Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по техническим специальностям
На правах рукописи
Плетнев Леонид Владимирович
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА В ОТКРЫТЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ И ЩЕЛЕВЫХ СИСТЕМАХ
Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Москва - 2012
Работа выполнена на кафедре Высшая математика ГУ ВПО БелорусскоРоссийский университет, г. Могилев, Республика Беларусь
Научный консультант: доктор физико - математических наук, профессор Уварова Людмила Александровна
Официальные оппоненты:
Заслуженный деятель науки Российской Федерации, доктор физико - математических наук, профессор Латышев Анатолий Васильевич доктор физико - математических наук Куликов Сергей Васильевич доктор физико - математических наук, профессор Калабин Александр Леонидович Ведущее предприятие: Томский государственный университет
Защита диссертации состоится л 13 марта 2012 г. в 14.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.142.03 при ФГБОУ ВПО Московском государственном технологическом университете СТАНКИН по адресу:
127055, г. Москва, Вадковский пер., д.3а.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО Московского государственного технологического университета СТАНКИН.
Автореферат разослан л___ _________ 2012 г.
Ученый секретарь диссертационного совета, к.т.н., доц. Семячкова Е.Г.
Общая характеристика работы
Актуальность. Изучение процесса тепломассопереноса является одной из актуальных задач физики, на основе которой представляется возможным проводить совершенствование производственных технологий, находить оптимальные режимы управления и производства продукции. Потребности практики требуют решения все более сложных задач для различных расчетов режимов течения среды. Возникающие задачи управления процессами тепломассопереноса характеризуются значительной нелинейностью физических явлений, что обусловлено одновременным протеканием процесса переноса тепла и массы, химическими реакциями между компонентами и существенным изменением параметров потока по длине и сечению систем.
В связи с этим приходится решать две взаимосвязанные задачи: взаимодействие молекул друг с другом в газовой фазе, и взаимодействие молекул с поверхностью стенок или конденсированной фазы. Трудности расчетов первой задачи связаны с тем, что необходимо использовать методы квантовой механики для описания взаимодействия молекул друг с другом или модельные потенциалы. Вторая проблема газовой динамики связана с вопросом о взаимодействии молекул газа с поверхностью твердого тела или жидкости. Вблизи поверхности молекулы газовой фазы сталкиваются как с молекулами газовой фазы, так и с молекулами, отразившимися или вылетевшими с поверхности при испарении. Около поверхности существует слой с толщиной, равной нескольким длинам свободного пробега, в котором происходят наиболее значительные изменения всех параметров потока газа. Имеются определенные трудности в получении функции распределения молекул по скоростям вблизи поверхности конденсированной фазы. Они связаны с тем, что в газовой фазе процессы переноса описываются при помощи уравнения Больцмана, которое справедливо для газа, находящегося в равновесном состоянии и вдали от стенок систем.
Описание неравновесного взаимодействия молекул газа с поверхностью представляет сложную задачу. Функции распределения этих молекул отличаются от равновесной функции распределения. В настоящее время используют различные законы взаимодействия молекул с поверхностями (диффузный, зеркальный и т.д.), или используют коэффициенты аккомодации молекул газа с поверхностями, около стенки системы вводят скачки температуры, плотности и т.д.
Особую актуальность и несомненный практический интерес представляют задачи течения газа в свободномолекулярном режиме, в микро- и наносистемах и пористых средах. Простые модели систем цилиндрического и щелевого типов позволяют более детально проанализировать механизм явления переноса и дать его полное объяснение. Описание процесса тепломассопереноса с помощью уравнения Больцмана проблематично, т.к. в газовой фазе возможны большие флуктуации плотности частиц газа. Только с развитием вычислительной техники оказалось возможным выяснить анализ потоков в таких системах с помощью метода Монте-Карло прямого моделирования.
Не меньший интерес представляет вопрос об образовании слоя Кнудсена при испарении конденсированной фазы в вакуум и движении молекул газовой фазы испарившегося вещества. Очевидно, что процесс испарения является неравновесным процессом, в результате которого характеристики испарившегося вещества существенно отличаются от характеристик конденсированной фазы, а функция распределения молекул по скоростям отличается от равновесной функции распределения. В некоторых вариантах расчетов процессов тепломассопереноса предполагают, что молекулы, вылетевшие с поверхности конденсированной фазы, имеют максвелловскую функцию распределения по скоростям с температурой, равной температуре конденсированной фазы, в других работах из проекции скорости, направленной по нормали к поверхности, вычитают среднюю скорость потока газа молекул. Эти предположения используют для задания граничных условий при описании движения газовой фазы около поверхности.
Известно, что на поверхности твердого тела или жидкости существует потенциальный барьер, который играет существенную роль в процессах взаимодействия газ - твердое тело и мешает свободному разлету молекул и атомов, составляющих твердое тело. Процесс испарения вещества с поверхности конденсированной фазы в вакуум, с молекулярной точки зрения, обусловлен преодолением молекулами потенциального барьера на поверхности конденсированной фазы. Он не только не дает разлететься конденсированной фазе, но и является своеобразным фильтром, препятствующим вылету молекул, имеющих маленькую кинетическую энергию. Необходимо отметить, что в работах по испарению недостаточно учитывается роль потенциального барьера на поверхности конденсированной фазы.
Существенную роль потенциальный барьер играет и в нестационарных процессах переноса, т.к. время адсорбции частиц на стенках существенно зависит от величины барьера.
В физических экспериментах и различных технологиях широко используются интенсивные и узконаправленные молекулярные пучки, которые формируются при истечении газа в вакуум из открытых систем. При нанесении защитных покрытий в вакууме используются испарительные элементы, имеющие простую геометрию. Широкое применение таких систем в вакуумной, криогенной, космической технике и потребности совершенствования технологии напыления и испарения различных веществ обусловливает дальнейшее развитие исследований в области тепломассопереноса в таких системах, что определяет важность, актуальность, научную и практическую ценность работ подобных исследований.
Основная идея работы заключается в учете потенциального барьера на поверхности конденсированной фазы, который преодолевают вылетающие в вакуум атомы, получение функций распределений атомов по скоростям и приложение разработанной теории к процессам тепломассопереноса в свободномолекулярном режиме в системах цилиндрического и щелевого типов.
Цель работы состоит в теоретическом обосновании модели описания взаимодействия атомов с поверхностью твердого тела и жидкости при их выле те в вакуум, в получении функции распределения атомов по скоростям в зависимости от функции распределения атомов по скоростям в конденсированной фазе и в приложении этой модели к анализу стационарного процесса тепломассопереноса атомов в открытых цилиндрических и щелевых системах в свободномолекулярном режиме течения.
Методы исследований. Для решения поставленных задач использовались методы математического моделирования, методы теории вероятностей и математической статистики, метод Монте-Карло, методы статистической обработки результатов компьютерных экспериментов, численные методы.
Научная новизна диссертации состоит в следующем:
1. В результате выполненных работ решена проблема, имеющая важное фундаментальное значение в вопросах физики взаимодействия газ - твердое тело. Установлена связь между характеристиками твердого тела и распределениями атомов по скоростям, преодолевших потенциальный барьер на поверхности, с микроскопической точки зрения;
2. Установлены связи между функциями распределений атомов по скоростям в конденсированной фазе и в вакууме, преодолевших потенциальный барьер на поверхности конденсированной фазы. На основе решенной проблемы взаимодействия газ - твердое тело проведен анализ тепломассопереноса в открытых системах;
3. На основе выявленных связей разработаны, исследованы и обоснованы математические модели вылета атомов с поверхности конденсированной фазы в вакуум, учитывающие потенциальный барьер на поверхности. На основе этих моделей получены функции распределений атомов по скоростям в вакууме.
Разработана, обоснована и протестирована методом Монте-Карло модель для получения функции распределений атомов по скоростям, преодолевших потенциальный барьер;
4. Впервые разработана, обоснована и исследована математическая модель по распределению столкновений двух атомов в пространстве и времени, вылетевших с ограниченного участка поверхности конденсированной фазы в вакуум, реализованная прямым методом Монте-Карло;
5. На базе предложенной математической модели взаимодействия вылетающих атомов с поверхностью конденсированной фазы разработаны компьютерные программы по моделированию стационарного процесса тепломассопереноса в открытых системах щелевого и цилиндрического типов прямым методом Монте-Карло. Компьютерные эксперименты позволили получить вероятности исходов атомов из систем, угловые распределения вылетающих атомов и энергии вылетающих атомов, распределения атомов по напыляемым поверхностям в зависимости от температур систем и наносистем, энергии связи атомов с поверхностями и числа столкновений атомов со стенками систем. Впервые предложен аналитический подход, с помощью которого получены точные формулы для определения некоторых вероятностей исходов частиц из открытых щелевых систем;
6. Разработаны, обоснованы и протестированы эффективные компьютерные программы для получения временных плотностей распределений вероятностей атомов, вылетающих из открытых систем щелевого типа, в зависимости от размеров систем, времени адсорбции атомов на стенках систем и условий вылета атомов с поверхности конденсированной фазы.
Практическая значимость работы. Полученные результаты можно рекомендовать:
- при исследовании фундаментальных процессов взаимодействия газ - твердое тело и испарении веществ, в работах, связанных с тепломассопереносом в сложных системах;
- для сравнения течения газа в свободномолекулярном режиме с течением газа в промежуточном режиме и определении влияния столкновений атомов в газовой фазе на потоки;
- при выборе оптимальных параметров испарительных элементов и их расположения относительно напыляемых поверхностей в установках по молекулярно-лучевой эпитаксии, технологии PolyJet для 3D-принтеров;
- при исследовании процессов тепломассопереноса в наносистемах;
- в новых способах разделения веществ и газовых смесей;
- в вакуумной технике для определения оптимального времени по откачке воздуха из открытых систем;
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Математическая модель вылета атомов с поверхности конденсированной фазы, учитывающая потенциальный барьер на ее поверхности, и позволяющая связать характеристики конденсированной фазы и газа путем установления функций распределения атомов по скоростям в вакууме, в зависимости от вида статистики распределения атомов по скоростям в конденсированной фазе. Получение методом Монте-Карло функций распределений атомов по скоростям и энергиям, диаграмм направленностей вылетов атомов и теплового потока в зависимости от характеристик конденсированной фазы.
2. Математическая модель для определения распределений столкновений сферических атомов, вылетевших с ограниченного участка поверхности конденсированной фазы, в пространстве и времени, в зависимости от интервалов вылетов между атомами, реализованная с помощью метода Монте-Карло прямого моделирования.
3. Математические модели стационарного тепломассопереноса в открытых цилиндрических и щелевых системах для различных высот стенок систем, числа столкновений атомов со стенками и физических характеристик конденсированной фазы для точечных частиц и сферических атомов, реализация с помощью метода Монте-Карло.
4. Новый точный аналитический подход для получения формул вероятностей некоторых исходов атомов из открытых щелевых систем.
5. Математическая модель нестационарного процесса массопереноса и ее реализация с помощью прямого метода Монте-Карло для различных времен адсорбции атомов на стенках систем и условий вылета атомов с поверхности конденсированной фазы и стенок щелевых систем.
6. Установленный эффект превышения средней энергии атомов, преодолевших потенциальный барьер на поверхности конденсированной фазы, по сравнению со средней энергией атомов в конденсированной фазе для различных статистик и подтверждение его методом Монте-Карло.
7. Новый установленный эффект зависимости средней энергии атомов, вылетевших из систем, от типа и геометрии систем, а также от характеристик конденсированной фазы.
ичный вклад соискателя. Все результаты, изложенные в публикациях, получены автором самостоятельно.
Связь работы с НИР. Исследования по теме диссертации проводились в Тверском политехническом институте на кафедрах Теплофизика и Высшая математика, в Белорусско-Российском университете на кафедре Высшая математика в рамках НИР ГБ-0627 Математическое и физическое моделирование некоторых классов систем, структур и физических процессов.
Апробация работы. Основные результаты работы обсуждались на 2 Всесоюзной конференции по применению математических методов и ЭВМ в почвоведении (Пущино, 1983); VII Всесоюзной конференции по тепломассообмену (Минск, 1984); XIV Всесоюзной конференции Актуальные вопросы физики аэродисперсных систем (Одесса, 1986); 4 научно-технической конференции Вакуумные покрытия - 87 (Рига, 1987); Х Всесоюзной конференции Динамика разряженных газов (Москва, 1989); Int. Conf. on Research Trends in Science and Technology. (Beirut, Lebanon, 2002); Int. Conf. on Theoretical Physics.
(Paris, France, 2002); V International Congress on Mathematical Modeling. (Dubna, 2002); V Минском международном форуме по тепло- и массообмену. (Минск, 2004); Int. Symp. On Rarefied Gas Dynamics - 24. (Bari, Italy, 2004); VI Int. Congress on Mathematical Modeling. (Nizhny Novgorod, 2004); Third Statistical Days at the University of Luxembourg. (Luxembourg, 2007); Международная научная конференция Моделирование нелинейных процессов и систем. (Москва, 2008), на семинарах кафедры Прикладная математика университета СТАНКИН.
Публикации. По результатам проведенных исследований опубликованы работы, из них 15 в изданиях, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов докторских диссертаций и монография.
Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, семи глав, заключения и списка литературы из 191 наименования. Работа изложена на 278 листах, содержит 194 рисунка и 7 приложений.
Содержание диссертации Во введении показана актуальность проблемы изучения закономерностей процессов тепломассопереноса на микроскопическом уровне. Дана аннотация работы, сформулирована цель работы, выбор метода исследования, основные задачи и основные положения, представляемые к защите.
В первой главе проанализированы основные подходы к моделированию процессов тепломассопереноса в газовой динамике и методы их расчета.
Общепринятым является разделение процессов переноса на три типа: гидродинамический, промежуточный и свободномолекулярный. Каждый из этих режимов течения можно охарактеризовать числом Кнудсена, определяемым как отношение длины свободного пробега молекул в газовой фазе к размеру системы. Гидродинамический режим течения характеризуется большой плотностью потока и множественным взаимодействием молекул друг с другом (Kn < 0.1). В промежуточном режиме течения плотность потока меньше и столкновения молекул бинарные (0.1 < Kn < 10). С еще меньшей плотностью потока связан свободномолекулярный режим переноса (Kn > 10), который характеризуется практически полным отсутствием столкновений молекул в газовой фазе и определяется столкновениями молекул со стенками систем.
Макроскопический подход, как исторически первый, достаточно хорошо разработан. Большое количество исследователей рассматривало процессы тепломассопереноса, как в объемной фазе, так и течение газа вблизи поверхности.
Углубление понятий о строении вещества и процессов, происходящих при тепломассопереносе, привели к созданию статистической физики и теории неравновесных процессов. Необходимо отметить работы Абрамовича Г.Н., Кочина Н.Е., Ландау Л.Д., Лифшица Е.М., Лыкова А.В., Пригожина И., Дьярмати И., Зубарева Д.Н., Резибуа П., Де Ленера М., Френкеля Я.И., Белоцерковского О.М., Хаппеля Д., Бреннера Г.
Недостатком этих подходов является невозможность определить теоретически величины коэффициентов, входящих в уравнения переноса. Аналитическое решение этих уравнений возможно для ограниченного круга задач. С развитием вычислительной техники количество решенных задач значительно увеличилось, но основные проблемы, связанные со сложностью структуры решаемых уравнений, остались теми же.
Принципиально новый подход, предложенный Больцманом, позволил подойти к проблеме тепломассопереноса в газах с микроскопической точки зрения через функцию распределения молекул по скоростям и взаимодействие частиц в газовой фазе. С помощью этого подхода оказалось возможным вычислять коэффициенты переноса. Большое количество монографий и статей посвящено вопросам существования и единственности решений уравнения Больцмана и модельным уравнениям, полученным из него. Оказалось возможным описать взаимодействие газа молекул с обтекаемыми поверхностями с помощью функции распределения. Основной проблемой в данном подходе является тот факт, что уравнение Больцмана получено для равновесного газа и описание взаимодействия молекул газа с помощью потенциала взаимодействия.
Фундаментальные исследования в данном подходе были сделаны Алексеевым Б.В., Коганом М.Н., Эрнстом М.Г., Черчиньяни К., Лоялкой С.К., Гудманом Ф.О., Баранцевым Р.Г., Вальдманом Л.
С распространением суперкомпьютеров оказалось возможным решать значительно более сложные задачи по сравнению с аналитическими методами.
Большой вклад в решение задач газовой динамики внесли: Нанбу К., Биндер К., Берд Г., Четверушкин Б.Н., Фридляндер О.Г., Иванов М.С..
Для случая свободномолекулярного течения газа были предложены подходы, не использующие уравнение Больцмана, т.к. в этом режиме велики флуктуации плотности газа молекул. В работах Кнудсена, Смолуховского, Душмана и Клаузинга были получены формулы для постоянного потока газа в свободно молекулярном режиме течения в длинных цилиндрических трубах и других геометрических системах.
Известные модели процесса испарения являются недостаточно обоснованными и противоречивыми. Не установлена связь между законами взаимодействия потока молекул с поверхностью твердого тела и угловым распределением вылетающих молекул. Некоторые экспериментальные данные также не находят своего объяснения в рамках существующей теории тепломассообмена при испарении. Так, например, в пионерских экспериментах Эстермана по испарению металла из печи в вакуум отмечается дефицит атомов с малыми скоростями, что указывает на отклонение функции распределения вылетевших атомов от максвелловской функции распределения.
В экспериментальных исследованиях установлено, что при испарении вещества с поверхности конденсированной фазы происходит понижение ее температуры. Общепринято объясняют это тем, что вылетают более быстрые молекулы. Однако теоретическое описание этого явления, с молекулярной точки зрения, в литературе неизвестно.
Во второй главе проанализированы основные подходы к моделированию процессов тепломассопереноса в газовой динамике и методы их расчета. Обзор опубликованных работ показал, что, несмотря на большое разнообразие применяемых моделей, в настоящее время не установлены закономерности, связывающие параметры конденсированной фазы с характеристиками потока молекул, преодолевших потенциальный барьер на поверхности конденсированной фазы. Нет объяснения тому факту, что молекулы, вылетевшие из конденсированной фазы в вакуум, уносят большую энергию, чем средняя энергия молекул в конденсированной фазе. Необходимо отметить, что в работах по описанию взаимодействия газ - твердое тело и испарению недооценена роль потенциального барьера на поверхности конденсированной фазы.
В работе рассмотрена математическая модель вылета атомов с поверхности конденсированной фазы, учитывающая потенциальный барьер на ее поверхности, и позволяющая связать характеристики конденсированной фазы и газа путем установления функций распределения атомов по скоростям в вакууме, в зависимости от вида статистики распределений атомов по скоростям в конденсированной фазе. На основе предложенной математической модели получены функции распределений атомов по скоростям и энергиям в вакууме и их средние значения, в зависимости от вида статистик распределений атомов по скоростям в конденсированной фазе.
В основу математической модели положено уравнение Больцмана f f F f + v +=-Jcol, (1) t r m v где F - внешняя сила, действующая на каждый атом массы m, а Jcol - интеграл столкновений.
В конденсированной фазе функция распределения молекул по скоростям имеет вид:
1vf(v)=, (2) J exp(mv2 /2kT-/kT)+ где v - скорость молекул, m - масса молекул, k - постоянная Больцмана, - химический потенциал, Т - температура системы, J - нормирующий множитель. Значения параметра равны 1, 0, -1 для распределений Ферми-Дирака, Максвелла-Больцмана и Бозе-Эйнштейна, соответственно.
Предполагалось, что на поверхности конденсированной фазы существует потенциальный барьер, созданный силами межатомного взаимодействия, равный U и шириной L. Величина потенциального барьера U = FсрL. Ширина потенциального барьера L предполагалась много меньшей, чем длина свободного пробега вылетевших атомов. Конкретный вид потенциального барьера не играл никакой роли.
Предполагалось, что ось Оz направлена перпендикулярно поверхности. На движение атома в направлении осей Оx и Оy потенциальный барьер не оказывал влияния вследствие принципа независимости движения. Энергия атома, преодолевшего потенциальный барьер, определялась по формуле, полученной на основании закона сохранения энергии:
mv2 mvz zc =- U, (3) где vzc и vz - z - компоненты скорости атома в конденсированной фазе и в вакууме, соответственно. Из соотношения (3) можно найти z - компоненту скорости атома, которую она имела в конденсированной фазе:
vzc = v2 + 2U/m. (4) z Переходя к новой переменной с законом преобразования (4), получим общий вид функции распределения атомов, вылетевших из конденсированной фазы:
vz f(vx, vy, vz ) = f(vx, vy, v2 + 2U/m) z. (5) v2 + 2U/m z Функция распределения Максвелла - Больцмана для z - составляющей компоненты скорости атомов имеет вид:
vzexp(- (mv2 + 2U)/2kT) z f(vz ) =, (6) J v2 + 2U/m z где J - нормировочный коэффициент, равный J = kT/ 2m erfc ( r). (7) Взяв интегралы от функции распределения (6) с весовыми функциями vz и mv2/в пределах от нуля до бесконечности, с учетом условия нормировки, поz лучим выражения для расчета средних значений z - компонент скорости и энергии вылетевших атомов:
1 v2 exp(-(mv2 + 2U)/2kT) zz vz = dvz, (8) J v2 + 2U/m z 1 v3 exp(-(mv2 + 2U)/2kT) zz ez = dvz, (9) 2J v2 + 2U/m z В предельном случае, когда отношение величины потенциального барьера U к величине kT стремится к нулю, функция (6) переходит в распределение Гаусса. В другом предельном случае, когда U / kT стремится к бесконечности, функция распределения (6) переходит в асимптотическое распределение, не зависящее от величины потенциального барьера U:
mvz fas (vz ) = exp(-mv2 / 2kT) z. (10) kT Из анализа результатов расчетов с использованием асимптотической функции распределения атомов по скоростям (10) следует, что величины средней z - v компоненты скорости вылетевших атомов, средней кинетической энергии z e z, уносимой атомами из конденсированной фазы лизбыточной кинетической энергии ez и отношения средней кинетической энергии вылетевших атомов к их тепловой энергии, стремятся к значениям kT/2m, kT, kT/2 и 4/3, соответственно.
Проделанные вычисления показали определяющее влияние потенциального барьера на вид функций распределения атомов по скоростям в вакууме и на средние значения скоростей и энергий. Установлено, что функция распределения вылетевших атомов по скоростям зависит от потенциального барьера на поверхности конденсированной фазы. Математическая модель преодоления молекулами потенциального барьера на поверхности конденсированной фазы должна учитывать изменение вращательной и колебательной энергий атомов, составляющих молекулу.
Для оценки достоверности полученных выражений были выполнены компьютерные эксперименты с использованием метода Монте-Карло. Предполагалось, что атомы вылетают с плоской поверхности конденсированной фазы.
Температура конденсированной фазы и ее поверхности предполагалась постоянной и равнялась T. На поверхности конденсированной фазы разыгрывались компоненты скорости атома с помощью датчика случайных чисел, распределенных по нормальному закону. Величина потенциального барьера U и температура системы Т считались постоянными величинами для данного компьютерного эксперимента. Если условие (3) выполнялось, то атом считался вылетевшим из конденсированной фазы, если нет, то разыгрывались новые компоненты скорости. В каждом компьютерном эксперименте разыгрывался вылет 10000000 атомов. Относительная погрешность в вычислениях исходов атомов может быть примерно оценена как N/ N, где N - число разыгрываемых атомов. Для данного количества разыгрываемых атомов относительная ошибка составляла несколько сотых процента.
Анализ результатов расчетов показал, что распределения зависят от безразмерного параметра r = U / kT. На рис. 1 представлены результаты расчетов по определению зависимостей средних z - компонент скоростей атомов, преодолевших потенциальный барьер, от величины параметра r. При значении параметра r = 0, т.е. когда нет потенциального барьера на поверхности конденсированной фазы, средние z - компоненты скоростей атомов равны средним z - компонентам скоростей атомов в конденсированной фазе. С увеличением параметра r (увеличением потенциального барьера или уменьшением температуры) сначала наблюдается значительный рост средних значений кривых распределений, а затем медленное стремление к соответствующим асимптотическим значениям.
350 2,31,21,2150 1,11,1,0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 r r Рис. 1. Зависимости средних z - компонент Рис. 2. Зависимости нормированных средскоростей от r. - T = 300 K, - T = 200 K, них z - компонент скоростей и энергий - T = 100 K, - T = 50 K, - - T = 20 K. вылетевших атомов от параметра r.
Vn,En Vz (м/с) Основной вывод, который можно сделать из представленных данных, заключается в том, что наличие потенциального барьера на поверхности конденсированной фазы приводит к тому, что средние скорости z - компонент вылетевших атомов больше средних z - компонент скоростей атомов в конденсированной фазе и тем больше, чем больше величина параметра r.
На рис. 2 приведены зависимости нормированных z - компонент скоростей и энергий вылетевших атомов в зависимости от параметра r. Нормирование величин средних z - компонент скоростей и энергий проведено делением среднего значения полученной величины в вакууме на среднее значение величины в конденсированной фазе. Из анализа представленных кривых следует, что для статистики Максвелла - Больцмана они зависят только от безразмерного параметра r.
Корректность полученных результатов подтверждают нормированные распределения z - компонент скоростей вылетевших атомов, приведенные на рис.
3 для различных значений параметра r. Распределение z - компоненты скоростей вылетевших атомов для параметра r = 0, представляет собой нормальное распределение атомов по скоростям, как и распределение по скоростям в конденсированной фазе.
Даже наличие небольшого потенциального барьера на поверхности конденсированной фазы приводит к качественному изменению вида кривой распределения вылетевших атомов по скоростям. Полученные распределения имеют максимумы, величины которых уменьшаются с увеличением параметра r и их положения смещаются вправо. Анализ распределений для значений параметров r = 5 и r = 50 показывает, что они незначительно отличаются друг от друга по положению и величинам максимумов. Значение параметра r = 50 можно считать практически асимптотическим. Положения максимумов для соответствующих значений параметра r соотносятся как корень квадратный из отношения температур конденсированных фаз.
1 0,8 0,0,6 0,0,4 0,0,0,0 0 200 400 600 800 0 30 60 Vz (м/c) О (град) Рис. 3. Нормированные плотности распреРис. 4. Угловые распределения вылетевших делений компонент скоростей vz атомов в атомов в зависимости от параметра r.
зависимости от r. T = 300 К. - r = 0, T = 300 K. - r = 0, - r = 0.1, - r = 1, - r = 0.1, - r = 1, - r = 5, - - r = 50.
- r = 8.
fn fn На рис. 4 представлены результаты расчетов угловых распределений вылетающих атомов в зависимости от параметра r. Как и в случае с качественным изменением вида кривой распределения z - компонент скоростей вылетевших атомов для случая r = 0 и r 0, для угловых распределений вылетевших атомов их вид также качественно меняется.
Наибольший интерес, с практи4,ческой точки зрения, представляют результаты расчета удельной энергии избыточного теплового потока с поверхности конденсированной фазы. График функции G (r) приведен 1,на рис. 5. Эта величина может быть подсчитана как произведение веро0 ятности вылета атомов из конден0 0,2 0,4 0,6 0,8 сированной фазы P(r) на разность r между средними кинетическими Рис. 5. График зависимости удельной энергии энергиями атомов, вылетевших из избыточного теплового потока с поверхности конденсированной фазы и в конденконденсированной фазы в зависимости от пасированной фазе:
раметра r. Т = 300 К.
G(r) = P(r) ( e(r) - e(0) ), (11) где e(r) и e(0) - средняя кинетическая энергия вылетевших атомов, и средняя кинетическая энергия атомов в конденсированной фазе, соответственно. Интервальная оценка максимума значения функции G(rmax ) rmax (0.35;0.37).
Практический интерес полученных результатов заключается в том, что от поверхности конденсированной фазы можно отводить максимальный поток тепла G(rmax ) вблизи точки максимума, подобрав соответствующее вещество для заданной температуры, и минимальный - при r 0 и при r .
Анализ результатов проведенных компьютерных экспериментов показал, что с увеличением параметра r вероятность вылета атомов из конденсированной фазы уменьшается и определяется по формуле:
P(r) = 1 - F( r), (12) где F(x) - интегральная функция Лапласа.
Получение функций распределений атомов по скоростям, преодолевших потенциальный барьер на поверхности конденсированной фазы и вылетевших в вакуум, для статистик Ферми - Дирака и Бозе - Эйнштейна представляет более сложную задачу по сравнению со статистикой Максвелла - Больцмана. Это связано с тем, что функцию (2) нельзя представить в виде произведения трех функций, но можно провести интегрирование по независимым переменным vx и G(r)*10**22 (Дж) vy. Для z - компонент скоростей атомов в вакууме получены функции распределения:
1 vz ln(1 exp(-mv2 / 2kT - /kT)) z f(vz) = (13) J v2 + 2U/m z где vz ln(1 exp(-mv2 / 2kT - /kT)) z J = dvz.
(14) v2 + 2U/m z Знак плюс относится к статистике Ферми - Дирака, а минус - к статистике Бозе-Эйнштейна.
Взяв интегралы от функций распределений (13) с весовыми функциями vz и mv2/от нуля до бесконечности, получаем выражения для вычисления средz ней z - компоненты скорости и энергии атомов, вылетевших с поверхности конденсированной фазы:
1 v2 ln(1 exp(-mv2 / 2kT - /kT)) zz v = dvz.
z (15) J v2 + 2U/m z 1 v3 ln(1 exp(-mv2 / 2kT - /kT)) zz e = dvz z (16) 2J v2 + 2U/m z Для атомов, вылетевших из конденсированной фазы, в случае статистики Бозе-Эйнштейна, результаты вычислений по определению распределений средних z - компонент атомов, в зависимости от параметров r, приведены на рис. 6.
Величина my определяется как отношение химического потенциала к величине кТ: my = - / kT, т.е. аналогично безразмерному параметру r. Особенностью вычислений данных величин было то, что химический потенциал может принимать только отрицательные значения, т.к. функция распределения атомов по скоростям (2) не может принимать отрицательных значений.
Зависимости распределений средних z - компонент скоростей, в зависимости от параметров r и my такие же, как и для статистики Максвелла - Больцмана: быстрый рост до значения параметра r = 1 и дальнейший медленный рост, что отмечается для всех температур.
Для средних значений z - компонент скоростей получены такие же следствия, как и для статистики Максвелла - Больцмана - их среднее значение z - компонент скоростей атомов, вылетевших из конденсированной фазы, превышают аналогичные величины в конденсированной фазе. Это справедливо 300 20,20,10,10,0 100 200 300 400 500 60 1 2 3 4 Vz (м/c) r Рис. 7. Нормированные плотности распреРис. 6. Зависимости средних z - компонент делений компонент скоростей vz атомов в скоростей вылетевших атомов от r.
зависимости от параметра r.
my = 1. - T = 300 K, - T = 200 K, my = 0.1. T = 300 K. - r = 0, - r = 0.1, - T = 100 K, - T = 50 K, - - T = 20 K.
- r = 1, - r = 20.
для всех значений параметров r и my. Анализ распределений средних z - компонент скоростей атомов для одинаковых значений температур конденсированных фаз позволяет сделать вывод о том, что с увеличением химического потенциала все кривые распределений имеют более высокое расположение. Это можно объяснить тем, что эффективная величина потенциального барьера увеличивается.
Нормированные распределения компонент скоростей vz в зависимости от параметра r приведены на рис. 7. Для значения параметра my = 0.1 и других получены распределения, похожие на распределения для нормированных распределений в случае статистики Максвелла - Больцмана.
Для атомов, вылетевших из конденсированной фазы в случае статистики Ферми - Дирака, результаты вычислений по определению распределений средних z - компонент атомов, в зависимости от параметра r, приведены на рис. 8.
350 30,20,210,10,0 1 2 3 4 0 100 200 300 400 500 6r Vz (м/c) Рис. 8. Зависимости средних z - компонент Рис. 9. Нормированные плотности распрескоростей вылетевших атомов от параметра r делений компонент скоростей vz в зависиmy = 1. - T = 300 K, - T = 200 K, мости от параметра r. my = 0.1. T = 300 K - T = 100 K, - T = 50 K, - - T = 20 K - r = 0, - r = 0.1, - r = 1, - r = 20.
fn Vz (м/с) fn Vz (м/c) Общий вид распределений совпадает с видом распределений для рассмотренных выше статистик. Расчеты, проведенные для больших значений параметра my, показали, что они также стремятся к соответствующим асимптотическим значениям.
На рис. 9 представлены нормированные плотности распределений компонент скоростей vz атомов в зависимости от параметра r. Данные плотности распределений по форме практически совпадают с аналогичными распределениями для данных параметров других статистик.
Выполненные компьютерные эксперименты позволили по-новому подойти к рассмотрению, с микроскопической точки зрения, процесса преодоления атомами потенциального барьера, как части процесса испарения. Показано, что при вылете атомов с поверхности конденсированной фазы, вылетающими атомами затрачивается энергия не только на преодоление потенциального барьера, но и, вследствие вылета наиболее быстрых атомов, уносится дополнительная кинетическая энергия по сравнению со средней кинетической энергией атомов в конденсированной фазе. Эту часть унесенной энергии, при анализе экспериментальных данных, можно интерпретировать как преодоление атомами более высокого потенциального барьера. Существование потенциального барьера на поверхности конденсированной фазы приводит не только к простому разделению медленных и быстрых атомов, но и к тому, что средние величины скоростей и энергий их z - компонент атомов, вылетевших из конденсированной фазы, больше аналогичных величин в конденсированной фазе и увеличиваются с возрастанием параметра r.
В третьей главе представлена математическая модель столкновения двух сферических атомов, вылетевших с ограниченной поверхности конденсированной фазы в вакуум. В основу модели положена система дифференциальных уравнений движения атомов:
mr1 = F (17) =-Fm rи условие столкновения атомов как жестких сфер. Представлены результаты компьютерных экспериментов по определению распределений столкновений атомов в пространстве и времени методом Монте-Карло. Рассмотрено столкновение только двух атомов, вылетевших с поверхности через определенный интервал времени dt. Получены распределения и плотности распределений столкновений атомов, в зависимости от высоты над поверхностью конденсированной фазы и временем движения до столкновения для различных интервалов времени вылета атомов. Температура поверхности конденсированной фазы введена как параметр в датчик случайных чисел розыгрыша компонент скоростей, распределенных по нормальному закону.
Столкновение двух атомов можно рассматривать как начало процесса образования кластера атомов при испарении конденсированной фазы и/или процесс диффузии атомов по поверхности конденсированной фазы. В данных компью терных экспериментах определялись положения атомов в момент столкновения, а дальнейшие траектории атомов не анализировались.
Положения атомов на поверхности области испарения конденсированной фазы разыгрывались с помощью датчика равномерно распределенных случайных величин. Первоначальные положения центров атомов совпадали с плоскостью z = 0. После розыгрыша одной пары атомов разыгрывалась следующая пара. В каждом компьютерном эксперименте разыгрывалось десять миллионов событий, в которых происходили столкновения атомов.
Из данных, представленных на рис. 10, видно, что доля атомов, сталкивающихся в конденсированной фазе, незначительна для интервала dt = 10-13 cек, т.е.
преобладающее количество столкновений приходится на столкновения в вакууме. За такой промежуток времени первый атом не успевает долететь до второго атома, пока тот находится в конденсированной фазе и столкновение происходит над поверхностью конденсированной фазы.
Увеличение температуры конденсированной фазы в десятки раз существенно не повлияло на увеличение вероятности столкновения атомов в конденсированной фазе. С увеличением интервала времени вылета между атомами dt, вероятность столкновения между атомами в конденсированной фазе резко возрастает и для интервалов вылетов, больших 10-10 cек, преобладающими становятся столкновения в вакууме над поверхностью конденсированной фазы.
1 0,0,0,0,0 0 200 400 600 800 100 200 400 600 800 10T T Рис. 10. Отношение числа столкновений пер- Рис. 11. Зависимости средних времен вых атомов со вторыми, когда вторые атомы столкновений атомов t1 от температуры в конденсированной фазе. поверхности Т. - dt = 10-13 cек, - dt = 10-13 cек, - dt = 10-12 cек, - dt = 10-11 - dt = 10-12 cек, - dt = 10-11 cек, cек, - dt = 10-10 cек, - dt = 10-9 cек. - dt = 10-10 cек, - dt = 10-9 cек.
На рис. 11 представлены результаты по расчету средних времен столкновений t1 первых атомов со вторыми, в зависимости от температуры для различных значений интервалов вылета атомов dt. Для всех зависимостей характерно резкое уменьшение средних времен столкновений в области малых температур и плавное изменение в области больших температур. Вид данных зависимостей можно объяснить тем, что в области малых температур скорости атомов малы, fn t1*10**13 сак а, соответственно, средние времена столкновений t1 велики. С ростом температуры скорости атомов увеличиваются, а, следовательно, средние времена столкновений уменьшаются. Для определенного значения температуры величина t1 сначала увеличивается с увеличением величины dt, а затем уменьшается.
Кроме анализа средних величин времен столкновений первых атомов tопределялись плотности распределений этих величин. Результаты расчетов представлены на рис. 12. Нормированные распределения имеют примерно одинаковые максимумы, которые с ростом температуры смещаются влево и немного увеличиваются. Интересные особенности в распределениях наблюдаются в области времен, совпадающих с интервалом времени между вылетами атомов dt. В этой области происходит резкий рост плотностей распределений, связанный с переходом от столкновений атомов в конденсированной фазе к столкновениям атомов в вакууме. Для больших температур получены данные о значительном количестве столкновений в области малых времен, вплоть до 10-17 cек, а для малых температур - до 10-5 cек. Наличие этих особенностей определяется выбранной моделью столкновений атомов, а именно тем, что атомы представляют твердые сферы и вторые атомы вылетают через определенный интервал времени dt.
На рисунке 13 приведены результаты расчетов по определению средней величины пробега z1 первых атомов, 0,перпендикулярно поверхности, до столкновения со вторыми атомами.
0,Эту величину можно интерпретировать как среднюю длину свободного 0,пробега атомов при вылете с поверхности, перпендикулярно к ней. Вели0,чина z1 для каждого атома определялась как расстояние, пройденное первым атомом от поверхности z = 0 до -13,5 -12,5 -11,5 -10,lg t центра атома в момент столкновения со вторым атомом. Поведение кривых Рис. 12. Плотности распределений времен распределений пробегов вторых атостолкновений первых атомов.
dt = 10-13 cек - Т = 5 К, - Т = 25 К, мов аналогичны данным кривым, - Т = 100 К, - Т = 400 К, - Т = 1000 К только их значения несколько меньше для соответствующих первых атомов. Для случая dt = 0 сек кривые распределений совпадают.
На рис. 14 приведены нормированные плотности распределений пробегов атомов величины z1 для различных значений температуры Т поверхности конденсированной фазы и интервала вылетов атомов, равного dt = 10-13 cек. Плотности распределений имеют одинаковый вид и практически не зависят от температур. Важное следствие, которое можно получить из данных распределений, fn 2,5 0,0,1,0,0,0,0 200 400 600 800 10-10 -9 -8 -7 -T lg dt Рис. 14. Плотности распределений пробеРис. 13. Зависимости средних расстояний гов атомов z в зависимости от температуры пробегов первых атомов, перпендикулярно конденсированной фазы Т.
поверхности, до столкновений со вторыми dt = 10-13 cек. - Т = 1 К, - Т = 10 К, атомами z.
- Т = 1000 К.
- dt = 10-13 cек, - dt = 10-12 cек, - dt = 10-11 cек, - dt = 10-10 cек, - dt = 10-9 cек.
заключается в том, что понятия длины свободного пробега, как постоянной величины, для представленной модели столкновений атомов нет.
Кроме этих величин получены: длины свободных пробегов для первых атомов, распределения средних расстояний и распределения плотностей расстояний между атомами на поверхности конденсированной фазы.
В четвертой главе представлена математическая модель тепломассопереноса атомов в виде точечных частиц в открытых цилиндрических системах в свободномолекулярном режиме течения, учитывающая потенциальный барьер на поверхности конденсированной фазы и стенках систем, и реализованная методом Монте-Карло прямого моделирования. Атомы можно считать точечными частицами в свободномолекулярном режиме течения. Движение каждой частицы в системе описывается системой уравнений:
x = x0 + vxt y = y + vyt z = z + vzt, (18) где t Цвремя движения частицы до столкновения со стенкой системы, или поверхностью конденсированной фазы, или условной плоскостью на верху цилиндра, x0, y0, z0 начальные положения частиц на поверхности конденсированной фазы или стенке системы, а vx, vy, vz - компоненты скорости. Система fn z*10**10 м уравнений дополняется каноническим уравнением цилиндрической поверхности:
x2 + y2 = R2, (19) где R - радиус цилиндра.
В результате проведенных исследований определены вероятности вылетов частиц из систем (сопротивления систем), вероятности попаданий частиц в конденсированную фазу, распределения столкновений частиц по высоте стенок, угловые диаграммы направленностей вылетов частиц, распределения частиц по напыляемым поверхностям и дополнительные энергии, уносимые частицами в зависимости от относительных высот стенок цилиндрических систем, числа столкновений частиц со стенками систем и параметра r.
Цилиндрическая система имела следующий вид. На дне системы находилась конденсированная фаза, из которой вылетали частицы. Как в этом разделе, так и в других разделах, в каждом компьютерном эксперименте разыгрывался вылет 10000000 частиц, что обеспечивало хорошие числовые значения вероятностей исходов. Положение частицы на поверхности разыгрывалось с помощью датчика случайных чисел на основе равномерного закона распределения. Затем разыгрывались три компоненты скорости частицы, определялась z - компонента скорости частицы после преодоления потенциального барьера U и определялась ее траектория прямолинейного движения.
Частицы, вылетая с поверхности конденсированной фазы, могли вылететь из системы или попасть на стенку. Если частица попадала на стенку, то для нее разыгрывались три компоненты скорости, и определялась возможность преодолеть потенциальный барьер. Так продолжалось до тех пор, пока частица не преодолевала потенциальный барьер на стенке системы. После вылета со стенки системы частица могла вылететь из системы, попасть на другое место стенки или попасть в конденсированную фазу. Частица считалась вылетевшей из системы, если пересекала условную плоскость z = H. Анализ результатов расчетов показал, что все величины зависят только от относительной высоты стенки системы H, определяемой как отношение высоты стенки цилиндра к диаметру и параметра r.
На основе предложенной модели взаимодействия частиц с поверхностью конденсированной фазы и со стенкой системы были определены вероятности вылетов частиц из систем W1(s;r) после всех возможных столкновений со стенкой n = s, для различных значений величины параметра r. Первый параметр в скобках показывает число столкновений частиц со стенкой системы, а второй величину параметра r. Результаты расчетов приведены на рис. 15.
Анализ результатов расчетов показал, что вероятности вылетов частиц из систем незначительно отличаются друг от друга для различных значений параметра r, т.е. величина потенциального барьера незначительно влияет на величину сопротивления системы. Наибольшее отличие приходится на системы с относительной высотой H 1. Вследствие того, что частицы, вылетая с поверхности конденсированной фазы, имеют среднее значение z - компоненты скорости большее, чем остальные компоненты, объясняемое предложенной моделью 0,0,0,0,0,0,0,0,0 2 4 6 8 10 0 0,2 0,4 0,6 0,8 z H Рис. 15. Вероятности вылетов частиц из Рис. 16. Распределения плотностей столкноцилиндрических систем после всех вений частиц со стенкой системы после вылестолкновений со стенками. та с поверхности конденсированной фазы.
H = 0.3. - p2(0;0), - p2(0;0.5), - p2(0;4).
- r = 0, - r = 0.5, - r = 4.
взаимодействия частиц с потенциальным барьером на поверхности конденсированной фазы, то преимущественным направлением будет вылет частиц перпендикулярно поверхности. Этим и объясняется тот факт, что с увеличением параметра r, вероятности вылетов частиц из систем увеличиваются. Подтверждением этому служит рис. 16, на котором приведены распределения плотностей столкновений частиц со стенкой системы после вылета с поверхности конденсированной фазы р2(0;r). В случае отсутствия потенциального барьера (r = 0) плотность столкновений монотонно убывает. При наличии потенциального барьера вид кривых качественно меняется. Практически отсутствуют столкновения частиц со стенками систем в области конденсированной фазы.
На рис. 17 представлены данные по угловому распределению вылетевших частиц. Для данной цилиндрической системы с относительной высотой стенки Н = 0.3, определяемой как отношение высоты системы к диаметру, существуют предельные углы, отсчитываемые от поверхности конденсированной фазы, для которых частицы, вылетающие с поверхности конденсированной фазы, не могут вылететь. Под малыми углами могут вылетать только те частицы, которые испытали столкновения со стенкой системы.
0,0,0,0,0,0,0,0,0 15 30 45 60 75 0 0,8 1,6 2,4 3,O(град) x Рис. 17. Плотности угловых распределений Рис. 18. Плотности распределений частиц вылетевших частиц.
на напыляемой поверхности.
H = 0.3. - p4(0;0), - p4(s;0), - r = 0.5. H = 0.5. G = 1. - n = 0, - n = 1, p4(0;0.5), - p4(s;0.5), * - p4(0;4), - - p4(s;4).
- n = 2, - n = 3, - - n = s.
p2(0;r) W1(s;r) p4(n;r) p5(0;0.5) На рис. 18 приведены результаты расчетов по напылению частиц на плоскость, перпендикулярную оси симметрии цилиндра и отстоящую от верхнего края цилиндра на расстоянии G = 1. Плотности распределений р5(n;0.5) симметричны относительно оси симметрии цилиндра. На данном рисунке наиболее отчетливо видно, как предложенный подход к моделированию может показать структуру слоев напыления, в зависимости от числа столкновений частиц со стенкой системы. Эти данные можно сравнить с результатами реальных напылений и влияния на распределения столкновений частиц в газовой фазе.
Одни из самых интересных результатов, приведенные на рис. 19, связаны с определением дополнительной энергии, уносимой частицами из систем. Получен интересный результат, связанный как с предложенной математической моделью взаимодействия частиц с поверхностью, так и с геометрией системы. В зависимости от относительной высоты стенки системы, из системы уносится дополнительная энергия, которая имеет минимум около H 0.5. Таким образом, изготовив систему с такой относительной высотой, можно минимизировать теплоотвод из системы.
В пятой главе представлена ма8 тематическая модель тепломассопереноса точечных частиц в щелевых 7,системах в свободномолекулярном режиме течения. Основой модели является система уравнений движения частицы (18), дополненная 6,плоскостями, образующими систему. Получены результаты по опреH делению вероятностей и плотностей 0 2 4 6 8 вероятностей распределений, аналоРис. 19. Энергия, приходящаяся на один выгичные результатам для цилиндрилетевший атом.
ческих систем. Под щелевой систеn = s. - r = 0, - r = 0.5, - r = 4.
мой понималась система из двух бесконечных параллельных плоскостей. Относительная высота стенок H определялась как отношение высоты стенки к ширине системы. Конденсированная фаза находилась на дне системы (z < 0). Движение частиц в такой системе аналогично движению частиц в плоской системе. Частица считалась вылетевшей из системы, если она преодолевала условную плоскость, расположенную на высоте z = H На рис. 20 приведены результаты расчётов по определению вероятностей вылетов частиц из систем после всех возможных столкновений со стенками в зависимости от относительной высоты стенок Н. Наибольшее изменение вероятностей происходит в области от нуля до 5, а затем они асимптотически стремятся к нулю. Даже для предельных значений параметра r = 0 и r , кривые распределений незначительно отличаются друг от друга.
Плотности распределений столкновений частиц со стенками систем приведены на рис. 21. Поскольку частицы, преодолевшие больший потенциальный En*10**21 (дж).
0,8 0,0,6 0,0,0,0,0,0 5 10 15 0 0,2 0,4 0,6 0,8 H z Рис. 20. Распределения вероятностей вы- Рис. 21. Распределения столкновений частиц летов частиц из систем после всех столк- по высоте стенки системы. H = 0.5.
новений со стенками.
- p2(0;0), - p2(0;0.5), - p2(0;).
- W1(s;0), - W1(s;).
барьер на поверхности конденсированной фазы, имеют и большие средние z - компоненты по сравнению с другими компонентами, то вылет частиц из таких систем без столкновений со стенками будет более вероятным и столкновений частиц в области конденсированной фазы будет меньше.
С практической точки зрения наибольший интерес представляют распределения частиц по напыляемым поверхностям в зависимости от геометрий систем и расстояния до напыляемых поверхностей. Результаты расчётов приведены на рис. 22. Анализ результатов расчетов компьютерных экспериментов показал, что более равномерными получаются распределения частиц с большим расстоянием до напыляемой поверхности G. И наоборот, если нужно получить максимально точечное распределение напыления, то расстояние должно быть минимальным. Распределения симметричны относительно оси симметрии щелевой системы.
0,0,0,0,6 0,0,0,0,0,0,0 5 10 15 0 0,5 1 1,x H Рис. 22. Распределения частиц по напыляеРис. 23. Распределения нормированных мым поверхностям. H = 1. r .
энергий, уносимых частицами.
- G = 0.5, - G = 2, - G = 9.
- r = 0.5, - r = 4, - r .
W1(s;r) p2(0;r) En p5(s;r) На рис. 23 представлены результаты расчетов по определению нормированных энергий, уносимыми частицами из систем. Нормировка осуществлялась следующим образом. Суммировалась вся энергия вылетевших частиц, делилась на количество вылетевших частиц, из полученного числа вычиталась средняя кинетическая энергия частиц в конденсированной фазе, и полученное число делилось на эту же величину. Получился точно такой же эффект как и для цилиндрических систем. Средняя энергия частиц, вылетающих из систем, больше средней энергии частиц в конденсированной фазе.
Получено точное аналитическое решение задачи о вероятностях исходов частиц из щелевых систем. Формулы получены для двух предельных случаев - когда вылетающие частицы имеют равновесную функцию распределения по скоростям (параметр r = 0) и для случая, когда частицы вылетают с поверхности по закону косинуса (параметр r ).
Точная формула для вероятности вылета частицы с поверхности конденсированной фазы из щелевой системы без столкновения со стенками по закону косинуса имеет вид:
W1(0;H) = 1+ H - H (20) Выражение для вероятности попадания частицы после вылета с поверхности конденсированной фазы на стенку системы имеет вид:
W 2(0; H ) = 0.5(1+ H - H +1) (21) Из формулы (21) можно получить формулу плотности вероятности распределения столкновений частиц по высоте стенки системы:
2(0; z) = 0.5(1- z / z2 +1) (22) Для определения вероятности попадания частиц в конденсированную фазу после одного столкновения со стенками получена следующая формула:
2 1 + H - 1+ H - ln(H / 1+ H +1) W 3(1; H ) = (23) 2(1+ H - 1+ H ) Аналогичные вычисления проделаны для случая, когда частицы вылетают с поверхности равновероятно (по закону синуса). Получены следующие точные формулы для вероятности вылета частиц из систем без столкновения со стенками:
W1(0;H ) = 1- H ln((1+ 1+ H ) / H ) (24) вероятность попадания частиц на стенку системы:
W 2(0; H ) = 0.5H ln((1+ 1+ H ) / H ), (25) плотность вероятности распределения столкновений частиц, вылетевших с поверхности конденсированной фазы, по стенке системы:
2(0; z) = 0.5(ln((1 + 1 + z2 ) / z) -1/ 1 + z2 ) (26) и вероятность попадания частиц в конденсированную фазу после одного столкновения со стенками системы:
2 2 1+H ln((1+ 1+ H ) / H ) - ln(2 1+ H / H ) W 3(1; H ) = (27) 2H ln((1+ 1+ H ) / H ) Предложенный геометрикоЦаналитический метод позволил найти точные выражения для вероятностей некоторых исходов частиц. Сравнение результатов расчетов, полученных с помощью метода Монте-Карло и по данным формулам, может служить основанием для оценки точности полученных результатов для этих вероятностей, количества разыгрываемых частиц и правильности работы датчиков случайных чисел.
В шестой главе представлена математическая модель стационарного тепломассопереноса атомов как сферических частиц в открытых цилиндрических наносистемах в свободномолекулярном режиме течения, в которой для описания взаимодействия атомов с поверхностями используется модель, учитывающая потенциальный барьер. Актуальность моделирования процессов переноса атомов в таких системах связана с тем, что их диаметры соизмеримы с размерами атомов. Основой модели была система (18) уравнений движения частицы, дополненная уравнением цилиндрической поверхности и условием сферичности атомов.
В данных компьютерных экспериментах это были сферические атомы диаметром 2 ангстрема. На рис. 24 приведены результаты расчётов по определению вероятностей вылета атомов из систем после всех столкновений атомов, в зависимости от относительной высоты стенок. Величина d является диаметром системы. Анализ приведённых распределений показал, что на перенос атомов стенки систем не оказывают существенного влияния, вплоть до размеров в диаметре порядка нескольких десятков нанометров.
На рис. 25 представлены результаты расчетов по напылению атомов, вылетевших из систем без столкновений со стенками, на плоские поверхности. На рисунке видно значительное отличие для распределений с различными значениями параметра r и влияние диаметра системы d.
0,8 0,0,0,0,0,0,0,0 0,5 1 1,0 1 2 3 x H Рис. 25. Плотности распределений атомов на Рис. 24. Вероятности вылетов атомов из напыляемой поверхности. H = 0.1.
цилиндрических систем после всех G = 0.15. - r = 0, d = 2.510-9 м. - r = 0, столкновений со стенкой.
d = 510-9 м. - r = 0.5, d = 2.510-9 м. - r = 0. - d = 2.510-9 м, - d = 510-9 м, r = 0.5, d = 510-9 м. * - r = 4, d = 2.510-9 м.
- d = 410-6 м.
- - r = 4, d = 510-9 м.
В седьмой главе представлена математическая модель нестационарного массопереноса точечных частиц в щелевых системах в свободномолекулярном режиме течения методом Монте-Карло. Основой математической модели являлась система (18). Исследования стационарного и нестационарного процессов переноса частиц взаимно дополняют друг друга и дают полное представление о структуре потоков частиц в открытых системах щелевого типа.
Моделировались нестационарные процессы переноса частиц в системах с различными размерами, различными интервалами вылетов между частицами с поверхности конденсированной фазы dt и различными временами адсорбции частиц на стенках систем ta.
Время нахождения частицы в системе определялось по ее вылету из системы - преодолению условной плоскости, расположенной на высоте z = H, попаданию частицы в конденсированную фазу - пересечение с плоскостью z = 0, или пересечению плоскости, отстоящей от поверхности конденсированной фазы на некотором расстоянии.
Компоненты скорости частиц с поверхности конденсированной фазы и стенок систем разыгрывались на основе закона косинуса. Все распределения приведены в зависимости от логарифмов отношения времени движения частиц в системе к единице времени, равной 1 секунде. Компьютерные эксперименты проведены для систем с температурой Т = 300 К и массами частиц, равными а.е.м.
При движении газа частиц в свободномолекулярном режиме основными факторами, влияющими на потоки частиц, будут два. Первый - интенсивность испарения, т.е. временной интервал вылета между двумя частицами с поверхности конденсированной фазы. При низкой интенсивности испарения - относительно большие временные интервалы между вылетами двух частиц. Вторым фактором является взаимодействие частиц со стенками систем. Стенки систем p5(0;r) W1(s;0) оказывают влияние на формирование потока частиц не только за счет геометрического фактора, как в случае стационарных потоков, но и вследствие того, что частицы взаимодействуют с материалом стенок систем, т.е. адсорбируются на них.
На рис. 26 представлены результаты расчетов по определению временных плотностей распределений частиц, вылетающих одновременно с поверхности конденсированной фазы, в зависимости от числа столкновений частиц со стенками систем. Временная плотность распределения частиц после всех возможных столкновений со стенками определяется, в основном, частицами, вылетающими из системы без столкновений со стенками. Вклад частиц, испытавших два и более столкновений со стенками, незначителен, т.к. на стенки попадает незначительная доля частиц. Как для стационарного, так и для нестационарного переноса частиц эффективным оказался подход, учитывающий число столкновений частиц со стенками систем. Смещение максимумов вправо обусловлено тем, что частицы, испытавшие одно столкновение со стенкой, должны преодолеть дополнительный путь до вылета из системы.
1 0,0,0,0,0,0,0,0,-11,4 -11 -10,6 -10,-7 -6,5 -6 -5,5 -5 -4,5 -4 -3,lg t lg t Рис. 26. Временные плотности распредеРис. 27. Временные плотности распределелений частиц p1 в зависимости от числа ний частиц p1 в зависимости от высоты стестолкновений частиц со стенками систем.
нок систем. dt = 10-12 cек. L = H.
L = 10-8 м, H = 510-9 м. - n = s, - n = 0, - H = 10-8 м, - H = 10-6 м, - H = 10-4 м, - n = 1, - n = 2, - - n = 3.
- H = 10-2 м.
Следующая серия компьютерных экспериментов посвящена определению временных плотностей распределений частиц р1, вылетающих из систем, в зависимости от величины интервала времени вылета между частицами. Для каждого компьютерного эксперимента эта величина была постоянной. На рис. представлены результаты расчетов по определению временных плотностей распределений частиц р1, в зависимости от высоты стенок систем Н после всех возможных столкновений со стенками. Объяснение полученным распределениям дает подсчет времени вылета последней частицы с поверхности конденсированной фазы. Поскольку в каждом компьютерном эксперименте разыгрывалось десять миллионов частиц, то последняя частица вылетела с поверхности конденсированной фазы через 10-5 сек после вылета первой частицы. Для систем с p1(n) p1(s) высотами стенок 10-8 м и 10-6 м вылет частиц из систем определяется интервалом вылета между частицами, и распределения незначительно отличаются друг от друга. Для систем с высотами 10-4 м и 10-2 м интервал вылета частиц практически не играет никакой роли и распределения получаются, как в случае одновременного вылета всех частиц. На рис. 28 представлены результаты расчетов по определению временных плотностей распределений частиц р1 для различных интервалов времени между испарениями частиц и времен адсорбции частиц на стенках систем. На первом из этих рисунков видно, что интервал вылета между частицами играет роль только для нулевого времени адсорбции и времени адсорбции ta = 10-10 сек. Для времени адсорбции частиц на 0,стенках систем ta = 10-10 сек полу0,6 чено наиболее интересное распределение. Слева от максимума 0,распределение определяется ин0,тервалом времени вылета частиц c поверхности конденсированной фазы, а справа - адсорбцией час-11 -10,5 -10 -9,5 -9 -8,5 -8 -7,5 -lg t тиц на стенках систем. С увелиРис. 28. Временные плотности распределений чением времени адсорбции расчастиц p1 в зависимости от времени адсорбции пределения р1 распадаются на частиц на стенках систем и интервала времени отдельные пики. Первый пик обувылета частиц. L = 10-8 м, словлен влиянием интервала выH = 10-8 м. dt = 10-17 cек. - ta = 0 cек, - лета между частицами, а остальta = 10-10 cек, - ta = 10-9 cек, - ta = 10-8 cек ные - влиянием взаимодействия частиц со стенками систем, временем адсорбции частиц на стенках систем.
Более реальной ситуацией является не постоянная величина среднего времени адсорбции ta, а вероятность вылета частицы с поверхности конденсированной фазы или стенки системы от времени по формуле:
W(t) = 1 - exp(-t/ta) (28) На рис. 29 приведены результаты расчетов для временных плотностей распределений частиц р1 для одновременно вылетевших с поверхности и вероятности вылета частиц со стенок систем, определяемого формулой (28). Для малых времен адсорбции поток частиц, вылетающих из систем, представлен одним пиком. С увеличением времени адсорбции пик раздваивается и становится видно, что первый поток частиц обусловлен частицами, вылетающими из систем без столкновений со стенками, а максимум второго определяется средним временем адсорбции частиц на стенках систем.
Результаты расчетов по определению временных плотностей распределений частиц p1, в зависимости от среднего времени адсорбции частиц на стенках систем и поверхности конденсированной фазы с использованием формулы (28), p1(s) 0,0,0,0,0,0,0,0,-11 -10 -9 -8 --11 -10 -9 -8 -lg t lg t Рис. 29. Временные плотности распреде- Рис. 30. Временные плотности распределений частиц p1 в зависимости от среднего лений частиц p1 в зависимости от среднего времени адсорбции частиц на стенках сис- времени адсорбции частиц на стенках систем и поверхности конденсированной фазы.
тем. L = 10-8 м, H = 10-8 м. dt = 0 cек.
L = 10-8 м, H = 10-8 м. - ta = 10-12 cек, - ta = 10-12 cек, - ta = 10-11 cек, - ta = - ta = 10-11 cек, - ta = 10-10 cек, - 10-10 cек, - ta = 10-9 cек, - - ta = 10-8 cек.
ta = 10-9 cек, - - ta = 10-8 cек.
приведены на рис. 30. В данном случае отсутствует разделение потоков частиц, вылетевших из систем без столкновений со стенками, и после столкновений.
Проведённые компьютерные эксперименты показали, что если применять различные источники частиц (различные температуры систем), различные материалы стенок и геометрические размеры, то можно получать различные распределения потоков частиц на выходе из системы и на заданных расстояниях от системы. Зная, чем обусловлены распределения потоков частиц на выходе из системы, можно определять интенсивности источников частиц и величины энергий связи частиц с поверхностями конденсированных фаз и материалами стенок для проведения фундаментальных экспериментов по определению взаимодействия газ - твердое тело.
Основные результаты и выводы 1. В результате выполненных работ решена проблема, имеющая фундаментальное значение в физике взаимодействия газ - твердое тело, с микроскопической точки зрения. Установлена связь между характеристиками конденсированной фазы и распределениями атомов по скоростям в вакууме, преодолевших потенциальный барьер на поверхности.
2. Установлены связи между функциями распределений атомов по скоростям в конденсированной фазе и в вакууме, которые преодолели потенциальный барьер на поверхности конденсированной фазы. Решение проблемы взаимодействия газ - твердое тело использовано для анализа процессов тепломассопереноса в открытых системах.
3. На основе выявленных связей разработаны и обоснованы математические модели преодоления атомами потенциального барьера на поверхности конденсированной фазы. На основе этих моделей получены функции распреде p1(s) p1(s) лений атомов по скоростям в вакууме. Обоснован, разработан, и протестирован методом Монте-Карло метод получения функции распределений атомов по скоростям, преодолевших потенциальный барьер.
4. Разработаны, обоснованы и протестированы компьютерные программы, доказывающие необходимость учета потенциального барьера на поверхности конденсированной фазы при вылете атомов. Установлено влияние потенциального барьера на все характеристики вылетевших атомов.
5. Получены функции распределений вылетевших атомов по скоростям для функций распределений атомов по скоростям Максвелла-Больцмана, БозеЭйнштейна и Ферми-Дирака в конденсированной фазе, в зависимости от характеристик конденсированной фазы: масс атомов температуры конденсированной фазы и величины потенциального барьера. Впервые установлено, что для всех типов статистик атомов средние значения скоростей и энергий вылетевших атомов превышают аналогичные величины в конденсированной фазе. Это превышение увеличивается с увеличением отношения величины потенциального барьера к температуре конденсированной фазы. Предложенная модель позволила, с микроскопической точки зрения, объяснить унос тепла с поверхности конденсированной фазы.
6. Впервые разработана, обоснована и исследована математическая модель по распределению столкновений двух атомов в пространстве и времени, вылетевших с ограниченного участка поверхности конденсированной фазы в вакуум, реализованная прямым методом Монте-Карло. Получены плотности распределений столкновений атомов в пространстве и времени над поверхностью конденсированной фазы, на основании которых ввести понятие слоя Кнудсена не представляется возможным.
7. Предложенная математическая модель взаимодействия вылетающих атомов с поверхностью конденсированной фазы была использована для разработки компьютерных программ по моделированию стационарного процесса тепломассопереноса в открытых системах щелевого и цилиндрического типов прямым методом Монте-Карло. Компьютерные эксперименты позволили получить характеристики вылетающих атомов из систем в зависимости от температур систем, наносистем, энергии связи атомов с поверхностями и числа столкновений атомов со стенками систем.
8. В результате проведенных компьютерных экспериментов впервые установлено, что атомы, вылетающие из всех типов систем, уносят дополнительную энергию, зависящую от отношения величины потенциального барьера к температуре системы и геометрии систем.
9. Впервые предложен аналитический подход для определения вероятностей исходов частиц из щелевых систем.
10. Впервые разработаны, обоснованы и протестированы компьютерные программы для получения временных плотностей распределений вероятностей вылетов атомов из систем щелевого типа для различных условий вылета атомов с поверхности конденсированной фазы и моделей взаимодействия со стенками систем прямым методом Монте-Карло. Показана возможность разделения по токов вылетающих атомов из систем подбором размеров систем, материала стенок и температур систем.
11. Результаты диссертационной работы рекомендуются для использования в учебном процессе для подготовки специалистов по направлениям 2313Прикладная математика и 220700 Автоматизация технологических процессов и производств.
Публикации Основные результаты диссертации, опубликованные в изданиях, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов докторских диссертаций:
1. Pletnev L.V. Monte Carlo Simulation of Evaporation Process into the Vacuum // Monte Carlo Methods and Applications. Ц2000. ЦV.6, Ц№ 3. - p. 191 - 203.
2. Плетнев Л.В. Моделирование стационарного процесса переноса частиц в наносистемах методом Монте-Карло // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление. - 2005. - вып. 1(28). - с. 194 - 199.
3. Плетнев Л.В. Компьютерное моделирование стационарного переноса частиц в цилиндрических наносистемах // Труды института Системного анализа РАН. Динамика неоднородных систем. - 2008. - т. 32(3). - с. 121 - 130.
4. Уварова Л.А., Плетнев Л.В. Компьютерное моделирование столкновений частиц при вылете с поверхности конденсированной фазы // Труды института Системного анализа РАН. Динамика неоднородных систем. - 2008. Цт. 32(3). - с. 131 - 139.
5. Уварова Л.А., Плетнев Л.В. Распределения столкновений частиц при вылете с поверхности конденсированной фазы // Вестник Поморского университета. Сер. Естественные науки. - 2009. - т. 3. - с. 102 - 107.
6. Pletnev L.V., Gvozdev M.A., Samartsau K.S. Computer Modeling of Particles Transport Stationary Process in Open Cylindrical Nanosystems by Monte Carlo method // Monte Carlo Methods and Applications. - 2009. - v. 6. - №. 2. - p. 1 - 203.
7. Плетнев Л.В. Математическое моделирование процесса переноса частиц в щелевых системах // Труды института Системного анализа РАН. Динамика неоднородных систем. - 2010. - т. 50(1). - с. 86 - 90.
8. Плетнев Л.В. Компьютерное моделирование стационарного процесса переноса в открытых щелевых системах // Труды института Системного анализа РАН. Динамика неоднородных систем. - 2010. - т. 50(1). - с. 91 - 96.
9. Плетнев Л.В. Моделирование управления потоком частиц в нестационарном режиме течения газа в щелевых системах // Вестник ТГТУ. - 2010. - т.
16. - вып. 2, - с. 314 - 318.
10. Плетнев Л.В. Моделирование тепломассопереноса из систем щелевого типа // Инженерная физика. Ц2010. Ц№ 6. - с. 11 - 13.
11. Плетнев Л.В. Распределения бинарных столкновений атомов при вылете с поверхности конденсированной фазы // Вестник ТГТУ. - 2011. - т. 17.
- вып. 2. - с. 520 - 524.
12. Уварова Л.А., Плетнев Л.В. Моделирование переноса частиц в цилиндрических системах // Вестник СТАНКИН. - 2011. - № 4 (16). - c. 63 - 65.
13. Плетнев Л.В. Нестационарный перенос частиц в щелевых системах // Вестник ТГУ. - 2011. - т. 16. - вып. 3, - с. 797 - 799.
14. Плетнев Л.В., Уварова Л.А. Компьютерное моделирование управления потоком частиц в цилиндрических системах // Вестник Поморского университета. Сер. Естественные науки. - 2011. - вып. 2. - c. 119 - 123.
15. Плетнев Л.В. Моделирование нестационарного переноса частиц в открытых щелевых системах // Вестник СТАНКИН. - 2011. - № 5 (17). - c.
75 - 77.
Монография:
16. Плетнев Л.В. Компьютерное моделирование процесса тепломассопереноса в открытых системах. - М.: ЯНУС-К, 2011. - 96 с.
Публикации в других изданиях:
17. Гамаюнов Н.И., Плетнев Л.В., Малышев В.Л. Применение метода Монте-Карло к исследованию процесса испарения жидкости из капилляра // Свойства веществ и строение молекул: сб. науч. тр. - Калинин: КГУ, 1982.
Цс. 100 - 107.
18. Гамаюнов Н.И., Плетнев Л.В. Машинное моделирование процесса переноса влаги в капиллярно-пористых телах // Вторая Всесоюзная конференция по применению математических методов и ЭВМ в почвоведении: сб. тез. докл. - Пущино, - 1983. - с. 109 - 110.
19. Плетнев Л.В. Машинное моделирование процесса испарения воды из капилляра // Расчетные методы в физической химии: сб. науч. тр. - Калинин, КГУ, - 1983. - с. 75 - 78.
20. Гамаюнов Н.И., Плетнев Л.В. Исследование процесса массопереноса при испарении в плоском капилляре в свободномолекулярном режиме // Вопросы физики формообразования и фазовых превращений: сб. науч. тр. - Калинин, КГУ, - 1984. - с. 56 - 61.
21. Гамаюнов Н.И., Ланков А.А, Малышев В.Л., Уварова Л.А., Фельдблюм А.С., Плетнев Л.В. Математическое моделирование процессов переноса и фазовых превращений в капиллярах // Всесоюзная конференция Тепломассообмен - VII: сб. тез. докл. - Минск, - 1984. - с. 131 - 134.
22. Плетнев Л.В. Свободномолекулярный режим течения газа в плоском капилляре // Вопросы физики формообразования и фазовых превращений: сб.
науч. тр. - Калинин, КГУ, - 1985. - с. 41 - 45.
23. Плетнев Л.В. Нестационарный процесс массопереноса в открытых системах в свободномолекулярном режиме течения // Вопросы физики формообразования и фазовых превращений: сб. науч. тр. - Калинин, КГУ, - 1986. - с.
28 - 31.
24. Плетнев Л.В. Исследование процесса массопереноса газа в открытых системах в свободномолекулярном режиме течения // XIV Всесоюзная конференция Актуальные вопросы физики аэродисперсных систем: сб. тез. докл. - Одесса, - 1986. - с. 223.
25. Гамаюнов Н.И., Плетнев Л.В. Моделирование методом Монте-Карло процесса массопереноса в открытых системах // Вопросы физики формообразования и фазовых превращений : сб. науч. тр. - Калинин, КГУ, - 1987.
- с. 20 - 25.
26. Гамаюнов Н.И., Плетнев Л.В. Моделирование нанесения покрытия на плоские поверхности с помощью метода Монте-Карло // IV научно-техническая конференция Вакуумные покрытия - 87: сб. тез. докл. - Рига, - 1987. - с. 50.
27. Гамаюнов Н.И., Плетнев Л.В. Испарение капли в вакууме и моделирование этого процесса с помощью метода Монте-Карло // Х Всесоюзная конференция Динамика разреженных газов: сб. тез. докл. - Москва, - 1989. - с. 135.
28. Плетнев Л.В. Моделирование стационарного и нестационарного процессов переноса в открытых системах методом Монте-Карло. // Республиканская конференция: сб. тез. мат. - Минск, - 1995. - т.1. - с. 207.
29. Плетнев Л.В. Моделирование процессов переноса в открытых системах методом Монте-Карло // 51-й Межд. конференция, посвященная 75-ю Белорусской государственной политехнической академии: сб. тез. докл. - Минск, - 1995. - с. 44 - 45.
30. Плетнев Л.В. Моделирование переноса потока тепла от испарительных элементов методом Монте-Карло // I I I Минский международный форум Тепломассообмен ММФ - 96: сб. докл. - Минск, - 1996. - т. 9. - с. 143 - 147.
31. Pletnev L.V., Gamayunov N.I., Zamyatin V.M. Computer simulation of evaporation process into the vacuum // Mathematical Models of Non-Linear Excitations, Transfer, Dynamics, and Control in Condensed Systems and Other Media. Edited by L.A. Uvarova, A.E. Arinstein and A.V. Latyshev. Kluveer Academic / Plenum Publishers. New York, Boston, Dordrecht, London, - Moscow. Ц1999, - pp.
153 - 156.
32. Плетнев Л.В., Гамаюнов Н.И., Замятин В.М. Компьютерное моделирование процесса испарения в вакуум // IV Минский международный форум Тепломассообмен ММФ - 2000: сб. докл. - Минск, - 2000. - т. 5. - с. 325 - 329.
33. Pletnev L.V. Computer Simulation of the Evaporation Process of the Monoatomic Condensed Phase // Int. Conf. on Research Trends in Science and Technology:
Book of Abs. - Lebanon, - 2002. - p. 65.
34. Pletnev L.V., Gamayunov N.I., Zamyatin V.M. The Knudsen Layer by the Evaporation of the Monoatomic Condensed Phase // Int. Conf. on Theoretical Physics: Book of Abs. - Paris, France, - 2002. - p. 235.
35. Pletnev L.V., Kurek Z., LoChirco S. Monte Carlo simulation of the stationary heat and mass transfer in open systems // V International Congress on Mathematical Modeling: Book of Abs. - Dubna, - 2002. v. 1. - p. 103.
36. Плетнев Л.В. Стационарный тепломассоперенос в щелевых системах // V Минский международный форум по тепло- и массообмену: сб. тез. докл. - Минск, - 2004. - т.2. - с. 240 - 241.
37. Pletnev L.V. Simulation of Evaporation of a Monoatomic Condensed Phase into a Knudsen Layer by Monte Carlo and Molecular Dynamics Methods // Int.
Symp. On Rarefied Gas Dynamics - 24: Book of Abs. - Bari, Italy, - 2004. Цp. 38. Pletnev L.V. A Computer Modeling of an Evaporation process of a Monoatomic Condensed Phase // VI Int. Congress on Mathematical Modeling: Book of Abs.
- Nizhny Novgorod, Ц2004. - p. 208.
39. Pletnev L.V. Modeling of Stationary Heat and Mass Transfer of Particles in Nanosystems by the Monte Carlo Method // VI Int. Congress on Mathematical Modeling: Book of Abs. ЦNizhny Novgorod, - 2004. - p. 209.
40. Pletnev L.V., Dziamyanava T.A., Novikova O.V. Computer modeling of particle collisions at the start from the surface of the monatomic condensed phase // Third Statistical Days at the University of Luxembourg: Book of Abs. - Luxembourg, - 2007. - р. 26 - 27.
41. Pletnev L.V. Computer modeling of particle collisions at the start from the surface // Международная научная конференция Моделирование нелинейных процессов и систем: сб. тез. - Москва, - 2008. - с. 41 - 42.
42. Pletnev L.V. Computer modeling of nonstationary particles transfer in open slotted systems // Международная научная конференция Моделирование нелинейных процессов и систем: сб. тез. докл. - Москва, - 2008. - с. 43.
43. Плетнев Л.В. Нестационарный перенос частиц из систем щелевого типа // Инженерная физика. - 2011. - № 6, - с. 7 - 10.
Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по техническим специальностям