Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разным специальностям
На правах рукописи
Брук Владислав Моисеевич
ПРОСТРАНСТВА ГРАНИЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ И ЛИНЕЙНЫЕ ОТНОШЕНИЯ, ПОРОЖДЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ
Специальность 01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ
Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Воронеж - 2012
Работа выполнена в Саратовском государственном техническом университете имени Гагарина Ю. А.
Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук, профессор Баскаков Анатолий Григорьевич Доктор физико-математических наук, профессор Мирзоев Карахан Агахан оглы Доктор физико-математических наук, Сакбаев Всеволод Жанович
Ведущая организация: Белгородский государственный национальный исследовательский университет
Защита состоится 22 мая 2012 г. в 15часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 335.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.
Автореферат разослан.................. 2012 г.
Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.038.доктор физико-математических наук, профессор Ю. Е. Гликлих
Общая характеристика работы
Актуальность темы. В диссертации рассматриваются линейные операторы и отношения, порожденные различными дифференциальнооператорными уравнениями или интегральными уравнениями с неванлинновской мерой. Дифференциально-операторные уравнения содержат спектральный параметр в виде произведения на неотрицательную операторную функцию, либо как аргумент неванлинновской операторной функции. Главную роль при исследовании этих операторов и отношений играют так называемые абстрактные пространства граничных значений, определяемые и изучаемые в диссертации.
При изучении линейных дифференциальных уравнений операторы появляются, например, следующим образом. Пусть l - дифференциальное выражение, являющееся левой частью однородного дифференциального уравнения. Выбирается некоторое банахово или гильбертово пространство и минимальный оператор L0 определяется как замыкание оператора, заданного выражением l на финитных функциях. Оператор L с максимальной областью определения - это замыкание оператора L, заданного равенством L y = l[y] на всех функциях y, к которым применима операция l, причем y, l[y] принадлежат заданному пространству. Если выражение l является формально самосопряженным, а выбранное пространство - гильбертово, то оператор L0 симметрический. Отметим, что достаточно часто встречается ситуация, когда с дифференциальным уравнением ассоциируются не операторы, а линейные отношения.
При исследовании операторов или отношений, порожденных дифференциальными выражениями, возникает задача: выделить те граничные условия, которые определяют оператор или отношение L (L0 L L) с некоторыми заданными свойствами. Среди этих свойств можно отметить, например, такие, как обратимость L или L-E (C), фредгольмовость L, существование заданной асимптотики s-чисел, самосопряженность или диссипативность L в случае симметричности оператора L0 и т.д.
Пусть оператор L0 симметрический. В классической теории расширений симметрических операторов описание самосопряженных, диссипативных, аккумулятивных расширений сводится к нахождению изометрий и сжатий, действующих из одного дефектного подпространства симметрического оператора в другое. В работах М.И. Вишика1 и М.Ш. БирманаВишик М.И. Об общих краевых задачах для эллиптических дифференциальных уравнений / М.С. Вишик // Тр. Моск. матем. об-ва, - 1952. - Т. 1. - С. 187Ц246.
Бирман М. Ш. К теории самосопряженных расширений положительно определенных операторов / М.Ш. Бирман // Матем. сб. - 1956. - Т. 38. - № 4. - С. 431Ц450.
различным классам расширений положительно определенного оператора A ставятся в соответствие некоторые операторы в подпространстве ker A. Однако в применении к дифференциальным уравнениям эти операторы только в некоторых отдельных случаях удается преобразовать в операторы, определяющие граничные условия.
Описание в терминах граничных условий самосопряженных расшире ний L симметрического оператора L0, порожденных обыкновенным дифференциальным выражением l, было дано в работах М. Г. Крейна3. Однако применение результатов М.Г. Крейна к выражениям с частными производными или к дифференциально-операторным выражениям затруднено в связи с тем, что минимальные операторы, порожденные такими выражениями, имеют бесконечные дефектные числа. Для различных конкретных классов дифференциальных выражений граничные значения строились многими авторами (М. Г. Крейн, М. И. Вишик, М. Ш. Бирман, Ф. С. Рофе-Бекетов, М. Л. Горбачук, В. И. Горбачук, А. Н. Кочубей, Л. И. Вайнерман, В. А. Михайлец, О. Г. Сторож, В. М. Брук и др.). Эти результаты изложены, например,в монографиях В.И. Горбачук, М. Л. Горбачука4, В. Э. Лянце, О. Г. Сторожа5, Ф. С. Рофе-Бекетова, А. М. Холькина6.
Как отмечено выше, одной из основных целей при описании расширений дифференциальных операторов с помощью граничных условий является получение в их терминах теорем о спектральных свойствах различных краевых задач. Поэтому желательно иметь некоторую универсальную конструкцию, охватывающую достаточно большой класс линейных операторов или отношений и позволяющую делать выводы о спектральных свойствах расширений этих операторов или отношений на основании свойств операторов (отношений), входящих в граничные условия, определяющие эти расширения. Такой конструкцией может служить абстрактное пространство граничных значений.
Отметим, что попытки построения теории расширений в терминах абстрактных граничных условий, приводящих в случае дифференциального оператора непосредственно к краевым задачам, предпринимались Крейн М. Г. Теория самосопряженных расширений полуограниченных операторов и ее приложения, I, II / М. Г. Крейн // Матем. сб. - 1947. - Т. 20. - № 3. - С. 431Ц495; Т. 21. - № 3. - С. 365Ц404.
Горбачук В. И. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений / В. И. Горбачук, М. Л. Горбачук // Киев: Наукова Думка, 1984.
янце В. Э. Методы теории неограниченных операторов / В. Э. Лянце, О. Г. Сторож // Киев:
Наукова Думка, 1984.
Rofe-Beketov F. S. Spectral Anaysis of Differential Operators. Interplay between Spectral and Oscillatory Properties / F. S. Rofe-Beketov, A. M. KholТkin // World Sci. Monogr. Ser. Math., Singapore, 7, 2005.
ранее в работах Дж. Кэлкина7 (см. также Н. Данфорд, Дж. Шварц8), А. В. Штрауса9. Однако законченные результаты удавалось получать лишь для операторов с конечными дефектными числами.
Пусть в линейное дифференциально-операторное уравнение спектральный параметр входит в виде его произведения на весовую неотрицательную операторную функцию, либо в виде аргумента неванлинновской операторной функции. Такие уравнения возникают, например, при решении методом разделения переменных уравнения колеблющейся нагруженной струны (см. монографию Ф. Аткинсона10, с. 19). Различные задачи, связанные с такими уравнениями, изучались в книге Ф.Аткинсона (глава 9), в статьях В. И. Когана и Ф. С. Рофе-Бекетова11,12, С. А. Орлова13, С. Ли14 и других авторов.
В этих работах использовались методы теории функций, метод гнездящихся матричных кругов (С. А. Орлов), а в статье С. Ли на матричные коэффициенты наложены требования, исключающие появление линейного отношения. Граничные задачи, порожденные дифференциальнооператорным уравнением с неотрицательным операторным весом, не были включены в теорию линейных операторов и отношений в гильбертовом и банаховом пространствах, т.е. с такими задачами не связывались операторы или отношения в каких-либо пространствах. Отметим, что в статьях А. Плейеля15 и К. Бенневитца16 рассматривались линейные отношения, порожденные парой дифференциальных операторов со скалярными коэффициентами. Однако этот случай не охватывает дифференциальнооператорные уравнения с неотрицательным операторным весом. Более того, дифференциальные выражения, изучаемые в работах15,16, охватыCalkin J. W. Abstract symmetric boundary conditions / J. W. Calkin // Trans. Amer. Math. Soc. - 1939. V. 45. - № 3. - Pp. 369Ц442.
Данфорд Н., Линейные операторы. Спектральная теория / Н. Данфорд, Дж. Шварц // М.: Мир, 1966.
Штраус А. В. Некоторые вопросы теории расширения симметрических несамосопряженных операторов / А. В. Штраус // Тр. 2-й науч. конф. мат. кафедр пед. ин-тов Поволжья. Куйбышев: Куйбышевский пед. ин-т. - 1962. - № 1. - С. 121Ц124.
Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи / Ф. Аткинсон // М: Мир, 1968.
Kogan V. I. On square-integrable solutions of symmetric systems of differential equations of arbitrary order / V. I. Kogan, F. S. Rofe-Beketov // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Sect. A. - 1976. - V. 74. - Pp. 5Ц40.
Rofe-Beketov F. S. Square-Integrable Solutions, Self-Adjoint Extensions and Spectrum of Differential Systems / F.S. Rofe-Beketov // Diff. Eq. Proc. Int. Conf. on Differ. Eq. - Uppsala, 1977. Pp. 169Ц178.
Орлов С. А. Гнездящиеся матричные круги, аналитически зависящие от параметра и теоремы о инвариантности рангов радиусов предельных матричных кругов / С. А. Орлов // Известия АН СССР, Серия матем. - 1976. - Т. 40. - № 3. - С. 593Ц644.
Lee S.J. Formally Self-Adjoint of Differential Operators / S.J. Lee // J. of Math. Analysis and Appl.
Ц 1976 - V. 55. - Pp. 90Ц101.
Pleijel A. A survey of spectral theory for pairs of ordinary differential operators / A. Pleijel // Lecture Notes Math. - 1975. - V. 448. Pp. 256Ц272.
Bennewitz C. Spectral theory for pairs of differential operators / C. Bennewitz // Arkiv for matematik.
Ц 1977. - V. 15. - № 1. - P. 33Ц61.
ваются дифференциально-операторными выражениями с неванлинновской функцией, а также интегральным уравнением с неванлинновской операторной мерой, рассмотренными в диссертации.
Цель работы:
построение абстрактных пространств граничных значений, позволяющих делать выводы о свойствах расширений операторов или отношений на основании граничных условий, определяющих эти расширения;
включение в теорию линейных операторов и отношений в банаховом и гильбертовом пространствах дифференциально-операторных уравнений со спектральным параметром, входящим в уравнение в виде произведения на неотрицательную операторную весовую функцию или в виде аргумента неванлинновской операторной функции;
включение в теорию линейных операторов и отношений в банаховом и гильбертовом пространствах интегральных уравнений с неванлинновской мерой;
изучение возникающих при таком включении операторов и отношений с помощью построенных абстрактных пространств граничных значений.
Методика исследований. Основным средством решения поставленных задач являются методы теории операторов в банаховом и гильбертовом пространствах.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми не только для отношений, порожденных дифференциальными выражениями с весовой функцией, но и для операторов, порожденных этими выражениями без весовой функции. Перечислим эти результаты.
1. Введено пространство граничных значений замкнутых линейных операторов и отношений, приспособленное для описания обратимых сужений, изучены свойства этого пространства и в терминах абстрактных граничных значений дано описание спектра, получены условия фредгольмовости и разрешимости. Кроме того, в терминах абстрактных граничных условий получены условия резольвентной сравнимости сужений и расширений линейных операторов и отношений, исследована зависимость асимптотики s-чисел резольвент от асимптотики s-чисел операторов, входящих в абстрактные граничные условия.
2. Введено пространство граничных значений симметрических операторов и отношений, изучены свойства этого пространства. В терминах абстрактных граничных значений дано описание различных классов расширений (диссипативных, самосопряженных и других).
3. Получено описание обобщенных резольвент симметрических операторов и отношений с помощью абстрактных граничных условий, содержащих операторы, голоморфно зависящие от спектрального параметра.
4. Определены линейные отношения, порожденные различными дифференциально-операторными уравнениями в пространстве Lp(H,A(t);a,b), где t A(t) - неотрицательная операторная функция в гильбертовом пространстве H. Дано описание пространств Lp(H, A(t); a, b) (p 1).
Определяются также линейные отношения, порожденные интегральным уравнением с неванлинновской мерой.
5. Для введенных линейных отношений построены пространства граничных значений. С их помощью описаны различные классы расширений и сужений этих отношений. Получены условия обратимости и фредгольмовости рассматриваемых отношений, дано описание спектра.
6. Установлено, что если рассматриваемые линейные отношения обратимы, то операторы, обратные к таким отношениям, являются интегральными. В терминах граничных значений дается критерий голоморфности семейств таких операторов. Получены формулы обобщенных резольвент симметрических отношений. Основные результаты являются новыми как в конечномерном случае, так и в случае отсутствия операторного веса (т.е.
в случае, когда A(t) = E - тождественный оператор).
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации имеют, в основном, теоретическую ценность. Они используются математиками, проводящими свои исследования в теории линейных операторов и отношений и в теории дифференциальных уравнений (см., например, монографии4,5,6). Эти результаты могут также применяться для изучения конкретных задач математической физики.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: Международная конференция по теории характеристических функций линейных операторов (Ульяновск,1997); Международная конференция по теории операторов и ее приложениям (Ульяновск, 2001); Международная конференция по дифференциальным уравнениям (Львов, 2006); Воронежская зимняя математическая школа (Воронеж, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012); Воронежская весенняя математическая школа (Воронеж, 2007); Международная конференция "Современный анализ и приложения" (Одесса, 2007); Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы"(Москва, МГУ, 2007); Международная математическая конференция В. Я. Скоробогатько (Дрогобыч, 2007); Саратовская зимняя математическая школа (Саратов, 2008, 2010); Международная конференция "Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений" (Новосибирск, 2008); Международная конференция "Современные проблемы математики, механики и их приложений"(Москва, МГУ, 2009);
Международная конференция по функциональному анализу (Львов, 2010);
Десятая международная Казанская летняя научная школа-конференция (Казань, 2011); Крымская осенняя математическая школа КРОМШ (Крым, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011).
Публикации.Результаты диссертации опубликованы в работах[1Ц25], из которых работы [1 - 17] соответствуют списку ВАК. В статье [8] второму соавтору принадлежит указание на пример из задач термомеханики пластин, который может быть сведен к рассматриваемому в статье уравнению. Этот пример в диссертацию не включен.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения и списка литературы, состоящего из 1наименований. Общий объем диссертации 299 страниц.
Краткое содержание работы Необходимые сведения о линейных отношениях приведены в приложении A. Линейным отношением T между банаховыми пространствами B1, B2 называется любое линейное многообразие T B1 B2. Ниже использованы обозначения: {, } - упорядоченная пара; D(T ) - область определения, R(T ) - область значений отношения T ; ker T - множество таких элементов x B1, что пара {x, 0} T ; (T ) (при B1 = B2) - резольвентное множество отношения T, т.е. множество точек C, для которых отношение (T - E)-1 является ограниченным всюду определенным оператором; E - тождественный оператор.
Во введении сформулированы основные цели исследования и основные положения, выносимые на защиту, дано краткое описание работы по главам, представлен краткий обзор работ, примыкающих к тематике диссертации.
Первая глава посвящена абстрактным пространствам граничных значений. Предварительно в разд. 1.1 определяются голоморфные семейства подпространств. Под семейством подпространств (замкнутых) понимается функция T () ( D C), значениями которой являются подпространства (замкнутые) T () B, где B - банахово пространство.
Определение 1.1. Семейство подпространств T () B, определенное в окрестности точки 0 C, называется голоморфным в точке 0, если существует такое банахово пространство Z и такое голоморфное в окрестности точки 0 семейство ограниченных линейных операторов () : Z B, что при каждом фиксированном оператор () отображает взаимно однозначно Z на подпространство T (). Семейство T () называется голоморфным в области , если оно голоморфно в каждой точке, принадлежащей .
Замкнутое линейное отношение является подпространством декартова произведения B = B1 B2, где B1, B2 - банаховы пространства. Поэтому определение голоморфности семейства подпространств естественным образом распространяется на семейство замкнутых линейных отношений.
Это определение обобщает соответствующее определение для семейств замкнутых операторов из монографии Т. Като17.
В разд. 1.1 устанавливается ряд свойств голоморфных семейств, в частности, дается положительный ответ на вопрос, поставленный в книге Т. Като17 (с. 462), о справедливости теоремы единственности для голоморфных семейств замкнутых операторов. Другими словами, пусть замкнутые операторы T1() и T2() действуют из банахова пространства B1 в банахово пространство B2 и удовлетворяют двум условиям: (i) семейства T1() и T2() голоморфны в (связной) области ; (ii) T1(n) = T2(n) для последовательности {n}, n , сходящейся к точке 0 , такой, что 0 = n для всех n.
Верно ли, что T1() = T2() для всех ? В книге17 устанавливается справедливость теоремы единственности в случае, когда B1 = B2, семейства операторов T1(), T2() имеют непустые резольвентные множества для каждого , и отмечается, что ответ на этот вопрос неясен в общем случае.
Положительный ответ на вопрос Т. Като дается в следующей теореме, где рассматриваются голоморфные семейства подпространств.
Теорема 1.2. Пусть семейства подпространств T1() и T2() удовлетворяют условиям (i), (ii) и подпространство T (0) = T1(0) = T2(0) допускает прямое дополнение в пространстве B. Тогда T1() = T2() для всех точек , достаточно близких к точке 0.
Доказательство теоремы 1.2 основано на следующем утверждении.
Теорема 1.1. Пусть T () - семейство подпространств, определенное в некоторой окрестности точки 0. Предположим, что подпространство T (0) допускает прямое дополнение в пространстве B, т.е. существует такое подпространство N B, для которого спра ведливо разложение в прямую сумму B = T (0)+N. Семейство подпространств T () является голоморфным в точке 0 тогда и только тогда, когда для всех точек , достаточно близких к 0, пространство B раскладывается в прямую сумму своих подпространств B = T ()+N Като Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като // М.: Мир, 1972.
и семейство проекторов P () пространства B на T () параллельно N является голоморфным в 0.
В разд. 1.2.1 вводится пространство граничных значений (ПГЗ), приспособленное для описания обратимых отношений и операторов.
Пусть B1, B2, B1, B2 - банаховы пространства, T - замкнутое линейное отношение, T B1B2, :T B1B2 - линейный оператор. Обозначим k = pk, где pk - естественная проекция B1B2 на Bk, т.е. pk{x1, x2} = xk, xk Bk, k = 1, 2 (подобные обозначения используются и далее).
Определение 1.2. Четверка (B1, B2, 1, 2) называется пространством граничных значений (ПГЗ) или граничной четверкой для замкнутого отношения T, если выполняются условия: а) 1, 2 непрерывны на T (на T норма пространства B1 B2); б) отображение :T B1 Bсюръективно; в) сужение 1 на KerT является взаимно однозначным отображением на B1.
Здесь KerT - множество пар вида {x, 0} T. Обозначим T0 = ker , = 2 (1|KerT )-1. (1) Между отношениями T со свойством T0 T T и отношениями B1 B2 существует взаимно однозначное соответствие, определяемое равенством T = . Обозначаем T = T. Таким образом, T = .
Пусть B, B - банаховы пространства и S - линейное отношение, 1 S B B. Следующие условия приведены в статье А.Г. Баскакова18:
1 1)S замкнуто; 2) ker S ={0}; 3) dim ker S < ; 4) отношение S корректно;
5) ker S - замкнутое дополняемое подпространство в B ; 6) R(S) = R(S);
7) R(S) - замкнутое дополняемое в B подпространство; 8) R(S) - замкнутое подпространство в B конечной коразмерности; 9) R(S) = B ;
2 10) отношение S непрерывно обратимо.
Теорема 1.7. Пусть R(T ) = B2. Отношение T тогда и только тогда удовлетворяет условию k (1 k 10, k = 5, k = 7), когда тому же условию удовлетворяет отношение - . Если ker T допускает дополнение в B1, то ker T и ker( - ) одновременно удовлетворяют условию k = 5. Пусть k = 7. Если R(T) - замкнутое дополняемое в B2 подпространство, то R( - ) - такое же подпространство в B2;
обратное утверждение верно, когда R(T0) дополняемо в B2.
Далее в разд. 1.2.2 устанавливается, что если отношения 1 и 2 "близки" в определенном смысле, то отношения T, T обладают рядом одина1 ковых свойств. Обозначим N = ( - )-1. Отношения N и однозначно Баскаков А. Г. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, разностные отношения и полугруппы разностных отношений / А. Г. Баскаков // Известия РАН. Серия матем. - 2009. - Т. 73. - № 2. - С. 3Ц68.
определяют друг друга (если N и связаны последним равенством, пи-1 -шем = (N )). Из теоремы 1.7 следует, что отношения N и T(N ) одновременно являются или нет операторами. При условии, что (T(N )), i (i) положим R = (T(N ) - E)-1.
i В теоремах 1.11, 1.13 предполагается, что в определении 1.2 B1 = B2 = B, B1 = B2 = B, пространства B, B гильбертовы и Nk : B B (k = 1, 2) - ограниченные всюду определенные операторы. Через sn(V ) (n = 1, 2,...) обозначены s-числа вполне непрерывного оператора V, т.е собственные числа оператора V V ; символом Sp (p 1) обозначен идеал Неймана-Шэттена в кольце ограниченных линейных операторов (S состоит из всех вполне непрерывных операторов).
Теорема 1.11. Пусть (T(N )) (T(N )). Для того чтобы опе1 (1) (2) ратор R - R Sp, необходимо и достаточно, чтобы оператор N1 - N2 Sp, где 1 p .
Следствие 1.9. Если оператор N1 - N2 вполне непрерывен, то существенные спектры отношений T(N ) и T(N ) совпадают.
1 (1) Теорема 1.13. Пусть (T(N )), (T(N )), резольвента R 1 (1) является вполне непрерывным оператором и lim nsn(R )=a (>0).
n (2) Для выполнения равенства lim nsn(R )=a ( >0) достаточно, чтоn бы N1-N2 был вполне непрерывным оператором и lim nsn(N1-N2)=0.
n Из теорем 1.11, 1.13 вытекают соответствующие утверждения из работ В.И. Горбачук, М.Л. Горбачука, В.А. Кутового, В.А. Михайлеца, относящиеся к дифференциально-операторным уравнениям эллиптического и гиперболического типов (см. монографию4).
В разд. 1.2.3 устанавливается, что граничные условия, голоморфно зависящие от параметра, приводят к голоморфному семейству отноше ний. Пусть :T B1 B2 - линейный оператор, k =pk и (B1, B2, 1, 2) - граничная четверка для отношения T. Положим T1 = ker 1, k(){y1, y2-y1}= k{y1, y2}, k = 1, 2, {y1, y2} T, -() = 2() 1()|KerT ().
Предположим, что семейства линейных отношений () B1B2 и T (), где T0 T () T, связаны равенством () = ()T ().
- Теорема 1.18. Пусть 0 (T1) и отношение T (0) (или отношение ((0) - (0))-1 ) является ограниченным всюду определенным - оператором. Для голоморфности семейства T () в окрестности точки 0 необходимо и достаточно, чтобы семейство (() ())-1 было голоморфным в той же окрестности.
В разд. 1.2.4 дано описание спектра отношения T, состоящего из та ких пар {y1, y2} T, что {y1, y2} .
Теорема 1.20. При (T1) справедливы следующие утверждения:
1) область значений R(T - E) замкнута в том и только том случае, когда область значений R( - ()) замкнута;
2) dim B1/R(T - E) = dim B2/R( - ();
3) dim ker(T - E) = dim ker( - ()).
Следствие 1.11. Пусть отношение замкнуто и (T1). Для принадлежности точки точечному спектру p(T) отношения T необходимо и достаточно, чтобы ker( - ()) = {0}. Точка принад лежит остаточному спектру r(T) (непрерывному спектру c(T) ) тогда и только тогда, когда отношение ( - ())-1 является неплотно определенным (плотно определенным и неограниченным) оператором. Точка принадлежит резольвентному множеству (T) в том и только том случае, когда ( - ())-1 является ограниченным всюду определенным оператором.
В разд. 1.3 вводится пространство граничных значений для описания расширений симметрических операторов и отношений и в терминах абстрактных граничных условий описываются различные свойства расширений этих операторов и отношений. Отметим, что основные результаты разд. 1.3 с полными доказательствами изложены в монографии4.
В разд. 1.3.1 дается определение ПГЗ симметрического отношения.
Пусть H - гильбертово пространство со скалярным произведением (, ) и нормой ; H - другое гильбертово пространство со скалярным произведением (, )gr и нормой gr; S0 - замкнутое симметрическое линейное отношение, S0 H H, S = S0. Пусть : S0 H H - линейный оператор, k = pk : S0 H (k = 1, 2).
Определение 1.4. Тройка (H, 1, 2) называется пространством граничных значений (ПГЗ) симметрического отношения S0 или граничной тройкой для S0, если выполняются условия: а) отображение : S0 H H сюръективно; б) для любых пар {y, y }, {z, z } S0 справедлива "формула Грина":
(y, z) - (y, z ) = (Y, Z)gr - (Y, Z )gr, где Y = 1{y, y }, Y = 2{y, y }, Z = 1{z, z }, Z = 2{z, z }.
Замечание. Определение 1.4 дано в работе автора19. Независимо анаБрук В. М. Об одном классе краевых задач со спектральным параметром в граничном условии / В. М. Брук // Матем. сборник. - 1976. - Т. 100. - № 2. - С. 210Ц216.
огичное определение приведено в статье А.Н. Кочубея20. В этих работах рассматривался случай, когда S0 - оператор.
Из свойств а), б) следует, что {y, y } = 0 в том и только том случае, когда пара {y, y } S0. В определении 1.4 не требуется, чтобы граничные отображения k : S0 H (k = 1, 2) обладали какими-либо свойствами непрерывности. Тем не менее условия а), б) влекут непрерывность k.
Теорема 1.22. Оператор является непрерывным и взаимно одно значным отображением N +N на H H (Im0 =0).
В теореме 1.22 символом N обозначено множество упорядоченных пар вида {z, z}, где z N; N = H R(S0 - E) = ker(S0 - E) - дефектное подпространство отношения S0, Im=0.
Теорема 1.23. Для симметрического отношения S0 тогда и только тогда существует граничная тройка, т.е. гильбертово пространство H и операторы k :S0 H (k = 1, 2), удовлетворяющие условиям а), б ) определения 1.4, когда отношение S0 имеет равные дефектные числа.
Обозначим через S такое линейное отношение, что S S и S = , где - линейное отношение, H H. Очевидно, S0 S. Из тео ремы 1.22 следует, что отношения S (S0 S S) и ( H H) однозначно определяют друг друга.
Теорема 1.24. Линейные отношения S и одновременно являются или нет диссипативными (аккумулятивными, симметрическими, максимальными диссипативными, максимальными аккумулятивными, максимальными симметрическими, самосопряженными ).
Из теоремы 1.24 и работ Ф.С. Рофе-Бекетова, В. И. Горбачук, М. Л. Горбачука (см.6,4) о представлении самосопряженных, диссипативных, аккумулятивных отношений вытекает следующее утверждение.
Теорема 1.25. Для любого сжатия K в пространстве H сужение отношения S0 на множество пар h S0, удовлетворяющих условию (K - E)2h + i(K + E)1h = 0, (2) или (K - E)2h - i(K + E)1h = 0, (3) представляет собой максимальное диссипативное (максимальное аккумулятивное соответственно) расширение отношения S0. Обратно, всякое максимальное диссипативное (максимальное аккумулятивное) расширение отношения S0 является сужением отношения S0 на мно жество пар hS0, удовлетворяющих (??), (??) соответственно, приКочубей А. Н. О расширениях симметрических операторов и симметрических бинарных отношений / А. Н. Кочубей // Матем. заметки. - 1975. - Т. 17. Ц№ 1. - С. 41Ц48.
чем сжатие K определяется расширением однозначно. Максимальные симметрические расширения отношения S0 описываются условиями (??), (??), в которых K - изометрический оператор. Эти условия задают самосопряженные расширения тогда и только тогда, когда оператор K унитарен. Общий вид диссипативных (аккумулятивных) расширений задается соответственно условиями K(2h + i1h) = 2h - i1h, 2h + i1 D(K);
K(2h - i1h) = 2h + i1h, 2h - i1h D(K), где K - линейный оператор, для которого Kf gr f gr при всех f D(K). Диссипативное (аккумулятивное) расширение является симметрическим тогда и только тогда, когда соответствующий оператор K изометрический.
Пусть S(K) - расширение отношения S0, определяемое граничным условием (??) или (??). В разд. 1.3.2 находится связь между спектральными свойствами максимального диссипативного (аккумулятивного) расширения S(K) отношения S0 и соответствующего граничного оператора K. Доказывается, что если операторы K и K0 "близки" в определенном смысле, то отношение S(K) обладает теми же свойствами, что и S(K ). Соответствующие утверждения аналогичны теоремам 1.11, 1.13.
В разд. 1.3.3 устанавливается связь между обобщенными резольвентами симметрического отношения и краевыми задачами со спектральным параметром в граничном условии. Рассмотрим следующую краевую задачу y = y + f, (4) (K() - E)Y - i(K() + E)Y = 0, (5) где {y, y } S, {Y, Y } = {y, y }, f H, C, Im > 0, K() - заданная голоморфная в верхней полуплоскости операторная функция в пространстве H такая, что K() gr 1.
Теорема 1.32. Между классом краевых задач (??), (??) и обобщенными (регулярными) резольвентами R отношения S0 существует взаимно однозначное соответствие, определяемое равенством R = (S(K()) - E)-1.
В разд. 1.3.4 определение 1.4 распространяется на более общий случай. При изучении операторов и отношений, порожденных дифференциальными выражениями, часто встречается ситуация, когда отображает S0 на H- H+ (или на H+ H-), где H+, H- - соответственно пространства с позитивной и негативной нормой относительно гильбертова пространства H. Поэтому было введено следующее определение.
Определение 1.5. Четверка (H-, H+, 1, 2) называется пространством граничных значений (ПГЗ) симметрического отношения S0, ес ли: а) отображение : S0 H- H+ сюръективно; б) для любых пар {y, y }, {z, z } S0 справедлива "формула Грина" из определения 1.4.
В диссертации устанавливается, что этот случай достаточно просто сводится к определению 1.4, если использовать стандартные операторы, осуществляющие изометрию между пространствами H+, H и H, H-.
В заключение разд. 1.3.4 рассматривается связь между различными абстрактными пространствами граничных значений. Отмечается, что ес ли тройка (H, 1, 2) является граничной в смысле определения 1.4, то при любом невещественном четверки (H, H, 1, 2), (H, H, 2, 1) гра ничные (в смысле определения 1.2) для отношения S0 - E. Позитивное пространство граничных значений, введенное в статье А. Н. Кочубея21, является граничной тройкой в смысле определения 1.4. Пространства граничных значений из работ В. А. Михайлеца22 и О. Г. Сторожа23 являются таковыми и в смысле определения 1.2. В статье Л. И. Вайнерманавведено пространство граничных значений для пары операторов. Это ПГЗ удовлетворяет определению 1.2 для каждого оператора в отдельности. Абстрактная формула Грина из статьи Н. Д. Копачевского25 укладывается в схему определений 1.4, 1.5.
Глава 2 посвящена линейным отношениям, порожденным дифференциальным выражением с ограниченными операторными коэффициентами и неотрицательной операторной функцией t A(t), а также дифференциальным выражением с неванлинновской операторной функцией.
В разд. 2.1 дается описание пространства Lp(H, A(t); a, b) (p 1).
Пусть H - сепарабельное гильбертово пространство со скалярным произведением (, ); t A(t) - сильно измеримая на конечном или бесконечном интервале (a, b) функция, значениями которой являются такие ограниченные операторы в пространстве H, что для любого x H и при Кочубей А.Н. О расширениях положительно определенного симметрического оператора/ А. Н. Кочубей // Докл. АН УССР. Сер. А. - 1979. - № 3. - С. 168 - 171.
Михайлец В. А. Спектры операторов и граничные задачи / В. А. Михайлец // Спектральный анализ дифференциальных операторов, Киев, 1980. - С. 106 - 131.
Сторож О. Г. О расширениях симметрических операторов с неравными дефектными числами / О. Г. Сторож // Матем. заметки. - 1984. - Т. 36. - № 5. - С. 791 - 796.
Вайнерман Л. И. О расширениях замкнутых операторов в гильбертовом пространстве / Л. И. Вайнерман // Математические заметки. - 1980. - Т. 28. - № 6. - С. 833Ц842.
Копачевский Н. Д. Об абстрактной формуле Грина для смешанных краевых задач и ее приложениях / Н. Д. Копачевский // Spectral and Evolution Problems. - 2011. - V. 21. - Issue 1, Simferopol, 2011. C. 2 Ц39.
почти всех t (a, b) выполняется неравенство (A(t)x, x) 0. Кроме того, предполагается, что норма A() - суммируемая функция на каждом отрезке [, ] (a, b).
На множестве непрерывных и финитных на интервале (a, b) функций y со значениями в пространстве H введем полунорму 1/p b A1/p(t)y(t) p pp(y) = dt, 1 p < .
a Отождествляя с нулем те функции y, для которых pp(y) = 0, а затем производя пополнение, получим банахово пространство, обозначаемое B = Lp(H, A(t); a, b). Элементами B являются классы эквивалентности; при этом функции y, z принадлежат одному классу, если pp(y -z) = 0. Чтобы излишне не усложнять терминологию, класс функций с представителем y обозначаем тем же символом, а про функцию y будем говорить, что y принадлежит B. Равенства между функциями из H понимаются как равенства соответствующих классов эквивалентности.
Пусть G0(t) = ker A(t), H(t) = H G0(t), A0(t) - сужение A(t) на H(t). Тогда оператор A0(t), действующий в H(t), имеет обратный A-1(t) (вообще говоря, неограниченный). Через {H(t)} (- < ) обозначим гильбертову шкалу пространств, порожденную оператором A-1(t).
Оператор A0(t) допускает расширение 0(t) : H-(t) H1-(t), которое непрерывно и взаимно однозначно отображает H-(t) на H1-(t). Обозначим через (t) оператор, определенный на H-(t) G0(t), равный 0(t) на H-(t) и нулю на G0(t).
Теорема 2.1.Пространство B=Lp(H, A(t); a, b) состоит из элементов (т.е.классов функций),представители которых есть функции вида t-1/p(t)P(t)h(t), где hLp(H; a, b), P(t) - ортопроектор H на H(t).
Пространство L2(H, A(t); a,b) является гильбертовым со скалярным b произведением (y, z)= ((t)y(t), z(t))dt, где y, z L2(H, A(t); a, b).
a В разд. 2.2 рассматриваются отношения, порожденные на отрезке [a, b] функцией A и дифференциальным выражением l[y] = p0(t)y(r) + p1(t)y(r-1) +... + pr(t)y, коэффициенты которого - ограниченные линейные операторы в гильбертовом пространстве H, причем оператор p0(t) имеет всюду определенный ограниченный обратный при почти всех t [a, b]. Предполагается, что p-1() функции p-1, p1,...,pr сильно измеримы, функция ограничена, а 0 функции p1(),..., pr() суммируемы на [a, b].
Наряду с выражением l вводится сопряженное выражение l[z] = (-1)r(p(t)z)(r) + (-1)r-1(p(t)z)(r-1) +... + p(t)z, 0 1 r которое рассматривается как квазидифференциальное. Квазипроизводные z[k] для l определим равенствами z[0] = pz, z[1] = -(z[0]) + pz,..., 0 z[k] =-(z[k-1]) + pz (k = 1,..., r). Тогда l[z] = z[r].
k Пусть Yj(t, ), Zj(t, ) - операторные решения уравнений l[y] = l[y] - A(t)y = 0, l[z] = l[z] - A(t)z = соответственно, удовлетворяющие начальным условиям Yj(k-1)(t0,) = [k-1] jkE, Zj (t0, ) = jkE, где C, t0 [a, b], jk - символ Кронекера, j, k = 1,..., r. Обозначим через Y (t, ), Z(t, ) операторные однострочные матрицы Y (t, )=(Y1(t, ),...,Yr(t, )), Z(t, )=(Z1(t, ),...,Zr(t, )).
В разд. 2.2.1 устанавливаются свойства функций Y, Z, необходимые для изучения линейных отношений, порожденных выражениями l, l.
Максимальное и минимальное отношения, порожденные выражением l и функцией A в пространстве B = Lp(H, A(t); a, b) (p 1), вводятся в разд. 2.2.2 следующим образом. Пусть L - множество упорядоченных пар {, f} BB, для каждой из которых существует пара {y, f}, отож дествленная в B B с {, f} и удовлетворяющая условиям: а) y имеет на [a, b] абсолютно непрерывные производные y(k) до порядка r - 1 включительно; б) l[y](t) = A(t)f(t) почти всюду. Замыкание отношения L обозначим L и назовем максимальным отношением, порожденным выражением l и функцией A. Минимальное отношение L0 определим как сужение L на множество функций y D(L ) со свойствами а), б), для которых y(k)(a)=y(k)(b)=0 (k =0, 1,..., r - 1). Аналогично определяются максимальное и минимальное 0 отношения, порожденные выражением l и функцией A в пространстве B (p=1). В разд. 2.2.2 устанавлива ется ряд свойств введенных отношений. Доказывается, что отношения L0, 0 замкнуты и L =, L =0. Основную роль в доказательствах играет лемма 2.2, для формулировки которой введем следующие обозначения.
Через Q0 (Q0) обозначим множество элементов c Hr ( Hr), для c которых функция t Y (t, 0)c (t Z(t, 0) соответственно) равна нулю c) почти всюду. Положим Q = Hr Q0 и Q = Hr Q0. Введем в Q и Q соответственно c :
нормы c -, p 1/p b A1/p(s)Y (s, 0)c c -= ds k c, cQ, k >0, (6) a q 1/q b A1/q(s)Z(s, 0) ds k = c c, cQ, k >0, p-1+q-1 =1. (7) c a Пополнение Q (Q) по норме (??) (по норме (??)) обозначим Q- (Q- соответственно). Доказывается, что замена в формуле (??), (в формуле (??)) Y (s, 0) на Y (s, ) (Z(s, 0) на Z(s, )) приводит к тому же множеству Q (Q- соответственно) с эквивалентной нормой. Пространства, сопряжен ные к Q- и Q-, обозначим Q+ = (Q-), Q+ = (Q-). Справедливы вклю чения Q+ Q, Q+ Q. Через Y (t, )c (cQ-) обозначаем элемент из B, к которому сходится последовательность {Y (t, )cn}, если {cn} сходится к c в пространстве Q-.
Лемма 2.2. Отношение L-E состоит из множества пар {, f} B B, для каждой из которых существует такая пара {y, f}, отож дествленная в B B с {, f}, что y(t) = Y (t, )c + F (t), (8) t где c Q-, F (t) = Y (t, )J Z(s, )(s)f(s)ds, J - операторная a матрица порядка r, у которой на побочной диагонали стоят тождественные операторы E, а остальные элементы равны нулю.
В разд. 2.2.3 дается описание операторов, являющихся обратными к обратимым сужениям максимального отношения. Наиболее просто описание таких операторов выглядит в следующем ПГЗ. Каждой паре {y, f} L - E, представленной в виде (??), поставим в соответствие пару граничных значений по формулам b L,2{y, f}= Y = Z(s, )(s)f(s)ds, L,1{y, f}= c - (1/2)Y.
a Доказывается, что четверка {Q-, Q+, L,1(), L,2()} является ПГЗ в смыс ле определения 1.2. Пусть L() - семейство таких линейных отно шений, что L0-E L() L - E. Положим L()L() = (). Тогда () Q- Q+. Обозначим L-1()=R() и -1()=M().
Теорема 2.4. Отношение R() тогда и только тогда является оператором, когда отношение M() является оператором. В этом случае оператор R() интегральный b R()f = KL(t, s, )(s)f(s)ds, a где KL(t, s, ) = Y (t, )(M()-(1/2)sgn(s-t)J)Z(s, ). Оператор R() a) замкнут, б) плотно определен, в) всюду определен в том и только том случае, когда этими свойствами обладает оператор M().
Теорема 2.6. Пусть при некотором 0 отношение R(0) (или M(0)) из теоремы 2.4 является ограниченным всюду определенным оператором. Семейство R() тогда и только тогда голоморфно в точке 0, когда семейство M() голоморфно в той же точке. При этом R() и M() являются в некоторой окрестности точки 0 ограниченными всюду определенными операторами.
Кроме того, в разд. 2.2.3 в терминах граничных значений описывается спектр сужений максимального отношения. Для функции y, к которой применима операция l, обозначим y = col(y, y,..., y(r-1)). Если u = (u1,..., um) - какая-либо система функций, то u - матрица со столбца ми uj, j = 1,..., m. Отметим, что оператор Y (t, ) непрерывно и взаимно отображает Hr на Hr. Наиболее просто описание спектра выглядит в следующем ПГЗ. Предположим, что t0 = a. Обозначим Qb = Y (b, 0)JQ+.
Используя последнее равенство, введем в Qb норму пространства Q+.
Каждой паре {y, f} L, представленной в виде (??) при = 0, поставим в соответствие пару граничных значений b 1,a{y, f}=c0 Q-, 2,b{y, f}=Y (b, 0)J Z(s, 0)(s)f(s)dsQb.
a Если c0 Q (т.е. {y, f} L ), то 1,a{y, f} = y(a), 2,b{y, f} = y(b) Y (b, 0)y(a). Пусть пара {y, f} L. Тогда пара {y, f - y} L - E. По ставим в соответствие каждой такой паре пару граничных значений по формулам 1,a(){y, f - y} = 1,a{y, f}, 2,b(){y, f - } = 2,b{y, f}.
Доказывается, что четверка {Q-, Qb, 1,a(), 2,b()} при любом C является ПГЗ для отношения L-E в смысле определения 1.2. Оператор (), соответствующий (??) и обозначаемый здесь 0(), имеет вид a,b b 0() = Y (b, 0)J Z(s, 0)(s)Y (s, )ds.
a Если c0 Q (т.е. {y, f}L ), то 0() = Y (b, ) - Y (b, 0).
Пусть Q- Qb и L - линейное отношение, состоящее из таких пар {y, f} L, что {1,a{y, f},2,b{y, f}} . Заменив в следствии 1.11 () на 0(), получим для произвольной точки C необходимые и достаточные условия принадлежности точки точечному спектру p(L), остаточному спектру r(L), непрерывному спектру r(L) или резольвентному множеству (L). Отметим, что если в теореме 1.7 заменить на 0(), то получатся условия, при которых отношение L-E обладает свойствами, перечисленными в теореме 1.7.
В разд. 2.3 рассматривается формально самосопряженное выражение на конечном или бесконечном интервале (a, b) и изучаются линейные отношения, порожденные этим выражением и функцией A в пространстве H = L2(H, A(t); a, b). Обозначим через l дифференциальное выражение порядка r (r = 2n, n = 1, 2,... или r = 2n + 1, n = 0, 1, 2,...):
n (-1)k{(p y(k))(k)-i[(qn-ky(k))k-1+(qn-ky(k-1))(k)]}+pny, n-k k=l[y]= n (-1) {i[(qn-ky(k))(k+1)+(qn-ky(k+1))k]+(pn-ky(k))(k)}.
k k=Выражение l рассматривается как квазидифференциальное. Коэффициенты l - ограниченные самосопряженные операторы в H, причем p0(t) (при r =2n) и q0(t) (при r =2n + 1) имеют ограниченные обратные почти всюду, функция q0 сильно дифференцируема при r =2n + 1. Предполага ется, что нормы функций p-1, p-1q0, q0p-1q0 (при r = 2n), q0 (при r = 0 0 2n + 1) и нормы остальных коэффициентов суммируемы на любом отрезке [, ] (a, b). Конец a называется регулярным, если a > -, можно взять = a и функция t A(t) суммируема на любом отрезке [a, ] [a, b). В противном случае конец a называется сингулярным.
Аналогично определяется регулярность и сингулярность конца b.
Пусть Wj(t, ) - операторное решение уравнения l[y] = A(t)y, удовлетворяющее начальным условиям: Wj[k-1](t0, ) = jkE (j, k = 1,..., r).
Однострочную матрицу (W1(t, ),..., Wr(t, )) обозначим W (t, ). Для выражения l порядка 2n или 2n + 1 используем соответственно матрицы J2n(t) или J2n+1(t), где J2n(t) - операторная матрица порядка 2n, на побочной диагонали которой в первых n строках стоят -E, в последних n строках стоят E, а остальные элементы равны нулю; J2n+1(t) - операторная матрица порядка 2n + 1, у которой на пересечении (n + 1)-строки и (n + 1)-столбца стоит 2iq0(t), остальные элементы - такие же как в матрице J2n(t).
В разд. 2.3.2 определяются максимальное и минимальное отношения, порожденные выражением l и функцией A в случае регулярных концов.
Пусть L - множество упорядоченных пар {, f}H H, для каждой из которых существует пара {y, f}, отождествленная в HH с {, f} и удовлетворяющая условиям: а) квазипроизводные y[k] функции y существуют, абсолютно непрерывны до порядка r - 1 включительно; б) l[y](t) = A(t)f(t). Замыкание отношения L обозначим L и назовем максимальным отношением, порожденным выражением l и функцией A. Минимальное отношение L0 определим как сужение L на множество функций y D(L ) со свойствами а), б) и y[k](a) = y[k](b) = 0 (k = 0, 1,..., r - 1).
В разд. 2.3.2 доказывается, что отношение L0 симметрическое, замкнутое и L = L. Доказательства основаны на лемме 2.10, для формулировки которой введем следующие обозначения. Пусть Q0 - множество таких элементов c Hr, что функция W (t, 0)c отождествлена с нулем в пространстве H, Q = Hr Q0. Зададим в Q норму 2 1/b A1/2(s)W (s, 0)c c (c Q, > 0). (9) c - = a Пополнение Q по этой норме обозначим Q-. Доказывается, что замена в (??) W (s, 0)c на W (s, )c приводит к тому же множеству Q- с эквивалентной нормой. Q- можно рассматривать как пространство с негативной нормой относительно Q. Соответствующее пространство с позитивной нормой обозначим Q+.
Лемма 2.10. Отношение L-E состоит из множества пар {, f} H H, для каждой из которых существует такая пара {y, f}, отож дествленная в H H с {, f}, что y(t) = W (t, )c + F (t), (10) t -1 где c Q-, F (t) = W (t, )Jr (t0) W (s, )(s)f(s)ds.
a Основным результатом разд. 2.3.3 являются теоремы об описании обобщенных резольвент симметрического отношения L0. Напомним, что обобщенная резольвента отношения L0 называется -регулярной, если она порождается J-самосопряженным расширением в J-пространстве H H и в качестве H можно выбрать такое пространство, что H H является пространством Понтрягина . Если = 0, то обобщенная резольвента называется регулярной.
Теорема 2.18. Пусть оба конца интервала (a, b) регулярны. Всякая обобщенная резольвента R (Im = 0) отношения L0 в окрестности точки 0 является в этой окрестности интегральным оператором b Rg = K(t, s, )(s)g(s)ds (g H) (11) a -1 с ядром K(t, s, ) = W (t, )(M() - (1/2)sgn(s - t)Jr (t0))W (s, ), где M() : Q+ Q- - ограниченный оператор при каждом фиксированном 0, причем операторная функция M() голоморфна в 0.
Обратно, если M() - голоморфная в окрестности 0 точки операторная функция, значения которой - ограниченные операторы из Q+ в Q-, то семейство операторов R, определенное равенством (??), является обобщенной резольвентой отношения L0 в окрестности точки 0.
Теорема 2.19. Обобщенная резольвента R -регулярна в том и только том случае, когда операторная функция N(, ) = ( - )-1(M() - M()) - (M() + 2-1Jr(t0))Iab(, )(M() - 2-1Jr(t0)) имеет не более отрицательных квадратов в 0 и отрицательная часть спектров операторов N(0, 0), N(0, 0) состоит из 1 собственных значений (с учетом кратности).
Здесь оператор Iab(, ):Q- Q+ определяется равенством b Iab(, )x = W (s, )(s)W (s, )xds, x Q-.
a Следствие 2.6. Если обобщенная резольвента порождается самосопряженным расширением с выходом в гильбертово пространство, то (Im)-1(M() - M()) 0.
В разд. 2.3.4 получено описание диссипативных, аккумулятивных и других расширений минимального отношения. Пусть пара {y, f} L имеет вид (??) с =0. Введем граничные значения формулами b 2{y, f} = Y0 = W (s, 0)(s)f(s)ds Q+, a -1{y, f} = Y0 = c0 + (1/2)Jr (t0)Y0 Q-.
Отметим, что если в (??) c0 Q (т.е. {y, f} L ), то -1 - Y = 2-1(W (b, 0)y(b) + W (a, 0)y(a)), -1 - Y = Jr(t0)(W (b, 0)y(b) - W (a, 0)y(a)).
Доказывается, что четверка (Q-, Q+, 1, 2) является ПГЗ в смысле определения 1.5. Отсюда и из теоремы 1.25 получаем описание диссипативных, аккумулятивных и других расширений отношения L0.
В разд. 2.3.5 доказывается формула регулярных обобщенных резольвент в случае, когда концы интервала (a, b) сингулярны. Минимальное и максимальное отношения в этом случае определяются следующим обра зом. Пусть L - множество упорядоченных пар {, f} H H, для каж дой из которых существует пара {y, f}, отождествленная в HH с {, f} и удовлетворяющая условиям: а) функция y финитна; б) квазипроизводные y[k] функции y существуют, абсолютно непрерывны до порядка r - включительно; в) l[y](t) = A(t)f(t). Замыкание отношения L обозначим L0 и назовем минимальным отношением, порожденным выражением l и функцией A. Отношение L назовем максимальным.
Пусть последовательность отрезков [an, bn] такова, что [an, bn] (a, b) и an a, bn b при n . Через Q-(n) обозначим пространство, построенное на отрезке [an, bn] так же, как пространство Q- с нормой (??) построено на (a, b) в случае регулярных концов. Пусть Q- - проективный предел пространств Q-(n), Q+ = (Q-).
Теорема 2.23. Всякая регулярная обобщенная резольвента R отношения L0 является интегральным оператором b Rf = K(t, s, )(s)f(s)ds (f H, Im=0) (12) a -1 с ядром K(t, s, ) = W (t, )(M() - (1/2)sgn(s - t)Jr (t0))W (s, ), где M() : Q+ Q- - непрерывный оператор при каждом фиксированном (Im = 0) такой, что M() = M() и (Im)-1Im(M()x, x) 0 для всех x Q+. Операторная функция M()x голоморфна при каждом x Q+ в полуплоскости Im = 0. Интеграл (??) сходится по крайней мере слабо в пространстве H.
Отметим, что в скалярном случае при отсутствии весовой функции формула регулярных обобщенных резольвент для дифференциальных операторов четного порядка получена А. В. Штраусом26.
В разд. 2.4 рассматривается дифференциальное выражение, являющееся суммой формально самосопряженного выражения и неванлинновской функции.Пусть C0 C\R1, (a, b)Цконечный или бесконечный интервал и {t, }C(t) - функция, определенная на (a, b)C0, принимающая значения в множестве ограниченных операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве H и удовлетворяющая следующим условиям: (a) существует такое множество I0 (a, b), что мера множества (a, b)\I0 равна нулю и для каждой точки множества C0 найдется независящая от tI окрестность, в которой функция C(t) голоморфна; (b) C(t) = C(t) и Im C(t)/Im является неотрицательным оператором при всех t I0 и всех таких, что Im = 0; (c) при любом C0 функция t C(t) ло кально интегрируема по Бохнеру в равномерной операторной топологии.
Обозначим A(t) = ImC(t), a(t) = (Im)-1A(t) (Im = 0). Предель ным переходом функцию a(t) можно определить для любого C0.
В работе27 доказано, что нормы в пространствах H = L2(H, a(t); a, b) эквивалентны. Зафиксируем некоторое 0 C и положим H = H, A(t) = a (t).
В разделах 2.4.1, 2.4.2 доказывается ряд свойств функции {t, } C(t) и свойств решений уравнения l[y] = l[y]- C(t)y = 0, необходимых Штраус А. В. Об обобщенных резольвентах и спектральных функциях дифференциальных операторов четного порядка / А. В. Штраус // Известия АН СССР. Сер. матем. - 1957. - Т. 21. - № 1.
Ц С. 785Ц808.
Khrabustovsky V. I. On the Characteristic Operators and Projections and on the Solutions of Weil Type of Dissipative and Accumulative Operator Systems. 1. General case. /V. I. Khrabustovsky // Journal of Math. Physics, Analysis, Geometry. - 2006. - V. 2. - № 2. - Pp. 149Ц175.
для изучения отношений, связанных с выражением l. Минимальные отношения L0(), порожденные выражением l в пространстве H, определяются также, как отношение L0, порожденное формально самосопряжен ным выражением l. Отношения L() называются максимальными. В случае регулярных концов интервала (a, b) доказывается, что L() = L(), где отношение L() определяется также, как отношение L, порожденное выражением l.
Теорема 2.24. Семейства L0() и L() голоморфны на C0.
Теорема 2.26. При любом (Im = 0) для любых пар {y0, g} L0() b выполняется равенство Im(g, y0)H = - (A(t)y(t), y(t))dt.
a В разделах 2.4.3, 2.4.4 дается описание операторов, являющихся об ратными к обратимым сужениям L() максимального отношения. До казывается, что операторы L-1() интегральные. Устанавливается кри терий голоморфности семейства L(). Выделены голоморфные се мейства сужений со свойством: для всех пар {y, f} L() (Im > 0) b выполняется неравенство Im(f, y)H - (A(t)y0(t), y0(t))dt. Такие сеa мейства сужений порождают характеристический оператор из работы В. И. Храбустовского30.
В главе 3 изучаются линейные отношения, порожденные интегральным уравнением с неванлинновской мерой. В этой главе предполагается, что H - конечномерное гильбертово пространство. Пусть t P(t), {t, } Z(t) - функции со значениями в множестве линейных операторов в H, где t (a, b), C0, C0 C\R. Предполагается, что эти функции удовлетворяют условиям: (а) для каждой точки из C0 имеется независящая от t (a, b) окрестность, в которой функция Z(t) голо морфна; (б) Z(t) = Z(t) и операторная функция t ImZ(t)/Im яв ляется неубывающей на (a, b) для каждого C0, Im = 0; (в) функции t ReZi(t), t P(t) имеют ограниченную вариацию на любом отрезке [, ] (a, b).
Конец a назовем регулярным, если: a > -; функция {t, } Z(t) определена на [a, b) C0 и удовлетворяет условиям (а), (б) с заменой интервала (a, b) на [a, b); функция t P(t) определена на интервале [a, b);
функции t P(t), t ReZi(t) имеют ограниченную вариацию на любом отрезке [a, ] [a, b). Конец a назовем сингулярным, если он не является регулярным. Аналогично определяется регулярность и сингулярность конца b. Далее полагаем a0 = a, если конец a сингулярен. Если же конец a регулярен, то фиксируем некоторое a0 < a и полагаем Z(t) = Z(a), P(t) = P(a) при a0 t < a. Аналогично определяется число b0 для конца b. Также полагаем Z(t) = Z(b), P(t) = P(b) при b < t b0 в случае регулярного конца b.
Обозначим V(t) = (Im)-1ImZ(t). Предельным переходом функцию V(t) можно определить для любого C0. Зафиксируем некоторое 0 C0 и положим V (t) = V(t). Символ V обозначает меру, порожденную функцией V. На множестве непрерывных финитных на интервале (a0, b0) функций введем квазискалярное произведение равенством b (x, y)V = ((dV)x(t), y(t)). Отождествляя с нулем те функции y, для aкоторых (y, y)V = 0, а затем производя пополнение, получим гильбер тово пространство, обозначаемое H = L2(H, dV; a, b). Доказывается, что пространство H не зависит от выбора точки 0 C0 в следующем смыс ле: если меру V = V заменить на V ( C0), то получится то же множество H с эквивалентной нормой.
Рассмотрим интегральное уравнение t t t y(t) = x0 - iJ dP(s)y(s) - iJ (dZ)y(s) - iJ (dV)f(s), (13) t0 t0 tгде x0 H, a0 < t0 < b0, a0 < t < b0, f H, J - оператор в H со свойствами J2 =E, J =J, интеграл берется по полуоткрытым справа интервалам.
К уравнению (??) могут быть сведены интегро-дифференциальные уравнения с интегралами Стилтьеса (см.28,29). Уравнение (??) охватывает дифференциальные уравнения с сильными особенностями (например, типа функций) в коэффициентах. Систематическое изучение таких уравнений началось с работы А. М. Савчука и А. А. Шкаликова30. Уравнение (??) охватывает также дифференциальные уравнения, имеющие интеграл Дирихле с неположительной мнимой частью и голоморфные по спектральному параметру коэффициенты (Ф. С. Рофе-Бекетов12); в частности, уравнения с левой частью, являющейся разностью двух формально самосопряженных дифференциальных выражений, одно из которых умножается на спектральный параметр (А. Плейель15, С. Бенневитц16, В. И. Храбустовский31). В случае, когда функция t Z(t) абсолютно Покорный Ю. В. Осцилляционная теория Штурма-Лиувилля для импульсных задач / Ю. В. Покорный, М. Б. Зверева, С. А. Шабров // Успехи матем. наук. - 2008. - Т. 63. - № 1. - С. 111Ц153.
Кац И. С. О спектральных функциях струны / И. С. Кац, М. Г Крейн // Дискретные и непрерывные граничные задачи [Ф. Аткинсон]. Дополнение 2. / М.: Мир, 1968. - С. 648Ц737.
Савчук А. М., Шкаликов А. А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами / А. М. Савчук, А. А. Шкаликов // Матем. заметки. - 1999. - Т. 66. - № 6. - С. 897Ц912.
Khrabustovsky V.I. Expansion in Eigenfunctions of Relations Generated by Pair of Operator Differential Expressions / V. I. Khrabustovsky // Methods of Functional Analysis and Topology. - 2009.
Ц V. 15. - № 2. - P. 137Ц151.
непрерывна, (??) сводится к дифференциальному уравнению с неванлинновской функцией. Такие уравнения рассматривались в работах С. А. Орлова13, В. И. Храбустовского30.
В разд. 3.2 устанавливается существование и единственность решения уравнения (??), изучаются свойства решений, в частности, устанавливается аналог формулы Лагранжа. В разд. 3.3 вводятся семейства максимальных и минимальных отношений, порожденных как уравнением (??), так и сопряженным уравнением. Отношение L() ( C0) определим как отношение, состоящее из тех упорядоченных пар {, f} H H, для каждой из которых найдется такая пара {y, f}, отождествленная в H H с {, f}, что при всех t (a0, b0) справедливо равенство (??). Отношение L() назовем максимальным отношением, порожденным уравнением (??). Обозначим через L () ( C0) отношение, состоящее из пар {, f} H H, для каждой из которых найдется такая пара {y, f}, отождествленная в HH с {, f}, что функция y финитна на (a, b) и при всех t (a0, b0) справедливо равенство (??). Замыкание L0() отношения L () назовем минимальным отношением. Аналогично определяются максимальное () и минимальное 0() отношения, порожденные со пряженным уравнением. Доказывается, что L() = (), L() = 0();
устанавливается голоморфность семейств L(), L0().
В разд. 3.4 дается описание непрерывно обратимых сужений макси мального отношения. Доказывается, что если сужение L() максимально го отношения L() непрерывно обратимо, то оператор L-1(), обратный к такому сужению, является интегральным. Рассматривается последова тельность функций {Pn} и соответствующая последовательность {Ln()} непрерывно обратимых сужений максимальных отношений Ln(). Устанавливается достаточное условие, при котором сходимость (в определенном смысле) последовательности {Pn} влечет сходимость в равномерной операторной топологии последовательности {L-1()}.
n В разд. 3.5 полученные результаты применяются к доказательству постоянства дефектных чисел однородного интегрального уравнения, соответствующего (??) в случае самосопряженности меры, порождаемой функцией P. В качестве следствия получены результаты Ф.С. Рофе-Бекетова12 и С.А. Орлова13 о постоянстве дефектных чисел некоторых дифференциальных уравнений. В разд. 3.6 рассматриваются дифференциальные уравнения с сингулярными потенциалами из работы А. М. Савчука и А. А. Шкаликова30. Такие дифференциальные уравнения получаются из (??) при специальном подборе функций P и Z. Как следствие из полученных в разд. 3.4 результатов устанавливается утверждение из статьио возможности аппроксимации в смысле равномерной резольвентной сходимости операторов, порожденных уравнением с потенциалом-распределением, операторами, порожденными таким же уравнением, но с гладким потенциалом.
Глава 4 посвящена линейным отношениям, порожденным неотрицательной операторной функцией A(t) и дифференциальными выражениями с неограниченными операторными коэффициентами. В разд. 4.на отрезке [a, b] рассматривается дифференциально-операторное выражение эллиптического типа l[y] = -y + A(t)y, где операторная функция tA(t) удовлетворяет следующим условиям: (а1) при каждом фиксированном t [a, b] оператор A(t) положительно определен и самосопряжен в H; (б1) операторы A(t) имеют независящую от t область определения D(A(t)) = D(A); (в1) для любого элемента x D(A) функция t A(t)x сильно непрерывно дифференцируема на [a, b].
Зафиксируем какую-либо точку t0 [a, b]. Пусть {} (-1 1) - гильбертова шкала пространств, порожденная оператором A(t0). Через A+(t) обозначим оператор, отображающий непрерывно и взаимно однозначно H на -1 и являющийся расширением A(t).
В разд. 4.1.1 доказано существование функции Грина G(t,s,) задачи l+[y](t) - (t)y(t) = (t)f(t), y (a) = y (b) = 0, где l+[y] = -y + A+(t)y, (t)f(t) L1(H; 0, b). Эти результаты обобщают соответствующие утверждения из работы Г. И. Лаптева32. Обозначим U1(t, ) = G(t, a, ), U2(t, ) = G(t, b, ), U(t, ) = (U1(t, ), U2(t, )). По той же схеме, что и в разделе 2.2.2, с помощью функции U строятся пространства Q-, Q- и Q+ = (Q-).
Функция Грина применяется для описания в разд. 4.1.2 отношений, порожденных в пространстве B = Lp(H, A(t); a, b) (p 1) выражением l и функцией A. Пусть L - отношение, состоящее из пар {, f} B B, для каждой из которых существует пара {y, f}, отождествленная в BB с {, f} и обладающая свойствами: (i) y сильно непрерывна на [a, b] в пространстве H и сильно дифференцируема в пространстве -1 на [a, b]; (ii) y абсолютно непрерывна в -1; (iii) l+[y](t) = (t)f(t) при почти всех t. Замыкание отношения L обозначим через L и назовем максимальным отношением. Минимальное отношение L0 определим как сужение отношения L на множество таких функций y B со свойствами (i), (ii), (iii), что y(a) = y (a) = y(b) = y (b) = 0.
аптев Г. И. Сильно эллиптические уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве / Г. И. Лаптев // Литовский матем. сборник. - 1968. - Т. 8. - № 1. - С. 87 - 99.
емма 4.4. Отношение L - E состоит из множества таких пар {y, f} B B, что y = U(t, )c + F, (14) b где c Q-, F (t) = G(t, s, )(s)f(s)ds.
a В разд. 4.1.3 рассматриваются отношения L() со свойством L0 L()L. Доказывается, что если отношение (L() - E)-1 является оператором, то этот оператор интегральный. Устанавливается критерий го ломорфности функции (L() - E)-1. Описание спектра сужений максимального отношения дано с помощью следующего ПГЗ. Каждой паре {y, f} L, представленной в виде (??) при = 0, поставим в соответствии пару граничных значений по формулам b 1{y, f}=c0 Q-, 2{y, f}= U(s, 0)(s)f(s)ds Q+. (15) a Если c0 Q (т.е. {y, f} L ), то 1{y, f}={-y (a), y (b)}, 2{y, f}={y(a)-y (a), y(b)-U(b)y (b)}.
Для любой пары {y, f - y}L - E положим (){y, f - y}={y, f}.
Четверка (Q-, Q+, 1(), 2()) является ПГЗ для отношения L - E.
Пусть () = 2()(1()|Ker(L-E))-1 : Q- Q+. Тогда b () = U(s, 0)(s)U(s, )ds. (16) a Сужение () на Q совпадает с оператором, задаваемым матрицей U1(a, ) - U1(a, 0) U2(a, ) - U2(a, 0) () =.
U1(b, ) - U1(b, 0) U2(b, ) - U2(b, 0) Между отношениями 0 Q- Q+ и отношениями L со свойством L0 L L существует взаимно однозначное соответствие, определяемое равенством L = 0. Обозначаем L = L. Из следствия 1.11 получаем описание спектра отношения L, где участвует оператор (), определенный равенством (??). Из теоремы 1.7 вытекают условия, при которых отношение L -E обладает свойствами, перечисленными в этой теореме.
В разд. 4.1.4 отношения L, L0 рассматриваются в гильбертовом пространстве H = L2(H, A(t); a, b). В этом случае отношение L0 является симметрическим и L = L. Пространство Q- является негативным относительно Q. Соответствующее позитивное пространство Q+ = Q+.
Четверка (Q-, Q+, 1, 2) является граничной для симметрического отношения L0 в смысле определения 1.5. Это позволяет с использованием теоремы 1.25 дать описание диссипативных, аккумулятивных и других расширений отношения L0. Отметим, что в случае отсутствия операторного веса A(t) граничные значения (в иной форме, чем в (??)) для выражения эллиптического типа строились в работах М.Л.Горбачука, Л.И.Вайнермана и автора (см. монографию4). Описание обобщенных резольвент отношения L0 приведено в следующей теореме.
Теорема 4.10. Всякая регулярная обобщенная резольвента R отношения L0 является интегральным оператором b R()f = (U(t, )-1()U(s, )+ G(s, t, ))(s)f(s)ds (Im=0), (17) a где () = 0() - () и 0() - голоморфное при Im = 0 семей ство, значениями которого являются максимальные аккумулятивные отношения при Im > 0 и максимальные диссипативные отношения при Im < 0, причем 0() = 0(). Обратно, если 0() - семейство линейных отношений с указанными выше свойствами, то семейство операторов R вида (??) является обобщенной резольвентой отношения L0, при этом R = (L () - E)-1.
В разд. 4.2 на конечном или бесконечном интервале (a, b) рассматривается выражение гиперболического типа l[y] = y + A(t)y + q(t), где операторная функция A удовлетворяет условиям (а1), (б1), (в1); значениями функции q являются такие замкнутые операторы с областью определения D(q(t)) D(A1/2(t)), что при любом x D(A1/2(t)) функция t q(t)x сильно непрерывна. Результаты, полученные для выражений гиперболического типа, в основном, аналогичны соответствующим результатам для выражений с ограниченными операторными коэффициентами.
В разд. 4.3 рассматриваются отношения, порожденные в пространстве B = Lp(H, A(t); 0, b) (p 1, b < ) выражением первого порядка l[y] = y - A1y, где A1 - генератор полугруппы U класса C0 в гильбертовом пространстве H.
На множестве H+ = D(A) введем норму графика A. Через H- обо1 значим пространство с негативной нормой относительно H+, H. Тогда оператор A1 расширяется до оператора 1, непрерывно отображающего H в H-. Обозначим l[y] = y - 1y.
Пусть L - отношение, состоящее из пар {, f} B B, для каждой из которых существует пара {y, f}, отождествленная в B B с {, f} и обладающая свойствами: (i) y абсолютно непрерывна в H-; (ii) l[y](t) = (t)f(t) при почти всех t (0, b). Замыкание отношения L обозначим через L и назовем максимальным отношением. Минимальное отношение L0 определим как сужение отношения L на множество таких функций y B со свойствами (i), (ii), что y(0) = y(b) = 0.
Так же, как в разделе 2.2.2, строятся пространства Q-, Q- и Q+ = (Q-). При этом используется функция U, являющаяся решением интегрального уравнения t U(t, )x = U(t)x + U(t - s)(s)U(s, )xds (x H, C).
емма 4.22. Отношение L - E состоит из множества таких пар {, f} B B, для каждой из которых существует пара {y, f}, отождествленная в B B с {, f} и удовлетворяющая равенству y(t) = U(t, )c + F (t), t где c Q-, F (t) = U(t - s, )(s)f(s)ds.
Как и в предыдущих разделах, лемма 4.22 позволяет определить граничные пространства, с помощью которых в терминах граничных условий можно описывать фредгольмовость, обратимость и другие свойства линейных отношений, перечисленные в теореме 1.7. В частности, для описания спектра можно взять граничные значения, которые на парах {y, f} L имеют вид 1{y, f} = y(0), 2{y, f} = y(b) - U(b)y(0). Если теперь положить 1(){y, f - y} = 1{y, f}, 2(){y, f - y} = 2{y, f}, то оператор () в следствии 1.11 имеет вид ()=U(b, ) - U(b).
В заключение разд. 4.3 рассматривается дифференциальное выражение l[y] = y - A1y без весовой функции (т.е. A(t) = E). Линейное отношение L является оператором, а граничные значения для функций y D(L ) можно взять такими: 1y = y(0), 2y = y(b).
Публикации по теме диссертации 1. Публикации из списка ВАК 1. Брук В. М. Об одном классе краевых задач со спектральным параметром в граничном условии / В. М. Брук // Математический сборник. - 1976. - Т. 100. - № 2. - С. 210Ц216.
2. Брук В. М. О расширениях симметрических отношений / В. М. Брук // Математические заметки. - 1977. - Т. 22. - № 6. - С. 825Ц834.
3. Брук В. М. О линейных отношениях в пространстве вектор-функций / В. М. Брук//Математические заметки.Ц 1978.Ц Т. 24.Ц № 4.Ц С. 499Ц511.
4. Брук В. М. О максимальной диссипативности дифференциального оператора высокого порядка с неограниченным операторным коэффициентом / В. М. Брук // Дифференциальные уравнения, 1984. - Т. 20. - № 11. - С. 1986Ц1989.
5. Брук В. М. О характеристической функции линейного отношения // Известия ВУЗов. Математика. / В. М. Брук // 1986. - № 8. - С. 9Ц13.
6. Брук В. М. О спектре дифференциальных операторов в пространстве вектор-функций / В. М. Брук // Известия ВУЗов. Математика. - 1989. - № 8. - С. 15Ц21.
7. Брук В. М. О теореме единственности для голоморфных семейств операторов / В. М. Брук // Математические заметки. - 1993. - Т. 53. - № 3.Ц C. 155Ц156.
8. Брук В. М. О спектре операторов, связанных с равномерно корректными задачами / В. М. Брук, В. А. Крысько // Дифференциальные уравнения. - 2004. - Т. 40. - № 10. - С. 1417Ц1418.
9. Bruk V. M. On Spaces of Boundary Values for Relations Generated by a Formally Selfadjont Expression and a Nonnegative Operator Function / V. M. Bruk // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. - 2006.
Ц V. 2. - № 3. - P. 268 - 277.
10. Bruk V. M. Generalized Resolvents of Symmetric Relations Generated on Semi-Axis by a Differential Expression and a Nonnegative Operator Function / V. M. Bruk // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. - 2006.
Ц V. 2. - № 4. - P. 372Ц387.
11. Брук В. М. О спектре линейных отношений, связанных с равномерно корректными задачами / В. М. Брук // Дифференциальные уравнения. - 2007. - Т. 43. - № 1. - С. 21Ц27.
12. Брук В. М. Об обратимых линейных отношениях, порожденных равномерно корректной задачей и неотрицательной операторной функцией / В. М. Брук // Известия ВУЗов.Математика.Ц 2007.Ц № 1.Ц С. 3 - 9.
13. Брук В. М. Об обратимых сужениях отношений, порожденных дифференциальным выражением и неотрицательной операторной функцией / В. М. Брук // Математические заметки. - 2007. - Т. 82. - № 5. - С. 652Ц664.
14. Брук В. М. Об обобщенных резольвентах линейных отношений, порожденных неотрицательной операторной функцией и дифференциальным выражением эллиптического типа / В. М. Брук // Известия ВУЗов.
Математика. - 2008. - № 11. - С. 12Ц26.
15. Bruk V. M. On Linear Relations Generated by Nonnegative Operator Function and Degenerate Elliptic Differential Operator Expression / V. M. Bruk // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. Ц2009. - V. 5. - № 2.
Ц P. 123Ц143.
16. Брук В. М. О числе линейно независимых, квадратично интегрируемых решений систем дифференциальных уравнений / В. М. Брук // Вестник ВГУ. Серия: Физика, Математика. - 2011. - № 1. - С. 100Ц106.
17. Bruk V. M. On Linear Relations Generated by a Differential Expression and by a Nevanlinna Operator Function / V. M. Bruk // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. - 2011. - V. 7. - № 2. - P. 115Ц140.
2. Другие публикации 1. Брук В. М. Об обобщенных резольвентах симметрических отношений в пространстве с индефинитной метрикой / В. М. Брук // Функциональный анализ. - 1984. - № 22 - Ульяновск: Ульяновский пединститут, 1984. - С. 29Ц34.
2. Брук В. М. Об обратимых сужениях замкнутых операторов в банаховых пространствах / В. М. Брук // Функциональный анализ. - 1988. - № 28. - Ульяновск: Ульяновский пединститут, 1988. - С. 17Ц22.
3. Брук В. М. О краевых задачах, связанных с голоморфными семействами операторов / В. М. Брук // Функциональный анализ. - 1989. - № 29. - Ульяновск: Ульяновский пединститут, 1989. - С. 32Ц42.
4. Брук В. М. О голоморфных семействах линейных отношений / В. М. Брук // Функциональный анализ. Ц1992. - № 33. - Ульяновск: Ульяновский пединститут, 1992. - С. 24Ц28.
5. Брук В. М. Диссипативные и обратимые отношения, порожденные неотрицательной операторной функцией и дифференциальным выражением эллиптического типа / В. М. Брук // International Scientific Journal.
Spectral and evolution problems. - 2007. - V. 17. - Simferopol: Taurida National V. Vernadsky University, 2007. - P. 18Ц21.
6. Брук В. М. О спектре линейных отношений / В. М. Брук // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы Воронежской зимней математической школы. - Воронеж: Воронежский государственный университет, 2009. - С. 30Ц31.
7. Брук В. М. О резольвентной сравнимости граничных задач для линейных отношений / В. М. Брук // International Scientific Journal. Spectral and evolution problems. - 2010. - V. 20. - Simferopol: Taurida National V.
Vernadsky University, 2010. - P. 84Ц90.
8. Брук В. М. О линейных отношениях, порожденных дифференциальным выражением и неванлинновской функцией / В. М. Брук // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. - Т. 43. - Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. - 2011 - Казань: Изд-во Казанского матем. об-ва, Изд-во Казанского гос. университета, 2011. - С. 62Ц64.
Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разным специальностям