Книги по разным темам
Постоянную C2 определим из условия: при ρρ = 1 = 0, откуда и окончательно имеем
. (9.41)
При ρρ = ρρm.
Использование второго граничного условия (при ρρ = 0) при встречном движении тел бессмысленно, так как до этого тела при своем движении либо столкнутся, либо одно из тел (меньшей массы) перейдет к орбитальному движению вокруг другого тела.
При встречном движении под действием гравитации ⎜⎜A⎜⎜ = GM1 и реальное собственное время и безразмерное связаны соотношением
. (9.42)
Таким образом, реальное собственное время при встречном движении тел под действием гравитации зависит от начального расстояния между телами ro и массы центрального тела M1.
Собственное время тела 1 в системе координат, связанной с телом 2, при встречном движении тел будет определяться той же зависимостью (9.37), что и при расходящемся движении.
10. Релятивистские эффекты при вынужденном
движении двух тел
Пусть два тела, снабженные реактивными двигателями, под действием реактивной тяги двигателей приобретают скорости V и V. С первым телом связана система координат К с координатами x, y, z, причем так, что начало координат совпадает с центром масс тела 1, а вектор скорости направлен вдоль оси X. Со вторым телом связана система координат К' (координаты x', y', z'.), причем так, что начало координат совпадает с центром масс тела 2, а вектор скорости коллинеарен вектору и направлен вдоль оси X' (параллельной оси X координатной системы К). Пусть Vа=аααV, где αα - некоторая постоянная величина, характеризующая отношение скоростей двух тел.
Тогда относительная скорость тел
. (10.1)
В дальнейшем будем опускать индекс при скорости, подразумевая под ней скорость одного из тел и приняв αα > 0.
Разделив левую и правую части (10.1) на с и обозначив, получим
. (10.2)
Поскольку скорости V и V есть переменные величины, зависящие от скорости истечения вещества из двигателя и уменьшения, в связи с этим, массы движущегося тела, то величина ηη в зависимости (10.2) является также переменной и, соответственно, при исследовании этой зависимости вполне правомерно применение правил математического анализа.
Первая производная от (10.2) по ηη
, (10.3)
откуда координата максимума функции ββ (αα, ηη)
, (10.4)
а величина максимума
. (10.5)
На рис.5 показаны зависимости ββ = f(αα, ηη).
Координаты пересечения зависимостей ββ = f(αα, ηη) с прямой ββ = 1 найдем из решения уравнения
, (10.6)
откуда ηη = 1, ηη =.
Следовательно
, (10.7)
где.
, (10.8)
. (10.9)
Первая производная по ηη от ββ = f(αα, ηη) имеет вид, показанный на рис.6. Дифференцируя (10.3) по ηη и приравнивая производную нулю, придем к уравнению
(10.10)
или, обозначив,
, (10.11)
откуда
и координаты минимального значения функции
, (10.12)
а величина минимума этой функции
. (10.13)
Свойства функции таковы, что
(10.14)
Следовательно
, (10.15)
Рис.6. Зависимости =f (αα, ηη): 1 ‑ αα =0,031; 2 ‑ αα =0,31;
3 ‑ αα = 1; 4 ‑ αα = 3,1.
, (10.16)
, (10.17)
. (10.18)
Энергия движения тел
,
где,
или. (10.19)
Вид зависимости показан на рис.7. Очевидно, что координата максимума функции, а максимальное значение самой функции
. (10.20)