Geum.ru
Авторефераты по всем темам  >>  Авторефераты по разным специальностям

На правах рукописи

Нгуен Ле Линь

О НЕЛОКАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ СОБОЛЕВА

01.01.02 Ч дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2012

Работа выполнена на кафедре высшей математики факультета физикоматематических и естественных наук Российского университета дружбы народов.

Научные руководители:

Стернин Борис Юрьевич, доктор физико-математических наук, профессор, Российский университет дружбы народов, профессор кафедры высшей математики;

Савин Антон Юрьевич, кандидат физико-математических наук, Российский университет дружбы народов, доцент кафедры высшей математики.

Официальные оппоненты:

Шаталов Виктор Евгеньевич, доктор физико-математических наук, профессор, Метеорологический синтезирующий центр УВостокФ, старший научный сотрудник;

Назайкинский Владимир Евгеньевич, кандидат физико-математических наук, Институт проблем механики им. А.Ю.Ишлинского РАН, старший научный сотрудник.

Ведущая организация:

Воронежский государственный университет.

Защита диссертации состоится л25 декабря 2012 г. в 16ч. 00 мин.

на заседании диссертационного совета Д 212.203.27 в Российском университете дружбы народов по адресу: г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, ауд. 495 a.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6.

Автореферат разослан л........................... 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Л.Е. Россовский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Диссертация посвящена построению эллиптической теории для задач Соболева в случае, когда на многообразии действует некоторая конечная группа.

При этом, под задачей Соболева, или относительной эллиптической теорией, понимается эллиптическая теория на паре (гладкое многообразие, гладкое подмногообразие), когда (ко)граничные операторы задаются на подмногообразиях произвольной коразмерности. Такую теорию для случая тривиальной группы построил Б.Ю.Стернин в 1966г. Задачи Соболева обладают рядом особенностей по сравнению с обычной теорией эллиптических дифференциальных уравнений. Например, число граничных условий в этих задачах существенно зависит от показателя пространства Соболева, в которых ищется решение. В частности, в пространстве достаточно гладких функций задача Соболева является, по-существу, тривиальной. В дальнейшем она разрабатывалась многи2,3,4,ми авторами (см., напр., ). В частности, были доказаны теоремы конечности (фредгольмовости) и даны явные формулы индекса.

В последние годы в эллиптической теории на гладких многообразиях получила развитие так называемая G-теория, т.е. эллиптическая теория, ассоциированная с действием некоторой группы G на многообразии. Стоит подчеркнуть здесь, что G-теория несравненно более сложна, нежели обычная эллиптическая теория, что видно, например, из того, что она является нелокальной уже в случае, когда группа, действующая на многообразии, является группой сдвигов. Поэтому выяснение фредгольмовости такой задачи - дело весьма непростое. Еще более сложной проблемой является получение формул индекса для описанной ситуации. Дело в Стернин Б. Ю. Эллиптические и параболические задачи на многообразиях с границей, состоящей из компонент различной размерности. Труды Моск. Мат. общ-ва 15, 1966, 346Ц382.

Новиков С. П., Стернин Б. Ю. Эллиптические операторы и подмногообразия. ДАН СССР 171, №3, 1966.

Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е. Относительная эллиптическая теория и задача Соболева. Матем. сборник. 187, №11, 1996, 115Ц144.

Nazaikinskii V.E., Sternin B.Yu. Relative Elliptic Theory, Aspects of boundary problems in analysis and geometry, Operator Theory: Advances and Applications. Birkhuser, Basel, 2004, 495-560.

Savin A. Yu, Sternin B. Yu. On the index of elliptic translators. Dokl. Math, 83, №1, 2011, 76-79.

том, что операторы, ассоциированные с группой G, действующей на многообразии, уже не являются псевдодифференциальными операторами, и поэтому проблема Гельфанда о вычислении фредгольмова индекса в терминах топологических инвариантов многообразия, на котором задан оператор, является в этом случае весьма нетривиальной.

6,7,Отметим, что благодаря усилиям ряда математиков, были получены существенные продвижения в абсолютном случаеУ эллиптической Ф G-теории, т.е. в случае когда имеется одно многообразие с действием группы G.

С этой точки зрения возникает естественный вопрос о построении относительной эллиптической теории в ситуации, когда имеется дополнительное действие на многообразии некоторой группы.

Такого рода проблема (которую можно назвать G-проблемой Соболева) и изучается в данной диссертации. Именно, рассматривается гладкое многообразие M и его гладкое подмногообразие X. На многообразии M действует группа конечного порядка. Разумеется, подмногообразие X не обязано быть инвариантным относительно действия данной группы и, следовательно, при действии группы оно переходит в некоторые другие подмногообразия, что приводит, в свою очередь, к ситуации задачи Соболева с подмногообразиями, имеющими, вообще говоря, особенности. Эти особенности возникают как пересечение подмногообразий, полученных размножениемУ основного подмногообразия под действием группы. На Ф первый взгляд казалось бы, что мы приходим к классическому случаю задачи Соболева для подмногообразий с особенностями. Но это не так! Дело в том, что G-операторы, которые здесь рассматриваются, не являются псевдодифференциальными (и, следовательно, локальными), а являются операторами более общей природы - нелокальными операторами, содержащими операторы типа сдвига. Изучение такого рода операторов (в абсолютном случае) потребовало применения совершенно новой идеи (идеи униформизации), которая в конечном счёте приводит данный оператор к некоторому (новому) псевдодифференциальному оператору, Антоневич А. Б. Эллиптические псевдодифференциальные операторы с конечной группой сдвигов. Изв. АН СССР, сер. мат. 37, №3, 1973, 663Ц675.

Антоневич А. Б., Лебедев А. В. Функциональные и функционально-операторные уравнения.

C-алгебраический подход. Тр. С.-Петерб. мат. о-ва 6, 1998, 34Ц140.

Савин, А. Ю., Стернин Б. Ю. Формула индекса нелокальных операторов для диффеоморфизма многообразия. Докл.АН, 483, №4, 2011, 444-447.

для которого, в частности, проблема индекса может быть решена классическими методами Атьи-Зингера.

Цель работы Целью работы является исследование нелокальной эллиптической задачи Соболева для случая действия конечной группы сдвигов.

Методы исследования Для исследования нелокальных задач в диссертации применяется метод униформизации, который состоит в редукции рассматриваемой нелокальной проблемы к некоторой локальной (псевдодифференциальной) задаче, индекс которой совпадает с индексом первоначальной (нелокальной) задачи. Кроме этого, в диссертации применяются методы теории псевдодифференциальных операторов.

Основные результаты. Научная новизна Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. Построена эллиптическая теория для G-задачи Соболева в случае подмногообразий с особенностями, возникающими при действии группы G. В частности, доказаны теоремы конечности (фредгольмовости) задачи и даны явные формулы для её индекса.

2. Результаты п.1 применены к исследованию нелокальной эллиптической задачи Соболева для случая действия конечной группы сдвигов.

Теоретическая и практическая ценность Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в исследованиях по теории уравнений с частными производными, а также теории нелокальных задач.

Апробация результатов Результаты диссертации докладывались:

1. На Всероссийских конференциях РУДН в 2010г и 2012г.

2. На Всероссийской молодёжной научной конференции МФТИ, 25-ноября 2011 г.

3. На Международной (43-й Всероссийской) молодёжной школы-конференции Современные проблемы математики 29 января-5 февраля 2012. г. Екатеринбург.

4. На семинаре по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям в РУДН. Руководитель проф. А.Л. Скубачевский.

Доклад 04.09.2012.

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах, в том числе 3 статьях в журналах по списку ВАК и 3 тезисах докладов на научных конференциях.

Структура диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы (30 наименований). Общий объем диссертации составляет 68 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1. Нелокальные задачи Соболева для действий конечных групп. В первой главе рассматривается G-задача Соболева. Эта задача униформизуется к локальной задаче, которая затем сводится к некоторому оператору на многообразии с особенностями. Последний оператор не является псевдодифференциальным (как это было в классическом случае), а является некоторым, более общим, оператором трансляции, ассоциированным с действием группы G или коротко G-транслятором.

Пусть M - компактное гладкое многообразие, X - гладкое подмногообразие коразмерности в M, и задано действие конечной группы G на M. Нелокальной задачей Соболева или задачей Соболева с конечной группой сдвигов на многообразии M будем называть следующую задачу:

{ Du f mod X, (1) Bu = h на X.

Здесь 1. Операторы D, B - псевдодифференциальные операторы (ПДО) с конечной группой сдвигов на M:

( ) ( ) D = Dg x, Tg, B = Bg x, Tg, x x gG gG (Tgu)(x) = u(g-1(x)) - оператор сдвига, отвечающий диффеоморфизму g G, Dg - ПДО порядка не выше m, Bg - ПДО порядка не выше b.

2. Решение u ищется в пространстве Соболева Hs(M), правая часть f принадлежит пространству Hs-m(M), граничное значение принадлежит пространству Hs-b-/2(X).

3. Сравнение означает, что равенство Du = f выполняется всюду на многообразии M, за исключением точек подмногообразия X.

Задачу (1) будем обозначать через (D, B).

Далее будем предполагать, что выполнены следующие условия:

1. Оператор D эллиптичен.

2. Все образы gX подмногообразия X при действии группы G трансверсально пересекаются.

Отметим, что подмногообразие X не обязано быть инвариантным относительно действия данной группы и, следовательно, при действии группы оно переходит в некоторые другие подмногообразия, что приводит, в свою очередь, к ситуации задачи Соболева с подмногообразиями, имеющими, вообще говоря, особенности.

Антоневич А. Б. Эллиптические псевдодифференциальные операторы с конечной группой сдвигов. Изв. АН СССР, сер. мат. 37, №3, 1973, 663Ц675.

Теорема 1. (Об униформизации) Нелокальная задача Соболева (1) эквивалентна некоторой классической задаче Соболева, ассоциированной с парой многообразий (M, gX) в пространствах G-инвариантных gG функций.

Далее для простоты изложения будем рассматривать частный случай действия группы G = Z2 = {e, g}. Тогда соответствующая классическая задача Соболева имеет вид ( ) ( ) ( ) ( ) De Dg u f X mod T DgT T DeT T u T f gX ( ) ( ) ( ) (2) Be Bg u h diag(i, i ) =, X gX T BgT T BeT T u T h где i - элементарный граничный оператор, индуцированный вложениgX ем igX : gX M, а T Ч оператор сдвига, отвечающий нетривиальному элементу g группы Z2.

Далее, при сведении классической задачи Соболева (2) на подмногообразие получим следующий оператор G T = diag(i, i )BD-1diag(iX, igX) :

X gX ( )G ( )G Hs-m+/2(X) Hs-b-/2(X) -, (3) Hs-m+/2(gX) Hs-b-/2(gX) где D, B - ПДО ( ) ( ) De Dg Be Bg D =, B =, T DgT T DeT T BgT T BeT igX - элементарный кограничный оператор, и оператор (3) действует в пространствах G-инвариантных функций.

Отметим, что операторы вида композиции граничных и кограничных операторов, отвечающих разным подмногообразиям, называются трансляторами. Они были введены Б.Ю. Стерниным. Таким образом, изучение эллиптичности нелокальной задачи Соболева сводится к исслеG дованию эллиптичности сужения T транслятора на пространство Gинвариантных функций. Последнее сужение мы называем G-транслятором.

Стернин Б. Ю. Эллиптические (ко)граничные морфизмы. ДАН СССР 172, №1, 1967, 44ЦСтернин Б. Ю. Эллиптические морфизмы на многообразиях с особенностями (оснащение эллиптического оператора). ДАН СССР 200, №1, 1971, 45ЦОпределение 2. Задача Соболева с конечной группой сдвигов (1) называется эллиптической, если выполнены следующие условия:

1) псевдодифференциальный оператор D с конечной группой сдвигов является эллиптическим.

G 2) оператор T является фредгольмовым.

Теорема 3. (Теорема конечности) Если задача Соболева с конечной группой сдвигов эллиптична, то она фредгольмова.

Теорема 4. (Об индексе задачи Соболева с конечной группой сдвигов) G ind (D, B) = ind DG + ind T, где DG Ч сужение ПДО D на пространство G-инвариантных функций.

Отметим, что индекс оператора DG вычислен А. Б. Антоневичем12, а G фредгольмовость и индекс оператора T изучаются в следующих главах диссертации.

Глава 2. G-трансляторы на многообразиях с изолированными особенностями. Глава посвящена G-трансляторам в случае, когда подмногообразие имеет точечные особенности.

Пусть задано гладкое замкнутое многообразие M и k его замкнутых p подмногообразий Y, p = 1, 2,.., k размерностей np соответственно, которые трансверсально пересекаются по подмногообразию X. В этой главе рассматривается случай, когда dimX = 0. Выберем на M такую систему p координат y = (y1,..., yk), что yp являются координатами на Y. На M p p действует группа G, так что G( Y ) = Y.

p p Далее пусть k k p p p p T : Hs (Y ) Hs (Y ) (4) p=1 p= - транслятор (ср. (3)). Предположим для простоты, что диагональные p p p p компоненты Tpp : Hs (Y ) Hs (Y ) транслятора (4) являются тожG дественными операторами. G-транслятор T определяется как сужение транслятора на подпространство G-инвариантных функций.

Антоневич А. Б. Эллиптические псевдодифференциальные операторы с конечной группой сдвигов. Изв. АН СССР, сер. мат. 37, №3, 1973, 663Ц675.

Определение 5. (Символ G-транслятора) Пусть p p (T )(z) : L2(Sn -1) L2(Sn -1), z C p p Ч символ транслятора T. Тогда его сужение ( )G ( )G G p p (T )(z) : L2(Sn -1) L2(Sn -1) p p на подпространство G-инвариантных функций будем называть символом G G-транслятора T.

G Определение 6. Оператор T называется эллиптическим, если функG ция (T )(z) обратима всюду на прямой k sp n p=Rez = = +, (5) k 2k в комплексной плоскости, где n = dimM. При этом набор s = (s1,..., sk) называется неособым.

G Теорема 7. Если оператор T эллиптичен, то он является фредгольмовым.

Возникает вопрос: следует ли эллиптичность транслятора из эллиптичности соответствующего G-транслятора? Заметим, что если бы эти понятия были эквивалентны, то для исследования фредгольмовости Gтранслятора достаточно было бы лишь рассмотреть эллиптичность исходного транслятора. Оказывается, однако что эти условия, вообще говоря, не эквивалентны, т.е. условие эллиптичности G-транслятора существенно. В главе 2 описываются те действия групп, для которых условия эллиптичности транслятора и G-транслятора эквивалентны, для остальных действий групп строятся контрпримеры трансляторов, которые неэллиптичны, а соответствующие G-трансляторы эллиптичны.

Чтобы сформулировать теорему об индексе G-трансляторов, обозначим через w(f) число вращения обратимой функции вида f(z) = 1 + Савин А. Ю. Стернин Б. Ю. Об индексе эллиптических трансляторов. Доклады академии наук 436, №4, 2011, 443Ц4K(z), где K(z) - непрерывное семейство компактных операторов, стремящееся к нулю при |z| на весовой прямой Rez = . Число вращения в такой ситуации определяется как число вращения комплекснозначной функции det(f(z)) при изменении z на весовой прямой Rez = по направлению сверху вниз, где функция f мало отличается от f по норме и принимает значения в операторах вида единица плюс оператор конечного ранга.

Теорема 8. Пусть s = (s1, s2,..., sk) Ч неособый набор вещественных G чисел. Тогда индекс оператора T выражается формулой G G inds(T ) = w((T )), где s и связаны соотношением (5).

Глава 3. G-трансляторы на многообразиях с многомерными особенностями и оснащения. Данная глава посвящена G-трансляторам в случае, когда подмногообразие имеет многомерные особенности (dimX > 0). Она имеет структуру, аналогичную главе 2.

В случае, когда подмногообразие имеет многомерные особенности, было показано11, что для фредгольмовости задачи необходимо, вообще говоря, оснастить транслятор, т.е. добавить определенное число граничных и кограничных операторов на особом многообразии. Полученный таким образом оператор называется оснащением. Естественно, что в нашей задаче мы также рассматриваем G-оснащения.

Итак, пусть задано оснащение транслятора:

1 T12.. T1k C1X k k p p p p T21 1.. T2k C2X Hs (Y ) Hs (Y ) p=1 p= P =...... : , Tk1 Tk2.. 1 CkX X X Hs (X) Ht (X) BX1 BX2.. BXk DX где Tpq - элементарный транслятор; BXp - граничный оператор, и CpX - p кограничный оператор, отвечающие вложению X Y, p = 1, 2,..., k;

DX - ПДО на подмногообразии X.

G-оснащение PG определяется как сужение оператора P на пространство G-инвариантных функций.

Определение 9. Символ (PG) G-оснащения PG определяется следующим образом:

1) если группа G действует тривиально на подмногообразии X, то символ ( )G ( )G p p (PG) : Hs (Np) C Hs (Np) C p p есть сужение символа (P) оператора P на векторное подрасслое( )G p ние Hs (Np) C над T X, где : T X X Ч проекp p ция, Hs (Np) Ч это расслоение на X, слоем которого в точке m X p является пространство Соболева функций на слое Nm нормального p расслоения Np X подмногообразия X Y (при этом сужение осуществляется по слоям, а база векторного расслоения остается T X);

2) если группа G действует нетривиально на подмногообразии X, то положим def (PG) = (P).

Определение 10. G-оснащение PG называется эллиптическим, если его символ (PG) является изоморфизмом на T0 X = T X \ 0.

Теорема 11. Если G-оснащение эллиптическое, то оно является фредгольмовым.

В главе 3 описываются те действия группы G = Z2, для которых условия эллиптичности транслятора и G-транслятора эквивалентны, для остальных действий групп явно строятся контрпримеры трансляторов, которые неэллиптичны, а соответствующие G-трансляторы эллиптичны.

Замечание 12. Если группа G действует тривиально на подмногообразии X, то сужение G-оснащения PG на окрестность подмногообразия X является псевдодифференциальным оператором на X с операторнозначным символом равным (PG). Следовательно, его индекс можно вычислить по формуле Люк.

Luke G. Pseudodifferential operators on Hilbert bundles. J. Diff. Equations 12, 1972, 566Ц589.

Замечание 13. Если группа G действует нетривиально на подмногообразии X, то индекс эллиптического G-оснащения PG выражается через числа Лефшеца ПДО P (ср. ).

Глава 4. Решение нелокальной задачи Соболева с помощью теории G-трансляторов. Пример. В этой главе рассматривается конкретный класс нелокальных задач Соболева, которые зависят от некоторого вещественного параметра. Этот пример иллюстрирует теорию нелокальных задач Соболева и, в частности, демонстрирует использование G-трансляторов для изучения данной проблемы. При этом явно указываются значения параметра, при которых выполняется условие эллиптичности и вычисляется соответствующий индекс.

Пусть на четырехмерном торе M = T4 с координатами x1, x2, y1, yдействует группа G = Z2 по правилу g(x1, x2, y1, y2) = (y1, y2, x1, x2), а подмногообразия X и gX - определяются следующим образом X = {y1 = y2 = 0}, gX = {x1 = x2 = 0}.

Рассмотрим задачу Соболева с группой сдвигов Z2 на M:

{ 2u f mod X, (6) (1 + T )u = h на X, где - положительный оператор типа Лапласа на T4, - ненулевой вещественный параметр. При этом, для простоты рассмотрим интервал 2 < s < 3. Эта задача сводится к G-транслятору ( ) 1 i -2igX(i -2igX)-G X gX T = :

i -2iX(i -2iX)-1 gX X ( )G ( )G Hs-1(X) Hs-1(X) : .

Hs-1(gX) Hs-1(gX) Теорема 14. Задача (6) эллиптична, если выполняются следующие условия s sin (2 - 1) 2 < s < 3, = - .

s 22 2(2 - 1) При выполнении этих условий индекс задачи (6) s sin (2 - 1) 1) равен 0, если > - ;

s 22 2(2 - 1) s sin (2 - 1) 2) равен -1, если < - .

s 22 2(2 - 1) Я благодарен моим научным руководителям проф. Б.Ю.Стернину и доц. А.Ю.Савину за постановку задачи и научное руководство.

Публикации по теме диссертации 1. Нгуен Л.Л. Об эллиптичности G-трансляторов на многообразиях с изолированными особенностями. Вестник РУДН. Серия Математика. Информатика. Физика, (3):24Ц33, 2011.

2. Нгуен Л.Л. О фредгольмовых оснащениях G-трансляторов. Дифференциальные уравнения, Т.48(8): 1204Ц1208, 2012.

3. Нгуен Л.Л. Задачи Соболева для действий конечных групп. Труды МФТИ, Т.4(4): 125Ц133, 2012.

4. Нгуен Л.Л. G-трансляторы на многообразиях с изолированными особенностями. Труды 54-й научной конференции МФТИ, (1):35Ц36, 2011.

5. Нгуен Л.Л. О фредгольмовых оснащениях G-трансляторов. Тезисы докладов Международной (43-й Всероссийской) молодёжной школы-конференции Современные проблемы математики (г. Екатеринбург 29 января-5 февраля), 183Ц185, 2012.

6. Нгуен Ле Линь Об одном классе задач Соболева. Тезисы докладов Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (г. Суздаль 29 июня-4 июля), 126Ц127, 2012.

Нгуен Л.Л.

О нелокальных задачах Соболева Исследуются нелокальные задачи Соболева, отвечающие действиям групп на гладких многообразиях. Построена эллиптическая теория Gтрансляторов, с помощью которой получены условия эллиптичности, установлены теорема конечности и формула индекса для рассматриваемых задач.

Nguyen L.L.

On nonlocal Sobolev problems We study nonlocal Sobolev problems, associated with group actions on smooth manifolds. Building elliptic theory of G-translators, we describe the ellipticity conditions, prove the finiteness theorem and give the index formula for these problems.

Авторефераты по всем темам  >>  Авторефераты по разным специальностям