Авторефераты по всем темам >> Авторефераты по философии

На правах рукописи

Стешенко Николай Иванович

ОГИКА НАПРАВЛЕННОСТИ ИЗМЕНЕНИЯ

09.00.07 - Логика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора философских наук

Москва -2012 Диссертация выполнена на кафедре философии и методологии факультета философии и культурологии Южного федерального университета

Официальные оппоненты:

Доктор философских наук, профессор Драгалина -Черная Елена Григорьевна Доктор философских наук, профессор Кузнецов Валерий Григорьевич Доктор философских наук, ведущий научный сотрудник Шалак Владимир Иванович

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет (Кафедра логики философского факультета)

Защита диссертации состоится 15 мая 2012 г. в 15.00 на заседании диссертационного совета Д 501.001.48 по философским наукам при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ломоносовский проспект, д. 27, корпус (Шуваловский учебный корпус), философский факультет, ауд. А-518 (Зал заседаний Ученого совета).

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале отдела диссертаций Научной библиотеки МГУ имени М.В. Ломоносова в Шуваловском учебном корпусе по адресу: Ломоносовский проспект, д. 27, корпус 4, сектор Б, 3 этаж, комната 300, сектор читальных залов.

Автореферат разослан л________________2012 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета, кандидат философских наук, доцент Зайцев Д.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Под термином лизменение имеем в виду не только различные состояния одного и того же объекта во времени, но и движение, процесс, переход. Изучение изменений в философии проводилось, прежде всего, усилиями Аристотеля и Гегеля. Конечно, изучение изменений в философии не исчерпывается этими двумя именами. В логике систематическое изучение изменения (т.е. представленное в виде формальной системы) начинается с работ Прайора, Вригта и Роговского. Общей чертой философского и логического взгляда на изменение является допущение, согласно которому время - это необходимое условие описания изменения.

Что нас вынуждает принять время как условие описание изменений? Можем ли мы описать изменение вне времени? С точки зрения классической логики, описание изменений без учета параметров времени ведет к формально логическому противоречию.

Чтобы удовлетворить требованиями закона запрета противоречия в описании изменяющегося мира, имеется, по меньшей мере, две возможности, связанные с определенными онтологическими допущениями.

Первая из них была реализована Г.Ф. фон Вригтом в Т-исчислении, и фактически производна от онтологической интерпретации запрета, накладываемого законом непротиворечия. Онтологическими сущностями, достаточными для описания изменений, являются пары состояний объектов, упорядоченных различными моментами времени. Состояние объекта есть выделенное свойство объекта в фиксированную единицу времени. Философской основой этого логического подхода в описании изменений является линия Аристотеля - Канта.

Вторая возможность представлена логикой направленности изменения Р.

Роговского и покоится на другой философской традиции, связанной с именем Гегеля. Под логикой направленности изменения понимается логика, в которой исследуются логические свойства операторов возникает так, что Е, лисчезает так, чтоЕ, луже есть так, что Е, леще есть так, что Е. Четырехзначность этой логики предполагается двумя типами онтологических сущностей: объектами, которые имеют или не имеют некоторые свойства, и объектами с исчезающими или возникающими свойствами, т.е. в ней моделируется не только начало и конец перехода, но и сам переход. Указанное деление философских традиций в описании изменений не имеет жестких границ: некоторые аспекты учения Аристотеля об изменении позволяют считать его предшественником Гегеля.

Синтаксис и семантика логики направленности изменения не требует темпоральной референции в высказываниях этой логики. Логика направленности изменения Роговского показывает, что возможна логика, которая удовлетворяет принципу непротиворечия, и допускают описание изменения без временных параметров. Но эта четырехзначная логика пока представлена в пропозициональном языке в виде аксиоматической системы. Активное развитие в последние десятилетия многозначных логик делает не только возможным, но и актуальным применение методов и идей, наработанных в многозначных логиках, к логике направленности изменения. В этом аспекте актуальность темы обуславливается внутренними потребностями логики направленности изменения. В прикладном аспекте актуальность работы состоит в том, что огика направленности изменения предоставляет средства экспликации способов описаний и рассуждений об изменении не только в диалектической философской традиции (в смысле философских учений об изменении), но и в естественном языке. Таким образом, исследование в сфере логики направленности изменения представляется вполне актуальным.

Степень разработанности проблемы. Та часть логических исследований изменения, в которой прямо либо косвенно учитывается параметр времени, а также модальные понятия достаточно полно разработана и оформлена в многочисленных статьях и монографической литературе. Объемный список зарубежной и отечественной литературы указан в монографиях Солодухина О.

А. Логика изменения и модальная логика и Попова В. В. Логика изменения и темпоральная логика. Из более поздней литературы отметим две монографии польского логика Вайшчика Й. Логика, время и изменение и О реконструкции неклассических исчислений высказываний в темпоральной логике.

Второе направление логического исследования изменения, связанное с логикой направленности изменения, значительно меньше разработано. Кроме монографии Л. Роговского, других монографий нет.

Используя некоторые идеи Роговского, Кузнецов В. Г. построил исчисление ТО, в котором проанализированы отношения между понятиями существование (понимаемое как пропозициональный оператор) и действительность. Над этим исчислением Кузнецов В. Г. надстроил логические системы с модальными операторами: ML, EГ, ME, SR, SM, имеющие табличную семантику. Так как логика Роговского - многозначная логика, то она позволяет конструировать новые операторы и связки, не существующие в классической логике, что удачно использовалась Кузнецовым В. Г.

огика Роговского также исследовалась польскими авторами. Е. Слупецкий построил 3-х значную логику изменения, посредством отождествления в логике Роговского двух промежуточных значений истинности (подистина, подложь) в одно, и переопределением операторов логики Роговского в сигнатуре {, , N}. Аксиоматизация 3-х значной логики изменения совпадает с аксиоматизацией 3-х значной логики Лукасевича, данная в совместной работе Supecki J., Bryll G., Prucnal T. [104].

Й. Вайшчика осуществил реконструкцию логики Роговского в темпоральной логике, т.е. полностью переопределил операторы логики Роговского в темпоральных понятия. Технически такой подход безупречен, но это неприемлемо, на мой взгляд, с содержательной точки зрения. Во-первых, при такой реконструкции из языка логики Роговского устраняются операторы возникает так, что Е, лисчезает так, чтоЕ, луже есть так, что Е, леще есть так, что Е, а вместе с ними устраняются и те содержательные предпосылки, которые представлены этими операторами. Например, возникает так, что р заменяется на всегда в будущем будет так, что р и всегда в прошлом было так, что р (Gp Hp). Во-вторых, появляется проблема обоснования истинностных значений, и как ее решать неясно.

Отметим, что сама логика Роговского представлена в пропозициональном языке в виде аксиоматической системы. Все вышеуказанные исследования логики Роговского также не выходили за пределы пропозиционального языка. Но и в пропозициональном аспекте эта логика - с точки зрения сегодняшнего уровня логических исследований в многозначных логиках - оказалась не до конца изученной. Полностью отсутствует логическое описание направленности изменения в первопорядковой языке.

Объект исследования - четырехзначная огика направленности изменения.

Предмет исследования - формализация логики направленности изменения методами секвинционального исчисления и аналитических таблиц; построение первопорядковой логики направленности изменения.

Цели и задачи исследования. Исследовать логику Роговского (логику направленности изменения) как функциональную систему, а также найти ее нормальные формы, построить секвенциональное исчисление и аналитические таблицы для этой логики. Создать и исследовать первопорядковую логику направленности изменения. Эта цель конкретизируется в таких задачах.

1. Более детально (чем это сделал Л. Роговский) и максимально точно описать философские основы логики направленности изменения, представить семантические предпосылки класса высказываний, используемых в логике направленности изменения.

2.1. Проверить во всех деталях является ли исходная система функций логики направленности изменения функционально полной;

2.2. Выделить те подсистемы функций, которые не являются функционально полными и совместимы с содержательными предпосылками логики направленности изменения, т.е. те функции, которые описывают те или иные свойства гегелевского перехода (а на синтаксическом уровне представлены соответствующими им формулами и эти формулы дедуктивно используются);

2.3. Выделить базисы в множестве всех функций этой логики, которые совместимы с содержательными предпосылками логики направленности изменения.

3. Исследовать ДНФ и КНФ логики направленности изменения.

4. Исследовать функциональные связи трехзначных подлогик логики направленности изменения с другими, наиболее известными трехзначными логиками.

5.1. Формализовать пропозициональную логику направленности изменения методом простых и обобщенных (в смысле Р. Хэнли) аналитических таблиц, и доказать метатеоремы ;

5.2. Построить секвенциональное исчисление на основе пропозициональных правил;

5.2. Доказать теорему Генцена об устранении сечений для этого четырехзначного исчисления секвенций.

6.1. Построить аксиоматическое исчисление RQ первопорядковой логики направленности изменения;

6.2. Исследовать металогические свойства аксиоматического исчисления RQ.

7. Формализовать первопорядковую логику направленности изменений методом простых и обобщенных аналитических таблиц;

7.2. Доказать корректность и семантическую полноту этой формализации;

Теоретико-методологические основания исследования.

Для решения поставленных задач используются такие конкретные методы - критерий Е. Слупецкого, проверка функциональной полноты методом сведения к заведомо полным системам; методы построения и исследования логических исчислений: аксиоматический метод, методы построения аналитических таблиц (использовался опыт работ О.М. Аншакова, А.Д. Бочвара и В.

К. Финна, В.А. Карниелли, Р. Смальяна, С.Я. Сурмы, М. Фиттинга, Р. Хэнли) и секвенциональных исчислений в многозначных логиках (учитывались работы Г. Руссо, М. Такахаси, В. Карниелли, М. Бааса, К. Фермюллера и Р.

Заха).

Следует отметить, что применение тех или иных методов исследования, наработанных в многозначных логиках к такой конкретной логической системе как огика направленности изменения, дело весьма нешаблонное: содержательная основа и табличная семантика этой логики полностью детер минируют как сами возможности применимости современных методов исследования в сфере многозначных логик, так и их допустимые модификации.

В многозначных логиках имеется множество различных идей, которые прямо (семантически и дедуктивно) не используются в логике направленности изменения, но составляют необходимый фон исследования в этой логике.

В двух отечественных монографиях по многозначным логикам А. С. Карпенко, а также в работах зарубежных авторов - Н. Решара, Р. Хэнли, А. Уркварта - содержится много таких идей.

В логико-философской литературе ХХ века обсуждались различные аспекты проблемы описания изменения. Важными для моего исследования оказались методологические подходы и результаты следующих отечественных и зарубежных философов и логиков: Аугустынека З., Вайшчика Й., Войшвилло Е.К., Вригта Г.Х., Гладких Ю.Г., Караваева Э.Ф., Ивина А.А., Ивлева Ю.В., Кузнецова Ю.Г., Прайора А., Солодухина О. А.

Научная новизна работы. Основные результаты, выносимые на защиту.

В диссертационной работе впервые в литературе всесторонне исследуется огика направленности изменения на основе методов, разработанных в современной многозначной логики.

В диссертации получены следующие результаты, которые выносятся на защиту:

1. Логика направленности изменения является функционально полной, и является функционально эквивалентной 4-х значной логике Поста; но следующие подсистемы функций {, Т} и {, У, Е} не являются функционально полными и допускают содержательно ясную интерпретацию; выделены пять, кроме исходного ({,B}), базисов функций исследуемой логики {, В}, {, В}, {, И}, {, И}, {, И}, которые имеют содержательно ясную основу;

2. Любая функция логики направленности изменения не равная константе 0 единственным образом представима четырехзначным аналогом СДНФ, любая функция логики направленности изменения не равная константе 3 единственным образом представима четырехзначным аналогом СКНФ. СДНФ и СКНФ логики направленности изменения соответственно имеют вид I-J СДНФ и I-J СКНФ, т.е. формы состоят из двух частей, где I- часть представляет те истинностные наборы, в которых формула получает промежуточные истинностные значения (подистина, подложь); для приведение произвольной формулы логики направленности изменения к ДНФ и КНФ указаны правила эквивалентных преобразований;

3. Алгебра Alg4 = {3, 2, 1, 0}, , В характеристической матрицы R4 логики направленности изменения есть алгебра де Моргана, в которой опера ция отрицания удовлетворяет неравенству (упорядочиванию) Клини х х у у. Указаны четыре трехзначные подлогики изменения (направленность изменения в них исчезает) логики направленности изменения: R3S (построена Е. Слупецким) и отмеченные автором логики изменения +R3, R3*, R3**. R3S = {, , Z} - предполная логика, функционально эквивалентная трехзначной логике Лукасевича. Логика изменения +R3 = {, , Z} есть также предполная логика, функционально эквивалентная трехзначной логике Лукасевича, R3* = {, , Z*}, R3** = {, Z**} - функционально полные и функционально эквивалентные, где - отрицание (совпадающее с отрицанием Лукасевича); - сильная регулярная импликация Клини; Z, Z*, Z** - операторы изменения.

Дана общая картина функциональных связей трехзначных подлогик логики направленности изменения с другими логиками: С В3 R3S +R3 3+ 3 FL3N R3* R3**, где С - логика бессмысленности Холдена; В3 - логика Бочвара; 3+ - логика Лукасевича в сигнатуре {, , N}; 3 - логика Лукасевича в сигнатуре {, } FL3N - логика ложности С. Павлова; - знак отношения функциональной вложимости; -знак функциональной эквивалентности. Назначение этой картины лишь в том, чтобы указать функциональное место трехзначных логик изменения среди других логик.

4. Построено аксиоматическое исчисление RQ первопорядковой логики направленности изменения и дана адекватная интерпретация языка RQ;

5. изучены металогические свойства первопорядковой логики направленности изменения:

а). доказана теорема корректности (и непротиворечивости);

б). доказана теорема семантической полноты для RQ;

с). доказана теорема дедукции;

6. Формализована первопорядковая логика направленности изменений методом простых и обобщенных (в смысле Р. Хэнли) аналитических таблиц;

доказана семантическая полнота и корректность этой формализации посредством обобщения метода Смальяна на 4-х значный случай;

7. построено секвенциональное исчисление на основе пропозициональных правил в виде 4-членных секвенций; доказана теорема Генцена об устранении сечений для этого четырехзначного исчисления секвенций.

Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты диссертационного исследования обогащают представления о логических способах описания изменения, что представляет интерес не только для логиков, но и для историков философии, а также специалистов, работающих в философии и методологии науки. Результаты работы могут послужить отправным пунктом для создания модальной и темпоральной логики направленности изменения.

Материалы исследования могут быть использованы при разработке некоторых разделов общих и специальных курсов по логике. Результаты исследования применимы в философии языка.

Материалы диссертационного исследования были использованы при чтении лекций по логике, и проведении спецкурсов на философском факультете Южного федерального университета.

Апробация работы. Основные идеи, результаты и выводы работы изложены в монографии и статьях автора. Проблематика диссертационного исследования обсуждалась на теоретическом семинаре кафедры философии и методологии науки факультета философии и культурологии Южного федерального университета. Отдельные результаты диссертации были представлены в тезисах выступлений, в частности на следующих конференциях и конгрессах:

- Всесоюзной конференции по логике, методологии и философии науки (Паланга, 1982).

- Международных конференциях Смирновские чтения (Москва, 1999, 2003, 2007, 2009, 2011).

- Международных научных конференциях Современная логика: проблемы теории и истории (Санкт-Петербург, 2004, 2006, 2008, 2010).

- Российских философских конгрессах (Санкт-Петербург, 1999; Ростовна-Дону, 2002; Москва 2005; Новосибирск 2009).

- Всероссийской научной конференции Логика, методология, науковедение: актуальные проблемы и перспективы (Ростов-на-Дону, 2010).

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 9 глав, заключения, приложения и списка литературы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во ВВЕДЕНИИ обосновывается актуальность темы исследования, характеризуется степень ее разработанности, формулируются цели и задачи работы, ее методологические основы, перечисляются положения диссертации, выносимые на защиту, указывается научная новизна полученных результатов, их теоретическая и практическая значимость, апробация полученных результатов.

В ГЛАВЕ 1 - Философские основания логики направленности Роговского R4 - формулируются содержательные и семантические предпосылки логики направленности изменения.

В з1. Содержательные предпосылки логики направленности изменения вводятся (вслед за Л. Роговским, но с некоторыми уточнениями и детализациями) основные понятия логики направленности и изменения на основании текстов Гегеля. Центральными понятиями логики направленности Гегеля является понятие возникновения (das Entstehen) и прехождения (das Vergehen). Эти понятия вводятся в терминах понятий чистого бытия и ничто (лчистое небытие). Под чистым бытием здесь имеется в виду суждение вида S есть Р, а под чистым небытием - суждения вида S не есть Р, а так как S и Р есть переменные для общих имен, Гегель характеризует эти понятия как чистые абстракции, как чистую неопределенность и пустоту, как лотсутствие определений и содержания1. Понятия чистого бытия и ничто здесь представлено формами традиционной логики.

Гегелю принадлежит заслуга введения в теоретическую логику новой логической формы, а именно - понятия направленности, которое он характеризует как лединство бытия и небытия, Еединство, в котором есть и бытие, и ничто2. Смысл, в каком Гегель использует термин лединство - это смысл, в каком мы используем теперь термин пара.

(1). Возникновение есть единство ничто и бытия: ~~, т.е. переход, в котором исчезает небытие.~~

~~(2). Прехождение есть единство бытия и ничто: ~~, т.е. переход, в котором исчезает бытие.~~~~

Тем самым оправдано введение в логику Роговского операторов В - возникновения и И - лисчезновение (лпрехождение - другими словами).

Польский логик Вудель В.(на это указывает Роговский) высказал мысль, что Гегель отвергал принцип двузначности классической логики. Такой вывод можно сделать на основе использования Гегелем конъюнкции (союза и) в высказываниях о парадоксах Зенона, как, например, такое: Едвигаться означает быть в данном месте и в то же время не быть в нем, - следовательно, находится в обоих местах одновременно3. Здесь мы либо должны признать, что Гегель самым банальным образом нарушал закон непротиворечия, запутавшись в вопросах дискретности и непрерывности пространства и времени, либо попытаться понять, как можно интерпретировать гегелевскую конъюнкцию и тем самым прояснить гегелевское понимание противоречия.

В з2. Содержательные предпосылки семантики логики направленности изменения описывается семантика основных понятий логики Роговского и объясняется, почему эта логика имеет четыре истинностных значе Гегель. Наука логики. Т. 1. М., Мысль, 1970. С. 140.

~~Там же, с. 166.~~

~~Гегель Г. В. Ф. Лекции по истории философии. Книга первая. Санкт-Петербург: Наука, 1994. С. 282.~~

ния. Чтобы возможных неопределенностей, связанных с выражением возникает так, что р - символически - (Вр), введем вслед за Роговским, ряд ограничительных условий.

(i1). В является одноместным оператором, и если р - осмысленное предложение, то и Вр будет считаться осмысленным.

(i2). В исследуемой логике предполагается, что предложения Вр ничего не говорит о прошлом или будущем, и из этого предложения не следует, что предмет не был или будет таким-то и таким-то.

(i3). Предложение Вр описывает промежуточный случай между состояниями, представленными предложениями лесть так, что р и не есть так, что р. Этот промежуточный случай понимается как ассиметричный переход, и не предполагает никаких фаз (частей) в переходе.

(i4) Функция Возникает, что возникает так, что р, т.е. (ВВр) равнозначна функции р в смысле быть контрарной р. При направленном понимании оператора возникновения итерация ВВр не может рассматриваться как промежуточный случай между р и Вр, так как его нет.

(i5). Ни для какого предложения р функции р, р, Вр, Вр не могут принимать одинаковые значения истинности, и фиксированная истинность одного из них исключает такую же истинность других. Роговский полагает, что уже Ксенофану было известно положение, согласно которому лесли истинно р, то Вр не может быть истинным; речь идет о следующем фрагменте Ксенофана: Если нечто есть Е, то оно не могло возникнуть4. Предполагается, что в Ене могло возникнуть устраняются возможные темпоральные характеристики.

(i6). Для каждой функции, указанной в пункте (i5), существует предложение, которое делает ее истинной при подстановке на место переменной р, т.е.каждая из них может принимать значение листинно.

(i7). Принимается следующее положение Аристотеля: Ведь возникновение - это уничтожение не-сущего, а уничтожение - возникновение несущего5. Если принять во внимание, что в нашем понимании луничтожение тоже самое, что и лисчезновение (лпрехождение), тогда функции лисчезает так, что р и возникает так, что не р являются равнозначными (т.е. Ир и Вр); такими же являются и функции возникает так, что р и лисчезает так, что не р (т.е. Вр и Ир). Это в частности означает, что в качестве исходного оператора можно взять не оператор возникновения, а оператор исчезновение, так как они взаимоопределимы.

~~Фрагменты ранних греческих философов. Часть 1. М.: Наука, 1989. С. 160.~~

~~Аристотель. О возникновении и уничтожении //Аристотель. Соч. в 4 т., Т. 3. - М.: Мысль, 1981. С. 394.~~

(i8). Функции возникает так, что исчезает р и функция лесть так, что не-не р равнозначны, т.е. ВИр = р (обозначим равенство значений функций посредством л=). Действительно, ВИр = ВВр на основании (i7), а ВВр = р в силу (i4).

Учтем, что оператор И, по сравнению с оператором В, описывает противоположную направленность изменения, а именно: переход от р к р. Если бы мы использовали в качестве исходного оператора не оператор В, а оператор И, что допустимо ввиду (i7), тогда по аналогии с пунктами (i3) и (i4) получим ИИр = р (обозначим временно последнее равенство функций через л*). Далее, ИВр = ИИр имеем на основании (i7), тогда ИИр = р ввиду равенства (*). В итоге имеем: ВИр = ИВр = р.

(i9). Принимается также, что отрицание, удовлетворяющее условию (i4), выполняет принцип двойного отрицания, т.е р = р. Тогда на основании (i8) и (i9) получаем ВИр = ИВр = р.

Покажем, что произвольная итерация (суперпозиция) оператора В действительно дает одно из следующих значений р, р, Вр, Ир. Это надо показать, чтобы избежать фазового понимания перехода. Скобки опускаем.

Вр; ВВр = р (на основании (i4)); ВВВр = Вр = Ир (на основании (i4) и (i7); ВВВВр = ВИр = р (в силу (i4), (i7), (i8) и (i9)). Сходным образом любая итерация оператора И также дает одно из четырех указанных значений.

~~Таким образом, все подготовлено, чтобы точно ответить на вопрос:~~

сколько истинных значений допускает огика направленности изменения? Итерации оператора В показывают, что самое большее число истинностных значений должно равняться четырем, а с учетом условия (i6) приходим к заключению, что эта логика имеет ровно четыре значения истинности.

В качестве исходных синтаксических понятий Роговский принимает оператор возникновения (В) и импликации (л), импликация читается обычно - леслиЕ, тоЕ.

. Роговский придерживается классической теории истины как соответствия предложения фактам действительности, но с одним уточнением, а именно: некоторые факты имеют онтологическую направленность, т.е. существование, несуществование, возникновения и исчезновения.

Таб. в действительности истинность р истинность Вр есть так, что р (существование) истина подложь возникает так, что р (возникновение) подистина истина исчезает так, что р (исчезновение) подложь ложь не есть так, что р (несуществование) ложь подистина В терминах семантической концепции истины Тарского направленное понимание истинности УpФ (УpФ имя предложения) означает:

~~УpФ истинно тогда и только тогда, когда р;~~

~~УpФ подистинно тогда и только тогда, когда Вр;~~

~~УpФ подложно тогда и только тогда, когда Ир;~~

~~УpФ ложно тогда и только тогда, когда р;~~

Истина, подистина, подложь, ложь символически обозначим через 3, 2, 1, 0. л3 и л0 классические значения истинности. Выделенным значением является истина - л3.

Вторым исходным синтаксическими понятиями логики направленности изменения являются импликация. Значения истинности оператора В указаны в таб. 1.

~~Таб. 3 2 1 р g 3 3 2 1 2 3 2 1 1 3 2 2 0 3 3 3 Определим остальные, производные логические константы.~~

~~(D1). р =Df ВВр - слабое отрицание, которое, читается - не есть так, чтоЕ.~~

~~(D2). Ир =Df Вр - оператор исчезновения: лисчезает так, чтоЕ.~~

~~(D3). р g =Df pg = max((p), (g)) - дизъюнкция.~~

~~(D4). р g =Df (p g) = min((p), (g)) - конъюнкция.~~

~~(D5). Тр =Df р И(р Вр) В(р Ир) - сильное утверждение, читается листинно, что Е.~~

~~(D6). р =Df Тр - сильное отрицание, читается ложно, чтоЕ.~~

~~(D7). Ур = Df Т(р Вр) - луже есть так, чтоЕ.~~

~~(D8). Ер = Df Т(р Ир) - леще есть так, чтоЕ.~~

~~(D9). р g =Df (Тр Тg) (Тg Тр) - эквивалентность: тогда и только тогда, когда.~~

~~(D10). р g =Df (р g) (р g) (Вр Вg) (Ир Иg) - р и g имеют одинаковую направленность.~~

~~(D11). (р g) (р g) - отношения между равнонаправленностью и эквивалентностью.~~

~~(D12). р g =Df (УрЕg) (ЕрУg) - гегелевская конъюнкция: р и вместе с тем g.~~

~~(D13). р р =Df (ТВр ТИр) - гегелевское противоречие: р и вместе с тем р.~~

~~Укажем в таблицах значения истинности введенных определениями понятий.~~

Таб. р Ир Тр Ур Ер р р р р 3 0 2 3 0 3 3 2 1 0 0 3 3 0 1 2 3 0 3 0 3 0 3 1 0 3 0 0 В ГЛАВЕ 2 - Аксиоматическое построение логики Роговского - излагаются (кроме з4) результаты Роговского.

~~з1. Аксиомы, правила доказательства.~~

Алфавит пропозиционального языка L логики направленности изменения R состоит из следующих категорий символов:

(1) Пропозициональные переменные - p, g, r, s, t, u, p1, g1, r1, s1, t1, u1, Е (2) Логические константы и операторы - , В (исходные); , И, Т, У, Е (производные); они соответственно читаются: леслиЕ, тоЕ, возникает так, чтоЕ (основные); не есть так, чтоЕ, лисчезает так, чтоЕ, верно, чтоЕ (или иначе: сильно утверждается, чтоЕ), луже есть так, чтоЕ, леще есть так, чтоЕ (производные).

~~(3) Технические знаки - У(Ф - левая скобка; У)Ф - правая скобка.~~

~~Правила образования правильно построенной формулы обычные.~~

~~Аксиомы.~~

~~[А0.1] Т(p g) (T(g r) (p r);~~

~~[А0.2] Т(p g) (p Tg);~~

~~[А0.3] (p g) (Tp ~T~g);~~

~~[А0.4] Т((p g) p) p;~~

~~[А0.5] Т((p g) ~g) ~g;~~

~~[А0.6] Т(p g) (~g ~p);~~

~~[А0.7] Т(~g ~p) (p g);~~

~~[А0.8] (Уp Уg) У(p g);~~

~~[А0.9] У(p g) (Уp Уg);~~

~~[А0.10] p (~p (Вр (Ир g))).~~

~~Правила доказательства.~~

~~[П1]. ЕслиТА С и А, тоС; -правило отделения (dyrektywa odrywaniа).~~

~~[П2]. Правило подстановки; (dyrektywa podsawiania).~~

~~Формулировка и требования к подстановке обычные.~~

~~[П3]. Если А(ЕСЕ) и С df Д, то А(ЕДЕ) где С и Д подформулы формулы А; правило дефинициальной замены - (dyrektywa zastpowania).~~

При применении правило [П3] могут использоваться следующие дефиниции. Например такие: р =df ВВр; Тр =df ВВ(р (В(р ВВВр) В(р Вр))).

~~з2. Некоторые доказуемые формулы.~~

~~Отметим некоторые из доказанных Роговским формулы. Сохраним его нумерацию.~~

K(34). T(T(Trs) r)r) - аналог закона Пирса; K(35). T(p(pg) (pg) - аналог закона сокращения; K(41). T(r(Tpg)) (Tp(rg)) - аналог закона перестановки; K(43). Tp(gp) - аналог закона утверждения консеквента; К(44). Тр р - аналог закона тождества; К(46). Тр(рg) - аналог закона Дунса Скота; Е(48). Т(р р) р - аналог закона Клавиуса (Claviusa); К(49). Тр р - аналог закона снятия двойного отрицания;

K(52). Tp p - аналог закона введения двойного отрицания; K(56). T(r (p g)) (p (r g)) - аналог закона перестановки антецедентов; К(91).

~~T(p (g r)) (Tp (Tg r)) - усиление антецедентов импликации.~~

~~К(88). ТВр Тр - прямой закон Ксенофана; К(88*). Тр ТВр - обратный закон Ксенофана;~~

~~К(96). Ер УВр; К(97). УВр Ер; К(98). ЕВр Ур; К(99). Ур ЕВр; К(100). УВр Ер; К(101). Ер УВр; К(102). ЕВр Ур; К(103).~~

~~Ур ЕВр; К(104). Ур Ур; К(105). Е р Ер.~~

~~Формулы К(96) - К(105) выражают простые - в смысле одноимпликативные - логические свойства гегелевского перехода.~~

~~К(106). Ур (Ур g); K(107). Ep (Ep g) - аналоги закона Дунса Скота для операторов У и Е.~~

~~К(129). Т(р g) (Уp g) - усиление антецедента импликации оператором У.~~

~~К(130). Т(р g) (Еp g) - усиление антецедента импликации оператором Е.~~

~~К(104). Ур Ур; К(131). (Уp Ур); К(105) Е р Ер; К(132).~~

~~(Еp Ер).~~

~~K(160). E(p g) (У(p g) (Ep Уg));~~

~~K(161). E(p g) (У(p g) (Уp Eg));~~

~~K(162). E(p g) (Уg (Ep Уp));~~

~~K(163). E(p g) (Уp (Уg Eg)).~~

Формулы К(160) - К(163) указывает возможные консеквентны импликативной формулы, антецедент которой предварен оператором Е.

~~K(190). E(p g) (Ep Уg).~~

~~K(191). E(p g) (Уp Eg).~~

~~K(192). E(p g) (Уg Eg).~~

~~K(193). E(p g) (Ep Уp).~~

Формулы К(190) - К(193) указывает возможные консеквентны импликативной формулы, антецедент которой предварен отрицанием и оператором Е.

~~з3. Метатеоремы логики направленности изменения.~~

. Роговский доказал непротиворечивость, созданного им аксиоматического исчисления, показал независимость системы аксиом, доказал теорему о полноте этого исчисления.

~~з 4. Теорема дедукции для логики направленности Роговского.~~

. Роговский не сформулировал теорему дедукции для своей системы. В литературе, в которой, так или иначе, обсуждается логика Роговского, мы не обнаружили ни формулировки, ни доказательства теоремы дедукции для логики направленности изменения.

Понятие вывода из допущений стандартное, т.е. вывод есть конечная последовательность формул, в которой каждая из них является либо допущением, либо аксиомой, либо теоремой этой системы, либо получается из предыдущих формул этой последовательности по одному из правил вывода.

Из множества формул Г логически следует С (Г С) если и только, если в совместной таблице истинности при любой оценке формул из Г, в которой Г принимает значение истинно (выделенное значение), С также истинно. Или иначе, из множества формул Г логически следует С (Г С) тогда и только тогда, когда не существует такой строки в совместной таблице истинности для формул из Г и формулы С, в которой все формулы из Г принимают выделенное значение, а формула С не имеет выделенного значения. Если использовать понятие общезначимой формулы, то работающее в логике направленности понятие логического следования определяется так: А1, А2,Е, Ап С тогда и только тогда, когда А1 (А2 Е (Ап С)). Понятие вывода на синтаксическом уровне воспроизводит отношение логического следования.

Но для доказательства теоремы дедукции имеется затруднение. С семантической точки зрения проблема состоит в следующем: р р, но не- рр или синтаксически р р, но не - рр. Иначе говоря, не во всех случаях соблюдается свойство рефлексивности отношения выводимости в том смысле, что отношение выводимости не гарантирует сохранение закона тождества (рефлексивности) импликации. Из этого затруднения имеется два возможных выхода: (1) изменить свойства импликации; (2) разделить те случаи, когда свойство рефлексивности импликации сохраняется и те случаи, когда они не сохраняется.

В первом случае мы могли бы, например, переопределить импликацию следующим образом: А C =df TATC, т.е. л превращается во внешнюю связку. Но тогда табличная семантика формул А C, ТА C, А ТC, УА УC, У(А C), ЕА ЕC и Е(А C) совпадают, т.е. формулы этого вида неразличимы, что обедняет выразительные возможности логики направленности изменения по сравнению с той ситуацией, когда используется импликация л. В частности, при использовании л все три аксиомы [А0.2], [А0.8] и [А0.9] примут один вид, а именно - (p g) (p g). Иначе, спасение теоремы дедукции путем введения внешней импликации разрушает содержание этой логической системы. Остается вторая возможность. Именно эту возможность и реализуем.

Далее в формулировке теоремы дедукции и в ходе ее доказательства выражение неверно, что Ф Ф обозначает ту ситуацию, что отношение выводимости не сохраняет закон тождества (рефлексивность) импликации.

Теорема дедукции. Если имеется вывод Г, ре р, то имеется и вывод Г ре р при следующих ограничениях на рефлексивность отношения выводимости.

(а) Если формула р не является аксиомой, доказуемой формулой, или р не находится в области действия оператора У(Е), то имеет место Тр р и неверно, что р р;

~~(в) Если р есть аксиома или доказуемая формула, то р р.~~

~~(с) Если р произвольная формула, то (с.1) Ур Ур (Ер Ер);~~

~~(с.2) имеет место ТВр Вр (ТИр Ир) и неверно, что Вр Вр (Ир Ир).~~

Построено доказательство этой теоремы В ГЛАВЕ 3 - Внутренний способ изучения логики направленности изменения - огика направленности изменения исследуется как функциональная система, и изучаются ее конъюнктивные и дизъюнктивные формы.

з1. Логика направленности изменения Л. Роговского как функциональная система Определения четырехзначной функции, суперпозиции функций, функционально полной (неполной) системы функций, а также замыкания множеств функции и базиса обычные. Множество всех суперпозиций функций nаргументов (n = 0, 1, 2, Е,n) логики Роговского обозначим в этом параграфе через R4.

Образуем суперпозициями отдельные функции из R4. Некоторые суперпозиции функций копируют определения из главы 1.

~~(1). ~ х = В(В(х)) - отрицание; (2). И(х) = В(~ х) - лисчезает, чтоЕ;~~

~~(3). х у = ~ х у = mах(х, у) - дизъюнкция;~~

~~(4). х у = ~ (~ х ~ у) = min(х, у) - конъюнкция.~~

~~(5). 3 = х В(х) ВВ(х) ВВВ(х ) - константа 3; (6). 1 = В(3) - константа 1;~~

~~(7). 0 = В(1) - константа 0; (8). 2 = В(0) - константа 2.~~

~~Определим в R4 функции Россера-Тюркетта.~~

~~(9). J3(х) = ВВ[х [В(х ВВВ(х)) В(х В(х))]]; (10). J2(х) = J3(В(х));~~

~~(11). J1(х) = J3(ВВВ(х)); (12). J0(х) = J3(ВВ(х)).~~

~~Определим посредством суперпозиции другие функции, играющие огромную роль в логике Роговского.~~

~~(13). У(х) = J2(х) J3(х); - луже есть так, чтоЕ.~~

~~(14). Е(х) = J1(х) J3(х), - леще есть так, чтоЕ.~~

~~(15). х у = ( У(х) Е(у)) ( Е(х) У(у)), - х и вместе с тем у.~~

~~(16). х ~ х = J1(х) J2(х), - х и вместе с тем не х - гегелевская конъюнкция.~~

Проверка всех равенств (1) - (16) осуществляется непосредственно по таблицам истинности. Определим также отрицание Поста:

~~(17). х = (J0(х) В(х)) (ВВ(J2(х)) ВВ(J1(х) х)).~~

~~Теорема 1. Система функций F = {, В} в R4 Цфункционально полная.~~

~~Теорема доказывается методом сведения к заведомо полным системам, который основывается на теореме:~~

Теорема 2.6 Пусть даны две системы функций из четырехзначной логики (а) F1 = {f1, f2, Е} и (б) F = {g1,g2,Е}, относительно которых известно, что система (а) полна и каждая ее функция получена посредством суперпозиций функций из системы (б). Тогда система (б) является полной.

(б) есть F = {, В}, а среди функций (1) - (17) имеются, по меньшей мере, две системы функций, каждая из которых удовлетворяют условию (а) теоремы 2: F1 = {х у, х у, J3(х), J2(х), J1(х), J0(х), 3, 2, 1, 0} Цсистема Россера и Тюркетта и система Поста П4 = {, }.

В логике Роговского центральную роль играют одноаргументные функции В(х), И(х), У(х), Е(х). Но доказательство полноты R4 методом сведения к См. доказательство, например: Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1986.

~~С. 30-31. Она доказана для 2-значной логики, но ее несложно передоказать для 4-х значной логики.~~

заведомо полным системам ничего не говорит о функциональных свойствах одноместных функций, и, в частности, упомянутых выше, этой логики.

R4(1) множество всех одноместных функций в R4. S4 - множество всех разнозначных функций, т.е. функции одного аргумента. Этому множеству, в частности, принадлежат функции В(х), И(х), ~ х. Но функции У(х) и Е(х) принадлежат другому множеству: множеству одноместных функций, выпускающих хотя бы одно из значений истинности из Г4. Будем говорить, что одноместная функция выпускает хотя бы одно истинностное значение, если совокупность ее значений является строгим подмножеством множества Г4 = {0, 1, 2, 3}, т.е. f(Г4) Г4. Множество одноместных функций, выпускающих хотя бы одно истинностное значение, есть дополнение множества разнозначных функций в множестве всех одноместных функций: СS4 = R4(1) \ S4.

Критерий Е. Слупецкого, дополненный условиями на функции от одной переменной, которые задаются теоремой С. Пикар (Sophie Piccard), позволяет, в частности, исследовать функциональную полноту в множестве одноместных функций.

Теорема 3 (критерий Е. Слупецкого): система функций R4(1) {} полна в R4 тогда и только тогда, когда функция существенная.

~~Теорема 4 (С.Пикар). Все функции R4(1) из R4 могут быть порождены четырьмя функциями.~~

~~i, если х = 0; 1, если х = 0;~~

~~fоi(х ) = 0, если х = i (i = 1, 2, 3); h(x) = х в остальных случаях;~~

~~х, если х 0;~~

Показано посредством суперпозиций функций {, В} в R4, что такие функции в логике направленности изменения имеются. Доказана теорема 4.

~~Доказано Утверждение 1. Система функций foi = (f01, f02, f03) порождает множество S4 всех разнозначных функций в R4.~~

~~На основе критерия Е. Слупецкого доказано также:~~

Утверждение 2. Система функций F3 = {, У, Е} не является функционально полной в R4, т. е. F3 порождает не все множество одноместных функций, а лишь его часть, т.е. собственное подмножество множества R4(1).

~~Доказана также Теорема 5. F = {, В} есть базис R4.~~

Показано, что следующие системы функций образуют базис: {, В}; {, В}; {, И}; {, И}; {, И}. Эти базисы совместимы с содержательными предпосылками исследуемой логики, хотя имеются и другие базисы, но непонятные с содержательной точки зрения.

~~Показано, что система Поста и огика направленности изменения функционально эквивалентны.~~

з2. Дизъюнктивные и конъюнктивные формы логики Роговского КНФ (конъюнктивно нормальные формы) и ДНФ (дизъюнктивно нормальные формы) имеют важное значения для изучения различных аспектов этой логики, прежде всего: формализации ее методом аналитических таблиц, построения секвинционального исчисления этой логики.

Определение 1. Литерой (буквой) называется любая из формул вида: х, ~ х, Вх, Их, Тх, Т~ х, ТВх, ТИх, где х - элементарная формула. Определение 2. Элементарной конъюнкцией (ЭК) или конъюнктом назовем конъюнкцию литер. Элементарной дизъюнкцией (ЭД) или дизъюнктом назовем дизъюнкцию литер. Определение 3. ДНФ - это дизъюнкция конъюнктов, КНФ - это конъюнкция дизъюнктов. Определение 4. ЭК, ЭД называется полной, если в них представлены все элементарные формулы исходной формулы без повторений. Определение 5. СДНФ - это дизъюнкция полных ЭК; СКНФ - это конъюнкция полных ЭД.

Для представления элементарными конъюнкциями (полными) либо элементарными дизъюнкциями (полными) различных частей совершенных форм формул логики Роговского нам нужны операторы Россера-Тюркетта Ji(x) [J3(x) = Тх; J2(x) = ТВх; J1(x) = ТИх; J0(x) = Т~х;] и функции ф1i(х), ф2i(х).

Таб. х ф13(х)= ф12(х) = ф11(х) = ф10(х) = ВхТх ~xТВ(х) хТИ(х) И(х)Т~(х) 3 1 0 0 2 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 Таб. х ф22(х)=x ф21(х)= ф20(х)= ф23(х)=И(х)Т(х) ТВ(х) ~хТИ(х) В(х)Т~(х) 3 2 0 0 2 0 2 0 1 0 0 2 0 0 0 0 Доказано несколько утверждений о функциях логики направленности изменения.

~~Утверждение 1. Любая функция f(х1,Е, хn) логики Роговского разложима по переменным.~~

Утверждение 2. Любая функция f(х1,Е, хn), не равная константе 0, представима 4-х-значным аналогом СДНФ f(х1,Е, хn) = [(J1(х1) Е Jn(хn)) f(1,Е, n) ], где i Е4 = {3, 2, 1, 0} Утверждение 3. Любая функция f(х1,Е, хn), не равная константе 3, представима 4-х-значным аналогом СКНФ f(х1,Е, хn) = [(J1(х1) ЕJn(хn)) f(1,Е, n) ], где i ЕДля приведения произвольной формулы Ф логики направленности изменения Роговского к ДНФ и КНФ нужны правила эквивалентных преобразований. Отметим некоторые из них.

~~Для любых формул p, g, r логики Роговского верны (согласно таблицам истинности) следующие эквивалентности.~~

~~1.1 (p g) r p (gr); 1.2 (p g) r p (gr);~~

~~2.1 (p g) (g p); 2.2 (p g) (g p);~~

~~3.1 (p p) p; 3.2 (p p) p;~~

~~4.1 p (g r) (p g) (p r); 4.2 p (g r) (p g) (p r);~~

~~5.1 p (p g) p; 5.2 p (p g) p;~~

~~6.1 p Ф0 Ф0; 6.2 p Ф0 p;~~

~~7.1 p Ф1 p; 7.2 p Ф1 Ф1;~~

Примечание: Ф0 есть или a) х ~х Вх Их (либо конъюнкция тех же литер, в которой по меньшей мере одна из них усилена оператором Т), или б) х Т~х ; (Тх ~х), или в) Вх ТИх; (ТВх Их). Обратим внимание, что случай б) и в) есть фрагменты случая а).

Во всех трех случаях конъюнкты являются тождественно ложными формулами. Ф1 есть х ~х Вх Их (либо дизъюнкция тех же литер, в которой по меньшей мере одна из них усилена оператором Т). Ф1 есть тождественно истинная формула.

Нам нужны разные варианты Ф0 и Ф1 для получения полных элементарных конъюнкций и дизъюнкций при построении совершенных форм, для формулировки критерия тождественной истинности (ложности) формулы по ее КНФ и ДНФ и некоторых других целей.

~~8.7. ~Тр ~ р ТВр ТИр; 8.8. ~ТВр = Ир Т~р Тр; 8.9. ~ТИр = Вр Тр Т~р;~~

~~10.8. ТВ(р g) (ТВp Tg) (ТВp ТВg) (Тp ТВg);~~

~~10.9. ТВ(p g) (ТВp ТВg) (ТВp TИg) (ТВp T~g) (ТВg TИp) (ТВg T~p);~~

~~10.10. TИ(р g) ТВ(~р ~g);~~

~~10.11. TИ(р g) ТВ(~р ~g);~~

~~11.1. В(р g) (Тр Вg) (ТВр Тg ) (~р ТИр Тg) (Вр Вg) (Вр Т~р);~~

~~11.2. В(р g ) (Вр Вg) (Т~р Вg) (ТВр ТИg) (ТВр Т~g) (ТИр Т~g) (Вр Тр Тg);~~

~~11.3. ВТр (р ~р) (Вр Ир) (~р Вр);~~

~~Доказана Теорема. а). Любая формула логики Роговского эквивалентна некоторой ДНФ;~~

~~б). Любая формула логики Роговского эквивалентна некоторой КНФ;~~

В ГЛАВЕ 4 - Функциональные отношения между логикой R4 и некоторыми другими логиками - исследуется алгебра логики R4 и изучаются подлогики логики R4 Под логикой имеется ввиду не исчисление, а множество функций, замкнутое относительно операции суперпозиция.

В з1. Алгебра R4 - показано, что алгебра Alg4 = {3, 2, 1, 0}, , В характеристической матрицы R4 логики направленности изменения есть алгебра де Моргана, в которой операция отрицания удовлетворяет неравенству (упорядочиванию) Клини х х у у. Из возможные кандидатов на подалгебры (Alg3.1 = {3, 1, 0}, , В , Alg3.2 = {3, 2, 0}, , В ,Alg2 = {3, 0}, , В) алгебры Alg4 = {3, 2, 1, 0}, , В характеристической матрицы Rни одна из них не является подалгеброй алгебры Alg4, так как операция В не является замкнутой на множествах {3, 1, 0}, {3, 2, 0}, {3, 0}.

В з2. Трехзначные логики изменения и их функциональные отношения к другим логикам - изучаются 3-значные подлогики изменения, но не направленности изменения (3-значных логик направленности изменения нет).

Оператор В выражает направленность изменения, т.е. - чтобы получить 3- значные подлогики - из содержательной схемы несуществование - возникновение - существование - исчезновение надо убрать направленность изменения. Е. Слупецкий предложил другую схему: несуществование - изменение - существование.

Указаны четыре трехзначные подлогики изменения (направленность изменения в них исчезает), полученные из 4-значной логики направленности изменения: R3S (построена Е. Слупецким) и обнаруженные автором +R3, R3*, R3**. R3S = {, , Z} - предполная логика, функционально эквивалентная трехзначной логике Лукасевича.

р Zр Z*р Z**р р 2 0 0 1 1 1 2 2 0 2 0 0 Три другие логики изменения +R3 = {, , Z}, R3* = {, , Z*}, R3** = {, Z**} Цгде - отрицание (совпадающее с отрицанием Лукасевича); - сильная регулярная импликация Клини; Z, Z*, Z** - операторы изменения, имеют следующие функциональные свойства.

+ R3 предполная логика, функционально эквивалентная трехзначной логике Лукасевича. R3* и R3** функционально полные в множестве трехзначных функций R3 и функционально эквивалентные. Дана общая картина функциональных связей трехзначных подлогик логики направленности изменения с другими логиками: С В3 R3S +R3 3+ 3 FL3N R3* R3**, где С - логика бессмысленности Холдена; В3 - логика Бочвара; 3+ - логика Лукасевича в сигнатуре {, , N}; 3 - логика Лукасевича в сигнатуре {, } FL3N - логика ложности С. Павлова; - знак отношения функцио нальной вложимости; -знак функциональной эквивалентности. Назначение этой картины лишь в том, чтобы указать функциональное место трехзначных логик изменения среди других логик.

В ГЛАВЕ 5 - Аналитические таблицы для пропозициональной логики направленности изменения - дана формализация этой логики методом простых и обобщенных аналитических таблиц истинности. Правила редукции создаются на основе ДНФ логики Роговского.

з1. Простые аналитические таблицы. Расширим язык логики Роговского операциями 3, 2, 1, 0, которые применяются к формулам: 3А - А истинно; А подистинно; А подложно и А ложно, где А непомеченная формула. Простыми аналитическими таблицами называются аналитические таблицы для формул вида 1А, 0А, 2А и 3А. Аналитической таблицей для формулы А логики изменения и направленности Роговского называется 5адическим деревом Д (точками которого являются формулы). Понятия - в применении к 5-адическому дереву - ветвь(путь), максимальной ветви, конечно порожденное дерево, непосредственного расширения дерева, замкнутой(открытой) ветви, полной ветви, завершенной таблицы являются обычными. Ведем правила редукции для исходных операторов, остальные правила: для , И, Т, У, Е опустим.

Правила для импликации 0(АВ) 1(А В) 2(АВ) 3(АВ) (0) 3А (1) 2A 2А 3А (2) 1А 1А 1А 2А 3А (3) 0А 3В 0В 0B 1В 1В 0В 1В 2В 2В 2В Правила для оператора В 0ВА 1ВА 2ВА 3ВА (В0): (В1): (В2): (В3):

1А 3А 0А 2А Правила редукции разбиваются на четыре группы - , , и : к группе относятся правила, которые порождают 5 ветвей и т. д. Указаны семантические условия для определения R4Цоценкой. Интерпретацией произвольной формулы А называется приписывание истинностных значений всем атомарным подформулам, из которых построена формула А.

Формула А называется выполнимой, е!(если и только если) она истинна по крайней мере в одной R4-оценке, т.е (А) = 3. Множество формул А* называется совместным(одновременно выполнимой) е! имеется R4-оценка, при которой каждая формула множества А* выполнима. Формула А называется общезначимой, е! для любой R4-оценки (А) = 3, т.е. А общезначима е! она выполнима в каждой R4-оценке. Формула А называется тождественно ложной, е! для любой R4-оценки (А) = 0.Формула А не общезначима, е! она не является общезначимой, т.е. имеется хотя бы одна R4-оценка, в которой (А) = 2, или (А) = 1, или (А) = 0. Формула А называется невыполнимой, е! она не является выполнимой, т.е. нет ни одной R4-оценки, в которой (А) = 3.

Назовем множество помеченных формул Н множеством Хинтикки, е! для любых формул вида , , , оно удовлетворяет таким условиям:

(Н0). Для любой атомарной формулы р только одна произвольная формула из множества помеченных формул {0р, 1р, 2р, 3р} принадлежит Н, т.е.

~~множество Н непротиворечиво.~~

~~(Н1) Если Н, то 1 Н, или 2 Н, или 3 Н, или 4 Н, или 5Н;~~

~~(Н2). Если Н, то 1 Н или 2 Н, или 3 Н;~~

~~(Н3). Если Н, то 1 Н или 2 Н;~~

~~(Н4). Если Н, то 1 Н.~~

Табличное доказательство непомеченной формулы А есть тройка замкнутых таблиц для формул 0А, 1А и 2А. Доказаны такие утверждения.

Теорема 1. Каждая полная открытая ветвь таблицы является совместной Лемма 1. Каждое множество Хинтикки для R4 является одновременно выполнимым.

Теорема 2. (а). Если А есть общезначимая формула, то все завершенные таблицы для помеченных формул 0А, 1А, 2А являются замкнутыми;

~~(b). Если А общезначима, то А таблично доказуема.~~

Следствие 1. Если имеется хотя бы одна незамкнутая таблица из тройки построенных таблиц для помеченных формул 0А, 1А, 2А, то формула А не является общезначимой.

емма 2. Если имеется замкнутая таблица для формулы А, то множество формул, расположенных на каждой замкнутой ветви таблицы, не являются одновременно выполнимым.

~~Теорема 3. Если А имеет табличное доказательство, то А общезначима.~~

з2. Обобщенные аналитические таблицы. Простые аналитические таблицы имеют два недостатка: для доказательства общезначимости формулы А надо строить три таблицы и максимальное число новых ветвей (порождаемых правилом 2) равно пяти. Для устранения этих недостатков используем идею Хэнли об изменении трактовки помеченной формулы. Если мы превратим само множество {0, 1, 2} и его подмножества в синтаксические объекты, т.е. в знаки помеченных формул, то возможны такие виды помеченных формул: 012:А, 01:А, 02:А, 12:А, 0А, 1А, 2А и, кроме этого, имеется еще одна помеченная формула 3А, где А - произвольная формула. Тогда, например, формула 012:А читается А ложно или А подложно, или А подистинно.

~~Дальше будем называть обобщенной помеченной формулой любую формулу вида 012:А, 01:А, 02:А, 12:А.~~

Обобщенным правилом редукции называется любое правило, в котором в посылке или заключении имеется хотя бы одна обобщенная помеченная формула.

Обобщенной аналитической таблицей называется аналитическая таблица, построение которой начинается из формулы 012:А. Выделяем две группы правил редукции: модифицированные (сокращающих число ветвей) правила простых аналитических таблиц и собственно обобщенные правила редукции.

~~Модифицированные правила: (1), (2).~~

~~1(АВ) 2(АВ) (1)+: 2А 3А (2)+: 1А 12:А 3А 01:В 1В 01:В 2В 2В Обобщенные правила.~~

01:(АВ) 02:(АВ) 12:(АВ) 2А 3А 1А 12:А 2В 12:А 3А 12:А 01:В 01:В 01:В 2В 02:В 01:В 12:В 2В 012:(АВ) 12:А 3А 012:В 012:В 01:ВА 02:ВА 12:ВА 012:ВА 1А 3А 01:А 0А 3А 01:А 3А Теперь аналитическая таблица являются 3-адическими деревом и для проверки общезначимости формул А требуется одна таблица. Дано семанти ческое обоснование перехода от простых к модифицированным и обобщенным правилам редукции.

Исходя из этого, модифицируются все нужные понятия, и доказываются на основе модифицированных понятий следующие утверждения.

Теорема 1+. Каждая полная открытая ветвь обобщенной таблицы одновременно выполнима. Лемма 1+. Каждое множество Хинтикки, содержащее обобщенно помеченные формулы для R4, является одновременно выполнимым. Теорема 2+. (а)+. Если А есть общезначимая формула, то завершенная таблица для обобщенно помеченной формулы 012:А является замкнутой;

(в)+. Если А общезначима, то А таблично доказуема. Следствие 1+. Если имеется хотя бы одна незамкнутая ветвь таблицы обобщенно помеченной формулы 012:А, то формула А не является общезначимой. Лемма 2+. Если имеется замкнутая таблица для формулы А, то множество формул, расположенных на каждой замкнутой ветви таблицы, не являются одновременно выполнимым. Теорема 3+. Если А имеет обобщенное табличное доказательство, то А общезначима.

В ГЛАВЕ 6 Секвенциональное исчисление пропозициональной логики направленности изменения строится дедуктивная система 4-х местных секвенций SR4, логические фигуры заключений которой формулируются на основе КНФ, и доказывается теорема об устранении сечений. Секвенциональное исчисление, основанное на табличной семантике данной логики, неприменимо к другим логикам, поскольку фигуры заключения полностью детерминированы табличной семантикой изучаемой логики.

з1. Основные определения, логические правила и структурные правила. Использую представление секвенций с помеченными формулами как более экономный вариант по сравнению с вариантом с непомеченными формулами. Поэтому расширим язык логики Роговского операциями 3, 2, 1, 0; Формулы вида 0А, 1А, 2А, 3А называются помеченными формулам, а их части 0, 1, 2 и 3 будем называть знаками помеченных формул. Символ For - обозначает множество правильно построенных формул; - iА, iС, iД обозначают произвольные формулы из For, где i {0, 1, 2, 3}; , , , обозначают конечные наборы формул из For, возможно пустые; Г, iА или iА, Г есть сокращение для Г {iA}.

Определение 1. 4-х местной секвенцией помеченных формул называется выражение вида = 0| 1| 2| 3, где i, (0 i 3) есть конечные наборы помеченных формул, и сами i, (0 i 3) будем называть компонентами секвенции, возможно, некоторые из них пустые. Метазнак У|Ф понимается дизъ юнктивно, т.е. выражение 0| 1| 2| 3 читается как 0 или 1 или 2 или 3.

Нижний индекс компонент i совпадает со знаком помеченных формул, которые включается в эту компоненту. Введем сокращения для записи секвенции: разделительный знак в записи секвенций У|Ф устраняется; одна и та же формула, принадлежащая различным компонентам секвенции, обозначается как единое целое. Например, секвенция вида 0А|1B,1С|2A|3C будет иметь вид 02А, 1В, 13С.

Определение 10. Каждая из трех фигур видаS1 S1 S2 S1 S2 SS S S есть непосредственный вывод, где S1, S2, S3, S секвенции; S1, S2, S3 назовем верхними секвенциями, а S - нижней секвенцией.

~~Аксиома (начальная секвенция): 0123А, где А - атомарная формула.~~

~~Начальные секвенции - это секвенции, которые не являются заключением никакого правила вывода.~~

Непосредственные выводы получаем применением логических и структурных правил вывода. Введем правила вывода для исходных операторов, остальные правила: для , И, Т, У, Е опустим.

~~огические правила SR4:~~

Правила введения импликации , 3A ,0A,3С (0) (3) ,0С , 3(A С) , 0(A С) , 23А , 01С , 2А,1С ,123А ,012С ,1А,2С (1) (2) , , , 1(A С) , , , 2(A С) Правила введения оператора В Г, 1А Г, 3А Г, 0А Г, 2А (В0) (В1) (В2) (В3) Г, 0ВА Г, 1ВА Г, 2ВА Г, 3ВА Структурные правила SR4:

~~Ослабления; для каждого i, i {0, 1, 2, 3}:~~

Г (ос.) Г, iA В определении понятий, относящихся к описанию вывода, следуем Г. Такеути (Такеути Г. Теория доказательства. М.: Мир. 1978), но с поправками, уместными для 4-х-значной логики.

~~Сокращения; для каждого i, i {0, 1, 2, 3}:~~

~~Г, iA, iA (сок.) Г, iA Перестановки; для каждого i, i {0, 1, 2, 3}:~~

~~Г, iA, iС (п.) Г, iС, iA Сечения; для каждого i, j таких, что i j и i, j {0, 1, 2, 3}:~~

Г, iA , jA (cеч: ij.) Г, Формула А в правиле сечение называется формулой сечения. Помеченные формулы в посылках логических правил называются боковыми формулами. Помеченные формулы в заключении логических правил называются главными формулами.

Определение 2. Выводом Р в логике SR4 направленности изменения называется дерево секвенций, которое удовлетворяет следующим условиям:

~~(1). Самые верхние секвенции в Р являются аксиомами (начальными секвенциями);~~

(2). Каждая секвенция в Р, кроме самой нижней, является верхней секвенцией непосредственного вывода. Самая нижняя секвенция принадлежит Р.

~~Из этого определения следует, что самая нижняя секвенция в Р единственна.~~

Определение 3. Самая нижняя секвенция S в Р называется заключительной секвенцией. Вывод Р с заключительной секвенцией S называется выводом секвенции S, а сама секвенция S называется выводимой. Принимаются обычные определения вывода с сечением, формулы в данном выводе(секвенции), подвывода.

~~з2. Теорема об устранении сечения - введены нужные понятия и доказана эта теорема.~~

~~Теорема 1. Если секвенция в SR4 выводима с сечением, то она выводима в SR4 и без сечения.~~

~~В доказательстве этой теоремы следуем схеме доказательства Генцена.~~

Вводится новое правило вывода, которое эквивалентно правилу сечения. Под смешением имеется в виду следующая фигура заключения.

Г(i) П(j) cм. ijA Г(iA), П(jA) В записи секвенций Г(i) и П(j) индексы i j указывают на произвольное место (компоненту) секвенций Г и П, где i j и i, j {0, 1, 2, 3}, т.е. индексы обозначают знаки помеченных формул. Г(iA) и П(jA) получены соответственно из Г(i) и П(j) путем вычеркивания каждого вхождения iA, jA в компонентах (на местах) i и j секвенций Г и П.

А называется формулой смешения. Запись см. ijA читается - смешение формулы А по месту (компоненте) i и j в секвенциях Г и П. Отметим, что указание мест i и j в Г(i) и П(j) опускается, если в формуле смешения указаны компоненты i и j.

Назовем секвенциональный вывод SR4+ выводом со смешением. SR4+ получен из SR4 заменой правила сечения правилом смешения.

емма 1. Всякий секвенциональный вывод с сечением преобразуем в вывод со смешением с той же заключительной секвенцией.

Теорема 2 (переформулировка Теоремы 1). Если секвенция в SR4+ выводима со смешением, то она выводима в SR4+ и без смешения.

~~Теорема 2 доказывается на основании леммы.~~

емма 2. Если секвенция S имеет в SR4+ вывод, который содержит только одно смешение, расположенное в самом низу этого вывода, то эта секвенция S имеет вывод и без смешения.

~~Сначала введем нужные для доказательства леммы понятия.~~

~~Определение 3. Нитью называется такая последовательность секвенций в Р, что:~~

~~(1). Последовательность начинается с начальной секвенции, заканчивается заключительной секвенцией.~~

(2). Всякая секвенция в этой последовательности, кроме последней, является посылкой некоторого правила вывода, а непосредственно следующая за ней заключением того же правила вывода.

Определение 4. Степенью формулы kA (обозначим через g(A)) называется число логических констант в А, где k обозначает произвольные помеченные значения формулы А из множества {0123}; Степень смешения есть степень формулы смешения ijA; Если вывод Р оканчивается смешением и не содержит других смешений, то степенью вывода Р (обозначается g(P)) называется степень этого смешения.

Назовем секвенции Г и П в выводе Р секвенциями смешения, так как они обе содержат формулу смешения. Нить в подвыводе Р1 (Р2) называется левой (правой), если она содержит секвенции Г(П). Обозначим произвольную нить в Р1 и Р2 через Определение 5. Ранг в Р1, обозначим через r(, Р1), есть число последовательных секвенций Г, Г2(i), Г3(i), Е, Гm(i), содержащих на месте (i) формулу смешения iA.

Ранг в Р2, обозначим через r(, Р2), есть число последовательных секвенций П, П2(j), П3(j), Е, Пn(j), содержащих на месте (j) формулу смешения jA.

Далее обозначим ранг Р1 через r(Р1), а ранг Р2 через r(Р2), и положим: r(P1) = max[r(, Р1)]; r(P2) = max[r(, Р2)], где соответственно пробегает все нити в Р1 и все нити в Р2.

~~r(Р1) левое а r(Р2) - правое ранговое число. Ранг вывода Р, т.е. r(P), определяется равенством: r(P) = r(P1) + r(P2).~~

~~Поскольку секвенции Г и П содержат формулу смешения ijA, то r(P) 2.~~

~~Доказательство леммы 2 проводится двойной индукцией: по степени g(P) и по рангу r(P).~~

Хотя мы и следуем схеме доказательства Генцена теоремы об устранении сечения для классической логики: эквивалентная замена правила сечения правилом смешения, доказательство двойной индукцией по степени и рангу вывода, а также детали этой схемы доказательства, но имеются некоторые технические усложнения (по сравнению с двухзначным случаем) в доказательстве теоремы. Укажем на одно из них: в классической логике имеется один вариант расположения формулы смешения при применении логических правил (в случае r(P1) = r(P2) =1): антецедент в правой секвенции смешения, консеквент - левой секвенции смешения. В 4-значном случае формула смешения имеет вид ijА, где iА входит в левую секвенцию смешения, а jА - в правую. Если учесть, что i и j переменные, пробегающие по конкретным знакам помеченной формулы А из множества {0, 1, 2, 3} при условии i j, то возможны такие варианты пар (ij) формулы смешения ijА: (01), (02), (03), (12), (13), (23), что, естественно, усложняет доказательство теоремы.

~~В ГЛАВЕ 7 Первопорядковая огика направленности изменения RQ:~~

аксиоматическое исчисление строится первопорядковая огика направленности изменения в виде аксиоматического исчисления.

~~з1. Синтаксис первопорядковой логики направленности изменений.~~

~~В языке первопорядковой логики направленности изменения L(RQ) используются следующие категории символов:~~

(1). Одноместные и двухместные операторы пропозициональной логики Роговского: -Уесли, ЕтоФ; В - Увозникает так, чтоЕФ; ~ - Уневерно, чтоЕФ;

Т - Уесть так, чтоЕФ, И -Уисчезает так, чтоЕФ; У - Ууже есть так, чтоЕФ; Е - Уеще есть так, чтоЕФ; р =df Тр - сильное отрицание: не ссть так, что р.

(2). Счетное множество переменных V: х, у, z, x1, y1, z1, Е (3). Счетное множество индивидных констант С: а, в, с, а1, в1, с1, Е (4). Счетное множество предикатных символов R: Pn, Pn, Е; где верхний 1 индекс (0 n m) указывает число аргументных мест предикатов.

~~(5). Кванторы: , . (6). Левые и правые скобки.~~

Определения (на основе указанных категорий символов) терма, атомарной формулы, формулы, подформулы, свободного и связанного вхождения переменной в формулу, подстановки переменных в множество термов стандартные.

~~з2. Семантика первопорядковой логики направленности изменения.~~

~~Определение 1 (модели). Модель первопорядкового языка логики направленности изменения L(RQ) есть пара M D, I, где:~~

~~D - непустое множество объектов, называемое областью интерпретации;~~

~~I - есть отображение, называемое интерпретацией, которое:~~

~~(1) каждой индивидной константе а С сопоставляет элемент аI D;~~

(2) каждому предикатному символу Pn R сопоставляет одно из четырех непересекающихся подмножества Dn, Dn, Dn, Dn множества Dn. Два по3 2 0 следних подмножества Dn, Dn являются соответственно дополнением под0 1.

~~множеств Dn, Dn. Это дополнение соответствует в языке отрицанию (слабо3 му).~~

~~Опишем (в языке теории множеств) отношения между указанными множествами.~~

~~Dn Dn = , Dn Dn = Dn, Dn = Dn \ Dn ;~~

~~3 0 3 0 + 0 + Dn Dn = , Dn Dn = Dn, Dn = Dn \ Dn ;~~

~~2 1 2 1 ++ 1 ++ Dn Dn = , Dn Dn = Dn.~~

~~+ ++ + ++ Дополнение предиката Pn обозначим через СPn.~~

~~(2.1) если (Pn)I Dn, то предикатному символу Pn ставится в соответствие n-местное отношение;~~

(2.2). если (Pn)I Dn, то предикатному символу Pn ставится в соответствие множество n-к объектов, находящихся в отношении возникновения; будем считать, что в этом случае (Pn)I совпадает с (ВPn)I, т.е. (Pn)I (ВPn)I;

(2.3). если (Pn)I Dn, то предикатному символу Pn ставится в соответствие множество n-к объектов, которые находятся в области дополнения к множеству Dn ; будем считать, что в этом случае (Pn)I совпадает с множеством (СPn)I, т.е. (Pn)I (СPn)I;

(2.4). если (Pn)I Dn, то предикатному символу Pn ставится в соответствие множество n-к объектов, которые находятся в области дополнения к множеству Dn ; в этом случае (Pn)I совпадает с множеством (СВPn)I, т.е. (Pn)I (СВPn)I.

Определение 2 (приписывания значений переменным). Приписыванием значения переменным в модели М есть отображение Б: V D из множества переменных V в множество объектов D модели М. Образ переменной х V при приписывании Б обозначается через хБ, хБ D.

~~Определение 3 (приписывание значения термину).~~

~~(а). Для константного символа а, аI,Б аI; (б). Для переменной х, хI,Б хБ.~~

Определение 4. Пусть Б есть приписывание значений переменным в модели M D, I. Для каждой предикатной формулы Ф языка L(RQ) определим истинностное значение (3, 2, 1, 0) формул следующим образом.

~~Выражение лесли и только если (метаязыковая эквиваленция) записывается в этом параграфе символом л.~~

~~(1). Атомарная формула:~~

~~(1.1). [P(t1,Е,tn)]I,Б = 3 t1I,Б,Е,tnI,Б PI Dn ;~~

~~(1.2). [P(t1,Е,tn)]I,Б = 0 t1I,Б,Е,tnI,Б PI = СPI Dn ;~~

~~(1.3). [P(t1,Е,tn)]I,Б = 2 t1I,Б,Е,tnI,Б PI = (ВP)I Dn ;~~

~~(1.4). [P(t1,Е,tn)]I,Б = 1 t1I,Б,Е,tnI,Б PI = С(ВP)I Dn ;~~

~~(2.1). [ВА]I,Б = 3 [А]I,Б = 2;~~

~~(2.2). [ВА]I,Б = 2 [А]I,Б = 0;~~

~~(2.3). [ВА]I,Б = 1 [А]I,Б = 3;~~

~~(2.4). [ВА]I,Б = 0 [А]I,Б = 1;~~

~~(3). [~А]I,Б = i [А]I,Б = 3 i, где i Г4 ={3, 2, 1, 0};~~

~~Определение истинностных значений формул [ИА]I,Б, [ТА]I,Б, [ЕА]I,Б, [УА]I,Б опускаем.~~

~~(8). [А В]I,Б = [А]I,Б [В]I,Б (8.1). [А]I,Б [В]I,Б = 3 [А]I,Б 3 или [В]I,Б = 3;~~

~~(8.2). [А]I,Б [В]I,Б = 2 ([А]I,Б = 1 и [В]I,Б 3) или ([В]I,Б = 2 и [А]I,Б 0);~~

~~(8.3). [А]I,Б [В]I,Б = 1 ([А]I,Б = 3 и [В]I,Б = 2) или ([А]I,Б = 2 и [В]I,Б = 1) или ([А]I,Б = 2 и [В]I,Б = 0]).~~

~~(8.4). [А]I,Б [В]I,Б = 0 [А]I,Б = 3 и [В]I,Б = 0.~~

Для придания истинностных значений кванторным формулам преобразуем стандартное понятие модели в эрбранову модель. Последняя есть техническое упрощение стандартной модели, весьма удобное для семантической работы с кванторными формулами.

~~Определение 5 (эрбрановой модели). Модель M D, I языка L(RQ) называется эрбрановой, если выполняются два условия:~~

~~(1). D состоит из констант языка L(RQ);~~

~~(2). Для каждой константы а принимается аI = a, т.е. интерпретацией константы является сама константа.~~

В эрбрановой модели приписывание значения переменной в М является также подстановкой константы на место переменной. Техническая сторона преобразования стандартной модели в эрбранову хорошо изложена в работе М. Фиттинга8, которое автоматически переносится на четырехзначный случай, так как понятия приписывания значений переменной и понятие подстановки термина на место переменной для двухзначной и четырехзначной логики совпадают.

~~Тогда определение (1.1) модифицируется следующим образом:~~

~~(1.1). [P(t1,Е,tn)]I,Б = 3 [P(t1/а1,Е,tn/аn)]I = 3 а1,Е,аn PI Dn ;~~

~~Остальные определения истинности формулы в модели модифицируются сходным образом.~~

Дальше, в правой (определяющей) части определений истинностных значений для кванторных формул, метавыражения для любого (некоторого) термина, принадлежащего... заменяются кванторами. Но они, конечно, не принадлежат к объектному языку L(RQ).

~~[9.1]. [хА]I,Б = 3 (а D3)А(х/а) = 3;~~

~~[9.2]. [хА]I,Б = 2 (а D2) А(х/а) = 2 и [(в D2) А(х/в) = 2 или в D3) А(х/в) = 3];~~

~~[9.3]. [хА]I,Б = 1 (а D1) А(х/а) = 1 и [(в D1) А(х/в) = 1 или (в D2) А(х/в) = 2, или (в D3) А(х/в) = 3];~~

~~[9.4]. [хА]I,Б = 0 (а D0) А(х/а) = 0;~~

~~Истинностные значения для формул с квантором существования опускаются.~~

~~Определение 6 (выполнимой, истинной, общезначимой формулы).~~

6.1. Формула A называется выполнимой в модели M D, I имеется приписывание Б значений переменной формулы А, в котором [А]I,Б = 3.

~~6.2. Формула A называется истинной в модели M D, I [А]I,Б = 3 для всех приписываний Б в М.~~

Fitting M. First - order Logic and Automated Theorem Proving. Springer-Verlag, New York. 1990. Р. 1071 6.3. Формула A называется ложной в модели M D, I [А]I,Б = 0 для всех приписываний Б в М.

~~6.4. Формула A называется общезначимой A истинна во всех моделях языка L(RQ).~~

~~з3. Семантика кванторов.~~

Определения истинностных значений для кванторных формул (см.: [9.1] [9.4],) основаны на определении кванторов, данное Мостовским9: квантором, ограниченным на области интерпретации D, называется функция Q (кванторная функция), которая (1) отображает множество всех данных предикатов в множество {Истина, Ложь} (Мостовский предполагал 2-х значную логику), и которая (2) удовлетворяет условию инвариантности относительно перестановок, т.е. биективных преобразований области D.

Первая часть определения обобщает тот факт, что кванторы позволяют конструировать истинные или ложные предложения из предикатов со свободными переменными при подходящих функции интерпретации и функции приписывания значений переменным. Н. Решер высказал мысль, что интерпретацию кванторов, предложенную Мостовским А., можно перенести на конечнозначные логики10.

Перейдем к четырехзначному случаю. Пусть в области интерпретации D выделено конечное или бесконечное число предикатов (подмножеств множества D). Пусть имеется конечная или бесконечная последовательность всех четверок (к1, к2, к3, к4) кардинальных чисел. Каждая четверка кардинальных чисел соответствует фиксированному предикату, заданному на D, и удовлетворяет равенству к1 к2 к3 к4 = |D|, где |D| мощность области интерпретации. Пусть для простоты это будет одноместная предикатная константа.

~~к1 = |{ai D: Р(ai) = 3}; |к2 = |{ai D: Р(ai) = 2}|; к3 = |{ai D: Р(ai) = 1};~~

~~|к4 = |{ai D: Р(ai) = 0}|.~~

Где, например, к3 = |{ai D: Р(ai) = 1} читается к3 равно кардинальному числу тех индивидов из D, на которых предикат Р(х) принимает значение подложь.

Посредством кванторной функции Q определим квантор всеобщности и существования с одновременным указанием истинностных значений кванторной формулы. Кванторная функция присоединяет к формуле со свободMostowski А. On a generalization of quantifiers // Mostowski A. Foundational studies. Selected works. Vol.2.

~~Amsterdam. New York. Oxford. 1979 Р. 312.~~

~~Rescher N. Many-valued Logic. New Jork. 1969. Р. 197-204.~~

~~ными переменными тот или иной квантор в зависимости от условий, предъявляемых к аргументам функции.~~

хР(х) = 3, если к2 к3 к4 = хР(х) = 2, если к4 = , к3 и к2 Q(к1, к2, к3, к4) = хР(х) = 1, если к4 и к1 хР(х) = 0, если к4 хР(х) = 0, если к1 к2 к3 = хР(х) = 1, если к1 = , к2 и Q(к1, к2, к3, к4) = к3 хР(х) = 2, если к1 и к2 хР(х) = 3, если к4 В определении кванторов конъюнктивная часть определения опущена, но ее легко восстановить по условию к1 к2 к3 к4 = |D|. Например, для хР(х) = 2, если к4 = , к3 и к2 опущено ( к2 + к1 = |D|).

При слабом отрицании либо сильном отрицании эти кванторы взаимоопределимы, но при различных комбинациях слабого и сильного отрицания они не являются взаимоопределимыми11. В определении истинностных оценок кванторов и выбора кванторов ( или ) неявно содержится некоторая функция выбора (распределения) квантора В. Карниелли назвал кванторы, введенные Мостовским, кванторами распределения (distribution quantifiers)12, имея в виду, что это понятие квантора предполагают функцию распределения (выбора) кванторов. Однако, если я правильно понял В. Карниелли, он не учитывал одно весьма важное обстоятельство: порядок на множестве истинностных значений, предполагаемых той или иной конечнозначной логикой. В нашем случае предполагается естественный порядок, т.е. 0 1 2 3, что можно проверить по таблицам истинности.

Для понимания устройства кванторных правил редукции (их посылок и заключения) при формализации первопорядковой логики направленности изменения методом аналитических таблиц прояснения понятия функции распределения кванторов становится неизбежным.

~~Определение 7. ( функции распределения кванторов). Пусть q {, }.~~

Функция Q(q): 2|Г4| \ {} Г4, отображающая любое подмножество истинСтешенко Н. И. Кванторы для логики направленности Роговского// Смирновские чтения. 4 Международная конференция. М. 2003, С. 179- 181.

~~Сarnielly W.A. On sequents and tableaux for many-valued logics// J. Non-Classical Logic. 1991. 8(1), pp.5976.~~

~~ностных значений из Г4, кроме пустого, в Г4, называется функцией распределения кванторов [1].~~

Например, Q(){123} = {1}, Q(){123} = {3}, т.е. кванторная функция выбирает в подмножествах множеств истинностных значений I, I Г4 либо минимальный элемент (квантор ), либо максимальный элемент (квантор ) множества I.

~~(*) Q() = min I, I( I Г4 и I ); (**) Q() = max I, I( I Г4 и I ).~~

Определение 8. (обратной функции к функции Q). Обозначим произвольную область определения функции Q через У I Ф, а область значения - через УiФ [2.1]. (Q())-1(i) = {I| I Г4 и Q(){I} i}; [2.2]. (Q())-1(i) = {I| I Г4 и Q(){I} i}.

Для квантора это будет само множество, содержащее элемент i, т.е {i} и все надмножества, содержащие элемент i в качестве минимального. Например, для (g())-1(1) = {{1}, {1,2}, {1,3}, {1,2,3}}. Для квантора это все подмножества, содержащие элемент i в качестве максимального. Например, для (g())-1(1) = {{1}, {0, 1}}.

~~з 4. Аксиомы и правила доказательства.~~

Принимаются схемы аксиом логики Роговского [А0.1] - [А0.10]. Схемами аксиом первопорядковой логики направленности изменения являются следующие схемы формул [А1]- [А6].

~~[А1]. ТхА А(t), терм t свободен для х в А;~~

~~[А2]. хА ~Т~А(t), терм t свободен для х в А;~~

~~[А3]. Тх(С А(х)) (С хА), х не входит свободно в С;~~

~~[А4]. ТхВА ВхА;~~

~~[А5.1]. хУА УхА;~~

~~[А5.2]. УхА хУА;~~

~~[А6]. хЕА ЕхА.~~

~~Принимается определение: [Df1]. хА(х) ~~хА(х). Терм t в [А1] и в [А2] может совпадать с х.~~

~~Правила вывода. Делятся на основные и производные. Знак л перед формулой, означает, что формула доказуема.~~

~~Основные правила вывода.~~

~~[П1] ЕслиТА В и А, тоВ (лправило отделения);~~

~~[П2] Если А(ЕСЕ) и С df Д, то А(ЕДЕ) (лправило дефинициальной замены), где С и Д подформулы формулы А;~~

~~[П3] Если А(х), то хА (лправило обобщения).~~

~~В доказательствах это правило будем обозначать через (Об.).~~

~~Производные правила вывода.~~

~~[П4] ЕслиА С, то ТА С (лусиление антецедента).~~

~~В доказательствах будем обозначать это правило через (Ус. ант.).~~

~~[П5] ЕслиА С, то А ТС (лусиление консеквента).~~

~~В доказательствах будем обозначать это правило через (Ус. кон.).~~

[П6] Если А, то ТА, т.е. если формула доказуема, то усиление этой формулы оператором Т - доказуемо. В доказательствах будем обозначать это правило через (Ус.).

~~[П7] ЕслиС А(х), то С хА (лправило Бернайса).~~

~~[П8] ЕслиА(х) С, то хА С (лправило Бернайса).~~

В правилах [П7] и [П8] переменная х не входит свободно в С [П9] Если С Д и Д С и А(ЕСЕ), то А+(ЕДЕ), где А+ получено из А заменой подформулы С на Д (лправило эквивалентной замены) [П10] Переименование связанных переменных.

Определения доказательста, доказуемой формулы, вывода и выводимой формулы - стандартные. Дано обоснование всех производных правил вывода.

з5. Некоторые доказуемые формулы. Укажем на некоторые из доказанных формул (доказательства даны в Приложении).

~~а). Формулы введения квантора существования и отношения между кванторами.~~

~~1. ТА(у) хА; 2. А(у) ~Т~хА; 3. Тх~А ~хА; 4. ТхА ~х~А; 5. Т~х~А хА; и др.~~

~~b). Кванторы и операторы.~~

~~1. ТхА хТА; 2. хТА ТхА; 3. хУА УхА; 4. ЕхА хЕА.~~

~~с). Сильное отрицание, слабое отрицание и кванторы.~~

~~Напомним, что сильное отрицание есть А df~TA, где л~ - слабое отрицание.~~

~~1. х~А ~хА; 2. х~А ~хА; 3. ~хА ~хА; 4. хА ~хА; 5. хА ~хА;~~

~~6. ~хА хА; 7. ~хА хА;~~

d). Пронесение внутрь и вынесение наружу кванторов и операторов в импликативных формулах. Ограничения на вхождения переменных в формулы обычные.

~~1. Тх(С(х)Д(х)) (ТхС(х)хД(х)); 2. Тх(С(х)Д(х)) (хС(х)хД(х));~~

~~3. ТхВ(С(х)Д(х)) (ТхВС(х)хВД(х)); 4. ТхВ(С(х) Д(х)) (хВС(х) хВД(х));~~

~~5. ТхЕ(С(х)Д(х)) (ТхЕС(х)хЕД(х)); 6. ТхЕ(С(х)Д(х)) (хЕС(х)хЕД(х));~~

~~7. ТхУ(С(х) Д(х)) (ТхУС(х) хУД(х)); 8. ТхУ(С(х)Д(х)) (хУС(х)хУД(х));~~

~~9. Тх(А(х)С) (хА(х)С); 10. Тх(ВА(х)С) (хВА(х)С);~~

~~11. Тх(ЕА(х)С) (хЕА(х)С); 12. Тх(УА(х)С) (хУА(х)С);~~

~~14. Т(хВА(х)С) х(ВА(х)С); 15. Т(хЕА(х) С) х(ЕА(х) С);~~

~~16. Т(хУА(х) С) х(УА(х) С); 18. Тх(ВА(х) С) (ТхВА(х) С);~~

~~19. Тх(ЕА(х) С) (ТхЕА(х) С); 24. (ТхУА(х) С) х(УА(х) С);~~

~~е). Перестановка кванторов и пронесение операторов через кванторы.~~

~~1. ТхуА(х,у) ухА(х,у); 2. ТхуА(х,у) ухА(х,у); 3.~~

~~ТхуА(х,у) ухА(х,у);~~

~~4. ТхуВА(х,у) ВхуА(х,у); 5. УхуА(х,у) хуУА(х,у); 6.~~

~~хуАУ(х,у) УхуА(х,у);~~

~~7. УхуА(х,у) хуУА(х,у); 8. хуУА(х,у) УхуА(х,у); 9.~~

~~ЕхуА(х,у) хуАЕ(х,у).~~

В ГЛАВЕ 8 Теорема полноты для первопорядковой логики направленности изменения RQ доказывается две метатеоремы, устанавливающих равнообъемность доказуемых и общезначимых формул аксиоматической системы первопорядковой логики направленности изменения.

~~з1. Теорема корректности. Доказывается Теорема 1. А ( А А).~~

~~з2. Теорема семантической полноты. Доказывается Теорема 2. А ( А А).~~

~~В ГЛАВЕ 9 Первопорядковая огика направленности изменения:~~

аналитические таблицы строятся простые и обобщенные аналитические таблицы первопорядковой логики направленности изменения, которые являются расширением пропозициональных аналитических таблиц логики направленности посредством добавления кванторных правил редукции; доказываются все нужные метатеоремы.

з1. Простые аналитические таблицы. Простые правил редукции - это правила, в посылках и заключении которых встречаются помеченные операторами формулы одного из следующих видов: 0Ф, 1Ф, 2Ф, 3Ф. Такие формулы также называем одноэлементно помеченными формулами. Соответственно простыми аналитическими таблицами называются аналитические таблицы для формул вида 1Ф, 0Ф, 2Ф и 3Ф. К простым правилам редукции для логических констант (, В, и др.) добавляются кванторные правила.

~~Простые правила редукции для квантора существования.~~

0хА 1xA [0] [1] 0А(b) 1A(b) 0А(b) 1A(a) 1A(a) 2xA 3xA [2] [3] 2A(b) 1A(b) 0A(b) 3A(a) 2A(a) 2A(a) 2A(a) Простые правила редукции для квантора всеобщности.

0xA 1xA [0] [1] 0A(a) 1A(b) 2A(b) 3A(b) 1A(a) 1A(a) 1A(a) 2xA 3xA [2] [3] 2A(b) 3A(b) 3A(b) 2A(a) 2A(a) В таблицах для кванторов и УaФ - новый термин (константа), УbФ - произвольный термин (константа), причем в правилах [1], [2] и [1], [2] а b. Область определения (см.: Гл.7, з3, определение 8) обратной функции (Q())-1 и (Q())-1, т.е. i, соответствует знаку помеченной формулы в посылке правила редукции, а область значения (число подмножеств I) обратной функции соответствует числу ветвей (альтернатив) в заключении правил редукции. На основании того факта, что истинностные значения рассматриваемой логики имеют естественный порядок (0 1 2 3), также некоторых семантических понятий (замкнутая, незамкнутая ветвь и др.) в предлагаемых правилах редукции сокращено число ветвей (для правил 2, 1) и число новых констант (для правил 2, 1, 1, 2) в заключении правила редукции.

Напомним, что простые правила редукции аналитических таблиц в пропозициональном языке классифицировались по типам , , и . Кванторные правила классифицируются по следующим типам: , , , . Тогда и любая помеченная формула первопрядкового языка логики направленности изменения будет подпадать под один из типов , , , , , , , . Такая классификация правил - как и в пропозициональном случае - нужна для определения множества Хинттики и доказательства метатеорем об аналитических таблицах, чтобы избежать повторений в однотипных шагах доказательства.

~~правила [3] и [0] относим к типу (эписилон);~~

~~правила [3] и [0] относим к типу (дзета);~~

~~правила [2] и [1] относим к типу (эта).~~

~~правила [1] и [2] относим к типу (йота).~~

~~Доказаны следующие утверждения.~~

~~Теорема 1. Каждая полная открытая ветвь аналитической таблицы одновременно выполнима.~~

Теорема 2. (а). Если А есть общезначимая формула, то все завершенные таблицы для помеченных формул 0А, 1А, 2А первопорядковой логики направленности изменения являются замкнутыми; (b). Если А общезначима, то А таблично доказуема.

~~Теорема 3. Если А имеет табличное доказательство, то А общезначима.~~

~~з2. Обобщенные аналитические таблицы.~~

Понятие обобщенной помеченной формулы остается таким же, как и в пропозициональном случае, но распространяется на кванторные формулы.

Напомним, что выражения вида 012Ф, 01Ф, 02Ф, 12Ф являются обобщенными помеченными формулами, где теперь Ф непомеченная кванторная формула. Эти формулы можно также называть неодноэлементно помеченными формулами, в противоположность одноэлементно помеченным формулам.

Мотивы введения обобщенных помеченных формул на случай кванторных формул переносятся из пропозиционального случая без изменений. Понятия лобобщенной аналитической таблицы и лобобщенного правила редукции остаются прежними.

~~Обобщенные правила редукции для квантора существования.~~

01xA 02xA [02] [01] 01A(a) 02A(b) 1A(b) 02A(a) 02A(a) 012xA 12xA [12] [012] 012A(a) 12A(b) 0A(b) 12A(a) 12A(a) Обобщенные правила редукции для квантора всеобщности.

01xA 02xA [02] [01] 01A(b) 2A(b) 3A(b) 02A(b) 1A(b) 3A(b) 01A(a) 01A(a) 01A(a) 02A(a) 02A(a) 02A(a) 012xA 12xA [12] [012] 012A(b) 3A(b) 12A(b) 3A(b) 012A(a) 012A(a) 12A(a) 12A(a) В таблицах для кванторов и УaФ - новый термин, УbФ - произвольный (или прежде введенный при построении таблицы) термин. Отметим, что в правилах 02xA, 12xA и 012xA, 12xA в правых ветвях термины должны удовлетворять условию Уa bФ, иначе эти ветви правил будут заведомо противоречивыми. Термины второй и третьей ветви правил 01xA, 02xA также должны удовлетворять условию Уa bФ, в противном случае эти ветви очевидно противоречивы. При каждом применении этих правил термин УaФ всегда новый. Условие Уa bФ синтаксически в самих правилах не закреплялось.

Для доказательства нужных метаутверждений о формализации первопорядковой логики направленности изменений методом обобщенных аналитических таблиц нужны уточнения некоторых понятий.

Ветвь называется замкнутой ветвью, если она содержит помеченные формулы j1ф1, j2ф2,Е, jnфn такие, что ф2 = ф3 = = фm и {j1} {j2} {jm} = , где j {3, 2, 1, 0, 01, 02, 12, 012 } и 1 m n. В противном случае, т.е.

когда пересечение не пусто, ветвь не является замкнутой. Таблица называется замкнутой, если все ее ветви замкнуты. Естественно модифицируется понятие полной ветви. Модифицируется понятие множества Хинтикки.

~~В ЗАКЛЮЧЕНИИ диссертационного исследования подводятся его итоги и формулируются вкратце результаты.~~

~~ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ АВТОРОМ ОПУБЛИКОВАНЫ СЛЕДУЮЩИЕ РАБОТЫ:~~

~~Монография:~~

~~1. Стешенко Н. И. Логика направленности изменения. Ростов-на-Дону:~~

~~Изд-во ЮФУ, 2010. 263 с. (12,67 п. л.).~~

Статьи в периодических изданиях, рекомендованных ВАК 1. Стешенко Н. И. Диалектика и идеология// Философские науки. - 1991. - № 1. - С. 171-179. (0,65 п. л.) 2. Стешенко Н. И. Логика направленности и изменения Л. Роговского как функциональная система// Логические исследования. - Вып. 13. М.: Наука.2006. - С. 141-156. (0,66 п. л.).

3. Стешенко Н. И. Логико-лингвистическое описание изменений// Известия высших учебных заведений. Северо-кавказский регион. Общественные науки. 2007 - №3. - С. 12-16. (0,49. п. л.).

4. Стешенко Н. И. Причинная концепция изменения Дж. Локка.// Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Общественные науки. 2007. - №6. - С. 3-6. (0,48 п. л.).

5. Стешенко Н. И. Философские основания логики направленности изменения// Вест. Моск. ун-та. Сер. 7. Философия. №6. - 2009. - С. 100 -117. (1 п.

.) 6. Стешенко Н. И. Понятие изменения и огика направленности изменения.// Гуманитарные и социально-экономические науки. №1 - 2009. - С. 5- 8.

~~(0,41 п. л.).~~

7. Стешенко Н. И. Понятие лизменения у Аристотеля (лингвистический аспект).// Гуманитарные и социально-экономические науки. №2 - 2009. - С. 9- 12. (0,43 п. л.).

8. Стешенко Н. И. Аналитические таблицы для пропозициональной логики Роговского // Логические исследования, Вып. 15. М.: Наука. 2009. - С. 185222. (1,33 п. л.).

9. Стешенко Н. И. Спор о соотношении диалектической и формальной логики в советской философии в 70-80-е годы ХХ века// Известия высших учебных заведений. Северо-кавказский регион. Общественные науки. №3. - 2009. - С. 13-16. (0,49. п. л.).

10. Стешенко Н. И. Формально-логическое противоречие: выражение А и не -А и логика Роговского// Известия высших учебных заведений. Северокавказский регион. Общественные науки. №3. - 2010. - С. 12-15. (0,48. п. л.).

11. Онтологические допущения в логике направленности изменения.//Философия социальных коммуникаций. -2010. - 4(13). ЦС. 15-21. (0,п.л.).

~~Статьи и тезисы в научных сборниках, журналах.~~

1. Стешенко Н. И. Логика предметного противоречия и модальная логика// Модальные и интенсиональные логики. Материалы к VIII Всесоюзной конференции Логика и методология науки. М. - 1982. - С.112-115. (0,13).

2. Стешенко Н.И. Зависимость представлений об изменении и времени от принципа непротиворечия.// I Российский философский конгресс. Человек.

Философия. Гуманизм. Онтология, гносеология, логика и аналитическая философия. Том III. С.-Петербург. - 1997. - С. 244-247. (0,15).

3. Стешенко Н. И. Эпистемические контексты описания изменений// Смирновские чтения. 2 международная конференция. М. - 1999. - С. 138-139.

~~(0,1 п. л.).~~

4. Стешенко Н. И. Кванторы для логики направленности Роговского// Смирновские чтения. 4 международная конференция. М. - 2003. - С. 179-181.

~~(0, 18 п. л.).~~

5. Стешенко Н. И. Прямая теорема дедукции для логики направленности Роговского// Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. Материалы VIII Общероссийской научной конференции. С.Петербург. - 2004. С.535-538. (0,2 п.л.).

6. Стешенко Н. И. Косвенная теорема дедукции для логики направленности Роговского// Философия и будущее цивилизации. Тезисы докладов и выступлений IV философскому конгрессу. Т. 1. М. - 2005. - С. 531. (0,1 п. л.).

7. [Стешенко Н. И. 2006] Нормальные формы логики изменения и направленности Роговского// Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. Материалы IХ Общероссийской научной конференции.

~~С.-Петербург. - 2006. - С. 388-392. (0,2 п. л.).~~

8. Стешенко Н. И. Дизъюнктивные и конъюнктивные формы логики Роговского// Логико-философские штудии. Вып. 4. С.-Петербург. - 2006. -С.

228-241. (0, 63 п. л.) 9. Стешенко Н. И. Кванторы для логики направленности Роговского// Смирновские чтения по логике. Материалы 5-й конференции. М. - 2007 С.

~~38-41. (0,1 п. л.).~~

10. Стешенко Н. И. Аксиоматическое исчисление первопорядковой логики направленности изменения// Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. Материалы Х Общероссийской научной конференции. С.-Петербург. - 2008. - С. 310-314. (0,2 п. л.).

11. Стешенко Н. И. К вопросу расширения языка логических теорий изменения. // Научная мысль Кавказа. Междисциплинарные и специальные исследования. №2. - 2008. - С. 63-67. (0,3 п. л.).

12. Стешенко Н. И. Секвенциональное исчисление логики направленности изменения SR4 // Шестые Смирновские чтения по логике. Материалы международной научной конференции. 17-19 июня 2009 г. М. - 2009. - С. 101-104.

~~(0,2 п. л.).~~

13. Стешенко Н. И. Первопорядковая огика направленности изменения RQ. (Часть I):Аксиоматическое исчисление //Логико - философские штудии.

~~Вып.7. С.-Петербург. - 2009. - С.42-51. (0,74 п.л.).~~

14. Стешенко Н. И. Обобщенные аналитические таблицы первопорядковой логики направленности изменения RQ //V Российский философский конгресс. Наука. Философия. Общество. Материалы. Том 1. Новосибирск. - 2009.

~~С. 134-135. (0,1 п. л.).~~

15. Стешенко Н. И. Первопорядковая огика направленности изменения RQ. (Часть 2): Теорема полноты//Логико - философские штудии. Вып.8. - 2010. - С. 28- 40. (0,76 п. л.) 16. Стешенко Н. И. Лингвистические аспекты описания аристотелевской теории изменения.// Становление демократии на постсоветском пространстве: Проблемы и перспективы. Сборник научных трудов международной конференции. Степанакерт. - 2010. С. 26-30. (0,4 п.л.).

~~17.Стешенко Н. И. Первопорядковая огика направленности изменения:~~

простые аналитические таблицы. //Современная логика. Проблемы теории и истории. Материалы XI Международной научной конференции. С.- Петербург. - 2010. - С. 453-457. (0,2 п. л.) 18. Стешенко Н. И. Определение изменения в терминах времени. // Логика, методология, Науковедение: актуальные проблемы и перспективы. Ростов - на - Дону. - 2010. - С. 117- 120. (0,14 п. л.).

19. Стешенко Н. И. 3-значная логика изменения RS // Седьмые Смирновские чтения по логике. Материалы международной научной конференции.

~~22-24 июня 2011 г. М. - 2011. - С. 113-116. (0,1 п. л.).~~

~~Авторефераты по всем темам >> Авторефераты по философии~~

Blog

ОГИКА НАПРАВЛЕННОСТИ ИЗМЕНЕНИЯ