Книги, научные публикации
Физика низкоразмерных систем Е.Л. Ивченко Лекция 1 1 kp Теория возмущений для вырожденной зоны Прежде чем приступить к физике низкоразмерных систем, мы познакомимся со сложной зонной структурой
полупроводников с решеткой алмаза (Ge, Si) или цинковой обманки (GaAs, InSb, AlAs, InAs, CdTe, ZnSe и т.д.).
Как было показано в курсе физики твердого тела, эффективный гамильтониан H(l)(K) для электрона в невырожденной зоне l в окрестности точки k0 с точностью до членов 2-ого порядка включительно представляется в виде h2K2 H(l)(K) = E(K) = Elk + + (1) 0 2m0 2 h h (Kpln )(Kpn l) 1 1 + Kpll +, m0 m0 n1=l1j1 Elk - El k0 0 1 где K = k - k0, k - волновой вектор электрона, индекс n1 включает зонный индекс l1 = l и индекс j1, нумерующий вырожденные состояния в зоне l1, pn l - междузонный матричный 1 элемент n1, k0|p|lk0, m0 - масса свободного электрона. Отсюда для тензора обратной эффективной массы получаем ln1 n1l ln1 n1l 1 1 1 p p + p p = +. (2) m m0 m2 Elk - El k 0 n1 0 При наличии N-кратного вырождения в точке k0 эффективный гамильтониан имеет вид (l) матрицы Hjj размерности N N (j, j = 1,..., N - индекс, нумерующий вырожденные состояния), компоненты которой находятся с использованием теории (статических) воз мущений для вырожденного спектра h2K2 h (l) Hjj (K) = Elk + jj + Kplj,lj + (3) 2m0 m (Kplj,n )(Kpn lj ) h 1 +.
m0 n1=l1j1 Elk - El k 0 Волновая функция приближенно записывается в виде линейной комбинации произведений плавных огибающих Cj(r) на блоховские функции в точке k N (r) = Cj(r) |l, j, k0. (4) j= Удобно коэффициенты Cj(r) представить в виде N-компонентного столбца. Для состояния электрона с заданным волновым вектором:
(r) = exp (iKr)K, (5) CK, CK, K =..
.
CK,N 2 Спин-орбитальное расщепление валентной зоны Учтем спин-орбитальное взаимодействие и получим правильные комбинации произведе ний sR для вырожденной валентной зоны 15 в -точке. Здесь s - спиновые столбцы 1 = = при s = 1/2 и = = при s = -1/2, R = X(r), Y (r), Z(r) - ба 0 зисные функции представления 15. Это позволит далее рассчитывать матричные элементы оператора импульса в формуле (3) применительно к зоне 8. Мы исходим из гамильтониана Шредингера-Паули H = H + Vso, Vso = U, (6) =x,y,z где H - скалярный (спин-независимый) гамильтониан, - матрицы Паули, h U = (V p).
4m2c Разложим волновую функцию электрона в -точке по состояниям |i из набора sR :
= Di |i. (7) i= Энергия E и коэффициенты Di находятся из системы линейных уравнений (so) Vii Di = EDi, (8) i где 0 -i 0 0 i 0 0 0 0 -i 0 0 0 - i (so) ||Vii || =, (9) 0 0 - 0 i 0 0 -i -i 0 i 0 0 0 введен энергетический параметр = -i drX(r)UyZ(r) (вещественный, так как функции X, Y, Z вещественны, а оператор U чисто мнимый) и базис |i выбран в последовательно (so) сти X(r), Y (r), Z(r), X(r), Y (r), Z(r). При расчете матрицы V учтено, что + sR|U|s R = (s s ) drRUR и drRUR = ie.
Собственные значения матрицы (9) равны (зона 8, кратность 4) и -2 (зона 7, крат ность 2). Таким образом, экспериментально измеряемое спин-орбитальное расщепление валентной зоны = 3. В дальнейшем мы используем базис 8 и базис 7 в виде X + iY |8, +3/2 =, (10) 2 X + iY |8, +1/2 = Z -, 2 X - iY |8, -1/2 = Z +, X - iY |8, -3/2 =, |7, +1/2 = [ Z + (X + iY )], |7, -1/2 = [ Z - (X - iY )].
Легко проверить, что коэффициенты в разложении функций (10) по базису |i действитель (so) но образуют собственные столбцы матрицы V.
Лекция Междузонные матричные элементы оператора импульса В базисе S, S для зоны проводимости 6 и базисе (10) для валентной зоны 8 меж дузонные матричные элементы оператора импульса имеют вид k+ 2 k kz 6 ||kpc,s;
v,,m|| = pcv, (11) k+ 2 k 0 - kz k k kz ||kpv,,m;
c,s|| = p, (12) cv k+ kz k+ где pcv = S|pz|Z.
3 Гамильтониан Латтинжера Учтем подмешивание к состояниям 8 состояний 6 в нижней зоне проводимости (двухзон ное приближение) и используем выражения (11), (12). В результате получим вместо (3) h2k H( ) = E + - (13) 2m k 1 k kzk- - 3 k k kzk+ 2kz + 0 h2 | pcv |2 3 3 -.
k 2 m2 Eg k + 0 0 kz + kzk- 3 12 k2 + 0 - kzk+ k 12 В многозонной модели эффективный гамильтониан имеет вид F H I H G 0 -I H( ) =, (14) I 0 G H 0 -I H F B 2 F = (A - B)kz + (A + )k, (15) B 2 G = (A + B)kz + (A - )k, 3 D 2 I = B(kx - ky) - 2 i kxky, H = Dkzk-, и характеризуется тремя параметрами A, B и D. Матрица (14) называется гамильтонианом Латтинжера. В двухзонном приближении имеем h2 D 1 h | pcv | A = + B, B = = -.
2m0 3 m0 Eg Линейными по k членами в гамильтониане (14) пренебрегается: в кристаллах с центром ин версии они отсутствуют, в кристаллах с решеткой цинковой обманки симметрия допускает их наличие (еcли учесть спин-орбитальное смешивание валентной зоны 15 с далекими зо нами), но, как правило, роль таких членов невелика. Дисперсионное уравнение приводится к виду (8) Det||Hjj - E jj || = (E - F )(E - G)- | H |2 - | I |2 = 0.
Его корни F + G F - G Ehh,lh = + |H|2 + |I|2 = (16) 2 2 2 2 2 2 = Ak2 B2k4 + (D2 - 3B2) kxky + kykz + kzkx кратны, так как при отсутствии нечетных по k членов все состояния двукратно вырождены (при k = 0 четырехкратно). Для полноты приведем коэффициенты разложения (4) волно вой функции электрона в базисе (10):
H Ej - F kj1 =, (17) (Ej - F )(Ej - Ej) -I I kj2 =, - F Ej (Ej - F )(Ej - Ej) H где j = lh, если j = hh, и j = hh, если j = lh.
4 Спинорные представления Приведем очень краткие сведения о спинорных представлениях. Оператор преобразования (пространственных и спинорных) координат определяется как Dg(r) D1/2(g)(g-1r). (18) Матрица преобразования спиноров, связана с углами Эйлера соотношением i i cos exp (- - ) - sin exp (- + ) 2 2 2 D1/2(g) =, (19) i i sin exp ( - ) cos exp ( + ) 2 2 2 D1/2(g2)D1/2(g1) = s(g2, g1)D1/2(g2g1), s(g2, g1) = 1. (20) Вводить оператор преобразования в форме (18) приходится, так как оператор спин-орбитального взаимодействия в общем случае неинвариантен к простому преобразованию координат, + Vso(g-1r) = Vso(r), тогда как D1/2(g)Vso(g-1r)D1/2(g) = Vso(r). Чтобы доказать это утвер + ждение, достаточно показать, что матрицы D1/2(g)D1/2(g) связаны с так же, как ком поненты вектора g-1r с компонентами вектора r, т.е. (g-1r) = D(g-1)r, где матрицы ортогональных преобразований D(g-1) = cos (r0,, rп,), где r0,, rп, - координаты век тора r в неподвижной и подвижной системах координат, связанных между собой преобра зованием g-1. Если при преобразовании g положение подвижной системы задается углами Эйлера,, то cos cos - sin sin cos D(g) = cos sin cos sin sin, - sin 0 cos и, следовательно, cos cos cos sin - sin D(g-1) = - sin cos 0.
sin cos sin sin cos Представим матрицу D1/2(g) в сокращенном виде ce- -se.
se+ ce+ + Тогда D1/2(g)xD1/2(g) равно -2cs (c2 - s2)(e-), (c2 - s2)(e+)2 2cs откуда и следует доказательство. Поэтому, если (r) есть решение уравнения Шредингера Паули с энергией E и g - элемент симметрии гамильтониана, то решением является и функ ция D1/2(g)(g-1r).
Согласно (18,20) последовательное действие на спинор (r) двух операторов преобра зования дает Dg Dg (r) = D1/2(g2)D1/2(g1)((g2g1)-1r) = s(g2, g1)Dg g1(r).
2 1 Набор унитарных матриц, удовлетворяющих соотношениям D(g2)D(g1) = s(g2, g1)D(g2g1), называется спинорным представлением. Для нахождения неприводимых спинорных пред ставлений удобно ввести вспомогательную группу (двойная группа): = Q G, где G группа преобразований симметрии, а Q - дополнительный элемент. Двойная группа состо ит из элементов g группы G и элементов gQ. Умножение на двойной группе (обозначае мое далее точкой ) задается следующими правилами: Q g = gQ (элемент Q коммути рует со всеми элементами группы G);
g2 g1 = g2g1, если s(g2, g1) = 1, и (g2g1)Q, если s(g2, g1) = -1;
g2 g1Q = g2g1, если s(g2, g1) = -1, и (g2g1)Q, если s(g2, g1) = 1;
g2Q g1 = g2g1, если s(g2, g1) = -1, и (g2g1)Q, если s(g2, g1) = 1;
g2Q g1Q = g2g1, если s(g2, g1) = 1, и (g2g1)Q, если s(g2, g1) = -1. Обычное (или векторное) представле ние двойной группы эквивалентно спинорному представлению исходной группы.
Лекция Ниже приведена таблица характеров неприводимых представлений двойной группы Td 2 2 e Q 4C3 4C3 3S4 3S4 3S4 2 2 4C3Q 4C3Q 3S4Q 3S4Q 3S4Q 6Q 6 2 -2 1 -1 0 2 - 2 7 2 -2 1 -1 0 - 2 2 8 4 -4 -1 1 0 0 0 15 3 3 0 0 -1 -1 -1 5 Метод инвариантов Элементы симметрии кристалла g накладывают на вид эффективного гамильтониана огра ничения D(g)H(g-1k)D-1(g) = H(k), (21) где D(g) - матрицы векторного (в пренебрежении спином) или спинорного (при учете спи новых состояний) представления, порождаемого базисными функциями в точке экстрему ма. Приведем краткое доказательство формулы (21) для квадратичного по k слагаемого:
согласно (3) h (g-1k)plj,n (g-1k)pn,lj (l,2) 1 Hjj (g-1k) = (22) m0 n1=l1j El(0) - El(0) h k(gp)lj,n k(gp)n,lj 1 =.
m0 n1=l1j1 El(0) El(0) + + Далее нужно учесть тождество (gp)n,n2 = dr n gp n = dr Dgn p Dgn и 1 2 1 использовать правила преобразования функций при операции симметрии.
Запишем матрицу H( )(k) в виде H( )(k) = aij,pX(ij)Fp(k), (23) ijp где X(ij) - шестнадцать линейно независимых матриц 44 с компонентами Xi(ij) = ii jj, j1 1 Fp(k) - различные функции, зависящие от k и пронумерованные индексом p. По отношению к преобразованию DgX D(g)XD-1(g) матрицы X(ij) образуют базис шестнадцатимер ного (векторного) представления X DgX(ij) D(g)X(ij)D-1(g) = Di j,ijX(i j ), (24) i,j X где Di j,ij = Di i(g)Dj j(g), т.е. представление DX есть прямое произведение 8, ко торое разлагается на неприводимые представления A1 + A2 + E + 2F1 + 2F2. Приведем матрицы проекций углового момента в базисе 8:
3/2 0 0 0 1/2 0 Jz = (25) 0 0 -1/2 0 0 0 -3/ 3 0 - 0 0 0 i 0 2 3 - - 0 1 0 i 0 -i 2 Jx =, Jy =.
3 - 0 1 0 0 i 0 i 2 3 0 0 0 0 0 i 2 Тогда наборы матриц, преобразующихся по неприводимым представлениям группы Td, можно представить в виде 2 2 2 A1 : Jx + Jy + Jz = I A2 : {Jx{JyJz}} 2 2 2 2 E : 3(Jx - Jy ), 2Jz - Jx - Jy 3 3 F1 : Jx, Jy, Jz ;
Jx, Jy, Jz 2 F2 : {JyJz}, {JzJx}, {JxJy};
Vx = {Jx, Jy - Jz }, Vy, Vz.
Лекция Наборы функций kk или компонент тензора деформаций, преобразующиеся по неприводимым представлениям группы Td A1 : k2, Sp = ;
2 2 2 2 E : 3(kx - ky), 2kz - kx - ky;
3(xx - yy), 2zz - xx - yy;
F2 : kykz, kzkx, kxky;
yz, zx, xy.
Метод инвариантов состоит в построении эффективного матричного гамильтониана пу тем нахождения инвариантных комбинаций, составленных из произведений матриц раз мерности N N и функций, зависящих от k (и других величин типа тензора деформации, магнитного поля и т.д.), образующих базис представления точечной группы. Вначале про демонстрируем метод инвариантов для простой зоны проводимости в квадратичном по k и линейном по тензору деформаций приближении h2k E(k, ) = Sp + + 2m 2 2 2 2 + 1k2 Sp + 2 3(kx - ky) 3(xx - yy) + (2kz - kx - ky)(2zz - xx - yy) + + 3(kykzyz + kzkxzx + kxkyxy).
Симметрия к инверсии времени Оператор инверсии времени:
K = (-iy) K0, K K lj = Tj jlj j 0 0 0 - 0 0 -1 T (8) =. (26) 0 1 0 1 0 0 Симметрия к инверсии времени накладывает на матрицу (k) условие - T (-k)T = (k). (27) Теперь можно построить гамильтониан Латтинжера, исходя исключительно из соображе ний симметрии:
h H( ) = -1 k2I + 2m 2 h 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + 3(Jx - Jy ) 3(kx - ky) + (2Jz - Jx - Jy )(2kz - kx - ky) + 3 2m h + 43 ({JxJy}kxky + {JyJz}kykz + {JzJx}kzkx) = 2m h2 2 = - (1 + 2)k2 - 22 Jk - 23 {JJ}kk = 2m0 = 5 D 2 = (A + B)k2 - B Jk - {JJ}kk.
= Деформационный вклад 5 d H = (a + b) Sp - b J - {JJ}. (28) = Изотропное приближение H( ) = (A + B) k2 - B (Jk)2. (29) Лекция 6 Гетероструктуры, иерархия понятий а) Гетеропереход (одиночный) (heterojunction) Двойные гетеропереходы (double heterojunction):
б) квантовая яма (одиночная) (single quantum well or SQW) и в) одиночный барьер г) Двухбарьерная структура (double-barrier structure) д) Трехбарьерная структура (triple-barrier structure) е) Структура с квантовыми ямами (толстобарьерная структура) (multiple quantum wells or MQWs) ж) Короткопериодичная сверхрешетка (или просто сверхрешетка)(superlattice) з) Ультратонкая сверхрешетка (ultra-short superlattice), например, (GaAs)m(AlAs)n с m, n = 2 и) Предельный случай m = n = 1, т.е. материал GaAlAs Классификация сверхрешеток:
I. Композиционные сверхрешетки, ненапраженные при a0/a0 0.01 и напряжен ные при a0/a0 0.01 (тип I или тип II;
нелегированные, однородно или селективно леги рованные композиционные сверхрешетки) II. Легированные сверхрешетки, например, n-GaAs/p-GaAs или nipi-структуры III. Спиновые сверхрешетки, в которых часть слоев содержит магнитные примеси или ионы, например, CdTe/CdMnTe 7 Размерное квантование электронных состояний в кван товых ямах, квантовых проволоках и квантовых точках В настоящее время разработаны изощренные методы компьютерного расчета квантовых состояний в наноструктурах, основанные на микроскопических моделях псевдопотенциала или сильной связи. Тем не менее, во-первых, пока эти методы не всесильны и не всемогу щи, а во-вторых, как подтверждает и история развития физики объемных полупроводни ков, при конкретной работе приближенные методы эффективной массы (в случае простых энергетических зон), эффективного гамильтониана (для вырожденных зон) и плавных оги бающих (в многозонной модели, например, модели Кейна) оказываются более удобными и результативными. В приближенных подходах решение внутри каждого слоя многослойной структуры (или композиционной области меньшей размерности в квантовых проводах или точках) записывается в виде линейной комбинации независимых объемных решений, а для сшивки на гетерограницах вводятся граничные условия для огибающих волновой функции электрона и их производных по нормальной координате.
Расчеты электронных состояний в полупроводниковых наноструктурах, выполняемые в методе эффективной массы, выглядят часто как практические занятия по квантовой ме ханике. Мы начнем с простейшей модели структуры с квантовой ямой, в которой барьеры считаются бесконечно высокими. В приближении бесконечно высоких барьеров огибаю щая волновой функции электрона записывается в виде x (r) = ei(q x+qyy)(z), (30) S где q = (qx, qy) - двумерный волновой вектор, характеризующий движение электрона в плоскости интерфейса. В структуре B/A/B функция (z) удовлетворяет одномерному урав нению Шредингера:
h2 d - (z) = Ez (z), 2mA dz где mA - эффективная масса электрона в материале A. Вне слоя A функция (z) равна тождественно нулю. Полная энергия электрона E складывается из энергии размерного квантования Ez и кинетической энергии Exy = h2q2/2mA (значения E отсчитываются от дна зоны проводимости материала A). Начало отсчета на оси z выбирается в середине слоя A. Тогда граничные условия для в приближении бесконечно высоких барьеров записы ваются в виде a ( ) = 0, где a - ширина слоя A и, следовательно, a/2 - координаты интерфейсов. Система об ладает симметрией к отражению z -z. Поэтому совокупность собственных решений уравнения Шредингера разбивается на подгруппы четных и нечетных решений, имеющих соответственно вид C cos kz и C sin kz, где k = (2mAEz/2)1/2, C - нормировочный коэф h фициент. С учетом граничных условий получаем h k =, Ez =, a 2mA a где = 1, 3,... для четных и = 2, 4,... для нечетных решений. Соответствующие размерно квантованные электронные или дырочные состояния будем обозначать в виде e или h соответственно. Энергетический спектр состоит из ветвей h Eeq = + q2, 2mA a называемых подзонами размерного квантования, или просто подзонами.
Барьеры конечной высоты, q = 0. При конечной высоте барьеров огибающая от лична от нуля в слоях B и удовлетворяет уравнению Шредингера h2 d - + V (z) = Ez (z), 2mB dz где потенциальный барьер V равен разрыву Ec зоны проводимости на интерфейсе. Для простой зонной структуры чаще других используются граничные условия Бастарда (Bastard) 1 d 1 d |A = |B, |A = |B (31) mA dz mB dz где A,B - значение огибающей на интерфейсе со стороны слоя A или B.
Четное решение записывается в виде a C cos kz при |z|, (z) = (32) a a D exp [-(|z| - )] при |z|, 2 где = [2mB(V -Ez)/2]1/2, V - высота барьера и учтено, что для размерно-квантованных h состояний энергия Ez меньше V и волновой вектор в слоях B мнимый: kB = i. Из системы уравнений (31), которую можно записать с учетом (32) как a k a C cos k = D, - C sin k = - D, (33) 2 mA 2 mB получаем трансцендентное уравнение для энергии четных состояний a mA tan k =. (34) 2 mB k Аналогичное уравнение для нечетных решений имеет вид a cot k = -. (35) Приведенные выше формулы применимы и при отличном от нуля волновом векторе q, если под k и понимать величины 1/ 1/ 2mAE 2mB(V - E) k = - q2, = + q2.
h2 h Известно, что в симметричной одномерной потенциальной яме всегда имеется хотя бы од но размерно-квантованное состояние. Поэтому при конечной высоте барьеров энергети ческий спектр электрона состоит из конечного числа подзон размерного квантования e и континуума (состояния с E - (2q2/2mB) > V ). При совпадающих эффективных массах h mA и mB зависимость Eeq от q параболическая, как в однородных композиционных ма териалах. При относительно небольшом различии между mA и mB дисперсия подзон e близка к параболической.
Проанализируем предельный переход от конечных к бесконечно высоким барьерам. С этой целью будем считать величину V достаточно большой, так что выполнено неравенство h V.
2mA a Тогда для основного состояния e1 величину можно приближенно заменить на 0 = (2mAV/2)1/ h и рассматривать отношение k/0 в качестве малого параметра. Перепишем уравнение (34) в эквивалентной форме ctg(ka/2) = (mBk/mA). В нулевом приближении по параметру k/0 для состояния e1 получим ka/2 = /2 или k = /a, что отвечает предельному пере ходу V и совпадает с (??) при = 1. Представив k в виде /a - k, находим в первом приближении a mB mB k или k 1 2 mA 0a a mA 0a и 2 h2 mB Ee1 1 -. (36) 2mA a mA 0a Так как обычно массы mA и mB сопоставимы, критерием применимости формулы (36) является неравенство 0a 4. Таким образом, понятия Увысокий барьер", "низкий ба рьер"относительны и при достаточно широкой яме формула (36) применима даже для ге тероструктур с явно небольшим разрывом зон.
В гетероструктурах GaAs/AlxGa1-xAs, выращенных в направлении [001], состояния тяжелых (hh) и легких (lh) дырок при q = 0 квантуются независимо, поэтому в квантовых ямах формируются две серии дырочных состояний: hh и lh, характеризуемые проекция ми углового момента Jz = 3/2 и Jz = 1/2 соответственно. Для ненулевого латерального волнового вектора q состояния тяжелых и легких дырок перемешиваются и валентные под зоны оказываются сильно непараболичными.
Квантовые проволоки и квантовые точки. В квантовой яме носитель может свобод но перемещаться в двух измерениях. Поэтому о структуре с квантовой ямой говорят как о двумерной системе или о квазидвумерной системе, в последнем случае имея ввиду, что размерно-квантованные состояния имеют конечную протяженность и в третьем направле нии, т.е. в направлении оси роста. Рассмотрим теперь кратко квантование электронных со стояний в квантовых проволоках (система размерности d = 1) и квантовых точках (d = 0), в которых свободное движение возможно только в одном направлении или вообще отсут ствует.
Проволоки с прямоугольным сечением ax ay, бесконечно высокие барьеры. Оги бающая волновой функции электрона имеет вид (r) = (1/ L)eiqz(x, y), (x, y) = (x, ax) (y, ay), x y где L - длина проволоки, 1/ L - нормировочный коэффициент, q - волновой вектор, ха рактеризующий свободное движение вдоль главной оси проволоки, x cos при нечетном, a (x, a) = (37) x sin при четном.
a a Для энергии электрона в подзоне exy в состоянии с волновым вектором q имеем 2 h2 x y E = q2 + +. (38) 2mA ax ay Квантовые точки в форме прямоугольного параллелепипеда ax ay az, беско нечно высокие барьеры. Приведем выражения для огибающей волновой функции и энер гии электрона h22 j (r) = (x, ax) (y, ay) (z, az), E =. (39) x y z 2mA j=x,y,z aj Сферические квантовые точки радиуса R, барьеры конечной высоты, основное состояние. Основное состояние обладает сферической симметрией:
sin kr при r R, (r) = Cr-1 (40) sin kR e-(r-R) при r R, где C - нормировочный коэффициент, k = (2mAE/2)1/2, = [2mB(V - E)/2]1/2. (41) h h Энергия размерного квантования E удовлетворяет уравнению mA 1 - kR ctg kR = (1 + R).
mB Цилиндрические квантовые проволоки, барьеры конечной высоты, основное со стояние с q = 0. В этом случае огибающая выражается через функции Бесселя J0(x) и K0(x):
CJ0(k) при r R, (r) = (42) DK0() при r R, где D = CJ0(kR)/K0(R).
Энергетическая плотность состояний. Рассмотрим энергетический спектр Enk ква зичастицы в пространстве размерности d = 3, 2, 1 и 0, где n - дискретное квантовое число или набор таких чисел, k - d-компонентный волновой вектор;
при d = 0 волновой век тор как величина, характеризующая квантовые состояния, отсутствует. Энергетической плотностью состояний назовем число квантово-механических состояний, приходящихся на единичный интервал энергии и на единичный объем d-мерного пространства. С помощью аппарата -функций плотность состояний можно представить в виде gd(E) = (E - Enk), (43) Vd nk где множитель 2 учитывает двукратное вырождение электронных состояний по спину, Vd - обобщенный объем, который при d = 3 есть объем образца, понимаемый в обычном смысле, а для полупроводниковых низкоразмерных систем он равен площади образца в плоскости интерфейсов в случае квантовых ям (d = 2), длине квантовой проволоки (d = 1) и просто единице для квантовой точки (d = 0). Разложим Enk в ряд по степеням k и ограничимся квадратичным приближением h2k Enk = En +, 2Mn где имеющий размерность массы параметр Mn принимает значения между mA и mB. Под ставляя это разложение в (43), получаем выражение для вклада ветви n в плотность состо яний:
1 2Mn 3/ g3(E) = E (E - En), 22 h Mn g2(E) = (E - En), h 1 2Mn 1/ g1(E) = (E - En), h2E g0(E) = 2 (E - En), где (x) - ступенчатая функция, принимающая значения 1 при положительных x и 0 при отрицательных x. Отметим, что в квантовой яме плотность состояний имеет характер го ризонтальной ступеньки, в квантовой проволоке зависимость g(E) аналогична плотности электронных состояний в объемном полупроводнике, помещенном в квантующее магнит ное поле, а в квантовой точке функция g(E) представляет собой набор изолированных пиков, уширенных с учетом конечности времени жизни электрона на уровнях размерного квантования.
Межзонные оптические переходы Рассмотрим, как размерное квантование влияет на собственное поглощение света, свя занное с переходами двумерных электронов из валентной зоны в зону проводимости. Во первых, край межзонного поглощения hth сдвинется по сравнению с краем поглощения в объемном материале в коротковолновую сторону на энергию размерного квантования электронов и дырок hth = Eg + Ee1 + Eh1. (44) Во-вторых, расщепление зоны проводимости и валентной зоны на ряд подзон размерного квантования означает, что в спектре поглощения будут присутствовать особенности, свя занные с переходами электронов между различными подзонами.
Матричный элемент Mfi оптического межзонного перехода пропорционален произве дению матричного элемента оператора импульса на блоховских (быстрых) функциях un на интеграл перекрытия плавных огибающих Mfi un |e p| un k,ki (z)h (z) dz. (45) f i f ef i Здесь nf,i - индекс зоны проводимости или валентной зоны, f,i - индекс подзоны раз мерного квантования, kf,i - волновой вектор электрона в плоскости интерфейса. Как при любых оптических переходах в структурах с трансляционной симметрией, при межзонном поглощении сохраняется двумерный волновой вектор k (мы считаем волновой вектор све та малым и пренебрегаем им). Таким образом, оптические переходы графически следует изображать вертикальными стрелками.
Вклад переходов между подзонами i и f в поглощение пропорционален квадрату ин теграла перекрытия, который определяет правила отбора по номеру подзоны. Рассмотрим квантовую яму с бесконечно высокими стенками. В такой структуре собственные функ ции не зависят от эффективной массы. Следовательно, наборы собственных функций для электронов и дырок совпадают. В силу ортонормированности каждого из наборов интеграл перекрытия (z)h(z)dz =,. (46) e Итак, оптические переходы могут происходить только между подзонами валентной зоны и зоны проводимости с одинаковыми номерами. В квантовых ямах конечной глубины волно вые функции зависят от эффективных масс и других параметров структуры. Таким обра зом, наборы волновых функций для электронов и дырок не совпадают, и ортогональность волновых функций отсутствует. Однако продолжают выполняться следующие условия (z)h(z)dz 1, = (47) e (z)h(z)dz 1, =, e означающие, что вероятность переходов также будет мала при =.
Зависимость коэффициента поглощения от поляризации света определяется фактором un |e p| un в формуле (45). Для простой зонной структуры в кубических кристаллах f i такая зависимость отсутствует. В действительности, при изучении поглощения в гетеро структурах основанных на соединениях A3B5, необходимо учитывать сложную структуру валентной зоны.
Учет сложной структуры валентной зоны приводит к поляризационной зависимости межзонного поглощения в квантовых ямах. Рассмотрим междузонные переходы в гете роструктурах, выращенных на основе полупроводников с решеткой цинковой обманки в направлении [001]. Скорость генерации электрон-дырочных пар (вероятность рождения в единицу времени) для оптических переходов при kx=ky=0 определяется соотношениями 1 3 1 |M(e, , hh, )|2 |ex i ey|2, |M(e, , hh, )|2 = 0, (48) 2 2 2 1 1 1 1 1 |M(e, , lh, , )|2 |ex i ey|2, |M(e, ;
lh, )|2 |ez|2.
2 2 3 2 2 Для вывода можно воспользоваться структурой блоховских функций 8 и учесть, что при k = 0 тяжелая дырка имеет проекцию момента 3/2, а легкая дырка - проекцию момента 1/2 на направление роста. Можно также использовать рассчитанные ранее междузон ные матричные элементы (11) оператора kp взаимодействия и заменить в соответствующих выражениях компоненты k на компоненты e. В (48) состояния в валентной зоне указа ны в дырочном представлении. В связи с этим заметим, что проекции углового момента в электронном и дырочном представлениях различаются знаком. Для света, циркулярно по ляризованного по правому кругу (+-поляризация) и распространяющегося вдоль оси z, справедливы формулы ox + ioy e =, ez = 0 и |ex + i ey|2 = 0, |ex - i ey|2 = 2, тогда как для света --поляризации имеем ox - ioy e =, |ex + i ey|2 = 2, |ex - i ey|2 = 0, где ox и oy - единичные векторы в направлении осей x и y.
Для ненулевого латерального волнового вектора дырки k, сопоставимого с обратной шириной ямы, состояния тяжелых и легких дырок сильно перемешиваются, валентные под зоны оказываются сильно непараболичными и правила отбора нарушаются.
Лекция 8 Метод матриц переноса.
Электроны, фононы и фотоны в СР Пусть функция (z) задана внутри слоев A в виде A A (z) = F+eik z + F-e-ik z, а внутри слоев B B B (z) = G+eik z + G-e-ik z.
На гетерограницах эта функция удовлетворяет условиям d d |A = |B, CA |A = CB |B.
dz dz Представим функцию (z) и ее производную в виде двухкомпонентного столбца Cj 1 d (z) =, j. (49) CA kA dz Матрица переноса через однородный слой толщины l:
(z) = t(z, z0)(z0), cos kl sin kl N t(z, z0) =, (50) -N sin kl cos kl где l = z -z0, N = 1 в слое A и N = (CBkB)/(CAkA) N в слое B. При выводе (50) учтено, что производная d/dz равна A A B B ikA F+eik z - F-e-ik z или ikB G+eik z - G-e-ik z.
Заметим, что Det t = 1 (унимодулярные матрицы). При kB = i имеем cosh l sinh l t(z, z0) =, sinh l cosh l где = (CB)/(CAkA).
Теорема Блоха (d) = tAtB(0) T (0) = eiKd(0), где K - волновой вектор при распространении волны вдоль оси z сверхрешетки.
Дисперсионное уравнение T11 - eiKd T Det = 0, T21 T22 - eiKd T11 + T cos Kd =, (51) 1 cos Kd = cos kAa cos kBb - N + sin kAa sin kBb. (52) 2 N Действительно, cos kAa sin kAa cos kBb sin kBb N T = tAtB = = - sin kAa cos kAa -N sin kBb cos kBb cos kAa cos kBb - N sin kAa sin kBb........
=,........ cos kAa cos kBb - sin kAa sin kBb N откуда и следует уравнение (52).
Электроны - огибающая волновой функции электрона (или дырки).
В граничных условиях 1 1 mA kB CA =, CB =, N =.
mA mB mB kA Для состояний с энергией E ниже барьера V дисперсионное уравнение удобнее пере писать в виде 1 cos Kd = cos ka cosh b + ( - ) sin ka sinh b. (53) Для анализа дисперсии при малых Kd воспользуемся представлением 1 - cos Kd = sin ka sinh b f1f2 F (54) a b 1 a b f1 = tan k - tanh, f2 = cot k + coth.
2 2 2 Уравнения f1 = 0, f2 = 0 при b совпадают с уравнениями (34),(35) для энергии электрона в одиночной квантовой яме.
d2 1 d При Kd 1 имеем: E Ee + K2 или =.
2F M F h Узкие зоны: E Ee + (1 - cos Kd) F Лекция Нормальные световые волны в оптических сверхрешетках Уравнения Максвелла 1 D 1 B rot B =, rot E = -, c t c t divD = 0, divB = 0.
Для монохроматической волны оператор /t можно заменить на -i.
s-поляризация: E y, B y, роль играет Ey, граничные условия: Ey|A =Ey|B и из непрерывности Bx следует, что (Ey/z)|A = (Ey/z)|B, kBz Ey exp (ikzz + iq), kjz = ( )2j - q2, N =.
c kAz p-поляризация: E y, B y, роль играет By, граничные условия: By|A = By|B и из непрерывности Ex следует, что -1(By/z)|A = -1(By/z)|B, N = (kBzA)/(kAzB).
A B В длинноволновом приближении сверхрешетку можно рассматривать как однородную сре ду с эффективной диэлектрической проницаемостью - Aa + Bb a b (eff) =, (eff) = + (a + b). (55) a + b A B Эти формулы можно вывести и более прямым способом, учитывая, что в тонких слоях мож но пренебречь изменением поля E и смещения D внутри отдельного слоя:
s-поляризация (Ey непрерывна). DA = A Ey, DB = B Ey, a DA + b DB a A + b B D = = Ey.
a + b a + b p-поляризация (Dz непрерывна). EA,z = Dz/A, EB,z = Dz/B, a EA,z + b EB,z a -1 + b - A B z = = Dz.
a + b a + b Интерфейсные (межграничные) фононы E = -, div D = 0, = 0, B Ez = -, Ex = -ikx, kz = i kx, N =.
z A Дисперсионное уравнение для интерфейсных фононов 1 B A cos Kd = cosh kxa cosh kxb + + sinh kxa sinh kxb. (56) 2 A B В предельном случае |kx|a, |kx|b оно переходит в 1 B A (A + B) 0 = 1 + + = 2 A B A B или A + B = 0.
Поверхностная волна на границе двух полубесконечных сред. На границе сред A/B поля определяются выражениями:
при z < 0 потенциал = 0 exp(ikxx + kxz), Ex = -ikx, Dz = -Akx (выбираем kx > 0), при z > 0 потенциал = 0 exp(ikxx - kxz), Ex = -ikx, Dz = Bkx. Из непре рывности Dz получаем Akx = -Bkx, т.е. A + B = 0 в согласии с полученным выше результатом. Пусть 2 - A = L, B =.
2 - T Тогда частота поверхностной волны s = (2 + 2 )/2.
L T При kxb, но конечном kxa получаем уравнение для частоты двух смешанных по верхностных волн:
1 B A 0 = cosh kxa + + sinh kxa, 2 A B 2 2 x x x или ek a(A + B)2 = e-k a(A - B)2 и, окончательно, 2 = s (1/2)(L - T )e-k a.
Для незатухающих блоховских решений K (-/d, /d ] и | cos Kd| 1. Поэтому при A 2 - L = B 2 - T незутухающие решения имеются только внутри области частот T < L, где отно шение A/B отрицательно;
в противном случае правая часть (56) при kx = 0 превышает единицу.
"Сложенные"акустические фононы (продольные фононы, распространяющиеся вдоль оси z) - uz, zz = zzzzuzz BkB uz|A = uz|B, zz|A = zz|B, CA = A, CB = B, N = (57) AkA BsB = s k, s = /, = s2, N = AsA Дисперсионное уравнение удобно представить в виде cos Kd = cos (kAa + kBb) - sin kAa sin kBb 2, (58) где BsB - AsA =.
ABsAsB В пренебрежении слагаемым, пропорциональным 2, получаем - Kd = kAa + kBb = d, sSL = as-1 + bs-1.
A B sSL При учете этого слагаемого в спектре акустических фононов появляются разрешенные и запрещенные минизоны. При малых ширина первой запрещенной минизоны нахо дится из условия 1 0 = - d - 2 - sin kAa sin kBb 2 sSL или = 2(sSL/d)| sin kAa|. Здесь учтено, что sin kBb sin (2 - kAa) = - sin kAa.
Лекция 9 Примесные центры и экситоны в гетероструктурах Примесные центры в квантовых ямах Толстые ямы (a aB), бесконечно высокие барьеры. В центре: E = -EB = -e2/(2aB);
на границе: E = -B/4, так как 2pz-орбиталь удовлетворяет и уравнению Шредингера в яме и граничным условиям.
Тонкие ямы (aB a), бесконечно высокие барьеры, примесь внутри ямы:
2 aB (r) = F () e1(z), F () = exp -, a2D =, E = -4 EB a2 a2D 2D Тонкие ямы, барьеры конечной высоты.
B B (r) = e-r/a, E = E0 - EB - E, a B B где E0 - положение дна зоны проводимости в материале B, aB и EB - боровский радиус и энергия связи экситона в материале B, E - добавка к энергии связи из-за наличия ямы:
E -V (a/2aB).
Экситоны в квантовых ямах Водородоподобные состояния экситона Ваннье-Мотта описываются двухчастичной оги бающей функцией exc(re, rh). В объемном полупроводнике с простыми зонами для экси тона 1s имеем eiKR exp (-r/aB) exc(re, rh) = (r), (r) =.
V a B Толстые ямы. В этом случае экситон квантуется как единое целое:
exc = F (R) (r), F (R) = eiK R (Z), (59) S h 3D E = Eg - EB + K +, (60) 2M a где M = me + mh - трансляционная эффективная масса экситона, r = re - rh, R = (mere + mhrh)/(me + mh) - центр масс экситона, R - положение центра масс в плоскости интер фейсов, размерное квантование экситона вдоль оси z описывается функцией (Z), a - ши рина ямы. Для нижнего уровня размерного квантования экситона (Z) = 2/a cos (Z/a).
Тонкие ямы. В простейшем вариационном подходе волновая функция для основного (1s) состояния экситона записывается в виде exc = eiK R (, ze, zh), (, ze, zh) = f() e1(ze) h1(zh) (61) S с пробной функцией B f() = e-/, B характеризуемой единственным вариационным параметром.
В 2D-пределе:
h2K aB 2D 3D 2D E = Eg + Ee1 + Eh1 - EB +, B =, EB = 4EB.
2M 10 Резонансное туннелирование электрона через двухбарьерную структуру Для симметричной структуры задача о расчете амплитудных коэффициентов отражения и пропускания (r и t) может быть сведена к двум более простым задачам нахождения коэф фициентов отражения, соответствующим четным и нечетным решениям:
1 r = (r+ + r-), t = (r+ - r-). (62) 2 Здесь учтено, что при одновременом падении на симметричную структуру волн с одина ковыми амплитудами или амплитудами, отличающимися знаками, амплитуды отраженных вправо и влево волн также совпадают или отличаются знаками.
Рассмотим симметричную двухбарьерную структуру, в которой границы квантовой ямы задаются координатами z = a/2, а внешние границы правого и левого барьеров - коор динатами a/2 + b, -a/2 - b соответственно. Решение в яме ищется в виде C cos kz (четное решение) или C sin kz (нечетное решение), решение в правом барьере записывается в ви де D1e-(z-a/2) + D2e(z-a/2), решение в правой полуплоскости - в виде e-ik(z-a/2-b) + r eik(z-a/2-b). Из граничных условий на интерфейсах z = a/2, a/2 + b получаем систе му линейных уравнений для нахождения коэффициентов C, D1, D2 и r. В частности, для четных решений имеем ka ka C cos = D1 + D2, C sin = (D1 - D2), 2 D1e-b + D2eb = 1 + r+, i(-D1e-b + D2eb) = 1 - r+.
Решая эту систему уравнений и аналогичную для нечетных решений, получаем e-2b(1 + i) + (1 - i) r =, (63) e-2b(1 - i) + (1 + i) где D2 - tg + ctg ka + = =, - =, =. (64) D1 + tg - ctg Aнализ предельного случая толстых барьеров (e-2b 1) при E Ee - tg 2 + 1 1 - i + P (E - Ee1), -, r-, 2 2 - 1 1 + i 1 d( - tg ) P = |E e 2 dE 1 he t = (r+ - r-) -i e-2i, = arctg. (65) E - e1 + i he 2 e-2b 1 - he1 =, e1 = Ee1 + he1 (66) 1 + 2 -P ( he1) T = |t|2 = (67) (E - e1)2 + ( he1) При наклонном падении получаем ( h2kz he1) T (k) = he1 - e1 (68) h2kz 2 m - e1 + ( he1) 2 m Лекция 11 Резонансный туннельный ток в электрическом поле Рассмотрим симметричную двухбарьерную гетероструктуру, вдоль главной оси которой при ложено электрическое поле. Плотность электрического тока через туннельную структуру описывается формулой hkz jz = e 2 (TrlFl - TlrFr), (69) m k(kz>0) где Fl,r - функция распределения электронов в левом и правом контактах соответственно.
Далее имеем h dkz 2kdk jz = e 2 kzT (k)Fl (70) m 2 0 (2) 1 m e dE dE (E - Ee1 + U)(EF - E - E) 2 h2 0 1 em = (EF - Ee1 + U), если 0 < Ee1 - U < EF, и 0 вне этой области.
2 h 12 Резонансное отражение света от квантовой ямы Волновое уравнение - E + ( E) = D. (71) c Для поперечной световой волны, распространяющейся вдоль направления роста, это век торное уравнение сводится к одномерному уравнению 2 d2E = - D = - [bE + 4Pexc(z)] dz2 c c или d2E + k2E = -k04Pexc(z), (72) dz где k0 = /c, k2 = bk0, Pexc - вклад экситона, возбуждаемого в квантовой яме, в диэлек трическую поляризацию (различием фоновых диэлектрических постоянных b в материа лах ямы и барьера пренебрегается):
4Pexc(z) = G (z) (z )E(z ) dz, (73) a3 bLT B (z) = (0, z, z), (z) = (z), G =, 0 - - i для основного состояния экситона в симметричной яме функция (z) является четной функ цией z при выборе центра z = 0 в середине ямы.
Одномерная функция Грина:
d2y Общее решение уравнения + k2y = -F (z) имеет вид dz i y(z) = E1eikz + E2e-ikz + dz eik|z-z |F (z ). (74) 2k Поэтому волновое интегро-дифференциальное уравнение для E(z) можно преобразовать к интегральному уравнению k0 E(z) = E0eikz + i G dz (z )eik|z-z | (z )E(z ) dz.
2k Это интегральное уравнение сводится к алгебраическому уравнению k = 0 + i G() dz dz eik|z-z |(z)(z ) 2k для величины = (z)E(z) dz.
Здесь 0 = E0 dzeikz(z) = E0 dz cos kz(z) (учтена четность функции (z)). Ампли тудные коэффициенты отражения и пропускания связаны с соотношениями k r = i G() dz cos kz (z ), t = 1 + r. (75) E0 2k Учитывая, что eik|z-z | = cos k(z - z ) + i sin k(z - z ) = cos kz cos kz + sin kz sin kz + i sin k|z - z |, получаем после ряда преобразований i0 0 - - i r =, t =, (76) 0 - - i( + 0) 0 - - i( + 0) где 0 = k LT a3 (z) cos kz dz, (77) B 0 = 0 + k LT a3 dz dz sin k|z - z |(z)(z ).
B Здесь 0 - перенормированная резонансная частота экситона, = (20)-1 - его радиаци онное время жизни.
Лекция 13 Влияние электрического поля на электронные состо яния в квантовых ямах и сверхрешетках Квантово-размерный эффект Штарка Влияние продольного (F z) и поперечного (Fz) электрического поля на носители то ка в гетероструктурах носит принципиально различный характер по очевидной причине в структуре с одиночной квантовой ямой электронный транспорт возможен лишь в плос кости слоев, а в периодической структуре с квантовыми ямами, разделенными не очень тонкими барьерами, транспорт по нормали к слоям носит прыжковый характер и затруд нен. Проанализируем, как влияет электрическое поле на состояние экситона в квантовой яме. В поле F x z, как и в объемном полупроводнике, состояние экситона становит ся квазистационарным из-за возможности любой из частиц (в первую очередь частицы с меньшей массой) туннелировать под потенциальный барьер. Для 1s-экситона в малых по лях высота барьера EB, его ширина x (EB/eF ). Поэтому для его прозрачности T и для полуширины экситонного уровня справедливо соотношение x EB ln T, ln - -.
aB eF aB Размытие пика экситонного поглощения (определяемое величиной ) происходит в уме ренных полях F EB/eaB (103 - 104 В/см). При этом заметно сдвинуться пик поглощения не успевает.
Совсем иначе экситон ведет себя в поле, направленном поперек гетерослоям. Высота барьера для туннельного распада экситона в этом случае равна высоте барьера V в гете роструктуре и экситонный уровень хорошо определен даже в полях 105 В/см, в которых уровни размерного квантования свободных носителей сдвигаются на величину, превыша ющую экситонный ридберг. В области малых полей, таких что eF a ( h/a)2/2m, для квантовой ямы с бесконечно высокими барьерами сдвиг нижней подзоны определяется вы ражением 15 1 (eF a) E1 = - - 1. (78) 2 48 E Этот ответ с высокой точностью можно получить по теории возмущений, учитывая инду цированное электрическим полем смешивание нижнего уровня со вторым уровнем размер ного квантования 2 (eF z21)2 16 (eF a)2 16 1 (eF a) E1 = - = - = -, (79) E2 - E1 92 E2 - E1 92 3 E где матричный элемент z21 рассчитан для барьеров бесконечной высоты:
a/ 2 2z 2 z 32h z21 = sin z cos dz, E2 - E1 =, -a/2 a a a a 2a2m a/ h2 2 2z d z 16a z21 = - sin cos dz =.
m(E2 - E1) a -a/2 a dz a A Для структуры GaAs/Al0.35Ga0.65As c квантовой ямой ширины a = 100 (и барьерами ко нечной высоты) оценки приводят к значениям 6 и 15 мэВ соответственно для электронов и тяжелых дырок.
В общем случае произвольного поля нужно решать уравнение Шредингера h2 d - + eF z - E (z) = 0, (80) 2m dz где заряд электрона выбран в виде -e, поэтому e > 0. Общее решение этого уравнения 1/3 2meF E (z) = C1Ai(X) + C2Bi(X), X = z -, (81) h2 eF где, например, 1 u Ai(X) = cos (uX + )du.
0 В книге КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА (Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц) введена функция (X), которая в раз больше функции Ai(X). Приведем асимптотику этой функции при X +:
(X) 1 Ai(X) = exp (- X3/2).
2 X1/4 В большом поле нижние уровни размерного квантования в яме с бесконечно высокими ба рьерами определяются из уравнения 1/ 2meF E Ai - = 0, (82) h2 eF или (eF h)2/ En = n, n 2.34;
4.09;
5.52...
(2m)1/ Двухъямная структура в приближении сильной связи = C11 + C22, i = (z - zi).
Уравнение для энергии E и коэффициентов Ci E0 - E I C = 0, (83) I E0 - E C где I - интеграл переноса, который для нижнего уровня отрицателен. В пренебрежении различием эффективных масс в яме и барьере I = -V dz (z - z1)(z - z2) = -V dz (z - z1)(z - z2).
QW 1 QW В электрическом поле к диагональным элементам гамильтониана сильной связи добавля ются слагаемые eF d/2 и -eF d/2, вследствие чего для положения двух нижних уровней в двухъямной структуре получаем E = E0 (eF d/2)2 + I2. (84) Состояния электрона в сверхрешетке в приближении сильной связи ICn-1 + E0Cn + ICn+1 = ECn. (85) Cn = CeiKdn, E = E0 + 2I cos Kd.
Следовательно, в приближении сильной связи ширина минизоны равна 4|I|.
Штарковская лестница в сверхрешетке I(Cn-1 + Cn+1) + (E0 - E - eF dn)Cn = 0, (86) -2I E0 - E (Cn-1 + Cn+1) = -2(n - )Cn, eF d eF d x(Cn-1 + Cn+1) = -2(n - )Cn, где x = -2I/(eF d), = (E0 - E)/eF d. Функции Бесселя удовлетворяют рекуррентному соотношению x[y-1(x) + y+1(x)] = 2y(x). (87) Поэтому решение для Cn можно представить в виде Cn = (-1)n[D1Jn-(x) + D2Nn-(x)]. (88) Так как функция Неймана N(x) при , то D2 = 0. Функция Бесселя Jn-(x) конечна при n -, если есть целое число, которое обозначим в виде n0. Таким обра зом, Cn (-1)nJn-n (2|I|/eF d) и En = E0 - eF dn0.
0 Лекция Тонкая структура экситонных уровней Рассмотрим экситон, образованный из электрона в зоне проводимости симметрии Dc и дырки в валентной зоне симметрии Dv. Волновые функция 1s-экситона преобразуются по представлению Dc x Dv. В общем случае это представление приводимо и может быть раз ложено на неприводимые представления. Обменное взаимодействие между электроном и дыркой, возникающее в теории экситонов Ванье-Мотта при учете поправок к приближе нию эффективной массы, приводит к частичному снятию вырождения основного состояния экситона и расщепляет его на соответствующие неприводимые представления. В объем ном полупроводике со структурой цинковой обманки основное состояния экситона 6 x восьмикратно вырождено. Спиновые индексы плавной огибающей волновой функции про бегают значения s = 1/2 и m = 3/2, 1/2. Обменное взаимодействие расщепляет это состояние на три терма: 6 x 8 = 12 + 15 + 25. В схеме сложения моментов s = 1/2 и j = 3/2 триплетный уровень 15 соответствует полному угловому моменту J = 1 с проек циями M = 1, 0, -1. Термы 12 и 25 соответствуют угловому моменту J = 2 и сдвинуты на некоторую величину 0 по отношению к терму 15. Расщепление между термами 12 и отлично от нуля в меру несферичности валентной зоны 8.
Основное состояние 1s-экситона в квантовой яме GaAs/AlAs(001) четырехкратно вы рождено. В обозначениях неприводимых представлений точечной группы D2d имеем: 6 x 6 = A1 + A2 + E. Следовательно, с учетом обменного взаимодействия это состояние рас щепляется на радиационный дублет E с проекциями M = 1 углового момента на ось z и термы A1, A2. Последние являются симметризованной и антисимметризованной линейной комбинацией состояний с проекцией момента 2. Расщепление между ними мало, обычно им пренебрегают и используют базис | 2 >. В сверхрешетке GaAs/AlAs типа II экситон, образованный из X-электрона (спин s = 1/2) и -дырки (m = 3/2), привязан к опре деленному интерфейсу и точечная симметрия системы понижается до C2v. В этом случае радиационный дублет E расщепляется на состояния, оптически активные соответственно вдоль [110] и [1 Это расщепление можно измерить прямо с помощью эксперимента по 10].
квантовым биениям (см. ниже).
Локализованные экситоны. Вклад в фотолюминесценцию полупроводников могут вно сить различные механизмы излучательной рекомбинации: Узона-зона", Узона-примесь", донор-акцептор, с участием фонона, излучение свободных, связанных или локализованных экситонов, экситон-поляритонная, биэкситонная. Фотолюминесценция структур с кванто выми ямами имеет свои характерные особенности. В частности, низкотемпературная лю минесценция нелегированных квантовых ям обычно связывается с излучательной реком бинацией экситонов, локализованных на шероховатостях интерфейсов и флуктуациях со става. Дело в том, что в реальности интерфейсы между материалами ямы и барьера, со ответственно A и B, никогда не являются идеально гладкими в атомном масштабе. Да же при выращивании образца с использованием технологически наиболее развитого мето да молекулярно-пучковой эпитаксии интерфейс характеризуется островковой структурой с высотой в один мономолекулярный слой. Несовершенства интерфейсов модифицируют плотность экситонных состояний и приводят к формированию так называемого хвоста ло кализованных состояний. Если по крайней мере один из композиционных материалов яв ляется твердым раствором, флуктуации состава также вносят вклад в беспорядок, а значит и в формирование локализованных экситонных состояний. Если прыжки между локали зованными состояниями неэффективны, форма полосы фотолюминесценции определяется плотностью этих состояний. В режиме многократных прыжков заселенность хвоста экси тонных состояний, а значит и спектр фотолюминесценции, формируется в результате кон куренции между экситонной рекомбинацией и индуцированным акустическими фононами переходом с верхних на нижние локализованные уровни.
При локализации экситона на анизотропном острове или в анизотропной квантовой точке симметрия системы понижается и радиационный дублет должен расщепляться на два подуровня, поляризованных линейно в двух ортогональных направлениях, ориента ция которых задается формой локализующего потенциала. Действительно, недавно при исследовании спектров фотолюминесценции локализованных экситонов в квантовых ямах GaAs/AlGaAs(001) в режиме ближнего поля (optical near-field regime) было обнаружено обменное расщепление дублета e1-hh1(1s) на две компоненты, поляризованные вдоль осей [110] и [1 Квантовые точки типа InAs/GaAs, выращенные в процессе самоорганизации, 10].
имеют форму пирамиды (возможно, усеченной), высота которой параллельна оси z [001], а прямоугольное основание ориентировано вдоль осей [100] и [010]. Точки с квадратным основанием характеризуются точечной симметрией C2v, при которой компоненты дублета поляризованы по осям x [1 и y [110].
10] Антипересечение экситонных уровней в магнитном поле Спин-гамильтониан экситона в структуре с локальной симметрией C2v в продольном маг нитном поле (B C2) в базисе |1, | - 1, |2, | - 2 имеет вид h/2 /2 0 /2 - 0 h/, (89) 0 0 -0 + h /2 / 0 0 /2 -0 - h / где h = (gh -ge)0B, h = (gh +ge)0B, ge, gh - продольные эффективные g-факторы электрона и дырки, 0 - магнетон Бора. Для экситонных подуровней получаем 1 1 E1,2 = 2 + (, E3,4 = -0 + (.
h)2 h ) 2 В точках пересечения уровней даже слабое возмущение, понижающее симметрию и сме шивающее различные уровни, может приводить к появлению заметной циркулярной поля ризации фотолюминесценции локализованных экситонов в структурах с квантовыми яма ми.
Основная идея квантовых биений Пусть в начальный момент времени t = 0 волновая функция квантовой системы представ ляет собой линейную суперпозицию двух состояний: (t = 0) = C1|1 + C2|2. С течением времени волновая функция меняется как (t) = exp (-iE1t/ + exp (-iE2t/.
h)C1|1 h)C2| Предположим, что детектор реагирует на состояние |D = C1|1 + C2|2. Cкалярное про изведение D|t = exp (-iE1t/ h]} h){C1C1 + C2C2 exp [i(E1 - E2)t/.
Поэтому сигнал, регистрируемый детектором, пропорционален квадрату модуля | D|t |2 = |C1C1|2 + |C2C2|2 + 2 Re{C1C1C2C2 exp [i(E1 - E2)t/.
h]} Пример: C1 = C2 = 1/ 2, C1 = C2 = 1/ 2, | D|t |2 = 0.5{1 cos [(E2 - E1)t/ h]}.
Проиллюстрируем идею квантовых биений на примере нестационарного эффекта Хан ле. Пусть в результате импульсного возбуждения в зоне проводимости рождаются спин поляризованные фотоэлектроны. Обозначим их начальную концентрацию в виде n0 n(t = 0 0), а начальный суммарный спин в виде s0 = (0, 0, s0), где s0 = Pc n0/2, Pc - степень цир z z кулярной поляризации фотонов, - константа. Временная зависимость n(t) и s(t) при t > во внешнем магнитном поле B описывается уравнениями dn n ds 1 + = 0, + + s + s L = 0, (90) dt 0 dt 0 s где L - частота ларморовой прецессии электронного спина в магнитном поле B. Эти урав нения выводятся из уравнения для спиновой матрицы плотности электронов i - + [HB, ] =, 0 t h spin rel.
n + sz sx - isy =, sx + isy n - sz 11 - 22 - =.
221 22 - t 2s s.r.
Заметим, что 11 = 1 1, 12 = 1 1 и т.д. Здесь использованы обозначения: HB =,, 2 2 2 g0 - оператор (зеемановского) взаимодействия электронного спина с полем B, B/ - магнетон Бора, i (i = x, y, z) - матрицы Паули, g - эффективный фактор Ланде, или эффективный g фактор, электрона. Заметим, что в общем случае нужно вводить тензор g факторов gij и записывать HB в виде суммы (0/2) igijBj. В частном случае изотроп ij ного g фактора частота ларморовой прецессии направлена по вектору B и равна g0B/ h.
При B x решения для n и sx легко находятся: n(t) = n0 exp (-t/0), sx = 0. Что касается двух других компонент вектора s, то удобно пару вещественных уравнений для sy, sz пере писать в виде одного комплексного уравнения для комбинации s+ = sz + isy, которое имеет вид ds+ + + iL s+ = 0 (91) dt T при начальном условии s+(t = 0) = s0. Его решение также легко находится:
z s+(t) = s0 exp -t + iL, z T откуда sz(t) = s0e-t/T cos Lt, sy(t) = -s0e-t/T sin Lt.
z z По определению параметра Стокса Pc интенсивности циркулярно поляризованных компо нент I = I(1Pc)/2. Учитывая, что Pc = 2sz/n, получаем для нестационарного эффекта Ханле 0 s I e-t/ 1 + e-t/ 2Pc cos Lt. (92) Для анализа формулы (92) на языке квантовых биений введем спиновую волновую функ цию фотоэлектрона (t) и разложим ее по собственным спиновым состояниям в магнитном поле B x, т.е. собственныим состояниям матрицы x:
1 1 |1 =, |2 =.
1 - 2 Pассмотрим случай = -1, который реализуется для междузонных переходов hh1 e в структуре с квантовой ямой. Тогда, пренебрегая конечностью времени жизни и времени спиновой релаксации фотоэлектрона, имеем при Pc = -1:
L L (t) = e-i t/2|1 + ei t/2|2. (93) При конфигурации анализатора на регистрацию циркулярно поляризованной компо ненты + или - имеем соответственно |D = (|1 | - 1 )/ 2. Таким образом, в рас сматриваемом частном случае для коэффициентов Ci, Ci имеем: C1 = C2 = 1/ 2, C1 = L L C2 = 1/ 2. В результате получаем D|t = e-i t/2(1 ei t)/2 или I | D|t |2 = (1 cos Lt)/2. Учет конечности времени жизни сводится к умножению | D|t |2 на e-t/, s а конечности времени спиновой релаксации - к умножению cos Lt на e-t/ в согласии с формулой (92).
Аналогично получаются квантовые биения при излучении экситона, у которого радиа ционный дублет расщеплен на состояния, поляризованные по осям [1 и [110], и который 10] возбуждается резонансно светом, поляризованным по оси [100].