использовать классический метод сплайн-коллокации.

В случае пластинки, у которой края x = 0 и y = 0 свободны, а на двух других имеются условия жесткой заделки или шарнирного опирания, согласно модифицированному методу сплайн-коллокации прогиб ищется в виде N w(x, y) = j (y) wj (x), (5) j=-где j(y) - линейные комбинации B-сплайнов, тождественно удовлетворяюн щие граничным условим на крае y = b, wj(x) - подлежащие определению функции. Представление (5) функции прогиба подставляется в основное уравн * нение (1) и записывается в точках коллокации y = yi, i = 0, N. В результате получается система обыкновенных дифференциальных уравнений, к которой следует добавить уравнения 2 wi = c(i)wj (x) + d(i)wj (x), i = -2, -1, (6) j j j=0 j=-полученные подстановкой представления (5) в граничные условия на крае y = 0, c(i) и d(i) - известные коэффициенты. Уравнения (6) позволяют зан j j мкнуть основную систему уравнений и исключить из нее старшие производн ные функций w-2, w-1. Итоговая система из 4N + 8 уравнений записывается в векторном виде Y = AY + B, (7) где Y - вектор-столбец неизвестных, компонентами которого являются функн ции wi(x), (i = 0, N) и их производные до третьего порядка включительно, а так же функций w-2, w-1 и их первые производные, A и B - матрица кон эффициентов системы и вектор-столбец свободных членов, соответственно.

Уравнение (7) вместе с граничными условиями на краях x = 0 и x = a сон ставляет краевую задачу для определения функций wi(x), которая решается численно методом дискретной ортогонализации С.К. Годунова.

Были решены задачи статического изгиба пластинки при жесткой заделн ке и шарнирном подкреплении краев x = a и y = b под действием нагрузки, приложенной в окрестности геометрического центра пластинки, общей точки свободных краев, диагонали пластинки и окружности с центром в геометн рическом центре пластинки. Схемы загружения пластинки представлены на рис. 3. В качестве материала пластинки рассматривались сталь и ортотропн ные материалы (АГ-4 С и дельта-древесина). Отдельно исследовались случаи, когда точка x = a, y = b свободна или подкреплена шарниром.

y y y q(x, y) q(x, y) q(x, y) x x x O O O y y q(x, y) q(x, y) x x O O Рис. 3.

Задача изгиба пластинки под действием приложенной в окрестности обн щей точки свободных краев локальной нагрузки эквивалентна с точностью до принципа Сен-Венана задаче с приложенной в этой же точке сосредотон ченной силе. Расхождение между результатами решения этих задач как при жесткой заделке краев x = a и y = b, так и при их шарнирном опирании не превосходит 5%, если k = 1000.

Для указанных способов закрепления пластинки исследованы также устан новившиеся колебания. В табл. 2 приведены значения первых трех резонансн ных частот пластинки при жестком закреплении заделанных краев под дейн ствием локальной нагрузки, приложенной в окрестности общей точки свободн ных краев. Вид резонансных форм колебаний для этих частот при c = представлен для изотропной пластинки на рис. 4 и для пластинки из материн ала АГ-4 С на рис. 5.

Таблица 2.

АГ-4 С дельта-древесина сталь c 1 2 3 1 2 3 1 2 0.2 4.7 14.9 27.4 4.0 23.1 36.4 55.3 67.3 90.0.5 12.0 44.8 101.8 10.2 37.7 85.3 65.6 139.3 281.1.0 24.6 125.2 165.5 20.8 104.9 216.8 106.0 407.4 730.2.0 49.0 209.4 431.0 41.8 242.3 358.6 262.3 557.3 1124.5.0 119.9 396.2 775.8 101.3 375.8 846.1 1382.0 1683.7 2261.1 1 1 1 y y y x x x O O O Рис. 4.

1 1 O 1 1 O y y y x x x O Рис. 5.

При первой резонансной частоте анизотропия оказывает слабое влияние на форму колебаний пластинки, а для второй и особенно третьей резонансной частоты формы колебаний анизотропной пластинки качественно отличаются от таковых в случае изотропной пластинки.

В работе приведены численные результаты и графики для случая шарн нирно подкрепленных краев x = a и y = b.

В случае консольной пластинки решение задач статического и вибрацин онного изгиба выполняется аналогично. Функция прогиба ищется в виде N+W (x, y) = B5,j (y) Wj (x). (8) j=-В уравнениях (6) i = -2, -1, N + 1, N + 2, а итоговая система в нормальной форме Коши состоит из 4N + 12 уравнений и в векторной форме может быть записана в виде (8). В этом случае компонентами вектора Y кроме перечисн ленных выше являются также функции wN+1, wN+2 и их первые производные.

Численное решение задач статического изгиба консольной пластинки из тех же материалов проводилось при нагружении вдоль свободного края, вблин зи точки пересечения двух свободных краев и вдоль диагонали пластинки (рис. 6). Результаты, полученные для случаев изотропных и анизотропных пластинок при нагружении в окрестности свободного края и общей точки свободных краев, сравнивались с результатами решения соответствующих зан дач, эквивалентных исходным с точностью до принципа Сен-Венана. Вычисн лительные эксперименты показали, что при k = 1000 различие этих резульн татов составляет менее 2%. Соответствующие результаты приведены в тексте диссертации.

y y q(x, y) P x x O O y y q(x, y) q(x, y) x x O O Рис. 6.

Основные результаты, полученные в этой главе, опубликованы в рабон тах [3, 5Ц7].

В четвертой главе рассмотрены задачи установившихся колебаний под действием локальной нагрузки тонких прямоугольных пластинок из вязкон упругого материала, для которого уравнения состояния имеют вид t x (t) = K (t - ) (x + y) d, x y 1 - - (9) t xy (t) = K (t - ) xyd, 1 + - K(s) - ядро интегрального оператора, = const.

Для всех характеристик НДС принимается гармонический закон измен нения по времени:

Z (x, y, t) = Z(k) (x, y) cos (k - 1) - t, (10) k=где - частота внешней нагрузки.

Задача определения амплитуды прогиба w = w(1) 2 + w(2) 2 при установившихся колебаниях вязкоупругой пластинки сводится к решению краевой задачи для системы уравнений 4w(k) 4w(k) 4w(k) + 2c2 + c4 + (-1)k 2 k+r-1w(r) = x4 x2y2 y(11) r== (-1)k-1 dkq (x, y), k = 1, 2, при граничных условиях, определяемых условиями заделки краев пластинн ки. В уравнениях (11) k = h2dk, dk = 12 1 - 2 Ek, E = E1 + iE2 = 2 E1+E K (s) eisds - комплексный модуль материала, E3 = -E1, - коэффициент Пуассона, - плотность материала пластинки.

Были решены задачи установившихся колебаний для пластинки с двун мя смежными свободными сторонами и консольной пластинки из материала ЭД-6 МА. Понижение размерности поставленной задачи проводится с помон щью модифицированного метода сплайн-коллокации аналогично случаю иден ально упругого материала.

В табл. 3 приводятся значения критических частот вязкоупругой план стинки, два смежных края которой свободны, а два других жестко заделан ны. Вибрационная локальная нагрузка приложена в окрестности общей точки свободных краев (k = 1000).

Таблица 3.

c 0.2 0.5 1.0 2.0 5. 1 16.5 19.5 31.0 77.5 106.2 36.0 40.5 106.0 161.5 157.3 66.0 82.0 214.0 328.5 414.Графики форм колебаний квадратной пластинки при первых трех крин тических частотах п на рис. 7 и 8 для w(1) и w(2), соответственно.

0 0 0 0 y y y x x x 11 11 Рис. 7.

0 0 0 0 0 y y y x x x 11 11 Рис. 8.

Отметим, что амплитуды прогиба и всех характеристик НДС вязкоупрун гой пластинки при критических частотах остаются конечными, тогда как для пластинок из идеально упругого материала при резонансных частотах значен ния всех характеристик НДС становятся бесконечно большими.

В диссертационной работе приведены соответствующие результаты для консольной пластинки.

Результаты опубликованы в работах [1, 4, 7].

Пятая глава посвящена задачам статического изгиба и установившихся колебаний идеально упругих тонких круговых цилиндрических оболочек, пен рекрывающих прямоугольный план, с жесткой заделкой всего контура (рис. 9).

Система разрешающих уравнен ний для тонкой оболочки при услон виях справедливости гипотез Кирхн гофа-Лява для случая установившихн l ся колебаний имеет вид L11u + L12v + L13w = -X0, (12) L21u + L22v + L23w = -Y0, R L31u + L32v + L33w = -Z0, где u, v и w - амплитуды перемен Рис. 9.

щений точки срединной поверхности оболочки, X0, Y0, Z0 - компоненты амплитуды внешней нагрузки. Выражения коэффициентов Lij, которые определяются геометрией, физическими свойн ствами материала оболочки и частотой внешней нагрузки, с учетом и без учета тангенциальных сил инерции, а так же для случая пологих оболочек, приведены в работе.

При статическом изгибе в уравнениях (12) u, v и w - компоненты векн тора перемещений точки на срединной поверхности оболочки X0, Y0, Z0 внешняя нагрузка. Частота внешней нагрузки , входящая в выражения для коэффициентов Lij, полагается равной нулю.

Решение краевой задачи для системы (12) с граничными условиями жестн кой заделки на контуре оболочки проводилось с помощью классического ван рианта метода сплайн-коллокации. Для аппроксимации прогиба оболочки исн пользовались B-сплайны пятого порядка B5,j(), а тангенциальные перемещен ния представлялись как линейная комбинация B-сплайнов третьего порядка B3,j():

N N N w = j () Wj (), u = j () Uj (), v = j () Vj (). (13) j=0 j=0 j=Полученная в результате подстановки (13) в (12) система, приведенная к нормальной форме Коши, состоит из 8N + 8 уравнений первого порядка.

Соответствующая краевая задача для этой системы также решалась численн но методом дискретной ортогонализации С.К. Годунова. Следует отметить, что система уравнений, полученная методом сплайн-коллокации для оболон чек является более жесткой, чем соответствующая система для пластинок. В связи с этим при использовании метода С.К. Годунова приходится повышать число точек ортогонализации, что ведет к увеличению времени вычислений.

В качестве конкретных примеров в работе рассмотрен статический изгиб оболочки под действием локальных усилий, приложенных в окрестности ее геометрического центра, а также - и -линий.

Была также решена задача установившихся колебаний под действием нан грузки, приложенной в окрестности геометрического центра плана оболочки.

Для этой задачи были найдены первые три резонансные частоты. Определен ние частот было выполнено для четырех вариантов теории оболочек: классин ческая теория с учетом сил инерции в тангенциальных направлениях, класн сическая теория без учета сил инерции в тангенциальных направлениях и теория пологих оболочек с учетом и без учета тангенциальных сил инерции.

Исследовано влияние на характеристики НДС и резонансные частоты величин ны стрелы подъема . Было установлено, что резонансные формы колебаний и форма изогнутой срединной поверхности оболочки имеют качественные отн личия от резонансных форм колебаний и срединной плоскости пластинки при тех же граничных условиях и том же способе нагружения даже при небольн ших значениях стрелы подъема. Подробные результаты расчетов приведены в диссертационной работе.

Результаты опубликованы в работах [7, 9] Основные результаты и выводы 1. Предложен вариант описания приложенных в окрестности точки или крин вой локальных усилий, свободный от ряда недостатков, присущих ранее применявшимся способам. Заданные таким образом усилия описывают реально действующие на конструкции нагрузки более физично, чем при использовании концепции сосредоточенных сил или усилий, распределенн ных вдоль линии. В пределе, при k , такие усилия переходят в нагрузку, которая обычно трактуется как сосредоточенная в точке сила или усилия, распределенные вдоль некоторой кривой.

2. Поставлены и решены задачи статического и вибрационного изгиба при локальных воздействиях идеально упругих и вязкоупругих прямоугольн ных пластинок и круговых цилиндрических оболочек открытого профин ля, перекрывающих прямоугольный план. В задачах статического и вибн рационного изгиба идеально упругих пластинок исследовано влияние анин зотропии на НДС, значения резонансных частот и резонансные формы колебаний. Показано, что в рассмотренных случаях влияние анизотропии на первую резонансную форму колебаний невелико, однако оно сильно проявляется при более высоких частотах.

3. Выполнена оценка справедливости принципа Сен-Венана при замене сон средоточенных усилий и усилий, распределенных вдоль линии, на локальн ные нагрузки. Показано, что с помощью выбора параметра k расхожден ния между результатами решения этих задач можно снизить до достаточн но небольших значений (2-5%).

4. В случаях статического и вибрационного изгиба проведена оценка наин большего относительного значения стрелы подъема открытой цилиндрин ческой оболочки, перекрывающей прямоугольный план, при котором можн но пользоваться гипотезами пологости. Результаты, полученные при исн пользовании гипотез пологости для рассматриваемой оболочки при жестн кой заделке контура не имеют существенных отличий от классической теории при относительных значениях стрелы подъема не превышающих /R < 0.3.

5. Показано, что силы инерции в тангенциальных направлениях при исслен довании установившихся колебаний оболочек не оказывают существеннон го влияния на значения резонансных частот при /R < 0.3.

6. Установлено, что форма изогнутой срединной поверхности и резонансные формы колебаний оболочки при очень малых значениях стрелы подъема (/R < 0.1) качественно подобны форме изогнутой срединной плоскости и резонансным формам колебаний пластинки. При более высоких значен ниях стрелы подъема между формами изогнутой срединной поверхности и резонансными формами колебаний пластинок и оболочек наблюдаются существенные качественные и количественные отличия.

7. Проведена адаптация методики численного вычисления резонансных чан стот пластинок и оболочек на основе метода сплайн-коллокации для прин менения на вычислительном кластере.

Публикации [1] Недорезов, П. Ф. Модифицированный метод сплайн-коллокации в задачах о колебаниях тонкой прямоугольной вязкоупругой пластинки / П. Ф. Недон резов, О. М. Ромакина, Р. А. Сафонов // Изв. Саратовского гос. ун-та.

Серия Математика. Механика. Информатика. Ч 2010. Ч Т. 10, № 3. Ч С. 59Ц64.

[2] Сафонов, Р. А. Численное решение некоторых задач статического изгиба прямоугольных пластин под действием локальной нагрузки / Р. А. Сан фонов // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Ч Изд-во Сарат. ун-та., 2009. Ч 11. Ч С. 133Ц136.

[3] Сафонов, Р. А. Статический изгиб ортотропной прямоугольной пластинки при локальных воздействиях. / Р. А. Сафонов // Механика деформирун емых сред: межвуз. науч. сб. Вып. 16. Ч Саратов: Изд-во Сарат. ун-та., 2010. Ч С. 93Ц96.

[4] Сафонов, Р. А. Установившиеся колебания вязкоупругой пластинки при локальных воздействиях / Р. А. Сафонов // Проблемы прочности элеменн тов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: сб. науч. тр. Ч СГТУ, 2010. Ч С. 109Ц113.

[5] Сафонов, Р. А. Численное исследование статического изгиба прямоугольн ной пластинки под действием локальной нагрузки / Р. А. Сафонов // Математическое моделирование и краевые задачи:Труды седьмой Всеросн сийской научной конференции с международным участием. Ч. 1: Матеман тические модели механики, прочности и надежности элементов конструкн ций. Ч Самара: СамГТУ, 2010. Ч С. 318Ц321.

[6] Сафонов, Р. А. Численное исследование установившихся колебаний прямон угольной ортотропной пластинки при локальных воздействиях / Р. А. Сан фонов // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: Сб. трудов Междун. конф. Ч Воронеж: Издательско-полигран фический центр ВГУ, 2010. Ч С. 325Ц328.

[7] Сафонов, Р. А. Статический изгиб и установившиеся колебания тонких прямоугольных пластинок и цилиндрических оболочек при локальных нан грузках / Р. А. Сафонов // Вестник Нижегородского университета им.

Н.И. Лобачевского. Ч 2011. Ч № 4, Ч. 4. Ч С. 1753Ц1755.

[8] Сафонов, Р. А. Численное исследование статического изгиба пластинок при локальных воздействиях вдоль кривых сложного вида / Р. А. Сафон нов // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. Ч 2011. Ч Т.

4(25). Ч С. 183Ц187.

[9] Сафонов, Р. А. Численное решение задач статического изгиба и установивн шихся колебаний тонких цилиндрических оболочек при локальных воздейн ствиях / Р. А. Сафонов // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математин ка. Механика. Информатика. Ч 2011. Ч Т. 11, № 1. Ч С. 95Ц99.

Выражаю глубокую благодарность научному руководителю Недорезову Петру Феодосьевичу, а также Кирилловой Ирине Васильевне и Барышеву Андрею Алексеевичу.

Авторефераты по всем темам  >>  Авторефераты по разным специальностям