На правах рукописи

Муртазина Регина Димовна НЕЛИНЕЙНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

УфаЦ2009

Работа выполнена в Уфимском государственной авиационном техническом университете

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Жибер Анатолий Васильевич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Хабибуллин Исмагил Талгатович;

доктор физико-математических наук, профессор Голубчик Игорь Захарович.

Ведущая организация: Институт механики УН - РАН

Защита состоится апреля 2009 года в часов на заседании диссертационного совета Д-002.057.01 при Институте математики с В - Уфимского научного центра РАН по адресу: 450077, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики с В - Уфимского научного центра РАН.

Автореферат разослан марта 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002.057.01, кандидат физико-математических наук С.В. Попенов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Рассмотрение наличия у уравнения бесконечной алгебры высших симметрий в качестве отличительного признака интегрируемости привело к возможности классификации интегрируемых уравнений симметрийным методом1, важный вклад в развитие которого внесла уфимская математическая школа профессора Шабата А.Б. Симметрийный подход является эффективным при исследовании уравнений эволюционного типа.

При симметрийной классификации гиперболических уравнений даже в простейших ситуациях возникают серьезные технические трудности. Гиперболические уравнения занимают в теории интегрируемых уравнений особое место.

С одной стороны они имеют больший прикладной интерес, чем эволюционные, а с другой - они гораздо труднее поддаются классификации и решению методом обратной задачи рассеяния.

В 1981 г. Шабатом А.Б., Ямиловым Р.И.2 был предложен новый подход к классификации, основанный на понятии характеристической алгебры Ли.

Авторы показали, что для экспоненциальных систем ui = exp(ai1u1 +... + ainun), i = 1, 2,..., n xy характеристическая алгебра Ли конечномерна тогда и только тогда, когда коэффициенты aij определяют матрицу Картана простой алгебры Ли K = aij. Лезнов А.Н., Смирнов В.Г., Шабат А.Б.3 в 1982 г. для гиперболических систем уравнений i DDui = F (u1,..., ur), i = 1,..., r выдвинули гипотезу о том, что условием полной интегрируемости в квадратурах этих уравнений является конечномерность алгебры Ли, связанной характеристическим уравнением DW = 0, W = W (ux, uxx,...) Жибер А.В., Шабат А.Б. Уравнения КлейнаЦГордона с нетривиальной группой // Доклады АН СССР. - 1979. - Т. 247. - № 5. - С. 1103-1107.

Ибрагимов Н. Х., Шабат А.Б. Эволюционные уравнения с нетривиальной группой Ли-Беклунда. // Функциональный анализ и его приложения. - 1980. - Т. 14. - № 1. - С. 25 - 36.

Sokolov V.V., Shabat A.B.>

Михайлов А.В., Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем // Успехи математических наук. - 1987. - Т. 42. - № 4. - С. 3 - 53.

Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Экспоненциальные системы типа I и матрицы Картана // Препринт БФАН СССР, Уфа. - 1981. - 23 с.

езнов А.Н., Смирнов В.Г., Шабат А.Б. Группа внутренних симметрий и условия интегрируемости двумерных динамических систем // Теоретическая и математическая физика. - 1982. - Т. 51. - № 1. - С.

10 - 22.

(характеристической алгебры), а условием интегрируемости методом обратной задачи рассеяния - наличие конечномерного представления характеристической алгебры. Жибер А.В., Мукминов Ф.Х.4 в 1991 году обобщили понятие характеристической алгебры Ли для квадратичных систем уравнений k ui = ci ujvk + ci vk, vy = dk ujvl + dkuj, (1) x jk k jl j i = 1, 2,..., n, k = 1, 2,..., n и применили ее для вычисления высших симметрий уравнений Лиувилля, синус-Гордона, Цицейки:

uxy = eu, uxy = eu + e-u, uxy = eu + e-2u.

Основной результат диссертационной работы Бормисова А.А.5 является доказательство того факта, что две характеристические алгебры A, A уравнений гиперболического типа (1) естественным образом "склеиваются" в единую алгебру Ли на основе так называемых соотношений нулевой кривизны (L-A пары) для системы (1). В настоящее время понятие характеристической алгебры применяется для классификации интегрируемых дифференциальноразностных уравнений в работах Хабибуллина И.Т.Применение понятия характеристической алгебры Ли для классификации нелинейных гиперболических уравнений с правой частью общего вида является актуальной задачей.

Цель и задачи исследования. Работа посвящена применению подхода, основанного на исследовании структуры характеристической алгебры Ли для решения задачи классификации интегрируемых нелинейных гиперболических уравнений, а также описанию характеристической алгебры Ли уравнения синус-Гордона и алгебры высших симметрий модифицированного уравнения синус-Гордона, доказательству критерия интегрируемости по Дарбу.

Основные методы исследования. Полученные автором результаты базируются на применении классических методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, теории инЖибер А.В., Мукминов Ф.Х. Квадратичные системы, симметрии, характеристические и полные алгебры // Задачи математической физики и асимптотики их решений. Уфа: БН - УрО АН СССР. - 1991. - С. 14 - 32.

Бормисов А.А. Гиперболические системы уравнений типа Риккати и связанные с ними алгебры Ли // Дисс.... канд. физ.Цмат. наук. - Стерлитамак.: СГПИ. - 2002. - 74 c.

Хабибуллин И.Т., Пекан А. Характеристическая алгебра Ли и классификация полудискретных моделей // Теоретическая и математическая физика. - 2007. - Т. 151. - № 3. - С.413-423.

Habibullin I.T. Characteristic algebras of fully discrete hyperbolic type equations // Symmetry Integrability Geom.: Methods Appl. - 2005. - V. 1. - Paper 023 - 9 pages.

Habibullin I.T., Zheltukhina N., Pekcan A. On the>

Phys. - 2008. - V. 49. - № 10. (40 pages) тегрируемых нелинейных дифференциальных уравнений, а также теории алгебр Ли.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1.Исследованы характеристические алгебры Ли линейных гиперболических уравнений, которые связаны x- и yЦпреобразованиями Лапласа. Показано, что последовательность инвариантов Лапласа h-n, n = 0, 1,... конечна только в том случае, когда размерность характеристической алгебры Ли уравнения конечномерна.

2. Приведено новое более простое доказательство критерия интегрируемости по Дарбу нелинейного гиперболического уравнения, основанное на понятии характеристической алгебры Ли.

3. Описаны нелинейные гиперболические уравнения, линеаризации которых связаны xЦпреобразованием Лапласа. Приведены преобразования Беклунда этих уравнений.

4. Решена классификационная задача для интегрируемых уравнений Клейна-Гордона на основе их характеристической алгебры. Для уравнения синус-Гордона описана структура характеристической алгебры Ли.

5. Приведен полный список гиперболических уравнений с конечномерной характеристической алгеброй размерности 2, 3, 4. Описаны уравнения с бесконечномерной характеристической алгеброй "медленного"роста.

6. Построен локальный дифференциальный оператор, переводящий высшие симметрии в высшие симметрии меньшего порядка для модифицированного уравнения синус-Гордона, а также оператор рекурренции, определяющий алгебру симметрий этого уравнения.

7. Приведен оператор, который симметрии переводит в интегралы и обратный оператор, переводящий интегралы в симметрии для вырожденного случая модифицированного уравнения синус-Гордона.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Методы и результаты диссертации могут быть использованы в теории дифференциальных уравнений в частных производных. В частности, при классификации интегрируемых уравнений, построении высших симметрий и точных решений.

Апробация работы. Основные результаты, представленные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались:

на региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике (Уфа, октябрь 2004 г.);

на XLIII международной научной студенческой конференции Студент и научно-технический прогресс (Новосибирск, апрель 2005 г.);

на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Башкирского государственного университета под руководством профессоров А.В. Жибера и И.Т. Хабибуллина (Уфа, 2005 г., 2006 г.);

на VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, май 2006 г.);

на международной конференции Комплексный анализ и дифференциальные уравнения (Якты-Куль, декабрь 2006 г., декабрь 2008 г.);

на 38, 39, 40-ой региональных молодежных конференциях Проблемы теоретической и прикладной математики (Екатеринбург, январь 2006 г., январь 2008 г., январь 2009 г.);

на международной конференции Дифференциальные уравнения и смежные вопросы, посвященной памяти И.Г. Петровского (Москва, май 2007 г.);

на Уфимской международной математической конференции Теория функций, дифференциальные уравнения, вычислительная математика памяти А.Ф. Леонтьева (Уфа, июнь 2007 г.);

на Школе молодых ученых Отдела математики РФФИ (Карачаевск, октябрь 2007 г.);

на международной конференции Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений, посвященной 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева (Новосибирск, октябрь 2008 г.);

на научном семинаре кафедры математики Уфимского государственного авиационного технического университета под руководством профессора В.А. Байкова (Уфа, декабрь 2008 г.);

на научном семинаре по дифференциальным уравнениям математической физики Института математики с В - УН - РАН под руководством профессора Л.А. Калякина и профессора В.Ю. Новокшенова (Уфа, декабрь 2008 г.).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 14 работ, список которых приведен в конце автореферата. Статьи [4], [5], [6], [10] опубликованы в рецензируемых журналах из списка ВАК. Из совместных работ в диссертацию включены результаты полученные лично автором.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы. Все теоремы, леммы, замечания и формулы занумерованы двумя цифрами, первая из которых означает номер параграфа, а вторая - номер по порядку. Полный объем диссертации - 147 страницы.

Библиография содержит 60 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, изложен классический метод точного интегрирования линейных гиперболических уравнений второго порядка (каскадный метод Лапласа), приведено краткое содержание работы по главам и параграфам, проведен краткий обзор литературы.

В первой главе приведено новое более простое доказательство критерия интегрируемости по ДарбуВведем понятие характеристической алгебры Ли линейного уравнения + a(x, y) + b(x, y) + c(x, y) v = 0. (2) xy x y Обозначим через пространство локально-аналитических функций, зависящих от конечного числа переменных x, y, v, v1 = vx, v2 = vxx,.... На этом классе функций оператор полного дифференцирования по y D в силу уравнения (2) задается формулой v vD = + + +... = y y v y v = + v1 - (av1 + bv1 + cv) - D(av1 + bv1 + cv) -... y v v1 v -Dk(av1 + bv1 + cv) -....

vk+Здесь v1 = vy, D = - (av1 + bv1 + cv) + v1 + v2 +....

x v1 v vТак как коэффициенты оператора D линейно зависят от переменной v1, то D = X1 + v1X2, (3) где X1 = - (av1 + cv) - (D(av1 + cv) - b(av1 + cv)) -..., y v1 v X2 = - b + (b2 - bx) +....

v v1 vХарактеристическое уравнение DW (x, y, v, v1,..., vm) = 0 (4) согласно (3) эквивалентно системе X1W = 0, X2W = 0. (5) Жибер А.В., Соколов В.В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа // УМН. - 2001. - Т. 56. - № 1(337). - С. 63-106.

С уравнениями (5) естественным образом связана алгебра Ли, порожденная векторными полями X1 и X2. Эту алгебру A будем называть характеристической алгеброй Ли уравнения (2).

Обозначим через hi, i = 0, 1, 2,... - последовательность высших инвариантов Лапласа уравнения (2). Инварианты hi определяются по реккурентной формуле hi = 2hi-1 - hi-2 - ln hi-1, i Z, (6) xy где h0, h-1- инварианты уравнения (2) a b h0 = + ab - c, h-1 = + ab - c.

x y Алгебра Ли A-1 уравнения + a-1(x, y) + b-1(x, y) + c-1(x, y) v-1 = 0, (7) xy x y полученного y-преобразованием Лапласа уравнения (2) + b v = v-1, + a v-1 = h-1v, x y порождается векторными полями - (a-1p1 + c-1p) - (D(a-1p1 + c-1p) - b(a-1p1 + c-1p)) -..., y p1 p - b-1 + (b2 - b-1x) +..., p = v-1.

p p1 -1 pЛемма 1.1. Пусть характеристическая алгебра Ли A уравнения (2) конечномерна, т.е. dim A = n. Тогда размерность характеристической алгебры Ли A-1 уравнения (7) dim A-1 = n - 1.

Основным результатом первого параграфа является следующее утверждение.

Теорема 1.1. Последовательность h-n, n = 1, 2,... конечна, если и только если размерность характеристической алгебры dim A <.

Доказательство теоремы 1.1 основано на утверждении леммы 1.1.

Во втором параграфе рассматривается нелинейное гиперболическое уравнение вида uxy = f(x, y, u, ux, uy). (8) Определение 0.2. Уравнение (8) называется интегрируемым по Дарбу8, если существуют функции,, зависящие от конечного числа переменных x, y, u, u1 = ux, u2 = uxx, u3 = uxxx,..., (9) u1 = uy, u2 = uyy, u3 = uyyy,...

такие, что на решениях уравнения (8) функция не зависит от переменной y, а функция - от x.

Поскольку определение преобразований и инвариантов Лапласа для линейного уравнения (2) являются чисто алгебраическими и используют только тот факт, что операторы частных производных являются коммутирующими дифференцированиями, они непосредственно обобщаются на случай линеаризованного уравнения (DD - fu D - fu D - fu)v = 0, (10) x y где дифференцирования D и D записанные как векторные поля, они имеют вид i-D = + ui+1 + D (f), x ui i=1 ui i= D = + ui+1 + Di-1(f).